Z/nZ et localisé...

Laurent24

Bonjour à tous,
Quelqu'un peut-il me dire (et m'expliquer) ce qu'est T^(-1)(Z/nZ) (localisé de T dans Z/nZ) avec :
S=Z \ pZ , p premier
T=cl(S) avec cl : Z--->Z/nZ le morphisme de classe surjectif
Merci d'avance...

fred

Le localisé de $\\Z$ en $S$ est tout simplement l\'ensemble des fractions $\\frac{a}{b}$, dont le dénominateur est premier avec $p$. On le note parfois $\\Z_p$. Dans cette anneau, il n\'existe plus qu\'un unique idéal maximal $p\\Z_p$ et tout les idéaux sont de la forme $p^n\\Z_p$ (c\'est un anneau de valuation discrète). De plus, il y a beaucoup plus d\'inversibles que dans $\\Z$, toutes les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont premiers avec $p$.

Ce que tu cherches doit donc être l\'image de $\\Z_p$ par la projection cl.

A bientôt

Fred

fred

Vianney

Le localisé de $\Z$ en $S$ est tout simplement l'ensemble des fractions $\frac{a}{b}$, dont le dénominateur est premier avec $p$. On le note parfois $\Z_p$. Dans cette anneau, il n'existe plus qu'un unique idéal maximal $p\Z_p$ et tout les idéaux sont de la forme $p^n\Z_p$ (c'est un anneau de valuation discrète). De plus, il y a beaucoup plus d'inversibles que dans $\Z$, toutes les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont premiers avec $p$.

Ce que tu cherches doit donc être l'image de $\Z_p$ par la projection cl.

A bientôt

Fred

Laurent24

Merci pour cett réponse rapide... j'ai un peu de mal à visulaliser la chose néanmoins !! Cet exercice nous a été donné après un théorème d'isomorphisme entre ce localisé de Z/nZ et le quotient S^(-1)A/IS^(-1)A....je vais tenter de démontrer réellement la chose, le plus rigoureusement possible..si tu as une idée là-dessus, sans utiliser d'idéal maximal ou premier, juste avec la notion de localisation et de quotient...
A bientôt,

Laurent