"Il est facile de 2"

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Réponses

  • Pour la 1013 (hPa) j'ai donné une preuve de la propriété plus forte suivant:
    Soit $A$ un polyèdre dont tous les côtés sont contenus dans des translatés d'hyperplans de la forme $x_i=0$. Si $P$ est une partition de $A$ en un nombre fini de pavés plus un ensemble d'intèrieur vide alors chaque pavé de $P$ est un pavé droit.
    Par récurrence sur le nombre de pavés de la partition.
    Si $A$ est partitionné en un seul pavé $B$ et un ensemble d'interieur vide, alors en fait $A=B$ et en particulier $A$ est un pavé droit.
    Si $A$ est partitionné en $m+1$ pavés plus un ensemble d'interieur vide, alors au moins l'un d'eux est droit et a une de ses face incluse dans une des faces de $A$***. Mais alors $A$ privée de l'adhérence du pavé en question est encore un polyèdre vérifiant nos hypothèses, et est recouvert par $m$ pavés, qui sont donc tous droits.

    il reste à établir ***. Pour cela on peut prendre un petit voisinage $V$ cubique de l'un des sommets de $A$, qui sera recouvert par un seul des pavés de $P$, par le cas $m=1$ l'intersection de ce pavé avec $V$ sera un petit cube, mais alors ledit pavé, ayant la moitié de ses faces droites, est un pavé droit.
  • Ben ça fait plaisir, de s'embêter à taper une preuve dont tout le monde se fout.
  • De mon téléphone: merci axone je vais lire ça mais today pas sûr.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • [size=x-large]
    Question 1015:
    [/size]

    je ne suis pas du tout sûr d'avoir déjà posté cette question pourtant naturelle.

    Construire un couple (si possible) $(E,T)$ tel que $T$ est une topologie quasi-compacte sur $E$ et telle qu'il n'existe aucune topologie compacte (ie séparée et quasicomplacte) $W$ sur $E$ telle que $T\subseteq W$.
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  • Bonjour Christophe,

    Sauf erreur de ma part :
    Tu n'as qu'à choisir $(A , f : E \to A) $ quelconque avec $ E $ quasi compact ( Je ne sais pas ce qu'est une topologie quasi compact ), mais toi en gros tu cherches $ E $ avec $ T $ un type de topologie, mais maximal, alors, $ T = \displaystyle \lim_{ \to \\ f , A } f^{-1} \mathcal{O}_A $, avec $ f $ un morphisme préservant la propriété de topologie quasi compact, sans que $ A $ soit nécessairement muni de ce que tu appelles topologie quasi compact, non ?

    edit :

    Pour le système inductif qui induit $ T $, c'est à toi de le choisir, chaque choix de ce système fournit un exemple, mais je ne voudrais pas le construire, car aucun exemple ne me vient à l'esprit pour le moment, puisque d'abord, c'est quoi une topologie quasi compact ?

    edit :

    Dualement ( i.e : dans la catégorie duale ), on peut construire $ T $ maximal tel que : $ T = \displaystyle \lim_{ \to f,A } f_* \mathcal{O}_A $ pour $ f : A \to E $ pour $f$ préservant la propriété de topologie quasi compact ... etc.

    Tu peux faire ça pour la topologie minimale ( tu utilises les limites projectives ).

    Voilà. A vous de me corriger.
  • N'ayant que peu de temps.

    [large]Question 1017:[/large] construire deux espaces cool dont le produit n'est pas cool

    Un espace est cool quand toutes ses suites ont des valeurs d'adhérence et qu'il est séparé.

