Ensemble presque stable par somme

Bonjour,

Je me demande si la proposition suivante est vraie... (je sèche sur le problème depuis un moment) ?

Soit $E$ une partie de $\mathbb{N}^*$ contenant au moins deux entiers premiers entre eux. On suppose que :
$\forall (x,y) \in E^2$, $x\wedge y=1 \Rightarrow x+y \in E$ .

Alors il existe $N\in\mathbb{N}^*$ tel que $[\![N,+\infty[\![ \subset E$.

Merci d'avance pour votre aide !

Réponses

  • Bonjour,

    Si on ôte $N+2$ de l'ensemble $[\![N,+\infty[\![$ (avec $N>1$), on obtient un contre-exemple.
  • Euh Pourquoi Philippe ?(Je n' ai pas saisi en quoi cela engendrait un contre exemple):-S
  • Bonjour,

    Attention, il s'agit juste d'une inclusion : $[\![N,+\infty[\![ \subset E$.
  • Ah oui zut, j'ai répondu trop vite.
    Je réfléchis de nouveau à ton problème.
  • Bonsoir,

    Si l'ensemble $E$ contient $x$ et $y$, alors il contient $x+2y$ et $2x+y$. Que peut-on en déduire ?
  • Bonjour zephir, peux-tu préciser ton idée ?
  • Quelques idées :

    1) $E$ contient deux nombres premiers impairs $p<q$.

    2) $E$ contient tous les entiers premiers avec $p$ qui sont $\geqslant pq+p$ et tous les entiers premiers avec $q$ qui sont $\geqslant pq+q$, donc tous les entiers non multiples de $n=pq$ qui sont $\geqslant n+q$.

    3) $E$ contient $4n=(2n+1)+(2n-1)$ et $5n=(3n+1)+(2n-1)=(3n-1)+(2n+1)$.

    J'ai l'impression qu'il ne doit pas être difficile de terminer, je n'ai pas poursuivi la recherche.
  • Je termine. $E$ contient $6n=(3n+2)+(3n-2)$, donc tous les entiers dans $]]3n,7n[[$.

    Avec $4k=(2k+1)+(2k-1)$, $4k+1=2k+(2k+1)$, $4k+2=(2k-1)+(2k+3)$ et $4k+3=(2k+1)+(2k+2)$, on montre par récurrence que tout entier $\geqslant 3n+1$ appartient à $E$.
  • Merci JLT, de t'être penché sur le problème !

    Une question : pour l'existence des premiers $p$ et $q$ dans $E$, tu utilises le théorème de Dirichlet, ou tous tes arguments restent "élémentaires" ?
  • J'utilise en effet le théorème de Dirichlet. Ca ne signifie pas qu'on ne puisse pas s'en passer, mais je n'y ai pas réfléchi.
  • Il me semble qu'on peut se passer de Dirichlet ; si $x$ et $y$ sont deux éléments de $E$ premiers entre eux, on peut prouver que si $m$ et $n$ sont des naturels non nuls premiers entre eux, alors $mx+ny\in E$ (en raisonnant par récurrence forte sur $k=\max(m,n)$).
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