Normes de Ky Fan

P

Je me souviens de Ky Fan, petit homme rond et sympathique qui parlait un excellent francais. Je viens d'écouter un conférencier, qui utilisait les normes éponymes. Un exemple dans $\R^3$: si $X=(x,y,z)\in \R^3$ on note $|x_1|\geq |x_2|\geq |x_3|$ avec $\{|x_1|,|x_2|, |x_3|\}=\{|x|,|y|,|z|\}.$ On note $N_2(X)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}.$ Le conférencier utilisait la norme duale: si $U=(u,v,w)$ alors $N_2^*(U)=\max(ux+vy+wz; N_2(X)\leq 1\}.$ Question, quelle est la valeur de $N_2^*(U)$ en fonction de $(u,v,w)?$ Le conférencier ne le savait pas, moi non plus, mais peut être quelqu'un du forum le sait.

MrJ

Je suppose que tu voulais écrire $N_2(X)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$. Si c'est le cas, on a
$N_2^\ast (U)=\sqrt{u^2+v^2+w^2}$, c'est une application de Cauchy-Schwartz.

Gromp

@MrJ: Quel intérêt d'ordonner les composantes de telle sorte que $|x_1| \ge |x_2| \ge |x_3|$ si c'est pour définir une norme qui ne dépend pas de cet ordre ? Je pense que P voulait écrire ce qu'il a écrit.

MrJ

Oui, c'est vrai. Désolé.

remarque

Sauf erreur, la boule en ressemble à ceci (modulo les petites imperfections graphiques).

remarque

allez, en travaillant un peu plus.

P

C'est ravissant. Ton logiciel peut il en déduire la boule unité du dual?

JLT

Je n'ai pas regardé en détail mais je soupçonne que si $u\geqslant v\geqslant w\geqslant 0$ alors le maximum est atteint pour $(x,y,z)=\lambda(u,v,v)$ pour $\lambda=(u^2+v^2)^{-1}$, et que $N_2^*(U)=\dfrac{u^2+v^2+|vw|}{\sqrt{u^2+v^2}}$.

P

Hum, très joli. Et si on travaille sur $\R^n$ avec la norme $N_{k,n}(X)=(x_1^2+\cdots+ x_k^2)^{1/2}$ du vecteur $X$ dont les composantes décroissantes sont $|x_1|\geq|x_2|\ldots\geq |x_n|$ tu es en train de nous dire que si $|u_1|\geq|u_2|\ldots\geq |u_n|$ alors
$$N_{k,n}^*(U)=\frac{1}{\sqrt{u_1^2+\cdots+u_k^2}}(u_1^2+\cdots+u_k^2+|u_k|(|u_{k+1}|+\cdots+|u_n|)?$$

JLT

Enfin, il y a une étape que je n'ai pas vérifiée, même pour $n=3$, donc c'est à prendre avec des pincettes...

remarque

P écrivait:

---

> C'est ravissant. Ton logiciel peut il en déduire la boule unité du dual?

Hélas non, ceci a été méticuleusement fait entièrement à la main.

AD

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1054705,1055427#msg-1055427
[size=x-small]Monseigneur n'a-t-il pas vu qu'il y avait aussi un autre volume à dessiner là bas ?[/size]
Alain :-D

remarque

@AD : [small]ah non, j'l'avions point vu. Mais il me semble plus difficile à faire avec mes petits moyens manuels que la boule de Ky Fan.[/small]