Somme de Riemann

bmo

Bonjour,
Je suis depuis un moment sur une somme qui apparait comme de Riemann mais avec des bornes assez particulières. Il s'agit de déterminer: $$\lim\limits_{n \to +\infty}\sum_{k=0}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2}$$
Merci pour votre intérêt.

Benoit RIVET

Logiquement, cela devrait converger vers $ \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^{2}} $ et cela peut sans doute se vérifier en encadrant astucieusement la somme, la fonction à intégrer étant décroissante.

Ainsi, on vérifie facilement que la somme est supérieure à $ \displaystyle \int_{0}^{n}\frac{dt}{1+t^{2}} $...

Je vous laisse trouver un minorant qui permet de conclure :-)

discret

Le réflexe "sommes de Riemann" n'est pas toujours le bon réflexe.

Ici, une simple comparaison somme-intégrale fournit directement
$$\sum_{k=0}^{n^2} \frac{n}{n^2+k^2} = \int_0^{n^2} \frac{n}{n^2+t^2} \, \textrm{d}t + O \left( \frac{1}{n} \right) = \arctan(n) + O \left( \frac{1}{n} \right)$$
d'où la limite demandée.

bmo

Merci pour vos réponses.
Ici donc c'est la comparaison somme-intégrale qui intervient. Si la fonction en question n'est pas décroissante, on ne peut donc pas trouver la limite de ces types de sommes.
Cordialement.

discret

Il y a plusieurs façons d'estimer des sommes de fonctions régulières, la comparaison somme-intégrale n'étant que le premier maillon de ces outils, mais qui mène à la fondamentale formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, capable de traiter de nombreuses sommes de fonctions pas nécessairement monotones, l'hypothèse essentielle étant une certaine régularité pour la fonction, disons $f \in C^k$.

Il y a évidemment énormément de textes sur Euler-MacLaurin, mais on trouve un bon résumé dans le papier suivant :

R. A. McLeod, Fractional Part Sums and Divisor Functions, J. Number Theory 14 (1982), 185--227.

Rouletabille

Pour moi, l'encadrement ne doit pas être qualifié d'astucieux, c'est le réflexe naturel lorsque l'on compare somme et intégrale pour une fonction monotone. La figure-clé c'est celle-ci, le trapèze mixtiligne coincé entre les deux rectangles. Cela marche aussi bien pour les sommes façon Riemann que pour les comparaisons séries-intégrales, pour les fonctions croissantes comme pour les fonctions décroissantes.

Pour une fonction $f$ décroissante, on a :
$ \displaystyle \frac{1}{n}f\Big(\frac{k+1}{n}\Big)\leq \int_{{k}/{n}}^{(k+1)/{n}}f(t)dt\leq \frac{1}{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)$.
Dans le cas présent, soit $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ et $\displaystyle S_{n}=\overset{n^{2}}{\underset{k=0}{\sum }}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\frac{1}{n}\overset{n^{2}}{\underset{k=0}{\sum }}f\Big(\frac{k}{n}\Big)$.
La sommation de l'encadrement précédent entre $k=0$ et $ k=n^2-1$ donne :
$\displaystyle S_{n}-\frac{1}{n}\leq \int_{0}^{n}f(t)dt\leq S_{n}-\frac{1}{n(1+n^{2})}$.
La transposition de cet encadrement donne la limite $\frac{\pi }{2}$.

Il me semble avoir vu passer cela dans le Putnam.

Bonne soirée, très bonne soirée.
R.
29/03/2015

Rouletabille

Vingt-deuxième compétition William Lowell Putnam, 2 décembre 1961, session du matin, problème 3.

discret

@Rouletabille : sauf ton respect, je ne vois pas tellement ce que tu as ajouté de plus par rapport à ce que j'avais dit plus haut...

gerard0

Il voulait surtout placer son schéma explicatif ...

discret

Ah oui, exact !