Matrices semblables

Bonsoir,

J'ai une question d'algèbre linéaire sur la réduction.

Je dispose de deux matrices $A$ et $B$ que j'ai décomposé comme comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Il se trouve que les matrices symétriques qui apparaissent dans la décomposition sont semblables et que les matrices antisymétriques sont égales.

Ma question est la suivante : est-ce que les matrices $A$ et $B$ sont semblables elles aussi ?

La question que je me pose est dans $\mathcal{M}_{2} \left( \mathbb{R} \right)$ mais cela n'a peut-être pas d'importance...

Merci à tous pour votre aide,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Ce n'est pas vrai. Voici un contre-exemple :
    $$A=\begin{bmatrix}0&0\\0&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}~~~~\text{et}~~~~B=\begin{bmatrix}0&2\\0&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.$$


    EDIT : Désolé, j'ai fait une petite erreur.
  • Bonsoir MrJ,

    Je te remercie pour ton aide !

    En fait, à force de ne pas trouver de contre-exemple, je finis par penser que c'est vrai...

    $\alpha$-Nico
  • Notons $M=S_1+A$ et $N=S_2+A$ avec $S_1,S_2\in M_2(\mathbb{R})$ symétriques et semblables et $A\in M_2(\mathbb{R})$ antisymétrique. Alors, on peut montrer qu'il existe $P\in O_2(\mathbb{R})$ tel que $S_2= PS_1 P^{-1}$. D'autre part, la matrice $PAP^{-1}$ est encore antisymétrique et elle a le même déterminant que $A$. On en déduit que $PAP^{-1}=A$ et par la suite, $PMP^{-1}=N$.
  • Bonjour MrJ,

    Les deux matrices $A$ et $PAP^{-1}$ sont toutes les deux antisymétriques, disons :
    $$ A = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha & 0 \end{bmatrix} $$
    et
    $$ PAP^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & \beta \\ -\beta & 0 \end{bmatrix} $$
    Dire que leurs déterminants sont égaux donne simplement que $\alpha^{2}=\beta^{2}$,
    mais cela n'implique pas forcément que les deux matrices sont égales : elles peuvent aussi être opposées, non?
  • Je suis désolé, tu as raison.

    Voici une correction.
    On peut montrer que l'on peut choisir $P\in SO_2(\mathbb{R})$. Dans ce cas, on remarque que $P$ commute avec ta matrice antisymétrique (car c'est un multiple de la rotation d'angle $\pi$), donc $PAP^{-1}=A$. Normalement, cette fois-ci, cela marche.
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