Sous-groupes finis de SO(3)

Charly75

Bonjour à tous,

je travaille sur la classification des sous-groupes finis de $SO(3)$. Soit $|G|=n$, on montre que $G$ agit sur l'ensemble des pôles de $G$. On montre également qu'il ne peut y avoir que 2 ou 3 orbites. Le dénombrement ne me pose pas de problème, j'ai plus de soucis pour reconnaitre après les groupes.

Dans le cas où il y a deux orbites, le cardinal de chaque stabilisateur est égal à $G$. On déduit que tous les éléments de $G$ (différents de Id) ont les mêmes pôles notés $P,P'$
Ayant le même axe, ils laissent stable le plan $H$ perpendiculaire en $O$ à la droite $(PP')$. Tout $g$ induit donc une isométrie $f(g)$ de $H$. Il est clair que $g\mapsto f(g)$ est un isomorphisme (ok jusque là !). On déduit que $f(G)$ est un sous-groupe fini des rotations de centre $O$, il est cyclique, isomorphe à $\mathbb U_n$


Je ne vois pas pourquoi la restriction à l'orthogonal forme un groupe cyclique. Il est fini car il y a un nombre fini d'éléments dans $G$.
Pourquoi toutes les rotations pourraient s'écrire comme comme la composée d'une seule rotation de ce plan ? Quelque chose m'échappe ...
La correction fait appel au résultat : Si $G$ est un sous-groupe fini du groupe $\mathcal I$ des isométries du plan euclidien, alors $G$ est isomorphe à $Z/nZ$ où à $D_n$.

Quel est le lien avec $U_n$ ?

Toute piste est la bienvenue. Merci !

Charly

discret

As-tu déjà lu ce document ? Peut-il être utile ?

http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/devagreg/Sous_groupes_finis_Isometries.pdf

Charly75

Merci pour ta réponse. Je connaissais ce document. Pourquoi ce groupe est forcement cyclique ? A cause de So(2) qui est commutatif ?

Bruno

Dans $SO(2)$, tout sous groupe fini est cyclique puisqu'il est isomorphe au groupe des racines de l'unité d'un certain ordre.

Bruno

soland

Bonjour.
Si une trsf. de O(2) peut changer l'orientation, ce n'est pas le cas des trsf. de SO(2), ce qui exclut les symétries axiales.