Une fonction farfelue...

FlawlessBoy

Bonjour

J'aimerais avoir vos pistes pour étudier autour de $0$ la fonction suivante. $$ f(x) = \dfrac{x^{(x^x)} \ln(x)}{x^x - 1}$$ J'ai essayé en remplaçant $x^x$ par $e^{x \ln(x)}$ et en trafiquant, mais rien pour l'instant qui m'aide vraiment ...
Merci !

GreginGre

Au débotté, faut faire des DL en $u=xln(x).$

FlawlessBoy

En utilisant $e^{xln(x)} = 1 + x ln(x) + xln(x)\epsilon (x)$ (où $\epsilon (x) \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow 0$) et en calculant un peu, j'ai trouvé :

$\displaystyle{f(x) = \dfrac{e^{x ln^2(x)(\epsilon (x) + 1)}}{1 + \epsilon(x)}}$
et donc $f(x) \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow 0^+$.

C'est ça ?

jean lismonde

bonjour

tu sais que $x^x$ tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $0$ à droite (par valeurs positives)

donc ta limite est celle lorsque $x$ tend vers $0$ à droite du rapport $$\frac{x.lnx}{x^x - 1}$$

tu utilises maintenant ton développement limité et ta limite devient celle du rapport $\frac{xlnx}{xlnx}$ soit $1$

cordialement

FlawlessBoy

Ok Merci Messieurs !