Lexique mathématique

Lexique mathématique

V
Valeur absolue
[ Definition ]
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On définit la valeur absolue de \(x\) comme étant le nombre réel positif, noté \(\left|x\right|\) donné par : \[\left|x\right| = \begin{cases} ~~x \textrm{ si } x\geqslant 0 \newline -x \textrm{ si } x <0 \end{cases}\]
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Valeur d’adhérence
[ Definition ]
Soit \(f:X\setminus\{x_0\}\rightarrow Y\), avec \(X\) et \(Y\) des espaces topologiques; on dit que \(y \in Y\) est une valeur d’adhérence de \(f\) en \(x_0\) si et seulement si pour tout \(V_{x_0} \in {\cal V}(x_0)\) et tout \(V_y \in {\cal V}(y)\) on a \(V_y \cap f(V_{x_0}\setminus\{x_0\}) \neq \emptyset\).
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Valeur décimale approchée
[ Definition ]
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Les rationnels \(a_n\) et \(b_n\) sont appelés respectivement valeurs décimales approchées de \(x\) à \(10^{-n}\) près respectivement par défaut et par excès.
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Valeur moyenne d’une fonction
[ Definition ]
Soient \(\left[a,b\right]\) un segment et \(f\) une fonction continue par morceaux sur \(\left[a,b\right]\) à valeurs réelles. On appelle valeur moyenne de \(f\) sur le segment \(\left[a,b\right]\) la quantité \[\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x\]
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Valuation
[ Definition ]
Étant donné un élément \(p\) irréductible de \(A\) un anneau factoriel, on appelle valuation \(p\)-adique de \(A\) pour \(a\) dans \(A\) le nombre d’occurences d’un élément associé à \(p\) dans la décomposition de \(a\) sous forme \(a=a'.p_1.....p_n\). On note généralement \(v_p(A)\) la valuation \(p\)-adique de \(a\).
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valuation d’une somme
[ Théorème ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
  1. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P+Q\right)\geqslant\min \left({\mathop{\mathrm{val}}} \left(P\right), {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)\right)}\);

  2. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\times Q\right)={\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\right) + {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)}\).

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Valuation d’un polynôme
[ Definition ]
Soit un polynôme \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) non nul. On appelle valuation de \(P\) le plus petit entier \(k\) tel que \(a_k\neq0\). On le note \({\mathop{\mathrm{val}}}(P)\). Par définition, la valuation du polynôme nul est \({\mathop{\mathrm{val}}}(0) = +\infty\)
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Valuation d’un produit
[ Théorème ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
  1. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P+Q\right)\geqslant\min \left({\mathop{\mathrm{val}}} \left(P\right), {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)\right)}\);

  2. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\times Q\right)={\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\right) + {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)}\).

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Variable aléatoire
[ Definition ]
Une variable aléatoire est une fonction mesurable d’un univers vers \(\mathbb{R}\) (muni de sa tribu borélienne pour la topologie usuelle).
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Variable aléatoire de Bernoulli
[ Definition ]
Variable aléatoire de Bernoulli: Un exemple particulièrement simple et important de v.a étagée est celui où \(X\) ne prend que les valeurs 0 et 1, c’est à dire où la loi de \(X\) est \[P_X=(1-p)\delta_0+p\delta_1,\]\(p\in [0,1]\). Sa loi est appelée une loi de Bernoulli. \(p\) est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli.
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variable aléatoire réelle
[ Definition ]
Une variable aléatoire réelle est une fonction mesurable d’une tribu \((\Omega,\mathcal{A})\) dans la tribu \((\mathbb R,\mathcal{B})\)\(\mathcal{B}\) est l’ensemble des boréliens de \(\mathbb R\).
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variables aléatoires indépendantes
[ Definition ]
Soit \(F_X(t)={\cal L}_X(]-\infty,t])\); alors \(F_X\) est appelée fonction de répartition de \(X\).
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variance
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle. On appelle le moment centré d’ordre 2 de \(X\) la variance de \(X\), et sa racine carrée positive l’écart type de \(X\), encore appelé déviation standard. On note l’écart type \(\sigma(X)\) et la variance \((\sigma(X))^2,\) ou plus rarement \(V(X).\)
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variation bornée
[ Definition ]
On dit qu’une suite \((x_n)\) est à variation bornée si la série de terme général \((y_n)\) est absolument convergente, avec \(y_n=x_{n+1}-x_n\),
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variation totale de \(\mu\)
[ Definition ]
Étant donné \(\mu\) une mesure complexe sur \(X\), on appelle variation totale de \(\mu\) ou mesure de la variation totale de \(\mu\) et on note \(|\mu|\) l’application de l’ensemble des parties mesurables de \(X\) dans \([0,+\infty]\) qui à \(E\) mesurable associe \(sup\ \sum_i |\mu(E_i)|\), le \(sup\) étant pris sur l’ensemble des partitions de \(X\) en familles dénombrables \((E_i)_{i\in \mathbb{N}}\).
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vecteur colonne d’une matrice
[ Definition ]
Pour toute matrice \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}&\dots&a_{1,p}\\ \vdots& \dots&\vdots\newline a_{q,1}&\dots&a_{q,p} \end{array}\right)\] on appelle, pour \(\left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket\) :
  • \(i\)-ème vecteur ligne de \(A\) le \(p-\)uplet \(L_i=\left(a_{i,1},\ldots,a_{i,p}\right)\in \mathbb{K}^p\).

