Nombres premiers - divisibilité

contactis

Bonjour,

Je suis actuellement en train d'effectuer un exercice en 2 parties :

La première partie a pour énoncé : soit $p$ un nombre premier, strictement supérieur à $5$

Démontrer que $p^2-1$ est divisible par 3, puis par 8. Je pensais relever l'identité remarquable à savoir,
$p^2-1$=$(p-1)(p+1)$ Simplement je suis bloqué à partir de là, car je sais certes que $(p-1)(p+1)$ est paire, mais je ne sais pas comment démontrer que c'est divisible par 3. J'ai souhaité écrire que $p=3k+r$ , mais le problème est que non seulement $p$ ne peut pas être égal à $3k$, mais si j'écrit $3k+1$ alors pour $k=5$ p n'est pas premier...

Pourriez-vous m'aider ? Merci

Essai

Décidément, on dirait que je suis abonné à tes questions...

Si $p \geqslant 5$ est premier, alors $p$ ne peut être congru qu'à $\pm 1$ modulo $3$. Ainsi $p^2 \equiv 1 \pmod 3$.

De même, si $p \geqslant 5$ est premier, alors $p$ ne peut être congru qu'à $\pm 1$ ou $\pm 3$ modulo $8$. Ainsi $p^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 8$.

Il me semble qu'il n'y a pas longtemps tu avais posé des questions similaires, non ?

gerard0

car je sais certes que la somme de (p-1)(p+1) est paire

Une somme à un seul élément ? n'importe comment, c'est un produit que tu écris.

Inutile de nous parler de ce qui n'a aucun rapport. Par contre, un bout d'idée correspondant à la question serait le bienvenu. Tu n'as manifestement pas essayé de réfléchir aux conséquences de l'énoncé : "un nombre premier, strictement supérieur à 5". Donc il n'est pas divisible par ....

Tu peux aussi expérimenter ce qui se passe pour des exemples : p=7, ou 11, ou 23.

En tout cas, tu n'apprendras pas à résoudre des exercices en venant demander de l'aide. Tant qu'on doit te donner la main, tu ne sais pas marcher.

Cordialement.

gerard0

Essai : Ce n'est pas correct de donner des corrigés aux questions systématiques de Contactis. Revois le règlement du forum.

Cordialement.

contactis

J'ai essayé d'y arriver par congruence :

Je me suis dit que si l'on divise p par 3, alors les seuls restes possibles sont 0, 1 et 2.

D'ou si p=0 modulo 3, alors p^2=0 modulo 3 et alors p^2 - 1=-1 modulo 3 ce qui ne convient pas

si p=1 modulo 3, alors p^2=1 modulo 3 et alors p^2 - 1=0 modulo 3 ce qui convient

si p=2 modulo 3, alors p^2=4 modulo 3 et alors p^2 - 1=0 modulo 3 ce qui convient

On peut donc juste avoir p=3k+1 ou p=3k +2

Est ce cohérent ?

YomGui0

Les premiers supérieurs ou égaux à 5 étant de la forme $6n+\epsilon$ où $n \in \mathbb{N}$ et $\epsilon \in \{-1,1\}$ (deuxième étape du crible d'Eratostène)
On obtient $p^2-1=12n(3n+\epsilon)$ et une discussion sur la parité de $n$ donne la divisibilité par 24 et le résultat...

AD

Bonsoir Contactis
Ou bien directement.
Parmi trois entiers consécutifs, $p-1, p, p+1$ l'un est multiple de 3, comme $p$ au milieu est premier $\neq 3$, donc 3 divise $p-1$ ou $p+1$, donc divise leur produit.
Le même raisonnement ($p\neq 2$) montre que $p-1$ et $p+1$ sont pairs, donc l'un est multiple de 4, donc leur produit est multiple de 8.
Alain

JLT

On peut donc juste avoir p=3k+1 ou p=3k +2

Il y a un problème assez grave de logique dans ce "donc"

contactis

Je vous prie de m'excuser. De quel nature est-il ?

JLT

Vu comment tu as écrit ton message, il semble que tu essayes de prouver une conclusion C. Pour cela tu fais une hypothèse H (que p=3k). T t'apercois que H et C sont incompatibles et tu en déduis que H est fausse.

N.B. il se pourrait a priori que C est fausse, puisque tu ne l'as pas démontrée.

Fin de partie

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1022519,1022541#msg-1022541

Tout cela pour se rendre compte qu'un nombre premier plus grand ou égal à 5 ne peut pas être de la forme 3k?

C'est du moins ce qu'on peut comprendre de la manière dont tu as rédigé cela.

Ta rédaction est à revoir.

Essai

Gerard0 a écrit:

Essai : Ce n'est pas correct [...]

OK, j'ai pris acte.

La prochaine fois, je m'abstiendrai, car je ne veux pas cautionner ces interminables échanges, très pénibles à lire (surtout pour un exo pareil) et que l'on voit de plus en plus souvent maintenant ici (par référence à la charte, comme tu dis), du type "c'est ça ?", "Non ! revois ton cours", "et là, j'ai bon ?", etc.

FDP-ABL

La prochaine fois, je m'abstiendrai, car je ne veux pas cautionner ces interminables échanges a écrit:

Ce type d'échange n'est-il pas inévitable et même souhaitable?

Contactis ne voit pas, par lui-même, que sa rédaction n'est pas adéquate. Est-il plus profitable, pour lui, qu'un échange s'instaure (qui pourrait être long certes) au bout duquel, on espère, qu'il améliorera sa rédaction, ou que quelqu'un lui donne directement une rédaction?