    Voir l'inspiration en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1747262,1747320#msg-1747320 pour cette question.
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  • Remarque: s'il en existe, ils ne sont pas durs à construire. S'il n'en existe pas, il est "relativement facile" de le prouver. Cela tient à la très grande généralité de l'énoncé.
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  • Concernant la 1017: la possibilité de la construction résulte de ce que sinon étant donné E un ordre complet et total et X une partie de E tout lim sup de suites d'éléments ts de X serait aussi une lim inf d'une suite d'éléments de X. Ce qui est trop beau. De mon téléphone.
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  • Concernant la question1017,

    Je détaille. Soit $X$ une partie de $E$. Soit $A$ l'ensemble des toutes les limites sup des suites de $X$. Soit $B$ l'ensemble de toutes les limites inf des suites de $X$.

    $A$, comme $B$ vérifient tous deux "toute suite a une valeur d'adhérence". Si on admet que $A\times B$ aussi, alors soit $u\in X^\N$. La suite $n\mapsto (u_n,u_n)$ a une valeur d'adhérence, forcément de la forme $(b,b)$ avec $b$ qui est donc dans $A\cap B$. La suite étant quelconque, $A=B=A\cap B$.

    Je laisse les lecteurs intéressés casser ça avec un ordre bien choisi.
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  • [large] [/large]
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  • [large] [/large]

    Patiemment mis en couleurs et forme de mon téléphone: j'en profite pour signaler que E est connexe ssi pour tout recouvrement R ouvert de E son R-graphe est connexe (au sens des graphes) où les sommets sont les points et où deux pts sont relies quand il y a un élément de R qui les contient tous deux.
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  • Je mettrai en couleurs plus tard. Question rédigée de manière cavalière en ce qui concerne les matrices.

    [large]Question 1021:[/large] est-ce que $AB=BA$ et $B$ nilpotente => $\exists k\in \N: B^k\neq 0$ et $B^k$ polynome de $A$?
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  • Si $k=0$, alors $B^k=Id$, donc $B^k$ est un polynôme en $A$ ($A^0$).
    Donc on suppose que $k$ doit être différent de $0$.
    Si $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix}$, alors $AB=BA=0$, et $B$ nilpotente.
    Si $B^k \neq 0$, alors $k=0$ ou $k=1$, donc, comme $k \neq 0$, $B^k=B$, qui n'est pas un polynôme en $A$.
  • Bravoooooooo et bonne année à toi , Marco!
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  • Bonne année, Christophe !
  • Je repose une question que j'ai déjà probablement déjà posé dans la première version du présent fil:
    [size=x-large]Question 1023[/size]
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  • [large]Question 1024[/large]

    Soit $L$ le langage de la théorie des anneaux, on lui ajoute un symbole de fonction unaire. Existe-t-il un axiome de la forme :

    $$ A:= \forall x,y,\dots ,z: expression_1 =expression_2 $$

    tel que Théorie des corps de caractéristique nulle $\vdash (A\to T)$
    où $T$ désigne "être algébriquement clos"

    et tel que (Théorie des corps + $A$) est consistante?

    ?

    [large]Question 1025[/large]

    Soit $K$ un corps où pour tout $n,a$ les polynômes $X^n - a$ sont scindés et où $p$ est le premier degré d'un polynôme non constant sans racine. Est-ce que $p$ est forcément un nombre premier?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je ne comprends pas bien la 1024, $T$ n'étant pas un énoncé de ton langage. Est-ce que ce que tu attends c'est un énoncé tel que tout modèle le satisfaisant est algébriquement clos ?
  • @poirot oui!!! Pardon j'avais la flemme donc j'ai pris cette conjonction infinie d'énoncés.
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  • 1024: Soit $A:=\forall x_1,\dots,x_n,P(x_1,\dots,x_n)=0$ tel que $P$ n'est pas le polynôme nul, soit $T_C$ la théorie des corps. Si $T_C+A$ est consistant, alors il existe un corps $K$ qui vérifie $A$.
    Si il existe un tel $K$ de caractéristique nulle (donc infini), $P$ est le polynôme nul, donc contradiction.
    Donc tout $K$ qui vérifie $T_C+A$ est de caractéristique non nulle.
    Donc $A$ est nécessairement faux, dans un corps de caractéristique nulle, donc $(A \rightarrow T)$ est toujours vrai.

