Intégrale avec une fonction convexe.

P

Soit $f\in C^2(\R)$ convexe avec $ f(0)=f'(0)=0.$ Est il possible que $\int_0^{\infty}e^{-f(x)}f''(x)dx=\infty?$ Je sèche.

h

Pour $x \ge 1$ on a : $f(x)=\int_0^x f''(u)u du \ge C+\int_1^x f''(u)du$.

Ainsi, pour $y \ge 1$ on a :
$$
\int_1^y e^{-f(x)}f''(x)dx \le C' \int_1^y e^{-\int_1^x f''(u)du}f''(x) dx = C'[-e^{-\int_1^x f''(u)du}]_1^y
$$
etc.

À vérifier.

P

Heu, $f(x)=\int_0^x(x-u)f''(u)du.$

h

Oups.

h

Je réessaye.

Je fixe un réel $x$. Soit $\alpha>0$. On a :
$$
\int_x^{x+\alpha} e^{-f(y)}f''(y) dy \ge e^{-f(x)-\alpha f'(x) - \sup_{y \in [x,x+\alpha]} \{f''(y)\} \alpha^2/2} \int_x^{x+\alpha} f''(y)dy.
$$

Je note $M$ le maximum de $f''$ sur $[x,x+\alpha]$. À $x$ et $\alpha$ fixé, en optimisant sur la définition de $f''$ sur cet intervalle, on peut rendre la borne inférieure précédente arbitrairement proche de :
$$
e^{-f(x)-\alpha f'(x) - M \alpha^2/2} \alpha M.
$$

En choisissant (en fonction de $x$) $\alpha$ et $M$ tels que $e^{-f(x)} \alpha M =2$ et $\alpha$ suffisamment petit la borne inférieure précédente est minorée par $1$.

À partir de là on peut construire un exemple où l'intégrale est divergente. À vérifier, comme d'habitude.

P

Bon, bon. Si tu as quelque chose d'un peu moins poilu...car les fonctions convexes qui m'intéressent sont de la forme $f(x)=\log\int_{\R}e^{xt}\mu(dt)$ avec $\mu$ probabilité symétrique telle que $f(x)$ existe pour tout réel $x.$

h

Ah. Comment s'explicite ton intégrale dans ce cas ?

P

Si $e^{f(x)}=L(x)=\int_{\R}e^{tx}\mu(dt)$ alors$$\int_{\R}e^{-f(x)}f''(x)dx= \int_{\R}\int_{\R}\left(t-\frac{L'(x)}{L(x)}\right)^2\frac{e^{xt}dx}{L^2(x)}.$$ Si $P_x(dt)=e^{xt-f(x)}\mu(dt)$ alors $f''(x)$ est la variance de la probabilité $P_x.$