Décomposition effective d'un idéal

Salut à tous,

Voilà j'ai un exam de Théorie alg des nombres en Janvier et j'ai une question...

On considère une extension de corps de nombres sur Q. avec p le bon polynome.

on note D le discriminant du polynome.

Si p ne divise pas D, on peut avoir la décomposition de pOK facilement en décomposant le polynome arithmétiquement dans Fp[X].

Mais dans le cas où p divise D, je n'ai aucun résultat, comment je peux faire ?

Par exemple : X^4 - 2X² - 4 pour avoir 2OK... ?
Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.

Réponses

  • Je dirais plutôt que c'est lorsque $p \mid \left [ \mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] \right]$ qu'il y a le plus de difficultés, car, dans le cas contraire, le théorème de Kummer-Dedekind donne la décomposition de $(p)$ cherchée.

    On suppose donc $p \mid f :=\left [ \mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] \right]$.

    1. Algorithmiquement, le problème est résolu par exemple en utilisant la méthode de Buchmann-Lenstra. Voir à ce sujet le livre : H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, GTM 138, Springer, 1993, page 315.

    2. À la main, c'est plus délicat mais, dans certains cas, les polygones de Newton peuvent donner la réponse.

    J'essaie avec ton polynôme $P = X^4-2X^2+4$, dont je note $\theta$ l'une des racines, et $p=2$.

    (a) Comme $P \equiv X^4 \pmod 2$, on a $g=1$ et, si $P_1 = X$, la $P_1$-expansion de $P$ est donnée par
    $$P = 4 + 0X -2X^2 + 0X^3+X^4 := \sum_{j=0}^4 a_{1j}(X) P_1^j$$
    de sorte que le $P_1$-polygone de Newton de $P$ est l'unique segment $S = \left [ V_0 V_4 \right]$ donné par $V_0 = (0,2)$ et $V_4 = (4,0)$.

    (b) On pose $(r,s) = (0,2)$ et $(r+E,s-H) = (4,0)$, puis $d = \textrm{pgcd}(E,H) = 2$, et $e = E/d = 2$ et $h = H/d = 1$. Pour tout $j = 0, \dotsc,d$, on note $b_j(X) = 2^{jh-s}a_{1,r+je}(X)$ et le polynôme $f_S$ associé au segment $S$ défini par
    $$f_S (Y) = \sum_{j=0}^d \overline{b_j} (\alpha_1) Y^j \in \mathbb{F}_2(\alpha_1)[Y]$$
    où $\alpha_1$ est une racine de $P_1$ dans une clôture algébrique de $\mathbb{F}_2$. Tout calcul fait, cela donne
    $$f_S(Y) = Y^2 - Y + 1 \equiv Y^2 + Y + 1 \pmod 2.$$
    Il ne reste plus alors qu'à calculer deux entiers naturels $b,c$ vérifiant $bh-ce = 1$, par exemple $(b,c) = (3,1)$, pour déduire de tout ceci que $(2)$ se décompose en
    $$(2) = \mathfrak{p}^2$$
    où $\mathfrak{p} = 2 \mathcal{O}_K + 2^{-1} \theta^3 \mathcal{O}_K$.
  • J'aimerais savoir si cette réponse convient pour Zermel0...
  • J'avais en fait répondu plusieurs fois,

    mais à chaque fois j'avais une erreur au moment de poster.

    Je voulais juste remercier mais en cours nous n'avions pas du tout vu ça... Enfin qu'importe...

    Sinon je voulais savoir comment je peux savoir facilement la valeur de OK:Z[a] ?


    Merci d'avance....
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • OK, Zermel...

    Je suppose que tu suis un M2 de théorie algébrique des nombres.

    Que tu n'aies pas vu cela en cours ne m'étonne pas : cela ne me semble pas utile d'encombrer un cours avec ce genre de, disons, détails, et je ne pense pas que tu aies à faire tout ça en examen (en tout cas, je n'en vois pas l'intérêt).

    Pour calculer l'indice $f$, tu as plusieurs méthodes. Dans ce qui suit, $K = \mathbb{Q}(\theta)$ est un corps de nombres algébriques de degré $n$, de discriminant $d_K$ et $P$ est le polynôme minimal de $\theta$ sur $\mathbb{Q}$ (ainsi, $P$ est unitaire, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Z}$ et $\theta$ est l'une de ses racines), de discriminant $\textrm{disc}(P)$.

    1. Ou bien tu as la possibilité de calculer les discriminants, et alors on sait que $\textrm{disc}(P) = f^2 \times d_K$ (mais calculer des discriminants est en général très difficile à la main).

    2. Sinon, il existe des critères plus indirects, qui permettent de savoir si un nombre premier $p$ donné est un facteur premier de $f$.

    Par exemple, voici un critère dû à Diaz y Diaz : tu décomposes $P$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{F}_p$ sous la forme $P = \overline{P_1}^{\, e_1} \dotsb \overline{P_g}^{\, e_g}$ et, pour chaque $i \in \{1,\dotsc,g \}$, tu calcules le reste $R_i$ de la division euclidienne de $P$ par $P_i$. Alors $p \nmid f$ si et seulement si, pour chaque $i$ tel que $e_i \geqslant 2$, $R_i \not \in p^2 \mathbb{Z}[X]$.

    Un autre : Si $p$ est un nombre premier tel que $P$ soit un $p$-Eisenstein, alors $p \nmid f$.
  • Merci à toi, je verrai donc bien à mon exam, j'ai vraiment pris arithmétique parce que yavait que ça et maintenant j'apréhende...

    J'espère que ma note de topologie rattrapera grandement mes erreurs à venir en arithmétique lol...
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Personnellement, je préfère l'arithmétique à la topologie, il n'y a pas photo.

    Mais les goûts et les couleurs...
  • Pareil, j'ai eu mes notes, 18 en topologie, et 11 en arithmétique...

    Ouf je veux devenir topologue ^^
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Félicitations !

    11 en arithmétique, pour un non spécialiste, c'est très satisfaisant.

    On dit "topologue" ? Pas "topologiste" ?
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