Égalité de Pythagore.

Bonjour à tous,
Je vais bientôt entamer le théorème de Pythagore avec mes élèves.
Je suis en train de modifier un peu le cours que J'avais.
Et après quelques recherches, Je me rends d'une chose:
" Dans un triangle ABC rectangle en C, on appelle égalité de Pythagore l'égalité AB² = AC² + BC²".
C'est-à-dire que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Et on dit (souvent) par la suite pour montrer qu'un triangle est rectangle ou non :
"L'égalité de Pythagore est vérifiée (ou n'est pas vérifiée), donc ..."

Ce qui me gène c'est qu'on dit que l'égalité de Pythagore est (ou n'est pas) vérifiée, ce qui signifie que l'on a (ou n'a pas) le fait que : "le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés".
Comme on ne sait pas encore que le triangle est (ou n'est pas) rectangle, en disant que cette égalité est (ou n'est pas) vérifiée, on parle quand même (en le sous-entendant) d'hypoténuse, et c'est génant..
Me comprenez-vous ? :)

Merci pour vos éclairages qui, J'espère, résoudront mon problème.
Bien cordialement,
PrOf.
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Réponses

  • Bonjour.

    Où est le problème ? l'égalité de Pythagore désigne clairement quel côté sera l'hypoténuse.

    Cordialement.
  • Bonjour Prof.

    C'est de la présomption d'innocence. Tant qu'il n'est pas prouvé qu'un triangle est rectangle, tu n'as pas le droit de lui coller une hypoténuse dans son casier.

    Tu as donc raison de prendre les patins.

    " Dans un triangle ABC rectangle en C, on appelle égalité de Pythagore l'égalité $AB^2 = AC^2 + BC^2$".
    C'est-à-dire que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

    C'est OK, le triangle est rectangle. Il a avoué. Pan, il se prend une hypoténuse (ferme). C'est Pythagore direct, en flag.

    La réciproque :
    Si "le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés", alors le triangle est rectangle.
    C'est Pythagore réciproque.
    Ensuite on peut s'acharner sur la pov' bête et lui chercher des poux dans l'hypoténuse. Mais avant, pas question d'en parler. C'est comme de parler de la jambe de bois de la mariée avant qu'elle ait montré sa jarretière. Il y a des choses comme ça qui ne se font pas.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • La propriété s'énonce simplement ainsi : un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$.

    Tu as par contre raison de ne pas parler d'hypothénuse d'un triangle non rectangle.
  • D'accord, donc finalement, on peut parler d'égalité de Pythagore dans n'importe quel triangle.
  • J'avoue mon incompréhension : à quoi pourrait bien servir la réciproque du théorème de Pythagore si l'on ne peut pas parler de "l'égalité de Pythagore" ? Rappelons au passage que cette "égalité" concernait initialement des aires de carrés.

    Bruno
  • Bonsoir,

    On peut aussi parler du plus grand côté au lieu de parler de l'hypoténuse.
  • Je suis d'accord avec toi, Philippe.
    Et concernant ce que J'ai dit précédent, "on peut parler d'égalité de Pythagore dans n'importe quel triangle".
    C'est rigoureusement correct ?
  • Oui, dans certains triangles, elle est fausse.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Parler d'"égalité de Pythagore", c'est éviter de parler de théorème et de réciproque. Dans mon établissement, on enseigne tous le théorème, la réciproque et on parle même de contraposée.
  • L'expression "égalité de Pythagore dans un triangle" est correcte... si tu la définis de manière correcte. Comment la définis-tu !?
  • Je parle d’égalité de Pythagore, de théorème de Pythagore, de réciproque et de contraposée en seconde, ce que je faisais aussi en quatrième.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Il était devenu très difficile de faire distinguer à un élève de base le théorème de Pythagore et sa réciproque. Alors au fil des changements des programmes on aboutit à cela.

    Pouvant calculer le carré de la longueur des côtés d'un triangle quelconque, on est en mesure de répondre à la question:

    Est-ce que le carré d'un des côtés est la somme des carrés des deux autres?