    Si $P$ est le polynôme nul, alors il existe des corps de caractéristique nulle vérifiant $A$ et qui ne sont pas algébriquement clos (exemple $\Q$)

    Donc n'importe quel $P$, qui ne soit pas le polynôme nul, et tel que $T_C+A$ soit consistant convient.
    Exemple: $\forall x, x^2-x=0$.

    Je ne sais pas si la réponse est correcte.

    Si on cherche un polynôme $P$ à coefficient dans $\Z$ tel que tout corps $K$ vérifiant $A$ est algébriquement clos, alors comme $K$ est infini, nécessairement le polynôme $P$, vu comme étant à coefficients dans $\Z/p\Z$, est nul ($p$ étant la caractéristique du corps). Donc $\Z/p\Z$ (ou $\Q$ si $p=0$) vérifie aussi l'énoncé $A$ et n'est pas algébriquement clos.
  • Merci à vous pour vos lectures et participations, mais marco, il y a un symbole fonctionnel en plus, attention! $A$ n'est pas de la forme $\forall ^* : P=0$ a priori.
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  • Ah, d'accord, je n'avais pas compris la question.
  • En mode "archivage pour pas oublier" une remarque que j'ai faite dans ce fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1773304,1773304#msg-1773304

    [large]
    Question 1026
    [/large]

    Construire (ou prouver l'impossibilité) un espace topologique séparé et totalement discontinu qui ne soit pas un sous-espace d'un produit d'espaces discrets.

    Rappel: un espace $(E,T)$ est totalement discontinu quand $\forall x,y$ dans $E: $ si $x\neq y$ alors il n'existe aucun sous-espace connexe $(C,T')$ de $(E,T)$ tel que $\{x;y\}\subset C$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • $\Q$ est séparé et totalement discontinu. Il reste à prouver qu'il n'est pas un sous-espace d'un produit d'espaces discrets.
  • Ah oui, bien joué!!!! Et bravo et merci pour ta réactivité!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • $\Q$ est homéomorphe à une partie de $\R \backslash \Q$ (via $x \mapsto x +\sqrt 2$) qui s'avère être homéomorphe à $\N^{\N}$ (via des fractions continues).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je ne sais pas prouver que $\Q$ n'est pas un sous-espace d'un produit d'espaces discrets. Peut-être c'est faux.

    [Edit: merci Foys !]
  • $\Q_p$ convient-il ? Merci d'avance.
  • Soit $E=\{\frac{a}{b} ~| ~\exists n \in \N, b=p^n\}$, et $F=E/\Z$, il me semble que $\Q_p$ est homéomorphe à un sous-espace de $\prod_{k\in\Z} F_k$, où $F_k$ est une copie de $F$. Sous-espace contenant les éléments $(x_k)_{k \in \Z}$ tel que $x_{k+1}=px_k$ pour tout $k$. Comme chaque espace $F_k$ est sous-espace d'un produit d'espaces discrets, $\Q_p$ ne convient pas.
  • Un espace localement compact totalement discontinu $X$ est toujours un sous-espace d'un certain $\{0,1\}^Y$, avec la topologie discrète sur $\{0,1\}$. Cela revient à dire que sa topologie a une base d'ensembles ouverts et fermés : $Y$ est l'ensemble de ces ouverts-fermés et le plongement est donné par l'appartenance ou non aux éléments de $Y$.

    Preuve : Soit $x \in X$ et soit $K$ un voisinage compact de $x$. Pour tout point $y \in \partial K$, il existe un ensemble ouvert-fermé $A$ contenant $y$ et pas $x$. Par compacité de $\partial K$, un nombre fini de ces $A$ couvre $\partial K$. Leur union $\tilde{A}$ est aussi ouverte-fermée, ainsi que $\tilde{A} \cup (X \setminus K)$. Le complémentaire de cet ensemble est un ouvert-fermé contenu dans $K$, et donc comme on a une base de compacts, on a une base d'ouverts-fermés.

