image de L^1 par Fourier (suite)

pat4

bonjour a tous,
il y a une dizaine de jours, l'un d'entre nous (j'ai perdu la reference) a pose la questions suivante :
" il est "classique" que la tranformee de fourier envoie $L^1(\mathbb R)$ dans $c_0$ (fonctions continues s'annulant a l'infini), on peut verifier (par le theoreme de l'application ouverte, ou banach steinhaus ou une version amelioree de stone weierstrass) que ce n'est pas surjectif"
la question etait alors d'exhiber un element de $c_0\setminus \mathcal F(L^1)$.

En voici un :

pour cela il suffit de remarquer qu'une transformee de fourier $g=\mathcal F(f)$ verifiera s'elle esten outre, impaire : $$\exists C>0\ \vert\int_1^b g(t)/tdt0\ \vert\int_c^d \sin(t)/t \,dt\vert2$ convient parfaitement.....

(stein & weiss : introduction to fourier analysis on euclidian spaces)

Said6

bonjour a tous,
il y a une dizaine de jours, l'un d'entre nous (j'ai perdu la reference) a pose la questions suivante :
" il est "classique" que la tranformee de fourier envoie $L^1(\mathbb R)$ dans $c_0$ (fonctions continues s'annulant a l'infini), on peut verifier (par le theoreme de l'application ouverte, ou banach steinhaus ou une version amelioree de stone weierstrass) que ce n'est pas surjectif"
la question etait alors d'exhiber un element de $c_0\setminus \mathcal F(L^1)$.

En voici un :

pour cela il suffit de remarquer qu'une transformee de fourier $g=\mathcal F(f)$ verifiera s'elle esten outre, impaire : $$\exists C>0\ \vert\int_1^b g(t)/tdt0\ \vert\int_c^d \sin(t)/t \,dt\vert2$ convient parfaitement.....

(stein & weiss : introduction to fourier analysis on euclidian spaces)

Said6

Merci beaucoup Pat
(c'était moi qui ai posé le problème)
c'est une tres belle démonstration.

Amicalement
Said

e=mc31

Said

très intéressant ton exemple.

J'ai juste un problème avec Fubini car une intégrale de type sinx/x est semi convergente.

Said6

Bonjour,

"très intéressant ton exemple." c'est pas le mien
(stein & weiss : introduction to fourier analysis on euclidian spaces)
Merci encore pour pat

$(t,x)\longrightarrow f(t) \frac{sin(xt)}{x} $ est lebesgue integrable sur $\R \times [1,b]$ et appliques Fubini donc le probleme de semiconvergence ne pose pas de probleme.

$\vert \int _1^b \int _{\R}f(t) \frac{sin(xt)}{x}dt dx\vert =
\vert \int _{\R}f(t)dt\int _1^b \frac{sin(xt)}{x}dx\vert

\leq \vert \int _{\R}\vert f(t)\vert dt \vert \int _1^b \frac{sin(xt)}{x}dx\vert$

et
$\vert \int _1^b \frac{sin(xt)}{x}dx\vert$ est majore independamment de t .