cherche exemple de suite
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche une suite $(p_n)$ qui est telle que, à l'instar du cas $p_n=1/(n+1)$,
- $\sum p_n = \infty$, $\sum p_n^2 < \infty$
- pour $k < n$, le produit $P_{n,k}:=(1-p_{k+1})\cdots(1-p_n)$ se simplifie bien, au sens où quand $n \approx \infty$ on peut estimer $k=k(\epsilon,n)$ tel que $P_{n,k} \approx 1-\epsilon$.
Je cherche une suite $(p_n)$ qui est telle que, à l'instar du cas $p_n=1/(n+1)$,
- $\sum p_n = \infty$, $\sum p_n^2 < \infty$
- pour $k < n$, le produit $P_{n,k}:=(1-p_{k+1})\cdots(1-p_n)$ se simplifie bien, au sens où quand $n \approx \infty$ on peut estimer $k=k(\epsilon,n)$ tel que $P_{n,k} \approx 1-\epsilon$.
Réponses
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$p_n = 1-\exp(-1/n)$ répond aux conditions.
Pour le $P_{n,k}$, en passant au log, la question devient : pour $n$ arbitrairement grand et $\delta$ petit fixé, je cherche $k=k(\delta,n)$ tel que $1/k + \ldots + 1/n \approx \delta$. -
En comparant avec $\int_k^n \frac{1}{x}$ ça va peut-être le faire.
-
Mais voilà j'étais embêté avec les $1/n^\alpha$, les calculs se simplifient avec $1-\exp(-1/n^\alpha)$. Désolé pour le dérangement :-D
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