Polynôme de Taylor et meilleure approximation

fbi

Bonsoir,
j'étudie la preuve du fait que le polynôme de Taylor $P$ d'une fonction $f$ ($n$ fois dérivable en $x_0$) est la meilleure approximation polynomiale de$f$ au voisinage de $x_0$ : Mathématiques L1 Pearson p 864.
On a donc $f(x) = P(x-x_0) + o((x-x_0)^n)$ au voisinage de $x_0$.
On prend un polynôme $Q$ quelconque et on cherche à montrer qu'il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel $|f(x)-P(x-x_0)| \leqslant |f(x)-Q(x-x_0)|$.
Dès le début de la preuve, je peux lire :
$f(x)-Q(x-x_0)-(a_p-b_p)(x-x_0)^p=o((x-x_0)^{p+1})$
où les $a_k$ et $b_k$ sont les coefficients respectifs des polynômes $P$ et $Q$ et $p$ la valuation du polynôme (supposé non nul) $P-Q$.
Mon problème est le suivant :
je ne vois pas pourquoi on obtient un $o((x-x_0)^{p+1})$, je vois pour ma part plutôt un $o((x-x_0)^{p})$.
Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

Professeur Rectangle

Bonjour,
Comment $p$ est-il défini ?

Chalk

Le résultat que tu cherches à montrer est faux si tu ne supposes pas que $Q$ est au plus de degré $n$.

Si je prends la fonction f(x) = x², elle est dérivable en 0 , son polynôme de Taylor d'ordre 1 est le polynôme 0, et pourtant si je prends Q = x² ton résultat est manifestement faux.

En espérant ne pas dire de bêtise voici ma façon de faire.

Je suppose $x_{0} = 0$ pour écrire plus vite en Latex. Remarquons aussi que l'inégalité que tu cherches à prouver est vraie en 0.

Alors $f(x) - Q(x) - (a_{p} - b_{p}) x^{p} = P(x) + o(x^{n}) - Q(x) - (a_{p} - b_{p}) x^{p}$. Or $P(x) - Q(x) - (a_{p} - b_{p}) x^{p} = O(x^{p+1})$ par définition de $p$, et donc $f(x) - Q(x) - (a_{p} - b_{p}) x^{p} = o(x^{n}) + O(x^{p+1})$.

Supposons $p < n$. Alors $f(x) - Q(x) = (a_{p} - b_{p}) x^{p} + O(x^{p+1}) = O(x^{p})$.

Dans ce cas $(f(x) - P(x))x^{-n}$ converge vers $0$ en $0$. De plus $| (f(x)-Q(x))x^{-n} | = | O(x^{p-n}) | $ et donc diverge vers $+ \infty$ en $0$. En mettant tout ça ensemble on arrive à l'inégalité voulue sur un voisinage de $0$ privé de $0$, mais on a déjà dit que l'inégalité était vraie en $0$.

C'est très légèrement différent dans le cas où $p=n$, mais l'idée reste la même. A la place de la divergence vers l'infini tu auras la convergence vers une limite non nulle, et tu pourras donc conclure de la même manière.