    Si on peut répondre positivement à cette question on a affaire à un triangle rectangle et dans ce cas-là le côté qu'on a distingué (celui dont le carré de la longueur est la somme des carrés des deux autres) est l'hypoténuse.

    Si la réponse est NON alors le triangle considéré n'est pas rectangle (et on peut avoir que les côtés sont tous de même longueur).

    PS:
    Dans une classe de collège, comment fait-on si on prend comme définition que l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté qui est distingué au sens où je l'ai expliqué plus haut, pour démontrer que ce côté est aussi le plus long?

    PS2:
    Avec la présentation faite ici du théorème de Pythagore comme algorithme pour décider si un triangle donné, connaissant la longueur de ses trois côtés, on pourrait avoir à traiter jusqu'à trois "égalités" pour décider si un triangle est rectangle ou non.
    Et c'est là où on introduit le raffinement suivant: on n'a pas besoin de traiter les trois "égalités", une seule suffit, pour conclure. Il faut seulement traiter l'"égalité" où on distingue le plus grand côté du triangle.

    Exemple:

    On a un triangle dont les côtés sont de longueur $3,4,5$ (très original n'est-ce pas?)

    Pour savoir s'il est rectangle on doit trouver parmi ces "égalités", si l'une est vraie:

    $3^2=4^2+5^2$
    $4^2=3^2+5^2$
    $5^2=3^2+4^2$

    La dernière étant vraie, le triangle est rectangle au sommet qui n'est pas une des extrémités du côté de longueur $5$.

    Mais on peut simplifier l'algorithme:

    $5$ étant le plus long côté du triangle, on a seulement à vérifier si l'égalité $5^2=3^2+4^2$ est vraie ou non.

    Et on peut aussi en conclure qu'un triangle ayant des côtés de longueur tous égaux à $1$ ne peut pas être rectangle, il n'a pas de plus grand côté. B-)-

    PS:
    J'ai modifié mon message qui n'était pas cohérent.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour.

    On a un triangle $A,B,C$. On calcule $BC^2-AB^2-AC^2$. Si cela fait $0$, le triangle est rectangle en $A$ et le côté $BC$ est son hypoténuse. Si vous calculez $AC^2-BC^2-BA^2$ et que cela ne fait pas zéro, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $B$ et $AC$ n'est pas son hypoténuse. Mais si cela se trouve, il sera rectangle en $C$.

    Introduire le fait que le candidat à l'hypoténusitude doit être le plus grand côté tourne assez souvent au canular. En effet, comment montrer que $BC\ge AB\,\, et\,\, BC\ge AC$ ? En calculant $BC^2, CA^2, CB^2$ etc comme hypoténuses à partir des coordonnées des points, puis en faisant une étude des signes de $BC^2-CA^2$ et de $BC^2-BA^2$ ?

    Cordialement, Pierre.

    [ Je pense que "hypoténusitude" s'écrira avec un seul h.;-) jacquot]
  • Pldx1:

    Si on a l'égalité $a=b+c$ avec $a,b,c>0$ on peut en déduire:

    $b<a$,$c<a$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • En pratique, distinguer d'emblée le plus grand côté d'un triangle ne pose problème que lorsque le triangle considéré n'est pas rectangle. B-)-

    PS:
    Quand je dis "pose problème" c'est pour dire: être obligé de parler de contraposée ou d'un (faux) raisonnement par l'absurde.


    Si le triangle était rectangle alors le côté distingué (celui dont le carré est égal à la somme des carrés des deux autres) serait aussi le plus grand.

    PS2:
    il vient la question naturelle suivante: peut-on avoir deux des "égalités" à vérifier qui soient vraies? L'algorithme est muet, à priori, sur cette question. B-)-

    PS3:
    L'algorithme se présente comme la recherche d'une égalité vraie parmi trois "égalités", mais dans la rédaction on ne conserve que l'égalité qui est vraie si l'une l'est. Cela permet de conclure. Donc au final on se moque de savoir si tous les cas ont été traités sur brouillon ou si on a seulement considéré le cas où on distingue le plus grand côté pour avoir l'égalité qui est vraie.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Pour résumer.

    Est-ce qu'une rédaction comme celle-ci, est valable en quatrième (troisième):

    Soit à déterminer si le triangle de côtés de longueurs respectives $3,4,6$ est rectangle.

