Précision sur du vocabulaire

PrOf

Bonsoir à tous,
Le résultat d'une multiplication est un produit.
J'ai du "mal" avec l'expression : "développer un produit" ou "factoriser une somme ou une différence".
Que signifie "développer un nombre", "factoriser un nombre"
Dans le même ordre d'idée, on dit que dans 3 + 6 = 9, la somme est 9, et 3 et 6 sont les termes de la somme : c'est quoi les termes d'un nombre ? (les termes de 9).
J'aurais plutôt vu ca comme: 3 et 6 sont les termes de l'addition (ajout de deux nombre : 6 et 3).
Le résultat est la somme, et elle vaut 9.
Je chipote peut-être un peu, mais J'essaie de comprendre l'origine de ces expressions.
Qu'en pensez-vous ?

Merci,
PrOf.

jean lismonde

bonjour

développer un produit ou développer un nombre ne veut rien dire ;
par contre ont un sens : développer un produit de deux expressions algébriques du type $(a+b)(a-b)$
ou encore décomposer un nombre par exemple $23871$ en facteurs premiers

"les termes d'un nombre" ne veut rien dire par contre "les deux termes d'une addition ou d'une somme", oui

factoriser une somme algébrique de monômes du type $x² - 2x + 1$ a un sens
par contre factoriser un nombre ne signifie rien

les mots en français ont un sens :
le résultat de l'addition de plusieurs nombres s'appelle leur somme
le résultat de la multiplication de plusieurs nombres s'appelle leur produit

cordialement

Klice0

> par contre factoriser un nombre ne signifie rien

Il y a sûrement une subitilité que je ne saisis pas.. ?

PrOf

Je suis bien d'accord avec toi.
Et quelle différence / lien fais-tu (faites-vous) entre
1) développer un produit du type k(a+b)
et
2) la distributivité simple ?

Merci.

h

"Développer $(a+b)(c+d)$" a un sens. Que veux-tu de plus ?

PrOf

Développer un produit, c'est utiliser la distributivité, c'est ça ?
En fait, Je me demande pourquoi on a deux termes pour dire la même chose.

h

Je ne comprends pas tes questions. Tu sais sans doute très bien ce que signifie "développer (a+b)(c+d)". Par ailleurs tu as sans doute déjà croisé la notion de synonyme...

depasse

Bonsoir,

je tiens à dire ma compassion à prOf et ne trouve pas très sympa la façon dont certains l'envoient sur les roses, surtout qui dit que factoriser un nombre ne veut rien dire.
Tout prof de 6ème reçoit chaque année la question, en termes parfois plus policés: pourquoi tu nous emm..à nous embrouiller avec ta somme et ton produit, vu que c'est pareil que l'addition et la multiplication.

kioups

C'est tout de même inquiétant de ne pas faire la différence entre une expression et la valeur de cette expression.

ev

Pour des raisons (et non pas des quotients) qui m'échappent, ce genre de discussion part très vite en vrille.

Je ne vais pas pour autant me priver de donner mon avis...

Toutes choses égales par ailleurs, il vaut mieux utiliser des mots dans un sens précis.
Si cette précision entraîne un discours confus, verbeux, fatigant et incompréhensible, on s'autorise à prendre des raccourcis, des abus de langage salutaires.

De ce fait il y a parfois incompréhension entre les praticiens -- qu'est-ce que tu veux que ça nous foute, pourvu qu'on se comprenne -- et les enseignants de maternelle (au sens large).

e.v.

qui serait bien en peine de définir ce qu'est une expression...

depasse

@kioups

Evidemment, quand on est grand.
Mais que de nombreux sixièmes ne fassent pas le distingo est aussi évident.
Et leur faire comprendre que ce distingo n'est pas là pour les embrouiller, bien au contraire, ça, ce n'est pas évident!

kioups

Bien sûr, la majorité des élèves ne fait pas la différence. Mais que des profs ne la fassent pas, ça m'inquiète.

