Divergence d'une série

Bonsoir à tous,

Je dispose d'une suite $(u_{n})$ à termes positifs telle que la série $\sum u_{n}$ diverge.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle v_{n}=\int_{0}^{u_{n}} \frac{1}{1+t^{3}} dt$.

Il semblerait que la série $\sum v_{n}\ $ soit divergente, mais je ne parviens pas à le démontrer.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Bonne soirée à tous,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • Il y aura effectivement divergence. On peut le montrer par comparaison en faisant une disjonction de cas selon que $\{n \in \N : u_n > 1\}$ est fini ou infini. Par exemple en utilisant l'inégalité
    $$
    v_n \geq \frac{1}{2} \min(1,u_n).
    $$
  • On peut aussi calculer explicitement v_n
  • Bonjour

    Tu peux primitiver $\dfrac{1}{1+t^3}$ après décomposition en éléments simples de la fraction tu trouves : $$\frac{1}{6}\ln\frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - t + 1} + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2t-1}{\sqrt{3}}$$ ton expression devient $$v_n = \frac{1}{6}\ln\frac{u_n^2 + 2u_n + 1}{u_n^2 - u_n + 1} + \frac{1}{\sqrt{3}}\Big(\arctan\frac{2u_n-1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi}{6}\Big)$$ La série en $u_n$ diverge et donc le terme général $u_n$ converge ou diverge.
    Dans les deux cas les deux termes en $\arctan$ vont converger vers une constante non nulle et la série en $v_n$ diverge.

    Cordialement.
  • Bonsoir,

    Merci Jean pour ce calcul vaillant et ... inutile.
    Je devrais dire plutôt merci MAPLE ou merci Mathematica.
  • Si on note $\displaystyle F:x\mapsto \int_0^x \frac{dt}{1+t^3}$ définie sur $I=\left]-1,+\infty\right[$, alors on montre facilement que $F(x)\underset{x\to 0}\sim x$ d'une part et que $F$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser et contenant 0.

    Cela permet de conclure en séparant les cas "$u_n$ tend vers 0" et "$u_n$ ne tend pas vers 0".
  • Merci à tous pour vos réponses !

    J'ai même l'embarras du choix pour résoudre mon problème...

    Bonne soirée à tous,

    $\alpha$-Nico
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