    $6$ est la longueur du côté le plus long.
    $6^2=36$
    $3^2+4^2=25$
    $36$ et $25$ ne sont pas égaux donc le triangle n'est pas rectangle.


    ?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour,
    Fin de partie a écrit:
    Si on a l'égalité $a=b+c$ avec $a,b,c>0$ on peut en déduire: $b<a$,$c<a$

    Certes. Mais de quoi était-il question ? Il était question de savoir s'il faut démontrer $b<a$,$c<a$ avant de tester $a^2-b^2-c^2$ lorsque l'on se demande si un triangle est rectangle.
    L'exemple que tu as choisi se traite par le raccourci LebosséHemerique bien connu: un triangle est rectangle lorsqu'il est proportionnel à $3,4,5$ ou même, mais rarement, proportionnel à $5,12,13$. Lorsque les quantités connues sont les coordonnées des sommets (comme c'est souvent le cas dans les problèmes dépassant l'exercice en une ligne)...
    Il est vrai que le recours à une figure est une heuristique bien connue.

    Cordialement, Pierre.

    ["heuristique" est un nom du genre féminin. Bruno]
  • Si un triangle a ses trois côtés ayant des longueurs différentes, on peut toujours parler de son plus long côté. Que ce triangle soit rectangle ou pas. B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Le polynôme
    $
    (a^2+b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2) =
    $
    $
    2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-a^8-b^8-c^8
    $
    est nul ssi le triangle de côtés $a$, $b$, $c$ est rectangle.
    Ainsi, pour $(a,b,c)=(8,17,15) $ on a
    $2(4096\cdot83521+83521\cdot50625+50625\cdot4096)=$
    $16777216+6975757441+2562890625$
    On gagne un peu sur le temps de calcul en remarquant que $x^8=\left( x^4 \right)^2$.
  • Fin de partie : ta rédaction semble correspondre à ce qu' "on" attend d'un élève de 3ème (et de 4ème).
  • Kioups:
    Je m'en doutais.

    Ce qui me pose problème (éventuellement) est comment la réduction de trois cas à tester à seulement un seul trouve son explication (propre) dans les programmes de mathématiques de collège. Surtout dans l'exemple que j'ai développé plus haut, le cas d'un triangle non rectangle.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • La rédaction serait plutôt :
    $ 9+16=25 $

    $ 6^2=36 $

    Pas un triangle rectangle.
    Un correcteur du brevet mettra tous les points à la question, car le correcteur est capable d'interpréter ces traces écrites comme une démonstration.

  • Cela ne l'est pas une démonstration? B-)-

    Un chien a quatre pattes. Pour déterminer si un animal est un chien il suffit de compter les pattes. X:-(
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour H,
    Je réponds à ta question un peu tardivement:

    Soit ABC un triangle
    Égalité de Pythagore :
    Le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

    Je déifnis cela au préalable, avant de parler de triangle rectangle, car j'ai constaté que les élèves avaient suite tendance à ne croire que l'égalité de Pythagore était toujours associé aux triangles rectangles et ensuite, ils comprenaient plus pourquoi dans la réciproque et contraposée, on se servait de cette égalité pour démontrer qu'un triangle était rectangle, puisque si on l'écrivait, c'est qu'il l'était.

    Donc d'abord :
    Egalité de Pythagore dans un triangle
    Théorème de Pythagore : cas où l'égalité de Pythagore est vérifiée.
    Ensuite : réciproque et contraposée.

    Qu'en pensez-vous ?
  • On pourrait
    (1) Définir : $f(a,b,c):=a^2+b^2-c^2$
    (2) Enoncer : $f(a,b,c)=0 \Leftrightarrow$ (ABC) est rectangle en C
    (3) Prouver $\Leftarrow$ : Théorème de Pythagore
    (4) Prouver $\Rightarrow$ : Réciproque du Théorème de Pythagore

    (1) sera bienvenu pour l'étude du th. du cosinus (Al Kashi) dont le théorème de Pythagore est un cas particulier.
    Aussi : $f(a,b,c)$ est positif, nul ou négatif selon que l'angle en C est aigu, droit ou obtus.
  • Bonjour,
    Je me retourne à nouveau vers vous pour avoir des réponses quant à mon dernier commentaire.
    Merci pour vos réponses,
    PrOf.
  • Donc d'abord :
    Egalité de Pythagore dans un triangle
    Théorème de Pythagore : cas où l'égalité de Pythagore est vérifiée.
    Ensuite : réciproque et contraposée.

