Coefficients de Bézout premiers entre eux

Bonjour,

Pour prolonger la question que je posais [ici], je me demande cette fois la chose suivante :

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, et $B$ l'ensemble des entiers du type $mx+ny$, où $m$ et $n$ sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Peut-on dire qu'il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que $[\![N,+\infty[\![ \subset B$ ?

Il me semble que la réponse serait positive si l'on parvenait à prouver le résultat suivant (je ne sais pas du tout s'il est vrai...) :

Soit $\ell_n$ la plus grande longueur d'un intervalle de $\mathbb{N}^*$ qui ne contient aucun entier premier avec $n$, alors $\ell_n=o(n)$.

Réponses

  • Il me semble que ton dernier résultat est vrai car s'il existe une constante c>0 telle que pour tout n il existe un intervalle [an,(a+c)n] avec a>c, constitué d'entiers non premiers avec n, alors cet intervalle contient environ cn/log(n) nombres premiers dont le produit divise n. Or, le produit est plus grand que n.
  • Merci JLT, pour cet argument très convaincant.

    Je me demande si on peut s'en sortir sans recourir au TNP ?
  • Je pense que oui. Voici une démonstration approximative (de ton dernier résultat).

    D'abord, on se ramène à traiter le cas où $n=p_1\cdots p_r$ avec $p_1<\cdots<p_r$ premiers.

    Soit $c>0$. On veut montrer que tout intervalle $X$ de longueur $m\geqslant cn$ contient au moins un entier premier avec $n$.

    Soit $X_a$ l'ensemble des éléments de $X$ qui sont divisibles par $a$. On a $|X_a-\frac{m}{a}|\leqslant 1$.

    En utilisant la formule du crible, le cardinal de $X\setminus (X_{p_1}\cup\cdots\cup X_{p_r})$ est minoré par
    $$m(1-\sum\frac{1}{p_i}+\sum\frac{1}{p_ip_j}-\cdots)-2^r=m(1-\frac{1}{p_1})\cdots(1-\frac{1}{p_r})-2^r,$$
    donc par $c(p_1-1)\cdots(p_r-1)-2^r$.

    Si $r$ est grand, alors ceci est minoré par $2c4^{r-2}-2^r>0$. Si $r$ est petit alors $p_r$ est grand donc cette quantité est également $>0$. Donc $X$ contient bien un entier premier avec $n$.
  • Des démonstrations "approximatives" comme celle-là, tu m'en donnes quand tu veux. Merci pour ton aide !
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