minimisation sur les définies positives

P

Si $P$ est le cône des matrices symétriques définies positives d'ordre $n$, soit $D\in P$ diagonale et $V\in \R^n$. Je n'arrive pas à calculer $$\min_{A\in P}V^tA^{-1}V\times \text{trace}(AD).$$ Peut être quelqu'un a-t-il une idée ?

C'est pour trouver le dual du cône des matrices définies positives d'ordre $n+1$ de la forme $ \left[\begin{array}{cc}A&b\mathbb{1}\\b\mathbb{1}^t&a\end{array}\right]$ quand $a>0$, $b$ réel et $A\in P$ ($b\mathbb{1}$ est le vecteur colonne d'ordre $n$ dont toutes les composantes sont égales à $b$), Cette question est issue d'un problème de statistique.

zephir

Bonsoir P.
Essaie d'écrire $A=R\Delta R^{-1}$, où $R$ est orthogonale et $\Delta$ est diagonale, à diagonale strictement positive.
Puis cherche le minimum sur $\Delta$ à $R$ fixé.

P

Pas mal, merci beaucoup, ca marche avec Schwarz. Mais je dois réfléchir pour minimiser en $R.$ Merci encore.