    Qu'en pensez-vous ?

    H t'a répondu. Il y a un théorème de maths point, les élèves n'ont pas grand chose à voir dans l'histoire. Il dit que pour tout triangle ABC:

    si $AB^2+AC^2=BC^2$ alors il y a un angle droit en A
    ET
    s'il y a un angle droit en A alors $AB^2+AC^2=BC^2$

    Il n'y a pas besoin d'aller rechercher je ne sais quelles complications vocabularistiques ou pédagogistes.
  • fdp a écrit:
    Il était devenu très difficile de faire distinguer à un élève de base le théorème de Pythagore et sa réciproque

    Qu'est-ce qui faut pas lire. Il n'y a strictement aucune difficulté à faire distinguer l'un de l'autre. Ce sont deux énoncés différents.

    Par contre, peut-être peut-on intervertir les deux noms qui est le no1 et qui est le no2, mais ça ce sont des choses qui arrivent.
  • Bonjour ,
    @ PrOf:
    De prime abord, j'éviterais de parler d'égalité de Pythagore dans un triangle non rectangle.
    Je garde un souvenir agréable des leçons relatives au théorème de Pythagore et à sa réciproque en classe de Quatrième.
    Il y a plusieurs démonstrations assez manipulatoires qui sont accessibles à des élèves de Quatrième, genre démonstrations des 4 équerres, mais il y n a plein d'autres à base de découpages (Voir par exemple le site de M-T Eveilleau). Il faut toutefois que le prof ait conscience des limites de ces procédé de démonstration, en particulier de l'exactitude absolue des assemblages et de leur justification.

    Il me semble que Bruno rappelait récemment que dans l'énoncé du théorème , on parle bien des aires des carrés construits sur les trois côtés du triangle rectangle.

    Ensuite, après un certain temps de pratique de calculs divers, on pourra demander au détour du chemin si le triangle 7 4 8 est bien rectangle.
    La réponse ne nécessite toujours pas la réciproque de P.
    La pratique d'une démonstration par la contraposée est un bon exercice à ce niveau.

    L'étude et la pratique de la réciproque viendrait encore plus tard.
    Les programmes actuels ne font plus la distinction ? Personnellement, je n'en aurais cure. Je ne demanderais peut-être pas aux élèves de faire la distinction dans leurs écrits, mais en classe, je continuerais à la faire.

    Et puis, inévitablement, tes élèves feront des fautes de logique intéressantes ce sera l'occasion d'en discuter...
  • il n'y a pas de fautes de logique, il n'y a que des axiomes logiques faux utilisés par eux. J'ignore si la discussion avec eux est mieux en laissant "A donc B" sous la forme "A donc B" et en demandant tu maintiens ton " A donc B"? ou au contraire en disant attention, tu as utilisé "si A alors B", tu maintiens cet axiome?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Jacquot : a écrit:
    Il me semble que Bruno rappelait récemment que dans l'énoncé du théorème , on parle bien des aires des carrés construits sur les trois côtés du triangle rectangle.

    Attention, il s'agissait simplement de rappeler que la forme numérique actuelle du théorème est récente et qu'il me semble préférable de donner un énoncé qui ne demande pas une telle précision ! Quand j'étais jeune prof, il me semblait que les mathématiques sont un lieu de liberté et de fantaisie ; à lire ces questionnement sur la place de la virgule dans l'énoncé (d'accord je charrie) je me crois revenu en 1453 quand les hiérarques grecs discutaient gravement du sexe des anges alors que les turcs s'emparaient des remparts de Constantinople. Nous en sommes à autopsier une discipline scolaire mourante et cela fait des années que je me demande si nous sommes sages de continuer à le faire (enfin pas moi, vu mon grand âge).