PrOf

Je demandais juste un complément d'information.
Aussi, quand je lis dans des manuels (que je prends comme exemple, et non comme référence) que : "Les nombres que l'on ajoute sont les termes de la somme", je suis en droit de me poser la question : une somme étant un nombre, que signifie les "termes d'un nombre"?
Aussi, je préfère avoir l'air bête (pour rester poli) devant vous, que devant mes élèves.
C'est la raison pour laquelle je me retourne vers vous pour mieux cerner le vocabulaire.
Maintenant, si j'en choque certains, ou si j'en surprends d'autres, j'en suis désolé.
Mais rappelez-vous quand même que vous, spécialistes matheux, qui pour la plus part, je suppose avaient l'agreg', êtes doctorant, etc., nous ne sommes pas confrontés aux mêmes difficultés et nous devons nous poser ce genre de questions pour mieux être préparés face aux élèves.
Il faut que l'on trouve un discours cohérent pour les élèves et être prêt à répondre à n'importe quelle de leur question.
Ainsi, parfois, on est amené à se poser les questions les plus idiote (quelle différence y-t-il entre "additionner" et "ajouter", synonyme peut-être, mais dans certaines phrases, ça sonne faux ; on dira plus "on ajoute un même nombre à chaque membre d'une égalité", plutôt que "on additionne un même nombre à chaque membre d'une égalité").
Alors, je suis désolé d'avoir outré certains et d'en arriver à m'excuser de me poser des questions..

PS: Merci à ceux qui répondent à mes questions de manière constructive et qui ne portent aucun jugement de valeur !
Heureusement, que tout au long de l'année, je répète aux élèves qu'il n'y a pas de questions bêtes...

Samuel DM

Pour moi, au risque de faire grincer des dents : $x+y$ est une somme de deux termes. Si je sais que par ailleurs $x+y=z$, alors $z$ est la somme de $x$ et $y$. C'est normal puisqu'une égalité intervient entre deux objets parfaitement identiques. Ceci dit je suis un peu embêté si je dois parler des termes de $z$.

En effet on définit l'addition des nombres réels comme une application de $\R^2$ dans $\R$ (c'est une loi de composition interne). Donc si $z$ est la somme de $x$ et $y$, le couple $(x,y)$ est un antécédent de $z$ par ma loi. Il n'y a donc (évidemment) pas unicité des termes d'une somme au sens des antécédents par mon application, et je ne peux donc pas parler des termes de $z$ (sous-entendu : des deux nombres dont la somme est $z$).

Donc si je pense au couple $(x,y)$, j'emploie le mot "termes". Si je pense à leur image par mon application ($x+y$ ou $z$), je parle de somme, de la même façon qu'avec une égalité du type $f(u)=v$, où j'appellerai indifféremment $f(u)$ ou $v$ l'image de $u$.

Pour ce qui est de différencier "additionner" et "ajouter", je dirai qu'additionner c'est symétrique, c'est à dire que je ne sous-entend pas un ordre dans la tâche ($x+y$, $y+x$, peu importe). Au contraire lorsque j'ajoute, je part d'un nombre $x$ et je lui ajoute un nombre $y$. Il y a un ordre (j'avais $x$ avant).

PrOf

Samuel DM : Je suis d'accord avec toi sur la différence entre ajouter et additionner, c'est en tout cas comme cela que je vois les choses pour le moment.
Parlerais-tu alors de "termes d'une addition, soustraction", facteurs d'une multiplication", "quotient d'une division" ?
Cela me parait plus approprié.

Merci pour ta réponse en tout cas.

Samuel DM

Disons que je réserve le mot addition à l'opération (donc l'application), même si je m'autorise à dire que $x + y$ est une addition dans le sens que c'est une image d'un couple $(x,y)$ par mon application qui s'appelle "addition".

Ceci dit, il est d'usage de dire "les termes de la somme..." et pas "les termes de l'addition...". Je pense que c'est là que tu peux utiliser ta liberté pédagogique puisque tu es celui qui conçois les mathématiques que tu enseignes. Il suffit d'être en accord avec tes définitions et qu'il y ait quand même une adéquation avec celles qui sont communément employées.

depasse

Salut PrOf,

je ne trouve nullement stupides les questions que tu te poses, et il est souhaitable que tout enseignant se les soit posées un jour.
Là où je trouve que tu ne peux que te faire du mal, et n'as aucune chance d'aboutir, c'est quand tu souhaites, je te cite, "être prêt à répondre à n'importe quelle de leur question". C'est perdu d'avance.
"Monsieur, c'est quoi un nombre?" et tu te décomposes. Pour moi, la première qualité d'un prof, c'est de savoir dire qu'il ne sait pas! Promis, les élèves ne t'en méprisent jamais, bien au contraire.
Pour en revenir aux histoires de somme, produit, etc, il est clair que dire d'un nombre qu'il est une somme (ou un produit) c'est parler pour ne rien dire: tout nombre est une somme (et un produit). En revanche, dire que 5 est la somme des termes 2 et 3 est une information. Donc le terme (si j'ose dire!) "somme" employé absolument (i.e sans complément) est vide de sens (je ne dis pas absurde, mais why not!).

