TVI, applications

did63

Bonjour à tous, dans deux leçons trouvées sur internet les auteurs mettent, comme application du TVI, le théorème du point fixe ... Je ne connais pas par cœur la démo du théorème du point fixe mais je me souviens des grandes lignes et je ne vois pas où intervient le TVI.

ev

Des théorèmes du point fixe, c'est pas ce qui manque !

Intéresse-toi à celui-ci :

Soit $f$ une fonction continue de $[0;1]$ dans lui-même.
$f$ admet au moins un point fixe.

e.v.

Bergtatt

Salut,
soit $f : I \to I$ continue. On regarde la fonction $g(x) = f(x) - x$. Clairement, $g(0) > 0$ et $g(1) < 0$ (Sinon, 0 ou 1 serait des points fixes). Mais alors par le TVI il existe $\eta$ tel que $g(\eta) = 0$ et donc $\eta$ est un point fixe de $f$.

did63

Ok, je connaissais ça, mon fils l'a eu en exo en début d'année, il s'agissait dans les exemples proposés du théorème du point fixe pour une application k contractante dans un espace complet. Et là je ne vois pas le rapport ...

flipflop3

Bonjour,

Je pense aussi qu'il n'y a aucun rapport ! Ils ont peut être confondu le TVI et le TAF. Partage les leçons et on verra bien.

+

Amédé

Une fonction $f$ continue sur un compact convexe $K$ telle que $f(K)\subset K$ admet au moins un point fixe... Point fixe de Brouwer. En dimension 1 c'est le TVI qui permet de conclure.