    Bruno
  • @Prof

    Qu'est-ce qui t'ennuie finalement avec l'énoncé que l'on trouve partout : « pour tout triangle ABC d'un plan euclidien, le triangle est rectangle en A si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$ » ?

    Tout ce que tu proposes me semble terriblement alambiqué et, à mes yeux, cela ne peut rendre qu'obscur un énoncé fort simple.
  • Bruno : (tu) +1

    Cordialement.

  • Si c'est aussi simple que cela pourquoi les programmes de mathématiques du collège propose maintenant cette version algorithmique du théorème de Pythagore en un pack unique?

    J'ai enseigné deux ans ce théorème à des classes de 4ème et à cette époque on distinguait bien le sens direct et sa réciproque et je constatais qu'en effet il y avait un soucis pour les élèves à repérer ce qui était le sens direct et ce qui était la réciproque (et sans parler de la contraposée). J'en déduis que le théorème de Pythagore à la mode en ce moment au collège est né de ce constat et par le fait que l'enseignement des mathématiques est maintenant adossé à une vision algorithmique des choses.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • La version du théorème que j'ai enseigné (extrait du manuel scolaire qui me servait de source d'exercices):

    "Si l'on sait que ABC est un triangle rectangle en A alors on peut écrire:

    $BC^2=AB^2+AC^2$"

    Et la réciproque du théorème de Pythagore:

    Si l'on sait que ABC est un triangle tel que $AB^2+AC^2=BC^2$, alors on peut dire que $ABC$ est rectangle en $A$.

    J'aimerai bien savoir pourquoi aujourd'hui, ce n'est plus le même énoncé qui est utilisé. J'ai donné mon interprétation plus haut.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Une remarque en passant : certains intervenants ont proposé des énoncés avec des triangles "quelconques" faisant intervenir "le plus long coté" : certes, mais s'il y en a deux ?
  • Ca sort du sujet mais j'en profite pour demander s'il est possible de savoir ce qu'a dit exactement Pythagore. Et y avait-il déjà des sens direct et des réciproques à son époque ? (ce sont des vraies questions même si je reconnais qu'elles ne sont pas très importantes)
  • Jaybe:

    J'ai bien précisé pour ma part, qu'on ne pouvait donner un sens à l'expression "le plus long côté" si les côtés étaient de longueur différente.

    Note aussi qu'il n'est pas mentionné, si j'ai bien lu, dans le programme de mathématiques de 4ème, cette histoire de plus long côté. Ils évoquent "seulement" , l'"égalité de Pythagore" , en particulier, dans un commentaire que j'ai recopié plus haut.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Pour lucienne.

    Le meilleur moyen de te faire une idée c'est de revenir aux traductions des textes anciens. Après une longue préparation, le théorème direct est énoncé ; le théorème réciproque vient ensuite. Evidemment, nous n'avons pas les écrits de Pythagore mais seulement ceux d'Euclide (et encore le "codex vaticanus" qui en est la copie la plus proche chronologiquement d'Euclide remonte au Xe siècle, après J-C œuf corse).

    Comme je l'ai déjà signalé, les grecs n'utilisaient pas des nombres mais des "grandeurs" terme non défini mais parfaitement accepté par le monde savant à l'époque de Platon et d'Aristote. Ainsi les longueurs sont des grandeurs et les aires sont des grandeurs ; la caractéristique d'une grandeur est d'être additionnable et multipliable par un entier (répétition d'une addition de plusieurs exemplaires de la même grandeur).

    Ainsi, les segments sont des grandeurs ; ils servent d’ailleurs de base intuitive dans les raisonnements généraux, toute démonstration d'Euclide sur des grandeurs sont illustrés par des segments ; les "aires" sont des grandeurs, plus exactement les aires de figures ; les triangles, les carrés, les rectangles ; ceci explique la formulation du théorème en termes d'aires de carrés.

    Bruno
  • Merci. Donc si je comprends bien c'est Euclide qui a décidé quel était le sens du théorème et donc quel était celui de la réciproque ?
  • D'après les textes, tu as raison.

