énoncé 1 agreg externe (11 Mars 2015)

tenuki

Voici un scan du sujet : http://www.mediafire.com/view/vi6zhztwwl5we2c/Agreg2015.pdf

Bob92

voici le sujet

Le Pingouin

Un immense merci à tenuki pour le scan du sujet. En effet, il y avait quelques questions sur les formes quadratiques.

Bon courage demain pour l'analyse.

boule0

Bonjour
par curiosité
Quel etait le cardinal de s20?

Shplouf0

Je dirais 3

Rdchn0

Plutôt 2 en fait, ça se vérifie sans souci en utilisant les résultats des questions 6a et 3.

totem

Je me bats avec " soient (k, k') 2 entiers naturels. Montrer que 4k' - k² congru à 0 ou -1 [4].
Je pense qu'il faut distinguer le cas ou k est pair, ou il est impair donc k² pair , ou k² impair; peut être le cas ou k' est un multiple de 4...peu convaincant !

Louis007

4k' est toujours congru à 0 modulo 4. donc le problème revient à prouver que k² est congru à 0 ou 1 modulo 4.
Disjonction des cas suivant la parité de k.
1er cas: si k pair alors k² = (2n)² = 4n² congru à 0 modulo 4.
2ème cas: si k est impair alors k² = (2n +1)² = 4n² + 4n + 1 congru à 1 modulo 4
fin

Chopchop

Eh bien, déjà, le $4k'$ il dégage, et ensuite fais un tableau, pour voir : si $k$ est congru à $i$ modulo $4$, à quoi est congru $k^2$ (pour $i$ allant de $0$ à $3$).

totem

Merci ! question niveau capes ....

mulan0

Ben j'aurai même dit niveau terminale....
Il suffit de faire des congruences, programme de TS spé....

Shplouf0

Ah oui, la cardinal de S20 est 2, j'ai compté les classes de [2,-2,3] et [2,2,3] comme deux classes différentes
Shit , j'espère qu'ils mettront quand même des points

Piotr

@Shplouf : je crois bien que [2,-2,3] n'est pas une forme réduite ! (cf condition R2)
Ce serait étonnant qu'ils ne mettent pas de points si tu as seulement oublié cette condition, en effet :-)

Bonne journée,
Piotr

bzh450

Bonjour,

j'invite les lecteurs de ce fil à regarder (accessible sur le site de l'ups par exemple) les ressemblances entre ce sujet et le sujet Maths 2 de Ulm en 1985.
Vous constaterez au passage qu'il y avait moins de questions intermédiaires pour guider, dans le sujet d'Ulm.....

A méditer pour la préparation de l'agreg et le fait de s'entrainer sur des sujets ENS.

patrice9

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver ce sujet de 1985.

Aurais tu un lien stp?

Merci

bzh450

Tu vas sur ce site :

http://concours-maths-cpge.fr

Tu cliques sur le bouton de connexion au moteur de recherche et tu rentres les paramètres suivants :

année 1985,
concours ENS Paris,
filière MP(ex M),
matière mathématiques,
épreuve 2.

cordialement

patrice9

merci pour le lien

tu as bien raison : il faut bien s'entrainer sur des sujets d'ens ...

totem

Quelqu'un a-t-il déjà fait le 2ème sujet CAPES 2008 sur l'arithmétique ?
C'est moi ou on dirait un sujet d'agreg de maintenant ?
Il est plutôt ardu...mais il est vrai que c'était en 2008 !

ev

Euh ? ça ne joue pas dans la même division.

Un beau sujet en première lecture, par ailleurs.

e.v.

totem pas chez lui

@ev : c'est ce sujet. Je trouve certaines questions très difficiles pour qui n'est pas fort en arithmétique (donc pour moi) mais bon...ça n'engage que moi !

mordicus_vi

Sujet très intéressant, c'est l'année où j'ai été admis 15,2 sur cette épreuve, je suis pas peu fier... mais je peine toujours à obtenir l'agrégation y compris maintenant... !

totem

@mordicus: merci pour l'info et bravo. Te souviens-tu quelle fraction tu avais fait de ce sujet ?
J'ai bien fait de pas passer l'agreg vu comme je galère sur un "simple" sujet de capes !

mordicus_vi

La moitié à peu près, mais je sortais alors tout juste des études, tout était encore bien frais.

Je pense que c'est un très mauvais calcul de ne pas passer l'agreg sous le seul prétexte que tu galère sur un sujet qui n'est pas simple d'ailleurs ! Songe que lorsque tu es devant ton épreuve pendant les 6 heures, tu es une autre personne ; tu es capable de te surprendre !

