Polynôme minimal d'un élément algébrique

Re-bonjour, je cherche un algorithme pour trouver, dans le cas général, le polynôme minimal d'un élément algébrique. Par exemple, trouver le polynôme minimal de $b=a + \sqrt{a}$ sur le corps $\mathbb{Q}(a)$ si $a$ est une racine 5-ième de l'unité.

Il y a bien une technique qui consiste à calculer des puissances de $b$ et voir apparaître une relation mais ce n'est guère satisfaisant. Si quelqu'un a une méthode générale ou un article expliquant ceci ça m'intéresse grandement.

Réponses

  • Le polynôme minimal de $\sqrt{a}$ n'est pas très difficile à trouver, et de là celui de $a+\sqrt{a}$ ...
  • Je connais une méthode empirique (mais une fois que tu as obtenu le polynôme minimal tu peux vérifier directement que le nombre donné annule bien ce polynôme) qui permet de trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique mais malheureusement cette méthode, à ma connaissance, ne marche que si on s'intéresse à des nombres algébriques réels sur $\mathbb{Q}$

    L'exemple donné ci-dessus à l'air compliqué mais si on s'autorise à introduire des combinaisons linéaires de puissances de $a$ dans le corps de base où vivent les coefficients du polynôme cherché, tout de suite, cela simplifie grandement la tâche. :-)


    PS:
    Il me semble qu'il y a une incertitude sur ce qu'est $\sqrt{a}$ si $a$ est une racine cinquième, même précisée, de l'unité.
  • Je sais faire dans le cas où a=1 (:P)
  • $\sqrt{a}+a$ annule bien $(x-a)^2-a$ sauf erreur, et ce polynôme est bien un élément de $\mathbb{Q}(a)$

    En toute rigueur, il faudrait se demander si $\sqrt{a}+a$ n'est pas un élément de $\mathbb{Q}(a)$ B-)-
  • Si $a$ est une racine 5-ième de 1, ses racines carrées sont
    $-a^3,a^3$
  • Et le polynôme minimal de $\sqrt{a}+a$ sur $\mathbb{Q}(a)$ serait donc.... $x-\sqrt{a}-a$ :-D

    (à supposer qu'on sache précisément ce qu'est $\sqrt{a}$)
  • Peu importe quelle racine 2ième de $a$ est $\sqrt a$ (on en choisit une) dans les deux cas $\sqrt a$ est dans $\Q(a)$ donc
    $a+\sqrt a$ est aussi dans $\Q(a)$ ce qui équivaut à dire qu'il est algébrique de degré 1 sur $\Q(a)$
  • AP:
    Quand on utilise la notation $\sqrt{a}$, sans autre précision, on est censé désigner un unique objet.
    Mais dans le cas d'espèce, comme tu l'as fait toi-même remarquer, cette notation ne désigne pas un objet mais deux.
    C'est embarrassant mais je suis bien d'accord (je n'ai jamais contesté ce fait) que si on prend l'un ou l'autre de ces objets cela ne change rien au fait que $a+\sqrt{a}$ appartient à $\mathbb{Q}(a)$
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