Dire que "factoriser" c'est "transformer une somme en produit" est, si on le prend au pied de la lettre, débile. Pour autant, on le dit et, effectivement, au collège, ça veut dire "écrire que ab+ac égale a(b+c)".

Pourquoi dire "développer" plutôt que "termer" pour dire "transformer un produit en somme", je l'ignore mais je pense qu'un cultivé me le dira bientôt;-).

Enfin, "factoriser un nombre" est une expression choquante pour l'élève attentif qui croyait qu'on ne factorisait que des sommes (et il serait bien sot de lui expliquer que tout nombre est une somme!). Ca n'a rien à voir. Une fois de plus, le terme (!) "factoriser", comme ci-dessus les termes "somme" et "produit" sont à eux seuls dénués de sens. C'est dans leur contexte qu'ils en trouvent un. Les élèves, comme nous, finissent par le comprendre!
Bon courage
Paul

PrOf

Bonjour Paul,

Merci de donner du sens à mes questions.

Développer, c'est transformer un produit en une somme, autant dire que c'est a(b + c) =ab + ac
Ainsi, développer c'est utiliser la distributivité (simple): donc pourquoi dit-on développer et non distribuer, à moins que ces deux termes soient synonymes, dans ce cas, quel est l'intéret d'avoir deux termes pour dire la même chose et embrouiller les gamins...?

Pourquoi ne pas plutôt parler de termes d'une addition (de même pour les autres opérations), c'ets plus "logique" que de parler de "terme d'une somme".
En effet, lorsque 2 + 3 = 5, l'opération est une addition composée de deux termes (2 et 3) et le résultat de celle-ci est la somme de 2 et 3, à savoir 5.

Que penses-tu de tout cela ?

PrOf.

christophe c

@PrOf tu as parfaitement raison, mais ce n'est qu'un exemple des incohérences primaro-collégio-lycéennes qui comptent probablement plus de 70% des exposés des manuels, des enseignants, des textes de programme, etc comme étant des conneries. Ton désarroi ne peut pas se résoudre en "résolvant" une seule toute petite occurrence de ces bêtises, ce serait une perte de temps me semble-t-il. Vouloir mathématiser correctement les contenus et les exposés du secondaire demanderait un travail large, pas la correction d'une bêtise sur les 1751 recensables.

C'est un gros problème des enseignants de la matière appelée "maths" dans le secondaire que d'invoquer l'implicite pour "excuser" une certaine forme d'autisme voulant préserver l'entre-soi. Je ne sais pas, par contre, si cette proportion énorme de bêtise est à l'origine du très faible pourcentages de matheux déclenchés (environ 1-2%) par les études enfantines, disons que ça pourrait faire débat, personnellement j'ai tendance à penser que oui, mais plein de gens pensent que ce n'est pas parce que l'entre soi autorise les incohérences que les élèves ne bitent rien aux maths, ils préfèrent penser que les "maths sont dures à comprendre sur le fond". En 1990 ou en 2000 à la rigueur, une étude sérieuse aurait peut-être permis de trancher un peu ce débat, mais plus en 2014, le crash ayant gommé de toute façon les possibilités d'étude du mécanisme.

PS: pour ton problème précis, sache que ni développer ni factoriser, dans le secondaire, n'ont de sens mathématique, point. Ce sont des activités humaines. Tu peux dire ça à tes élèves, ça lave toute velléité de perplexité, et tu notes comme un prof de français la réponse $1\times (x^2+4x-100)$ à l'exercice factoriser $x^2+4x-100$, ie tu peux mettre "0.25" en disant "inélégant"

Licence 1

Je comprends tout à fait Christophe.
Mais si chacun corrige au fur et à mesure les incohérences, et si on harmonise tous une rédaction correcte, peut-être que les choses pourraient changer.
Ca se travaille sur le long terme, je pense.