Il faut que tu tentes, il faut commencer par s'y remettre avec des bouquins de prépa, faire quelques exercices de ces livres et au fur et à mesure en venir à des sujets de capes, puis agreg, et Y CROIRE !

Ne te décourage pas, ça vaut le coup

totem ailleurs

Oui tu as raison, mais il faut tout de même être réaliste. Le capes avant l'agreg de toutes façons.
Cela dit, les sujets actuels de capes sont beaucoup plus faciles qu'avant et que celui là alors...!

ev

Entièrement d'accord avec Mordicus !

La difficulté d'une épreuve de concours n'a aucun intérêt.
Il faut passer la barre.
Un point c'est marre.

e.v.

Sisbai

Bonjour

Je suis en train de faire le sujet (pour m'entretenir !).
Ca fait bien longtemps que je n'ai pas bossé les formes quadratiques.

Quelqu'un aurait une petite aide à me donner pour la question 8 ?

Est-ce que le k est exprimable en fonction de a, b et c ? Ou la démonstration est-elle non constructive ?

Merci d'avance !

Siméon

Indication : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Ou sinon, tu peux aussi "diagonaliser" la forme quadratique.

Sisbai

J'ai pas réussi à exploiter les normes de matrices.
Je vais recreuser la question.

Merci @Siméon.

bzh450

Tu peux aussi penser au fait que q est polynomiale donc continue donc bornée et atteignant son minimum sur la sphère unité qui est compacte ...

Siméon

@Sisbai : Il ne s'agit pas de normes de matrices. Toute forme quadratique définie positive sur $\R^2$ induit naturellement une norme euclidienne sur $\R^2$.

@bzh45 : c'est essentiellement comme ça qu'on montre l'équivalence des normes.

Sisbai

@Siméon : olala oui, j'ai bien fait de pas trop creuser ses normes de matrices...

Si j'y vois clair (ce qui est loin d'être sur), en posant pour tout $e \in E, N(e) = \sqrt{q(e)}$, on définit une norme sur $E$ (grâce au fait que $q$ est définie positive).
Comme les normes sont équivalentes en dimension finie, il existe $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que, pour tout $e \in E$ on a : $a.||e|| \leq N(e) \leq b.||e||$. D'où l'existence de $k=a^2>0$ tel que $q(e) \geq k.||e||^2$.

Siméon

@Sisbai : c'est ça ! cet argument théorique permet de conclure très rapidement.

On pouvait aussi faire quelques calculs pour répondre à la question, en utilisant le fait que si $q$ est définie positive, alors $a > 0$, $c > 0$ et $\eta = \sqrt{\frac{b^2}{4ac}} < 1$.

L'inégalité arithmético-géométrique montre en effet que $b\,|xy| = 2\sqrt{a\eta\,x^2} \sqrt{c\eta\,y^2} \leq a\eta\, x^2 + c\eta\, y^2$, d'où on en déduit la "diagonalisation"
$$
ax^2 + bxy + cy^2 \geq a x^2 - b |xy| + c y^2 \geq a (1-\eta) x^2 + c (1 - \eta) y^2
$$
qui montre qu'on peut prendre $k = \min(a,c) (1-\eta)$.

Sisbai

C'est cette 2ème méthode que j'ai le plus exploiré mais sans succès.
Je faisais des majorations insuffisament fines.
Ca a l'air jolie ! Je regarderai en détails ce soir.

Merci pour tout ;-)

bzh450

Siméon écrivait:

---

> @bzh45 : c'est essentiellement comme ça qu'on
> montre l'équivalence des normes.

Oui, je sais, mais pour fournir une réponse autonome et concise à la question 8, il me semble plus rapide d'écrire :
$q(x)\geq k\gt 0$ pour tout x de norme 1 donc $q(\frac{e}{||e||})=\frac{q(e)}{||e||^2}\geq k$ et c'est terminé.

Maintenant, si on est sûr que les correcteurs acceptent sans démonstration que la racine d'une fq définie positive définit une norme, je suis d'accord que c'est pas plus court, mais dans le doute...

Sisbai

Effectivement très jolis calculs ! J'aime bien car on peut donner explicitement la valeur de k.

Merci également @bzh45. A vous deux vous m'avez donné envier de refaire la démo de l'équivalence des normes en dim finie et du th de Riez, que j'adore !

a+

nesssnousss

Je déterre le sujet car je bosse dessus en ce moment.

Est-ce que quelqu'un a un corrigé pour cette épreuve?

J'ai trouvé pour l'EP2 mais rien pour l'EP1.

Merci d'avance pour votre aide

did63

Page 34 du rapport de jury

nesssnousss

Merci Did63

Je n'ai pas pensé à regarder le rapport. Je croyais qu'il n'y avait que des indications succinctes mais c'est très détaillé en effet.

Encore merci!