Une intégrale à paramètre, récalcitrante

Rouletabille

Bonjour.

J'essaie de mettre au point un exercice visant à étudier l'intégrale : $g(x)=\int_{0}^{+\infty }e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt$ pour $x\in [0,+\infty [$, dans le cadre des programmes actuels de Math Spé (qui sur ce point ne me semblent pas différer notablement des précédents).

L'idée est d'écrire : $f(x,t)=e^{-xt}\frac{\sin t}{t}$ pour $(x,t)\in [0,+\infty [\times [0,+\infty [$, et : $g^{\prime }(x)=\int_{0}^{+\infty } \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt=-\int_{0}^{+\infty }e^{-xt}\sin tdt$. Ainsi, $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^{2}+1}$, d'où : $g(x)=\frac{\pi }{2}-\arctan x$ et in fine : $\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{t}=g(0)=\frac{\pi }{2}$.

Le malheur c'est que ça ne marche pas pour $x=0$ puisque les théorèmes de domination exigent des fonctions intégrables, et que $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ ne l'est bigrement pas.

Avec le théorème de dérivation qu'on trouve en p. 22 du programme MP
http://prepas.org/ups.php?article=56
tout ce que je peux prouver ce sont ces égalités : $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^{2}+1}$ et $g(x)=\frac{\pi }{2}-\arctan x$ pour $x\in ]0,+\infty [$. Il est clair que $\displaystyle \underset{x\rightarrow 0,x>0}{\lim }g(x)=\frac{\pi }{2}$, mais rien ne dit que cettte valeur est $g(0)=\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt$, ce qui ampute l'exercice de presque tout son intérêt.

J'avais tout de même deux idées, qui reviennent un peu au même, pour prouver la continuité de $g$ sur $[0,+\infty [$.

La première est de poser : $g_{1}(x)=\int_{0}^{\pi }e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt$ et $g_{2}(x)=\int_{\pi }^{+\infty }e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt$. La fonction $g_1$ est évidemment continue pour $x\in [0,+\infty [$, et quant à la fonction $g_2$, on la rend absolument convergente par l'intégration par parties classique, et là on peut appliquer les fameux théorèmes.

Seconde idée : sans couper en deux, faire une intégration par parties avec une constante de primitivation idoine, toujours pour rendre l'intégrale absolument convergente dans l'esprit de : $\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt=\int_{0}^{+\infty }\frac{1-\cos t}{t^{2}}dt$.

Il me semble que cela permet de conclure, mais au prix de calculs vraiment trop compliqués, et qu'il serait quasi-impossible de faire tenir dans une heure de colle.

Auriez-vous mieux ? D'avance merci.
R.
25/01/2015

josé

Bonsoir,
je n'ai personnellement pas mieux que ta première idée : couper l'intégrale et faire une IPP sur le second morceau. Une petite idée pour alléger un peu les calculs dans l'IPP :
remarquer que $g_2(x)$ est la partie imaginaire de $\quad\displaystyle \int_{\pi}^{+\infty}\dfrac{e^{-(x-i)t}}{t}dt$

bosio frederic1

Une idée, mais je n'ai pas regardé si elle marche : Ecrire $g(0) - g(x)$ comme $$\int _{{\mathbb R }_+ } \frac{1 - e^{-xt}}{t} \cdot \sin t \: dt $$ Ensuite, avec les propriétés de la fonction $\dfrac{1 - e^{-xt}}{t}$ (elle décroit de $x$ à $0$), montrer classiquement que $g(0) - g(x)$ tend bien vers $0$.

Rouletabille

Merci pour ces avis. Si l'on garde l'une ou l'autre de mes deux idées, les calculs sont quand même pénibles.
Moi non plus je n'ai pas finalisé l'idée de bosio frédéric, mais je vais m'y mettre.
Bonne journée, bonne semaine.
R.

taupin_malin

On peut aussi introduire $\varphi$, la primitive de $\sin t/t$ qui s'annule en $0$ (après prolongement par continuité).
On montre que pour tout $x>0$, $g(x) = \int_0^{+\infty}\varphi(t)xe^{-xt}dt$ (intégration par parties).

Le changement de variable $u=xt$ puis le théorème de convergence dominée permettent de montrer que
$g(0)=\frac{\pi}{2}$.

Siméon

On peut adapter la preuve du théorème d'Abel.