    Bruno
  • Quitteà couper les cheveux en quatre, je propose l'énoncé suivant : étant donné un triangle, notons $a,b,c$ les longueurs des côtés dans l'ordre croissant. Alors le triangle est rectangle si et seulement si $c^2=a^2+b^2$.
  • Il me semble quand-même important de rappeler que la pédagogie ne doit pas franchir certaines frontières. A partir du moment où on mentionne des énoncés différents, l'équivalence entre les uns et les autres est chaque fois un théorème de mathématique et non une histoire de nuance.

    Le fait que l'hypoténuse soit le plus long côté d'un triangle rectangle est un théorème profond qui vient de la positivité du carré de n'importe quel nombre. Il me semble que dans les anciens programme, mais encore relativement récents sont appelés:

    1/ (instance du) théorème de Pythagore: Si $ABC$ est rectangle en $A$ (ie s'il y a un angle droit en A) alors $AB^2+AC^2=BC^2$

    2/ (instance de la) réciproque du théorème de Pythagore: si $AB^2+AC^2=BC^2$ alors $ABC$ est rectangle en $A$

    on peut certes envisager d'autres énoncés mais ils ne s'appelleront à priori ni "théorème de Pythagore", ni "réciproque du théorème de Pythagore", et utiliseront éventuellement des phénomènes profonds autres.

    Si comme le rappelle FdP, les programmes actuels ont décidé de ne considérer qu'un seul théorème à sa voir:
    Pour tout triangle $ABC$, $AB^2+AC^2=BC^2$ si et seulement si $ABC$ rectangle en A


    c'est une autre affaire, non justifiée, donc bien évidemment, le fait que ce soit décidé dans des programmes scolaires n'entraine aucune justification ni légitimité particulière (contrairement à ce que laisse entendre FdP).

    Par ailleurs, il n'existe aucune difficulté pédagogique spécifique liée à ces théorèmes. Il est complètement banal que les gens, qui s'en fichent, à forciori les enfants de 13-14ans ne se rappellent pas qui est appelé "théorème de Pythagore" et qui est appelé "réciproque du théorème de Pythagore". Il faut vraiment être passionné ou très près du sujet pour se rappeler lequel est lequel.

    Ce trou de mémoire ne constitue en rien un problème de logique (et je rappelle que personne n'a de problème de logique).

    Apparemment, il semble que les programmes aient décidé (je suis rarement favorable aux programmes, mais là) de ne plus exiger de distinction, et c'est peut-être tout simplement parce qu'il n'y a pas une énorme importance à se rappeler qui est qui. Je comprends que ça puisse gêner les historiens et c'est à eux probablement dans la société actuelle de motiver leur attachement à ce que les élèves distinguent.

    Rappel: [small]quand une copie écrit "A donc B", elle utilise automatiquement l'axiome "si A alors B". Quand une copie écrit "A car B" elle utilise automatiquement l'axiome "si B alors A". C'est formel et même informatiquement parsable, ça ne relève pas du bon vouloir de l'auteur de la copie. Quand une copie ne met ni "donc" ni "car" (ni des synonymes consensuels) entre A et B elle est ou bien gors-sujet et s'expose à une non correction ou bien à la rigueur peut-on lui faire le cadeau d'utiliser les deux énoncés A et B comme des axiomes.[/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pour Lucienne : les Eléments d'Euclide est un recueil des connaissances mathématiques vers le 4/3 eme siècle av. JC. Euclide ne décide rien, il rend compte de ... Rien ne dit que la pratique de présenter les propriétés dites de Pythagore et sa réciproque dans cet ordre n'avait pas déjà cours avant Euclide (on sait qu'il a existé d'autres textes du type Eléments, mais qui sont perdus aujourd'hui).

    La présentation du programme visant à fusionner deux propriétés en une équuivalence réduite à un nom (Pythagore) vise d'abord à détruire toute forme de raisonnement logique là où il pourrait encore s'en cacher dans les cours de math du collège. Ceci possède la vertu de pouvoir distribuer les points sur les copies en toute bonne conscience. Qui va s'en plaindre ? Quant aux conséquences, ce n'est surtout pas aux pédagogos qu'il faut demander d'y réfléchir ...

    Lire et relire L’enseignement de l’ignorance et ses conditions modernes de Michéa.

