loi limite sur les entiers

P

Si $p>1,\ $ $ \theta>0,\ $ soit $\displaystyle S(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\theta)^p}.$
La loi limite quand $\theta\rightarrow \infty$ de $\displaystyle \mu_{\theta}=\frac{1}{S(\theta)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\theta)^p}\delta_n$ existerait-elle ?

Siméon

Je ne suis pas très réveillé mais il me semble que pour tout $k$,
$$
\frac{1}{\mu_\theta(k)} = (k+\theta)^p S(\theta) = \left(1+\frac{k}{\theta}\right)^p\sum_{n\geq 0} \frac{1}{(1+\frac{n}{\theta})^p}
$$
et tend donc vers $+\infty$ quand $\theta$ tend vers $+\infty$. En particulier, la famille de loi n'est pas tendue.

aléa

Sauf erreur $S(\theta)\sim\frac1{p-1} \frac1{\theta^{p-1}}$, donc la masse fuit à l'infini.

P

Merci chers amis. Ma question était un peu irréfléchie.

P.2

Question voisine où les proba ne sont plus apparentes : trouver un équivalent à $f(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+\theta}$ si $\theta\rightarrow \infty?$

Siméon le poisson

Avec une comparaison série-intégrale :
$$
\frac{1}{\theta} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+(\frac{n}{\sqrt{\theta}})^2} \sim \frac{1}{\sqrt{\theta}} \int_0^\infty \frac{du}{1+u^2} = \frac{\pi}{2}\frac{1}{\sqrt{\theta}}
$$

P.1

Très élégant, merci. J'en remets une couche, what about $$g(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-\theta}{(n^2+\theta)^2}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(n^2+\theta)^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+\theta}\ ?$$

Siméon le poisson

Celle-là est plus compliquée parce que l'intégrale s'annule. Mais en allant chercher un peu plus loin, je pense qu'on devrait trouver
$$
g(\theta) \sim \frac{1}{2\theta}.
$$

P.2

Un peu paradoxal d'avoir $\theta g(\theta)\rightarrow 1/2$ quand le terme général de la série $\theta g(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(\theta)$ satisfait $$u_n(\theta)=\frac{n^2\theta-\theta^2}{(n^2+\theta)^2}\rightarrow_{\theta\rightarrow\infty } -1?$$

Siméon le poisson

On a certes $\sum_{n \leq \sqrt{\theta}} u_n(\theta) \approx - \sqrt{\theta}$, mais on a aussi $\sum_{n\geq \sqrt{\theta}} u_n(\theta) \approx \sum_{n\geq \sqrt{\theta}} \frac{n^2\theta}{n^4} \approx \sqrt{\theta}$ donc ce n'est pas si paradoxal.

Je pense que l'équivalent que j'ai donné est juste, et je dirais même que $g(\theta) - \frac{1}{2\theta}$ décroit plus vite que tout polynôme. En fait, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose de très ordonné là-dessous (une forme modulaire par exemple) mais je n'arrive pas à mettre le nez dessus.

P.1

Désolé, je m'aperçois que $\displaystyle g(\theta)=\frac{1}{2\theta}-\frac{\pi^2}{2\big(\sinh (\pi \sqrt{\theta})\big)^2}$ ce qui confirme ton intuition.

Siméon

Bien vu ! Je suis très curieux, pourrais-tu nous dire d'où viennent toutes ces jolies questions ?

P.2

De Gradshteyn et Ryzhik 3.631 (9) on tire si $t>1$ que $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{ixy}(\cos x)^{t-2}dx=C/[\Gamma((t+y)/2)\Gamma((t-y)/2)]=f_t(y)$$ avec $C$ indépendant de $y.$ Mais j'avais besoin de montrer que si $0<t<1$ alors $f_t(y)$ n'est pas définie-positive ( $f_1$ l'est trivialement). Pour ce faire il suffit de montrer que $y\mapsto g_t(y)=\log f_t(iy)$ n'est pas convexe, c'est à dire que $g''_t(y)$ n'est pas toujours positive. Grâce à ta patience Siméon, je peux montrer $\lim_y y^2g''_t(y)=(t-1)K$ où $K>0,$ ce qui règle mon problème. Merci beaucoup.