Produit en croix et proportionnalité en 4ème

Bonjour à tous,

J'aimerais cette année expliquer avec des mots très simples aux élèves de 4ème le fait qu'une égalité de fractions du types a / b = c / d traduisent une situation de proportionnalité, et donc que l'égalité des produits en croix avec des fractions (a * d = b * c) est en lien avec celle effectuée dans un tableau de proportionnalité.

Cependant, je n'arrive pas à faire quelque chose de concis et clair.
Votre aide serait la bienvenue.
En vous remerciant par avant,

PrOf.

Réponses

  • En 4ème?
    Il me semble que les collégiens sont déjà bien avancés sur ce sujet déjà en 6ème (situation et tableau de proportionnalité)
  • Bonjour PrOf.

    Effectivement, vu ce qu'ils ont déjà fait, il me semble que la définition d'une fraction montre tout de suite que l'égalité de deux fractions révèle une situation de proportionnalité.

    Cordialement.
  • bonjour,
    tu peux considérer l'égalité

    ad=bc

    (ad-bc=0)

    et diviser les deux membres par le produit bd
  • Je voyais ca comme un rappel.
    Je vais, à l'oral, leur présenter les choses ainsi.
    On considère un quatres nombres relatifs non nuls et le tableau suivant
    a c
    b x
    Ce tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on multiplie les nombres de la première ligne par un même nombte k non nul pour obtenir ceux correspondants sur la deuxième.
    donc k = b / a et on a les égalités b / a = x / c (égalités de fractions).
    D"après la propriété é de l'égalité des produits en croix, on a a * x = b * c (il y a donc équivalence entre égalité des produits en croix et tableau de proportionnalité).
    Ce qui permet de trouver la valeur de la 4ème proportionnelle, soit x = b * c / a.

    Qu'en pensez-vous ?
  • Pourquoi pas comme ceci ?

    a c est proportionnel à ab cb
    b d est proportionnel à ab ad

    D'où la condition cb = ad
  • J'ai regardé le programme de mathématiques de 4ème et je vous recopie ci-après les passages où j'ai pu identifier la notion de proportionnalité (cette notion est transverse à tous les niveaux de classe au collège)

    1. Organisation et gestion de données, fonctions
    1.1 Utilisation de la proportionnalité Quatrième proportionnelle.

    .2. Proportionnalité
    Représentations graphiques.
    Capacités :
    -* Utiliser dans le plan muni d’un repère, la
    caractérisation de la proportionnalité par
    l’alignement de points avec l’origine.

    2. Nombres et Calculs
    . l’équivalence entre
    a/b=c/d et ad = bc (b et d étant non nuls)


    3. Géométrie
    Triangle rectangle : cosinus d’un
    angle.
  • Pour la recherche d'une quatrième proportionnelles, j'avais l'impression que la mode (?) était dans l'utilisation d'un tableau de 4 cases. On remplit les cases du tableau sauf celle qui est inconnue. On fait le produit des deux nombres qui sont dans la diagonales où les deux nombres sont connus, puis on divise par le troisième nombre connu.

    En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
  • Des égalités, en rafale, du type a/b=c/d=constante, permettent d'introduire "expérimentalement" le cosinus d'un angle aigu.
    (je ne comprends pas très bien le programme pour l'introduction du cosinus, il n'y a pas de recommandation sur cette question, si j'ai bien lu)

    C'est ce qui était pratiqué quand j'avais à enseigner cette notion... il y a longtemps. :-D
  • Je pense que l'idée est d'introduire le cosinus d'un angle comme le coefficient de proportionnalité d'un tableau composé des longueurs dans une configuration "Triangle" de Thalès (égalité des rapports).
    Qu'en pensez-vous ?
  • Disons plutôt que si $\alpha$ est un angle, alors pour tout triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que $\widehat{BAC}=\alpha$, le rapport $AB/AC$ ne dépend que de $\alpha$ et non du choix du triangle. On le définit comme le cosinus de $\alpha$.
  • Comme rappelé par JLT, il faut travailler dans des triangles rectangles.

    Il faut considérer la projection orthogonale sur l'une des deux demi-droites mises en jeu. Une projection selon une direction qui n'est pas orthogonale à la demi-droite sur laquelle on veut projeter ne donnerait pas un coefficient de proportionnalité qui soit le cosinus de l'angle entre les deux demies-droites, sauf erreur. :-D

    PS:
    Je me souviens très bien que l'activité proposée par le livre que j'utilisais alors commençait par mettre en évidence "expérimentalement" l'invariance des rapports des segments puis ("réciproquement"), il fallait compléter un tableau de proportionnalité. B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Oui, J'avoue y avoir pensé au triangle rectangle mais avoir omis de le préciser.
  • Bonjour,

    On peut utiliser un tableau de proportionnalité comme
    a  ; b
    ak ; bk
    
    Et comparer a*bk et ak*b.
    Une élève brillante (4e) m'a fait remarquer aussi qu'on pouvait l'illustrer par une égalité d'aire de deux rectangles dans la représentation graphique (facile à prouver en 4ième et visuel).
    On peut rappeler que le résultat de a*bk n'a pas de sens : on ne peut pas l'interpréter comme une chose du problème concerné. Ca permet aussi pour les classes antérieures de revenir au bon sens, plutôt qu'à la technique servie toute cuite du produit en croix (beaucoup d'élèves l'utilisent avant la 4ième): autant avec du bon sens on peut interpréter tous les calculs (on sait ce que l'on calcule, comme le prix au kg, le prix pour le double de, etc...), autant le produit en croix ne peut pas être interprété (on ne peut pas rédiger "je calcule ceci ou cela").
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