Posons $f(t) = \dfrac{\sin(t)}{t}$ et $F(T) = \int_0^T f(t) dt$. On sait (ou on prouve) que la limite $\ell = \lim\limits_{T \to +\infty} F(T)$ existe.

L'étape-clef consiste à prouver (en intégrant par parties) que pour tout $T >0$ on a $$\displaystyle \int_T^\infty e^{-xt} f(t) dt \leq 2 \sup_{t \geq T} |F(t) - \ell|.$$

Le reste est routinier.

Edit : c'est essentiellement la même chose que ce que propose taupin_malin, mais sans utiliser la convergence dominée. En échange, on obtient des bornes sur la vitesse de convergence.

Rouletabille

Merci pour ces nouvelles pistes.
1) Toutefois, je n'ai pas réussi à finaliser la suggestion de bosio frédéric.
2) La suggestion de taupin_malin est tout à fait ce qu'il me faut. Sa fonction $\varphi$ étant bornée sur $\mathbb R$, c'est parfait.
3) Par contre, je ne vois pas bien la méthode de Siméon. Je suis toujours intéressé par une démonstration qui n'utilise pas la convergence dominée, quoique présentement mon souci de la semaine soit de présenter aux taupins que je colle (plus ou moins malins) des exercices qui l'utilisent, cette convergence dominée. Il faudra que je regarde ça de plus près.

jandri

Bonjour,

Je comprends la suggestion de bosio frédéric comme cela.
On considère la série de terme général $u_n=\displaystyle\int _{n\pi} ^{(n+1)\pi} (1 - e^{-xt})\frac{ \sin t}{t} \: dt$.
C'est une série alternée qui vérifie les hypothèses du théorème spécial puisque la fonction $t\mapsto \dfrac{1 - e^{-xt}}{t}$ est décroissante.
La somme de la série est bien égale à $g(0)-g(x)$ et on en déduit que $0\leq g(0)-g(x)\leq \displaystyle\int _0 ^{\pi} (1 - e^{-xt})\frac{ \sin t}{t} \: dt\leq (1-e^{-x\pi})\int _0 ^{\pi} \frac{\sin t}{t} \: dt$ qui tend vers 0 quand $x$ tend vers 0.

aléa

Dans notre bouquin, avec Aline Kurtzmann, on a procédé comme ça: on a posé $g_n(x)=\int_{0}^{n}e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt$ pour $x\in [0,+\infty [$. Il est facile devoir que $g_n$ est continue et que la suite $g_n$ vérifie un critère de Cauchy uniforme (IPP, on procède comme Siméon), donc $g$ est continue. Est-ce que c'est math-spé compatible ?

jandri

La notion de suite de Cauchy (et donc le critère aussi) a disparu des programmes de spé à la rentrée 2014.

On peut utiliser la suggestion de taupin_malin.
$g(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u}\varphi\left(\frac ux\right)du$ où $\varphi$ est la primitive de $t\mapsto\dfrac{\sin t}t$ qui s'annule en 0.

On utilise la caractérisation séquentielle de la limite:
pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers 0 (avec $x_n>0$), la suite $g(x_n)$ converge vers la limite en $+\infty$ de $\varphi$ (par le théorème de convergence dominée), donc $g$ admet cette limite en 0.

aléa

" (et donc le critère aussi) "

Oui, mais on n'a pas vraiment besoin du critère de Cauchy, seulement de l'inégalité.
La convergence des $g_n$ étant connue, on déduit de l'inégalité de Cauchy uniforme la convergence uniforme, qui est ce qui nous manque (fixer $n$, faire tendre $p$ vers l'infini)

bosio frederic1

Ce que je voulais dire, c'est qu'en posant $f_x (t) = \dfrac{1-e^{-xt}}{t}$, on obtient par intégration par parties
$$g(0) - g(x) = \big[-f_x (t) \cos t\big]_0 ^{\infty } + \int_0 ^{\infty } f_x ' (t) \cos t \: dt$$
$\big[-f_x (t) \cos t\big]_0 ^{\infty } = x$ et en valeur absolue, $\int_0 ^{\infty } f_x ' (t) \cos t \: dt$ est inférieure à $\| f_x ' \| _1 $ qui vaut aussi $x$.

jandri

@ bosio frédéric:
Effectivement c'est plus rapide que d'introduire une série!

@ aléa:
Ta démonstration est bien conforme au programme de math-spé en majorant $|g(x)-g_n(x)|$ comme l'a fait Siméon ce qui donne bien la convergence uniforme de la suite $(g_n)$ pour $x\geq0$.