Valeurs de n, division euclidienne

contactis

Bonjour à tous,

Dans un exercice l'on me demande d'effectuer la division euclidienne de $a=3n^2+n$ par $b=n+1$

J'ai donc cherché à définir une stratégie, à savoir exprimer $b$ en fonction de $a$ :

$3n^2+n=q(n+1)+r$ Simplement ma stratégie s'arrête là, étant donné que j'en suis resté à chercher de manière aléatoire un reste et un quotient, et que la plus part du temps pour le reste est supérieur à $b$, donc cela ne constitue pas une division euclidienne.

Pourriez-vous m'aider ? Merci

De plus, dans un autre exercice l'on me demande de déterminer, selon les valeurs $n$ le reste de la division euclidienne de $7n+3$ par $2n-5$. J'en suis donc arrivé à la conclusion que pour tout $n$ supérieur ou égal à 5 le reste était $n+6$. Car $7n+3=3(2n-1)+n+6$ simplement pour le cas où $n$ est inférieur à 8, je suis quelque peu désorienté. De fait j'ai cherché à m'intéresser aux valeurs que prennent $r$ et $n$ mais cela ne m'avance pas.

Essai

$3n^2+n = (n+1)(3n-2)+2$ ($n \geqslant 2$).

contactis

Bonjour Essai,

Merci pour votre aide! Simplement, sauriez-vous s'il existe des stratégies pour pour cerner le problème et ne pas être condamné à essayer de trouver une solution ? Autrement dit comment avez vous pu trouver $q=3n-2$, de plus étant donné que nous sommes dans les entiers naturels, nous n'avons pas précisé le cas ou $n=1$

Essai

Le cas $n=1$ est facile : $4 = 2 \times 2 + 0$.

Lorsque $n > 1$, j'ai (bêtement) effectué la division euclidienne de $3n^2+n$ par $n+1$ en la posant, c'est-à-dire que j'ai déterminé le couple $(q,r)$ unique vérifiant $3n^2+n = q(n+1) + r$ avec $0 \leqslant r < n+1$ (ne surtout pas oublier cette condition fondamentale). Il suffit de la poser, ça vient tout seul.

Jer anonyme

En $3n^2$, combien de fois $n$ ? Il y va $3n$ fois. On calcule $3n^2+n-3n(n+1)$, il reste : $-2n-3$.
En $-2n-3$, combien de fois $n$ ? Il y va $-2$ fois. On calcule $-2n-3-(-2)(n+1)$, il reste $2$.
Voici une origine possible des calculs d'essai.

contactis

Merci! Simplement comment pouvons nous passer de $3n^2+n-3(n+1)$ à $-2n-3$ car lorsque j'effectue la soustraction je n'obtiens que $-2n$ ?

Jer anonyme

Juste en faisant les calculs convenablement et pas comme un cochon -- ce que j'ai fait.

contactis

En suivant vos conseils, dans l'exercice ou l'on veut déterminer selon les valeurs n le reste de la division euclidienne de $7n+3$ par $2n-1$, j'en est déduit que pour tout $n$ supérieur ou égal à 8, le reste était de $n+6$ : $7n+3= 3(2n-1)+n+6$

Simplement je suis bien peiné pour étudier le cas ou $n$ est strictement inférieur à 8.. Pourriez-vous m'aider à définir une stratégie ?

Essai

Si $1 \leqslant n \leqslant 7$, tu calcules tous les restes un par un, en remplaçant $n$ par $1$, puis par $2$, etc. Ça ne fait que sept petites divisions à faire, ce n'est pas méchant.