Prof du dimanche

@PrOf

Tu peux développer (a+b)² sans utiliser la distributivité. Par développer il faut plutôt entendre "supprimer les parenthèses", quel que soit le moyen. A l'inverse, on "distribue" quand on utilise la formule (une formule) de la distributivité. Dans "développer", il y a une latitude, pas dans "distribuer". C'est simplement que tu choisis un exemple où développer et distribuer, c'est la même chose. On peut développer l'expression 5(x+y)-3x puis la réduire, en revanche, je ne vois pas quel sens donner à l'expression "distribuer 5(x+y)-3x".

Concernant les termes somme et addition, je ne suis pas d'accord avec ton explication. L'addition est l'opération, c'est le symbole +. Et c'est tout. Il ne faut pas lui inventer de termes, c'est une loi. En revanche, la somme, comme tu l'as dis, c'est le résultat, c'est 5. La somme, c'est donc aussi 2+3 (par égalité - la subtilité est là). Dans une somme (2+3), je vois donc bien deux termes, alors que dans le mot "addition", je vois un symbole.

Licence 1

Donc, si je suis ton raisonnement, développer, c'est au sens large.
On peut développer en utilisant la distributivité, ou une identité remarquable, par exemple.
C'est ça le message ?

Concernant ton commentaire sur la somme, je vois bien ce que tu dis.
Donc finalement, la somme de 2 et 3 (qui est égale à 5), s'écrit 2 + 3, c'est le résultat de l'addition des termes 2 et 3.
Cependant, 2 + 3, c'est une addition entre 2 et 3, donc si tu considère le résultat 2+3 = 5, 2 et 3 sont les termes de la somme de 2 et 3, ce sont aussi les termes de l'addition (si tu considère l'opération), non ?

christophe c

@License1:

le problème est que sur les 70% d'erreurs dont j'ai parlé, une assez grosse proportion sont volontaires et revendiquées. Exemple, l'écriture la droite d'équation x=3 est relativement revendiquée par beaucoup.

Autre exemple: soit f la fonction définie par f(x)=3x+2

Autre exemple: l'exemple de PrOf lui-même.

Autre exemple: l'écriture de a×b = b×a plutôt que $\forall a\forall b: a\times b=b\times a$ à l'école primaire est extrêmement revendiquée

Autre exemple: la résolution d'équation qui reprend la variable liée de l'équation comme nom d'objet inconnu sur lequel on raisonne avec des si et seulement si (sans parler du fait que les équations sont souvent présentées sans lier l'inconnue, et même de nombreux enseignants ne "savent pas" et "n'ont ps envie de savoir" que l'inconnue d'une équation est une variable muette, tout autant que l'est $i$ dans $\sum_{_{i\in \{1;5;9;7;2\}}}( i^2+1)$)

Autre exemple: il existe un rang à partir duquel le terme $u_n$ de la suite $u:n\mapsto 1/n$ est dans $[0;10^{-5}]

Etc, etc, la liste serait longue. Je vais mettre un lien aussi signalé dans un autre fil où une institutrice barre une bonne réponse et écrit en rouge une idiotie si je le retrouve

Corriger des erreurs involontaires est plus facile que corriger des erreurs issues volontairement d'un confort d'écriture construit conjointement à la volonté de ne voir que l'entre soi.

PrOf

Je comprends Christophe, merci.

Je rebondis sur ce qu'a dit Samuel concernant la distinction entre ajouter et additionner. .
Mais qu'en est-il pour la soustraction, multiplication et division ?
Sais-tu s'il existe-t-il un autre terme imposant une symétrie comme le terme "ajouter" pour la soustraction, la multiplication et la division ?

Merci,
PrOf.

Samuel DM

Je ne prétends pas avoir une connaissance totale du sujet, mais il me semble que la soustraction et la division ne sont pas des opérations en tant que telles, elles viennent de l'addition de l'opposé et de la multiplication par l'inverse. Elles ont donc naturellement un ordre : on retranche/soustrait quelque chose, on divise par quelque chose. Il ne peut y avoir de commutativité pour ces opérations.

Pour ce qui est de la multiplication, elle est parfaitement commutative et associative, donc on peut, sans ambiguité, multiplier des réels entre eux sans préciser d'ordre. Ceci dit, si tu dis que tu multiplies par quelque chose, tu induis un ordre. En résumé : "multiplier" c'est sans ordre et "multiplier par" impose un ordre.

jacquot

Bonjour Autistic,
J'ai caché ton message concernant l'autisme.
Il est hors sujet dans cette discussion.
Si tu veux ouvrir un nouveau sujet, il faudra te loguer.
Amicalement. jacquot