Minimisation d'une fonction convexe

Voici un exercice utile (en tout cas pour moi) que je partage avec vous :

Soit $f : ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ une fonction $\mathcal{C^\infty}$ et strictement convexe telle que $f(x) = x^{-2} + O(x^{-1})$ lorsque $x \to 0^+$ et $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$.
1) Montrer que pour tout $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto n\,x + f(x)$ admet un minimum atteint en un unique $x_n \in ]0,+\infty[$.
2) Donner un développement asymptotique de $x_n$.

La question qui m'intéresse le plus est la suivante : à quel point ce genre de chose est-il classique, notamment en dimensions supérieures ?

Réponses

  • la question 1 la fonction est inf _compact donc l existence et l unicite la fonction fortement convexe
  • le deux la derivee s annule en la suite et la forme de f apres l expression de xn en fonction de f le resultat s ensuit
  • Quel résultat s'ensuit ?
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