Lexique mathématique
V
Valeur absolue
[ Definition ]
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On définit la valeur absolue de \(x\) comme étant le nombre réel positif, noté \(\left|x\right|\) donné par : \[\left|x\right|
= \begin{cases} ~~x \textrm{ si } x\geqslant 0 \newline -x \textrm{ si } x
<0 \end{cases}\]
En savoir plus
Valeur d’adhérence
[ Definition ]
Soit \(f:X\setminus\{x_0\}\rightarrow Y\), avec \(X\) et \(Y\) des espaces topologiques; on dit que \(y \in Y\) est une valeur d’adhérence de \(f\) en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(V_{x_0} \in {\cal V}(x_0)\) et tout \(V_y \in {\cal V}(y)\) on a \(V_y \cap f(V_{x_0}\setminus\{x_0\}) \neq \emptyset\).
En savoir plus
Valeur décimale approchée
[ Definition ]
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Les rationnels \(a_n\) et \(b_n\) sont appelés respectivement valeurs décimales approchées de \(x\) à \(10^{-n}\) près respectivement par défaut et par excès.
En savoir plus
Valeur moyenne d’une fonction
[ Definition ]
Soient \(\left[a,b\right]\) un segment et \(f\) une fonction continue par morceaux sur \(\left[a,b\right]\) à valeurs réelles. On appelle valeur moyenne de \(f\) sur le segment \(\left[a,b\right]\) la quantité \[\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x\]
En savoir plus
Valuation
[ Definition ]
Étant donné un élément \(p\) irréductible de \(A\) un anneau factoriel, on appelle valuation \(p\)-adique de \(A\) pour \(a\) dans \(A\) le nombre d’occurences d’un élément associé à \(p\) dans la décomposition de \(a\) sous forme \(a=a'.p_1.....p_n\). On note généralement \(v_p(A)\) la valuation \(p\)-adique de \(a\).
En savoir plus
Valuation d’une somme
[ Théorème ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
En savoir plus
Valuation d’un polynôme
[ Definition ]
Soit un polynôme \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) non nul. On appelle valuation de \(P\) le plus petit entier \(k\) tel que \(a_k\neq0\). On le note \({\mathop{\mathrm{val}}}(P)\). Par définition, la valuation du polynôme nul est \({\mathop{\mathrm{val}}}(0) = +\infty\)
En savoir plus
Valuation d’un produit
[ Théorème ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
En savoir plus
Variable aléatoire
[ Definition ]
Une variable aléatoire est une fonction mesurable d’un univers vers \(\mathbb{R}\) (muni de sa tribu borélienne pour la topologie usuelle).
En savoir plus
Variable aléatoire de Bernoulli
[ Definition ]
Variable aléatoire de Bernoulli: Un exemple particulièrement
simple et important de v.a étagée est celui où \(X\) ne prend que les valeurs 0 et 1, c’est
à dire où la loi de \(X\) est \[P_X=(1-p)\delta_0+p\delta_1,\] où \(p\in [0,1]\). Sa loi est appelée une
loi de Bernoulli. \(p\) est appelé le paramètre
de la loi de Bernoulli.
En savoir plus
Variable aléatoire réelle
[ Definition ]
Une
variable aléatoire réelle est une fonction mesurable d’une
tribu \((\Omega,\mathcal{A})\) dans la
tribu \((\mathbb R,\mathcal{B})\) où
\(\mathcal{B}\) est l’ensemble des
boréliens de \(\mathbb
R\).
En savoir plus
Variables aléatoires indépendantes
[ Definition ]
Soit \(F_X(t)={\cal L}_X(]-\infty,t])\); alors \(F_X\) est appelée fonction de répartition de \(X\).
En savoir plus
Variance
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle. On
appelle le moment centré d’ordre 2 de \(X\) la variance de \(X\), et sa racine carrée positive
l’écart type de \(X\), encore appelé déviation standard. On
note l’écart type \(\sigma(X)\) et la
variance \((\sigma(X))^2,\) ou plus
rarement \(V(X).\)
En savoir plus
Variation bornée
[ Definition ]
On dit qu’une suite \((x_n)\) est à variation bornée si la série de terme général \((y_n)\) est absolument convergente, avec \(y_n=x_{n+1}-x_n\),
En savoir plus
Variation totale de \(\mu\)
[ Definition ]
Étant donné \(\mu\) une mesure complexe sur \(X\), on appelle variation totale de \(\mu\) ou mesure de la variation totale de \(\mu\) et on note \(|\mu|\) l’application de l’ensemble des parties mesurables de \(X\) dans \([0,+\infty]\) qui à \(E\) mesurable associe \(sup\ \sum_i |\mu(E_i)|\), le \(sup\) étant pris sur l’ensemble des partitions de \(X\) en familles dénombrables \((E_i)_{i\in \mathbb{N}}\).
