Une inégalité

ThG62

Bonjour
Comment montrer que $\quad\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \le 1,\ $ pour tout $n \ge 1$ ?
Merci pour vos pistes.

discret

Décidément, voilà un sujet qui revient très fréquemment...

Compare à une intégrale (méthode des rectangles, par exemples) : la fonction $t \longmapsto 1/t$ étant continue, positive et monotone sur $\left[ 1, + \infty \right [$
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leqslant \int_{1}^n \frac{\textrm{d}t}{t} + \max \left( 1,\frac{1}{n} \right) = \ln n +1.$$

gustav

considérés la fonction sur $] - 1, + \infty [$ $f(x) = \ln (x + 1) - x$ . tu fais une étude normale et tu déduis que $\ln (x + 1) \leqslant x$ fais une changement de variable $x = \frac{1}{n}$ et fais une sommation terme a terme tu va avoir ce résultat ....cordialement

ThG62

Merci discret, même si j'ai du mal à voir d'où vient le max ...

Est-ce qu'on peut s'en sortir avec une récurrence ?

Fin de partie

Discret:
Ta dernière égalité n'est-elle pas plutôt une inégalité?

Fin de partie

ThG62:

Pour comprendre d'où vient un argument comme celui employé par Discret il est conseillé de faire un dessin.

Tu traces la fonction sur l'intervalle $[1,n]$, $n$ un entier naturel>1, et tu considères les points d'abscisses entières comprises entre $1$ et $n$ sur l'axe des $x$ et tu essaies de majorer l'aire sous ce bout de courbe en faisant le bon quadrillage passant les points indiqués plus hauts.
La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est monotone comme rappelé par Discret. Elle est même décroissante sur $[1,n]$

discret

@FdP : où vois-tu une inégalité ?

@ThG62 : Effectivement, tu peux faire un dessin en traçant le graphe de la fonction inverse sur l'intervalle $[1,n]$, en subdivisant cet intervalle en sous-intervalles de longueurs $1$, puis en encadrant l'aire par la somme des aires des rectangles inférieurs et supérieurs.

Autre méthode, qui revient au même, et qui a été rappelée par Greg hier ou avant-hier dans un autre fil.

Pour tout $k \in \{1,\dotsc,n\}$, commencer par prendre $t \in \left [ k,k+1\right]$. Comme la fonction $t \longmapsto 1/t$ est décroissante, on a $\frac{1}{k+1} \leqslant \frac{1}{t} \leqslant \frac{1}{k}$, et intégrer cette inégalité sur $[k,k+1]$ fournit alors
$$\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{\textrm{d}t}{t} \leqslant \frac{1}{k}.$$
On somme alors cette inégalité pour $k \in \{1,\dotsc,n-1\}$ ce qui donne
$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} \leqslant \int_1^n \frac{\textrm{d}t}{t} \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$$
ou encore
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - 1 \leqslant \ln n \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{n}$$
ou encore
$$\ln n - \frac{1}{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leqslant \ln n + 1.$$

discret

Lire $\ln n + \dfrac{1}{n}$ à la dernière ligne.

Fin de partie

Discret:
Tu as raison.
Je voulais que le max de $1$ et de $\dfrac{1}{n}$ ne soit pas $1$ :-D
Je crois que par réflexe je n'aime pas beaucoup mélanger des inégalités avec des égalités (surtout quand ce n'est pas nécessaire) c'est ça qui m'a enduit d'erreur. :-D

FoysNC

Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}+\log(n)-\log(n+1)$. Par exemple grâce aux accroissements finis on peut dire qu'il existe $c_n \in ]n,n+1[$ tel que $\log(n)-\log(n+1)=-\frac{1}{c_n}$.

yan2

On peut montrer, plus généralement, que pour tout $n\in {\mathbb N}^*$ :
$$
\dfrac{1}{2n+\frac{2}{5}}\,\,\leq\,\, 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n-\gamma\,\,\leq\,\,\dfrac{1}{2n+\frac{1}{3}},
$$
où $\gamma$ est la constante d'Euler.

discret

@Yan : il y a quelques jours, je donnais l'inégalité suivante, un peu meilleure : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1068079,1068395#msg-1068395

yan2

Ah d'accord ! excuse moi je n'avais pas lu ce post. Bravo et merci :-)
L'inégalité que j'ai donnée a été proposée comme l'exercice 3432 dans la revue American Math Monthly en 1991, l'auteur est Laszlo Toth. Quelques personnes qui ont résolu l'exercice ont trouvé une meilleure constante que $2/5$, ils ont proposé $(2\gamma-1)/(1-\gamma)$ (voir AMM, 1992, page 685).

discret

Bonjour Yan,

Je connais bien Laszlo Toth, nous nous sommes même mutuellement referé des articles, notamment pour le JIS (Journal of Integer Sequences). Un gars très sympa !

yan2

Bonjour discret,

j'aime bien le journal of integer sequences, je le lis régulièrement. J'ai beaucoup apprécié, dans le dernier numéro, l'excellent article de l'excellent mathématicien Olivier Bordellès : "A Multidimensional Cesáro Type Identity and Applications" , une pure merveille, très agréable à lire, et très riche scientifiquement. Bravo à lui (tu)

discret

Oui, je l'ai lu aussi ! Je partage totalement ta critique sur ce papier, vraiment très bien écrit. Comme quoi, il n'est pas nécessaire de rédiger des manuscrits de 50 pages pour avoir un travail mathématiquement riche.

Comme toi, je télécharge régulièrement des articles de ce journal. J'irais même jusqu'à recommander sa lecture régulière aux agrégatifs et à tous ceux qui aiment les belles mathématiques. D'ailleurs, le board de ce journal est impressionnant : Shallit, Allouche, Sloane (fondateur), Gould, Lagarias, Guy, Plouffe, Mansour, Goulden. Que des noms bien connus, vraiment impressionant !