Équation fonctionnelle

Bonsoir

Un exercice classique consiste à chercher les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dérivables en $0$ et telles que $f(2x)=2f(x)$ pour tout réel $x$. On trouve toutes les fonctions de la forme $x \mapsto Cx$.

Est-il possible d'en déduire les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dérivables en $0$ et telles que $f(2x)=\big( f(x) \big)^{2}$ pour tout réel $x$. Je passerais bien au $\ln$, mais je ne parviens pas à montrer qu'une telle fonction ne s'annule pas. D'ailleurs, la fonction nulle est solution !

Quelqu'un pourrait-il me dépanner ?
Bonne soirée à tous,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • Que peut valoir f(0) ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • $f(0)=0$ ou $f(0)=1$... Certes !

    J'y avais pensé, mais en quoi est-ce intéressant pour la suite ?
  • Tu peux remarquer que si $\exists x_0 \neq0$ tel que $f(x_0)=0$ alors $f(0)=0$ par continuité en 0. Ce qui devrait t'aider à conclure pour le cas $f(0)=1$.
    Pour le cas $f(0)=0$ j'aurais tendance à chercher à montrer que $f$ est identiquement nulle, peut-être en dérivant l'expression $f(2x)=f(x)^2$ en $0$ ?

    B.
  • Bonjour,

    Pour ton équation fonctionnelle, il y a déjà une famille de solutions bien connue sur le marché.
    La question est de savoir s'il n'en existe pas d'autres.
    La dérivabilité en 0 est-elle suffisamment contraignante à Cet effet ?

    Amicalement. jacquot
  • Concours général 1985, exercice I.
    ..............................................................
    Une fois ce résultat établi, il peut servir d'ingrédient pour d'autres équations fonctionnelles à une variable, par exemple : trouver les fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, dérivables en 0, telles que : $~\forall x\in \mathbb{R},f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^{2}}$.
    Bonne journée.
    R.
    27/03/2015
  • blaise a écrit:
    si $\exists x_0 \neq0$ tel que $f(x_0)=0$ alors $f(0)=0$ par continuité en 0
    Je confirme.
    Et dans ce cas, si $\exists x_1$ tel que $f(x_1)=a\neq0$
    alors $f(\frac {x_0}{2^n})=a^{\frac 1{2^n}}$

    La limite en $+\infty$ de $x.a^{frac 1 x}$ devrait te permettre de conclure que $f$ n'est plus dérivable en $0$

    Sous réserve d'avoir dit une [small]connerie[/small]:-S. jacquot
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