Calcul d'une somme

Bonjour, je voudrais montrer avec des outils élémentaires donc sans utiliser le fait que Z/pZ est un corps que si p est un nombre premier > 3 alors
(p-1)! + (p-1)!/2 + (p-1)!/3 + ... + (p-2)!
est un multiple de p² .
Merci de me donner quelques indications svp.

Réponses

  • En fait j'ai ouvert cette discussion dans le forum arithmétique qui me semble plus approprié et je ne parviens pas à la supprimer du forum algèbre.

    [C'est fait ! Greg]
  • Wolstenholme, non ?
  • Ok pour Wolstenholme, mais je voulais ce résultat pour démontrer au final le théorème de Wolstenholme .Donc non.
  • En fait il faut prouver que lorsqu'on a : $ \displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}\frac{1}{k}=\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb N^*$ et $b \in \mathbb N^*$ alors $a$ est multiple de $p^2$.

    Première étape : soit $p=2m+1$, $m\geq 2 $. Alors $ \displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}\frac{1}{k}=\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k})=\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{p}{k(p-k)}$. Ce qui prouve déjà que $a$ est multiple de $p$.

    Ensuite, l'idée est de dire que modulo $p$ les $\frac{1}{k(p-k)}$, où $k$ décrit $\{1,2,...,m\}$, ce sont les $-\frac{1}{k^{2}}$. Les inverses mod. $p$ des $k^{2}$, $k=1,2,...,m$, ce sont ces mêmes $k^{2}$, $k=1,2,...,m$ (dans un a utre ordre), en sorte que leur somme c'est : $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}k^{2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$, qui est divisible par $2m+1=p$.

    Et c'est tout ... sauf qu'il reste à mettre tout ça au propre.

    Si ma mémoire est bonne c'est expliqué dans Hardy & Wright.

    Bonne soirée.
    R.
  • ok merci beaucoup
  • Rien ne t'empêche de suivre une démo "élémentaire" de Wolstenholme.

    Par exemple en $4$ étapes. Je note $H_n$ le $n$-ème nombre harmonique.

    1. En groupant deux par deux les termes extrêmes de la somme (le premier avec le dernier, etc), vérifie que
    $$(p-1)! H_{p-1} = p \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(p-1)!}{k(p-k)}.$$
    2. Avec Wilson, montre que, pour tout $k \in \{1,\dotsc,p-1\}$, on a
    $$ \frac{(p-1)!}{k(p-k)} \equiv (k^2)^{-1} \pmod p.$$
    3. On a clairement
    $$\sum_{k=1}^{p-1} (k^2)^{-1} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} k^2 \equiv 0 \pmod p.$$
    4. Enfin, d'après l'étape 2
    \begin{eqnarray*}
    2 \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(p-1)!}{k(p-k)} & \equiv & 2 \sum_{k=1}^{(p-1)/2} (k^2)^{-1} \pmod p \\
    &\equiv & \sum_{k=1}^{(p-1)/2} (k^{-1})^2 + \sum_{k=1}^{(p-1)/2} (-k^{-1})^2 \pmod p \\
    & \equiv & \sum_{k=1}^{(p-1)/2} (k^{-1})^2 + \sum_{k=(p+1)/2}^{p-1} (k^{-1})^2 \pmod p \\
    & \equiv & \sum_{k=1}^{p-1} (k^{-1})^2 \equiv 0 \pmod p
    \end{eqnarray*}
    d'après l'étape 3. Comme la somme en question n'est pas paire, on a donc
    $$\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(p-1)!}{k(p-k)} \equiv 0 \pmod p$$
    ce qui conclut.

    Attention à l'usage du vocable "élémentaire" : en arithmétique, il désigne souvent un raisonnement n'utilisant par la variable complexe.

    Ceci t'est-il utile ?
  • Oui c'est à peu près comme ça que c'est expliqué dans Hardy Wright si ma mémoire est bonne (j'ai la flemme de vérifier ...) . Mais ces congruences entre des nombres qui ne sont pas des entiers, ou bien il faut les définir sérieusement, ou bien il faut trouver une rédaction qui les évite.
    Mon idée est de poser comme dans mon précédent message pour $k\in \{1,2,...,m\}$ : $k^{2}r_{k}\equiv 1 (\mathrm{mod}.p)$, avec $r_k$ entier.
    Les $r_k$ sont distincts $\mathrm{mod}.p$, en sorte que : $ \displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}r_{k}\equiv \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}k^{2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\equiv 0 $$(\mathrm{mod}.p)$.
    Il en résulte : $ \displaystyle \frac{1}{k(p-k)}=\frac{k^{2}r_{k}+pv_{k}}{k(p-k)}=r_{k}+\frac{pw_{k}}{k(p-k)}$, d'où : $ \displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{k(p-k)}=pq+p\underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{w_{k}}{k(p-k)}$, où bien sûr $v_k$, $w_k$, $q$ sont des entiers.
    Et là, il ne reste plus grand'chose ...
    Bone soirée.
    R.
    12/02/2015
  • Ok merci c'est bon j'y suis arrivé.Dur sans indication.C'est un dm de classe prépa, je ne vois pas comment on peut y arriver sans aide...Je vais pouvoir mettre mon fils au travail.
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