Qu'est-ce qu'une algèbre ?

Rouletabille

Il me semble que la notion d'algèbre varie pas mal d'un auteur l'autre. Hier j'ai donné en colle en MP l'étude des $\mathbb{R}$-algèbres associatives et unifères (unitaires) de dimension 2, selon le message de mon cousin Raymond Cordier lors de la Saint-Roger 2013 :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,892164,892692#msg-892692
et je me suis aperçu que le nouveau programme de MP stipule que "les algèbres sont unitaires" tout en étant muet sur la question de savoir si elles sont obligatoirement associatives, ce qui va sans doute de soi pour le législateur. Cela tombait bien puisque ces deux hypothèses étaient présentes dans mon énoncé.

Mais en toute généralité, pour moi, si $K$ est un corps commutatif, une $K$-algèbre est un $K$-espace vectoriel muni d'une multiplication interne bilinéaire, épicétou. Par exemple, $\mathbb{R}^3$ muni du produit vectoriel est une $\mathbb{R}$-algèbre qui n'est ni associative ni unifère - ni bien sûr commutative.

Dans le message cité précédemment, RC montrait qu'il existait exactement trois structures de $\mathbb{R}$-algèbre associative et unifère de dimension 2, dont les applications sont décrites dans le beau livre d'Isaac M. Yaglom, Les nombres complexes et leurs applications en géométrie, Dunod 1966, ou bien : Complex Numbers in Geometry, Academic Press, 1968. Toutes trois commutaatives.

Il conjecturait que l'on pouvait se passer de l'hypothèse "unifère". Si vous le voyez, dites-lui qu'il n'est pas bon en conjecture.
Le sous-espace de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ engendré par les matrices $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$, avec la multiplication matricielle, est bel et bien une $\mathbb{R}$-algèbre associative au sens que j'ai dit, de dimension 2, mais qui n'est ni unifère ni commutative. Dommage.
Bonne soirée.
R
02/10/2014

Tonm

Hi. C'est de la hautesse ou une question!:-);-)