Un Héron en trois dimensions

P

La question doit être souvent posée ici, et pardonnez mon ignorance.
Si je connais les longueurs des 6 arêtes d'un tétraèdre, quel est son volume ?

JLT

http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html

P

Merci, j'avais oublié ça. Ce déterminant de Cayley Menger donne une autre solution du problème d'un fil récent: quel est le coté du triangle équilatéral ABC qui contient un point avec des distances $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ données à chaque sommet? Pour ça je considère un tétraèdre de sommets $ABCD$ tel que $AD=\sqrt{a},$ $BD=\sqrt{b},$ $CD=\sqrt{c}$ et $AB=BC=CD=\sqrt x$ en me demandant quand il est aplati.Son volume est proportionnel par Cayley Menger au déterminant $f(x)$ de
$$\left[\begin{array}{ccc}2a&a+b-x&a+c-x\\a+b-x&2b&b+c-x\\a+c-x&b+c-x&2c\end{array}\right]$$ Comme $f(0)=0$ la plus grande solution de $f(x)=0$ est celle d'un joli polynôme du second degré, comme tu l'avais montré JLT, et qui est $x^2-x\sigma_1+(\sigma_1^2-3\sigma_2),$ avec $\sigma_1=a+b+c$ et $\sigma_2=ab+bc+ca.$ Si $s=\sigma_1/2$ les solutions sont $s\pm\sqrt{3(\sigma_2-s^2)}$ et $c\pm\sqrt{3ab}$ si $c=a+b$ comme dans le cas de l'exemple du fil $a=9,b=16, c=25$. La seconde solution positive correspond à un point extérieur au triangle. Et bien sûr, pas de solution si $s^2>\sigma_2.$

did63

Bonjour ,je me souviens avoir prouvé çà mais je n'arrive plus à finaliser ma démonstration.
Le volume d'un tétraédre est égal à 1/6 de la valeur absolue du déterminant de trois vecteurs représentant des arêtes
(que la base soit orthonormée ou non, l'unité étant le volume du pavé construit sur les vecteurs de la base) :
comme une matrice a même déterminant que sa transposée, V.V = det(A) det (tA) = det (A.tA), formule dans laquelle on reconnaît sur la diagonale les carrés scalaires des vecteurs représentant les arêtes,et dans les autres cases leurs produits scalaires deux à deux.
On obtient facilement le volume du tétrèdre connaissant ses arêtes .
C 'est ce que j'ai écrit dans ma fiche de révision.Sauf que je n'y arrive plus ......Si quelqu'un pouvait m'aider ...

soland

Preuve à lire dans "géométre, tome 2" de M.Berger

did63

A 200 euros le bouquin je m en dispenserai

soland

Y a-t-il des bibliothèques chez toi ?

did63

A 60 bornes oui, je suis en rase campagne, pas facile pour les révisions de l' oral de l agreg

did63

Ca y est , j'ai fait le calcul, 5 lignes en tout

did63

Si ça intéresse qq quelqu'un :
$a, b$ et $c$ sont les vecteurs représentant 3 arêtes alors
$$\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2\\
a_3 & b_3 & c_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a.a & a.b & a.c\\
a.b & b.b & b.c\\
a.c & b.c & c.c
\end{pmatrix} $$ et sachant que $2 a.b= a^2+b^2-(a-b)^2$, c'est fini.
Avec mes excuses pour la mise en forme, je débute depuis 1 semaine avec Latex