Équivalence des normes (dim finie)

Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice sur les espaces vectoriels normés.

Considérons un evn $E$ de dimension finie et deux normes $N$ et $N'$.
Je souhaiterais montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que $N \leq \alpha N'$.

Pour cela, j'essaie de passer par une norme intermédiaire : la norme infinie associée à une base fixée de $E$, c'est-à-dire, le max des modules des composantes d'un vecteur décomposé dans la base proposée. Je note cette norme $\| . \|_{\infty}$.
Il est facile de prouver que $N \leq K \| . \|_{\infty}$ pour un certain $K>0$.
Je cherche maintenant une inégalité de la forme $\| . \|_{\infty} \leq \beta N'$.
Pour cela, je me suis intéressé à l'application $x \in (E,N') \mapsto N'(x)$. Cette application est continue (car lipschitzienne), et j'aimerais dire qu'elle est donc bornée si on la regarde sur la sphère unité.
Le problème est que la sphère unité qui m'intéresserait est celle relative à la norme infinie, et je ne sais pas si cette sphère est bornée relativement à la norme $N'$...

J'espère avoir été assez clair !
Merci pour votre aide,
AlphaNico

Réponses

  • Je n'ai pas tout lu. J'ai cru comprendre que tu cherchais à montrer l'équivalence entre les normes en dimension finie. Tu trouveras facilement une preuve dans un bouquin ou sur le net. Si tu veux chercher par toi-même je te donne un indice : compacité.
  • Tu tourne en rond
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