En savoir plus
Vecteur colonne d’une matrice
[ Definition ]
Pour toute matrice \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{1,1}&\dots&a_{1,p}\\
\vdots& \dots&\vdots\newline
a_{q,1}&\dots&a_{q,p}
\end{array}\right)\] on appelle, pour \(\left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket\) :
En savoir plus
Vecteur ligne
[ Definition ]
Pour toute matrice \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{1,1}&\dots&a_{1,p}\\
\vdots& \dots&\vdots\newline
a_{q,1}&\dots&a_{q,p}
\end{array}\right)\] on appelle, pour \(\left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket\) :
En savoir plus
Vecteur normal
[ Definition ]
Un vecteur est dit normal à un plan \(\mathscr P\) si et seulement si il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
En savoir plus
Vecteur normal
[ Definition ]
Soit \(D\) une droite du plan et \(\overrightarrow{n}\) un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \(D\). \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur normal à \(D\).
En savoir plus
Vecteurs colinéaires
[ Definition ]
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) sont colinéaires si il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\) ou un réel \(\eta\) tel que \(\overrightarrow{v} = \eta \overrightarrow{u}\).
En savoir plus
Vecteurs coplanaires
[ Definition ]
Trois vecteurs non nuls sont coplanaires si l’un des trois est élément du plan engendré par les deux autres (ou ce qui est équivalent si l’un de trois est combinaison linéaire des deux autres).
En savoir plus
Vecteurs orthogonaux
[ Definition ]
Deux vecteurs
\(x\) et \(y\) de \(E\) sont dits orthogonaux lorsque
\(\left( x \mid y \right)=0\).
En savoir plus
Vecteur unitaire
[ Definition ]
Soit \(x\) un vecteur d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) muni d’une norme \(\left\|\cdot\right\|\). On dit que \(x\) est unitaire si et seulement
si \(\left\|x\right\|=1\).
En savoir plus
Vecteur unitaire ou normé
[ Definition ]
Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme est 1.
En savoir plus
Version complexe
[ Théorème ]
On se donne \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’ensemble des fonctions continues de \(K\) un compact à valeurs dans \(\mathbb{C}\), stable par passage au conjugué et séparant les points de \(K\).
Version faible
[ Théorème ]
Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).
Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).
Version faible
[ Théorème ]
Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).
Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).
Version séries
entières
[ Proposition ]
Soit \(f(z)=\sum a_{n} z^{n}\) la somme d’une
série entière de rayon de convergence \(\rho>0 .\) Si au moins un des
coefficients a \(n^{\prime}\) est pas
nul, il existe un \(r\) dans \(] 0,+\infty[\) tel que \(f\) ne s’annule pas pour \(|z|\) dans l’intervalle \(] 0, r[.\)
En savoir plus
Voisinage
[ Definition ]
Soit \(X\) un espace topologique. Un voisinage \(V\) de \(x \in X\) est un ensemble tel qu’il existe un ouvert \(U\) avec \(x\in U \subset V\).
Voisinage d’un point
[ Definition ]
Soit \(V\) une partie de \(\mathbb{R}\) et un point adhérent \(a \in \overline{V}\). On dit que
En savoir plus
Voisinage d’un point
[ Definition ]
Soit \(M_0 \in \mathbb{R} [2]\). On dit qu’une partie \(V \subset \mathbb{R} [2]\) est un voisinage du point \(M_0\) s’il existe \(r > 0\) tel que la boule ouverte de centre \(M_0\) et de rayon \(r\) soit incluse dans \(V\). Avec ce vocabulaire, une partie \(U\) est ouverte si et seulement si \(U\) est un voisinage de chacun de ses points.
En savoir plus
Voisinages à gauche
[ Definition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}\). On dit qu’une partie \(V\) de \(\mathbb{R}\) est
En savoir plus