    On voit également que si $X$ est un sous-espace d'un produit d'espaces discrets, alors les ensembles ouverts-fermés engendrent la topologie de $X$. Pour un contre-exemple, il suffit donc d'un ensemble ne vérifiant pas ça, et on en trouve plusieurs sur internet : https://math.stackexchange.com/a/1243340
  • D'accord, très intéressant, il fallait y penser.
  • Bravo et merci à toi CPL!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • [large]
    Question 1028
    [/large]

    Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R$ de dimension finie et $C$ un convexe compact de $E$ pour la topologie usuelle.

    Je note $L$ l'ensemble des applications de $\N\to \N$ qui sont strictement croissantes et pour $f,g$ dans $L$, je note $f>g$ le fait que $\exists n\in \N \forall p>n: f(p)>g(p)$.

    Je note $M$ l'ensemble des applications continues de $C\to C$ et pour $f\in M, g\in L$ je note $\phi(f,g)$ l'ensembles des suites $u\in C^\N$ telles que $\forall n\in \N: u_n$ est l'image par $f$ de la moyenne de la liste

    $$[u_{n+1};\dots ;u_{(n+1+g(n))}]$$

    Je note $Y$ l'ensemble des suites constantes de $C^\N$.

    Voici deux énoncés, l'un étant plus fort que l'autre.

    Premier énoncé: $\forall f\in M\exists s\in L\forall r\in L: (r>s\to \phi(f,r)\subset Y)$

    Deuxième énoncé: $\exists s\in L\forall f\in M\forall r\in L: (r>s\to \phi(f,r)\subset Y)$

    Lesquels sont prouvables dans ZF(C)?


    Anatole pense qu'ils sont tous deux faux. La flèche figurant dans ces énoncés abrège "implique".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,
    Je me permets de m'incruster dans cette discussion et de m’arrêter sur un passage important de Champ-Pot-Lion ( Important du moins pour moi :-) )
    Champ-Pot-Lion a écrit:
    Un espace localement compact totalement discontinu $X$ est toujours un sous-espace d'un certain $\{0,1\}^Y$, avec la topologie discrète sur $\{0,1\}$

    Je m’intéresse un peu de près à la conjecture de Baum-Connes que tu peux trouver ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Baum-Connes

    - Est ce que tu peux me trouver une caractérisation d'un groupe localement compact $ G $ qui est l'objet d'études de la conjecture de Baum-Connes, en termes d'un objet de la forme $ \{ 0 , 1 \}^Y $ avec : $ Y $ à déterminer, comme tu as fait pour le cas d'un espace localement compact, totalement discontinue $ X $ ?.

    - Est ce que tu peux me trouver une caractérisation d'un groupe discret dénombrable $ G $ qui est aussi l'objet d'études de la conjecture de Baum-Connes, en termes d'un objet de la forme $ \{ 0 , 1 \}^Y $ avec : $ Y $ à déterminer, comme tu as fait pour le cas d'un espace localement compact, totalement discontinue $ X $ ?.

    Merci pour votre aide.
  • Si tu t'attends à trouver tous les groupes localement compact ou dénombrable comme sous-groupe d'un groupe de la forme $\{0, 1\}^Y$ tu risques d'être déçu, tout tel groupe étant d'exposant au plus $2$...
  • On pourrait poser une question un peu voisine: tout groupe localement compact et totalement discontinu est-il un sous-groupe d'un groupe profini?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Comment tu le sais Poirot ? :-)

    Edit : Pardon, je n'ai pas vu que Foys a posté un nouveau message. Attend, je le lis. :-)

    Edit : Pour la question de Foys, je ne sais pas y répondre.
  • @Pablo_de_retour Désolé mais la conjecture que tu cites est largement au-dessus de mes connaissances. Apparemment les groupes totalement discontinus sont pertinents en tant que quotient d'un groupe de Lie par la composante connexe de l'identité… un truc comme ça. Mais bref est-ce que ça a un rapport avec cette conjecture ? Aucune idée et je ne suis pas prêt d'en avoir.