  • Ce n'était pas exactement le sens de mon propos. J'ai la faiblesse de penser que si "le théorème de Pythagore" a pris la forme qui lui est donné aujourd'hui ce n'est pas une lubie de ceux qui font les programmes mais parce qu'ils avaient une "bonne" raison. J'ai donné une possible raison à ce changement plus haut.

    Au collège, les deux principaux "gros" théorèmes de géométrie (Pythagore et Thalès) admettent une réciproque.
    D'un côté, c'est sympathique et cela simplifie bien les choses. Mais cette sorte de simplification est-elle vraiment souhaitable dans l'enseignement des mathématiques?

    Un chien a 4 pattes. Pour savoir si un animal est un chien, il suffit "donc" de compter les pattes. :-D

    Par ailleurs, comme indiqué plus haut, les programmes ne mentionnent nullement une version encore plus simplifiée du théorème de Pythagore et de sa réciproque comme celle-ci:
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @Eric : je ne vois pas bien en quoi changer le nom d'un résultat (ou regrouper deux résultats sous le même nom) contribue à détruire toute forme de raisonnement logique au collège.

    Demander aux collègiens de faire l'effort de distinguer les deux sens d'une implication dans un cas où les deux sont de toute façon vrais n'est sans doute pas ce qu'il y a de plus pertinent ni de plus motivant. À part s'il s'agit de faire passer les matheux pour des cinglés.
  • Donner un même nom à deux propositions distinctes (je crois me souvenir que si l'on change le contexte et que l'on passe d'un espace euclidien à un espace hermitien, on perd l'équivalence entre ces deux propostions) ne conduit qu'à une destruction du raisonnement logique.

    Et demander à des "citoyens" (puisque ce vocable est à la mode) de distinguer entre les deux sens d'une équivalence me semble pertinent. Mais je suis certainement "cinglé" (après tout, qui se soucie encore de la cohésion logique du discours des hommes politiques ?).
  • @Eric (ton avant dernier post)

    Je pense que tu ne me soupçonnes pas d'être un propédagogo ou un pro programme. Je suis quand-même de l'avis de H, tout ceci n'a rien à voir avec la logique. Je n'ai jamais vu d'élève confondre A=>B avec B=>A. Il ne relève pas de la logique de retenir par coeur des noms savants attachés à l'un et à l'autre.

    De toute façon l'erreur n'est même pas possible: si un élève écrit $AB^2+AC^2=BC^2$ donc $ABC est rectangle en $A$, peu importe le nom qu'il donne à son donc, on lit ce qu'il a écrit. S'il a "la non érudition" d'appeler ça "théorème de Pythagore" plutôt que "réciproque du T de P", bon bin, c'est peut-être triste, mais ce n'est ni un problème de raisonnement ni un problème de logique, mais un problème d'enregistrement de vocabulaire historique.

    Je comprendrais mieux que tu attaques le fait de mettre des points quand ni "donc", ni "car" n'est présent dans un inférence. Mais cette regrettable tendance n'est pas contre pas ordonnée explicitement par les programmes.

    @fdp, j'avais bien compris et je maintiens, non, ils n'avaient pas de bonne raison. Il n'y a pas de "réflexion" qui précède les programmes, c'est fait + ou - n'importe comment au petit bonheur la chance en copiant-collant des morceaux écrits par les uns ou les autres.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Eric a écrit:
    Donner un même nom à deux propositions distinctes

    Arrgg, tu m'obliges à "défendre" le programme, ça ne m'amuse pas, mais je dois à l'honnêteté de dire qu'ils ne sont pas allés jusque là à ma connaissance, ils donnent un seul nom à une seule proposition qui est la suivante, comme je l'ai dit:
    Pour tous points du plan $A,B,C: [ABC $ est rectangle en $A$ si et seulement si $AB^2+AC^2=BC^2]$

    Pour détruire le raisonnement logique des élèves comme tu dis, il n'est pas besoin d'attendre les classes de 4ième. Il y a bien plus grave et bien avant. Ca commence par $a\times b=b\times a$ à la place de $\forall a(\forall b( a\times b=b\times a))$ dès l'école primaire.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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