Convergence d'une série

sebsheep

Bonjour
Je suis bloqué pour étudier la convergence de la série de terme général : $$u_n=\prod_{k=2}^n (2-e^{{1}/{k}})
$$ J'ai fait les calculs suivants, mais je n'arrive pas à justifier rigoureusement tous les passages, notamment, comment sommer les $O(1/k)$. \begin{aligned}
\ln(u_n) &= \sum \ln(2-e^{1/k})
\\& \approx \sum \ln(1-1/k + o(1/k))\\
& \approx \sum O(1/k))\\
& \approx -\ln(n) = \ln(1/n)
\end{aligned} Si je crois les lignes précédentes, $u_n \sim 1/n$ et donc $\sum u_n$ n'est pas convergente.

Mickaël

Ce que tu dois étudier c'est la série de terme général $v_k=\ln (2-e^{1/k})$ comme tu le dis, et la première chose à faire est de chercher un équivalent de cette chose : \[v_k \sim - 1/k\] qui est le terme général d'une série à termes négatifs divergente. Tu peux donc conclure que la série des $v_k$ diverge et tu peux finir ton exercice ...

discret

$v_k \sim \frac{1}{k}$ alors que $v_k$ est à valeurs négatives ? Peu probable.

En revanche, ton calcul est quasi-correct :
$$\ln(2-e^{1/k}) = \ln \left( 1 - \frac{1}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right) \right) = - \frac{1}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right) $$
de sorte que
$$\ln(u_n) = - \ln n + O(1).$$

discret

Il aurait été sympa que Mickaël signale la correction de son message, pour éviter que le début du mien ne devienne sibyllin.

sebsheep

Merci de vos réponses :

@Mickael : oui, $\sum v_n$ diverge, mais vers $-\infty$, donc $(u_n)$ tend vers $0$, ce qui ne permet pas de conclure l'exercice.

@discret : pour sommer plusieurs $O(1/k)$, il faut que la constante soit indépendante de $k$ nan ? Et là, on aboutit à $u_n = O(1/n)$, ce qui ne permet pas de conclure quant à la divergence de la série.

bisam

Je pense que nous sommes nombreux à avoir raté le mot "série" dans ton message initial...
Cela donne une toute autre lecture et des calculs un peu plus poussés.

AP3

Il me semble que le critère de convergence pour une série $u_n$ suivant

Si $u_{n+1}/u_n=1-s/n+w_n$ avec $w_n$ série absolument convergente
alors
si $s>1$ la série $u_n$ est convergente sinon divergente

permet de conclure

discret

sebsheep a écrit:

il faut que la constante soit indépendante de $k$ nan ?

Elle l'est !

À partir de $$\left | e^x -1-x \right| \leqslant x^2 \quad \left ( 0 \leqslant x \leqslant 1,79 \right)
$$ on a pour $k \geqslant 1$ $$2 - e^{1/k} = 1 - \frac{1}{k} + r_1(k) \quad \textrm{avec} \quad |r_1(k)| \leqslant \frac{1}{k^2}
$$ puis à l'aide de $$
\left | \ln(1-x) + x \right | \leqslant 2x^2 \quad \left( 0 \leqslant x \leqslant 0,93 \right)
$$ on arrive à, pour tout $k \geqslant 2$ $$
\ln(2-e^{1/k}) = \ln \left( 1 - \frac{1}{k} + r_1(k) \right) = - \frac{1}{k} + r_2(k) \quad \textrm{avec} \quad |r_2(k)| \leqslant 2 \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} \right)^2 \leqslant \frac{8}{k^2}.
$$ Soit alors $n \geqslant 2$ entier. On obtient $$
\sum_{k=2}^n \ln(2-e^{1/k}) = - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} + \sum_{k=2}^n r_2(k) = - \ln n + 1 - \gamma + r_3(n) + r_4(n)
$$ avec $0 < r_3(n) \leqslant \frac{1}{2n}$ et $$
\left | r_4(n) \right | \leqslant \sum_{k=2}^n |r_2(k)| \leqslant 8 \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} = 8 \zeta(2) - 8 + r_5(n)
$$ où $|r_5(n)| \leqslant \frac{2}{n}$. Ainsi, pour tout $n \geqslant 2$, on a $$
u_n = \frac{1}{n} e^{1-\gamma + r_3(n) + r_4(n)}.$$
[Corrigé selon ton indication. AD]

enonce

Merci, Alain !
[À ton service. :-) AD]

P_Valmont

À quoi bon faire un développement limité si c'est pour recourir ensuite à une laborieuse majoration globale ?

Mieux vaut une méthode résolument locale, un développement limité en petit $o$.

On a : $\ln (2-e^{\frac{1}{n}})=-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$ quand $n\rightarrow +\infty $.

En conséquence : $ \displaystyle \ln u_{n}=\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\ln (2-e^{\frac{1}{k}})
=-\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k}+C_{1}+o(1)=-\ln n+C_{2}+o(1)$,
d'où : $u_{n}\sim \frac{K}{n}$, avec $K>0$ (en fait $K=e^{C_{2}}$).

Immédiat, sans qu'il soit même besoin de théorème de sommation de relation de comparaison,
il suffit d'observer que la série de terme général $-\frac{1}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$ est (absolument) convergente.

On peut généraliser l'énoncé, et demander la nature de la série de terme général
$ \displaystyle u_{n}=\underset{k=2}{\overset{n}{\prod }}(2-a^{\frac{1}{k}})$, $a>0$.

Avec la méthode proposée ici, c'est tout comme, pas besoin d'empiler les $r_i$.
Il y a juste un petit problème de signe à gérer avant de passer au log.
La valeur $a=e$ fait la frontière entre convergence et divergence.

C'est un très ancien problème, il me semble l'avoir déjà vu dans un traité de Boleslas Niewenglowski, début XXème siècle.

discret

J'ai répondu à Sebsheep concernant la constante impliquée, et ai donc fait un calcul explicite qui rend compte de cette constante.

Dans mon premier message, je n'ai pas fait de DL, il s'agit d'un calcul asymptotique naturel, et il n'y a aucune utilisation de théorème de sommation de relation de comparaison.

J'ai déjà expliqué ça $100$ fois sur ce forum !