    @Foys : $\Q$ muni de la topologie discrète ? (Oui, exemple à la con.)
  • C'est vrai pour un groupe compact : tout groupe compact totalement discontinu est profini.
  • $\Z$ muni de la topologie discrète est localement compact et totalement discontinu. Supposons qu'il est un sous-groupe de $G$ profini. Les sous-groupes ouverts de $G$ forment une base de voisinage de $e$ dans $G$.
    Comme $\{e\}$ est ouvert dans $\Z$, il existe un ouvert $U$ de $G$ dont l'intersection avec $\Z$ est $\{e\}$. $U$ contient un sous-groupe ouvert $H$. $G/H$ est fini car $G$ est compact. Donc $\Z/(\Z \cap H)$ est fini, donc $H \cap \Z$ est infini et ne contient donc pas seulement $e$. Donc $U \cap \Z\neq \{e\}$, contradiction.
    ($H$ n'a pas besoin d'être distingué dans $G$, $G/H$ désigne $\{xH ~|~ x\in G\}$).
  • Ah mais en fait, on peut même prouver que $\Z$ ne se plonge dans aucun groupe compact, d'après ça.
  • Effectivement, merci.
  • Bien vu marco!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Champ-Pot-Lion a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,1774214#msg-1774214
    Un espace localement compact totalement discontinu $X$ est toujours un sous-espace d'un certain $\{0,1\}^Y$, avec la topologie discrète sur $\{0,1\}$.

    Peux tu me fournir une démonstration à cette affirmation @Champ-Pot-Lion ?
    Merci infiniment.
  • Pablo
    Si tu lisais le message que tu références jusqu'au bout ! ::o
    AD
  • Oui, pardon Monsieur Alain, merci.
  • [large]Question 1029[/large]

    Elle est motivée par la grande facilité** qu'il y a à prouver que les matrices réelles symétriques ont des valeurs propres (a priori "bien plus" facile à rédiger formellement que les preuves d'Alembert)

    L'implication suivante (1)=>(2) est-elle triviale?

    (1) K est un corps pour lequel toute matrice symétrique ayant ses coefs dedans a une valeur propre dedans

    (2) $K[X] / (X^2+1)$ est algébriquement clos



    [small][small]** wlog, f est de norme euclidienne 1, $||w|| = 1$ tel que $||f(w)||=1$. Il suit que $1 = <f(w)|f(w)> = <w|f(f(w))>$ entraine $u:=w+f(w)=0$ ou $u\neq 0$ et $f(u)=u)$***, donc une VP dans $\{1; -1\}$.[/small]

    *** l'étape sautée, formelle, fait une demi-ligne, c'est $ (a-b)^2 = 1 - 2ab + truc \leq 0 $[/small]
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  • [large]Question 1030[/large], inspirée par http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1776896,1776896#msg-1776896

    Existe-t-il un cardinal $k$ tel que pour tous groupes $G,H: k $ majore le cardinal de l'ensemble des groupes $K$, à isomorphisme près, qui ont un sous groupe distingué $L$ isomorphe à $H$ vérifiant $K/L$ isomorphe à $G$?
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  • [large] [/large]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • [large]Question 1032:[/large] existe-t-il $R\subset \mathbb{N}^2$ telle que :

    1/ $(\mathbb{N}, R)$ soit un modèle bien fondé de $ZFC$

    2/ $\forall n\in \mathbb{N}: [\{p\in \mathbb{N} \mid (n,p)\}$ et $\{p\in \mathbb{N} \mid (p,n)\}$ sont récursivement énumérables$]$?



    edit: merci Georges, c'est corrigé! (j'avais écrit $<<R\subset \mathbb{N}>>$)
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