  • \(j\)-ème vecteur colonne de \(A\) le \(q-\)uplet \(C_j\left(a_{1,j},\ldots,a_{q,j}\right)\in \mathbb{K}^q\).

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Vecteur ligne
[ Definition ]
Pour toute matrice \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}&\dots&a_{1,p}\\ \vdots& \dots&\vdots\newline a_{q,1}&\dots&a_{q,p} \end{array}\right)\] on appelle, pour \(\left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket\) :
  • \(i\)-ème vecteur ligne de \(A\) le \(p-\)uplet \(L_i=\left(a_{i,1},\ldots,a_{i,p}\right)\in \mathbb{K}^p\).

  • \(j\)-ème vecteur colonne de \(A\) le \(q-\)uplet \(C_j\left(a_{1,j},\ldots,a_{q,j}\right)\in \mathbb{K}^q\).

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Vecteur normal
[ Definition ]
Un vecteur est dit normal à un plan \(\mathscr P\) si et seulement si il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
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Vecteur normal
[ Definition ]
Soit \(D\) une droite du plan et \(\overrightarrow{n}\) un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \(D\). \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur normal à \(D\).
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Vecteurs colinéaires
[ Definition ]
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) sont colinéaires si il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\) ou un réel \(\eta\) tel que \(\overrightarrow{v} = \eta \overrightarrow{u}\).
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Vecteurs coplanaires
[ Definition ]
Trois vecteurs non nuls sont coplanaires si l’un des trois est élément du plan engendré par les deux autres (ou ce qui est équivalent si l’un de trois est combinaison linéaire des deux autres).
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Vecteurs orthogonaux
[ Definition ]
Deux vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) sont dits orthogonaux lorsque \(\left( x \mid y \right)=0\).
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Vecteur unitaire
[ Definition ]
Soit \(x\) un vecteur d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) muni d’une norme \(\left\|\cdot\right\|\). On dit que \(x\) est unitaire si et seulement si \(\left\|x\right\|=1\).
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Vecteur unitaire ou normé
[ Definition ]
Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme est 1.
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version complexe
[ Théorème ]

On se donne \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’ensemble des fonctions continues de \(K\) un compact à valeurs dans \(\mathbb{C}\), stable par passage au conjugué et séparant les points de \(K\).

Alors \(A\) est dense dans \(C^0(K,\mathbb{C})\) pour la norme \({\parallel}. {\parallel}_\infty\).
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version faible
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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version faible
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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version séries entières
[ Proposition ]
Soit \(f(z)=\sum a_{n} z^{n}\) la somme d’une série entière de rayon de convergence \(\rho>0 .\) Si au moins un des coefficients a \(n^{\prime}\) est pas nul, il existe un \(r\) dans \(] 0,+\infty[\) tel que \(f\) ne s’annule pas pour \(|z|\) dans l’intervalle \(] 0, r[.\)
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Voisinage
[ Definition ]

Soit \(X\) un espace topologique. Un voisinage \(V\) de \(x \in X\) est un ensemble tel qu’il existe un ouvert \(U\) avec \(x\in U \subset V\).

On note par \({\cal V}(x)\) l’ensemble des voisinages de \(x\).
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Voisinage d’un point
[ Definition ]
Soit \(V\) une partie de \(\mathbb{R}\) et un point adhérent \(a \in \overline{V}\). On dit que
  • \(V\) est un voisinage de \(a\) si et seulement si il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left]a-\varepsilon,a+\varepsilon\right[ \subset V\).

  • \(V\) est un voisinage de \(+\infty\) si et seulement si il existe \(B\in\mathbb{R}\) tel que \(\left]B,+\infty\right[ \subset V\).

  • \(V\) est un voisinage de \(-\infty\) si et seulement si il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que \(\left]-\infty,A\right[ \subset V\).

On note \(V_a\) l’ensemble des voisinages du point \(a\).
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Voisinage d’un point
[ Definition ]
Soit \(M_0 \in \mathbb{R} [2]\). On dit qu’une partie \(V \subset \mathbb{R} [2]\) est un voisinage du point \(M_0\) s’il existe \(r > 0\) tel que la boule ouverte de centre \(M_0\) et de rayon \(r\) soit incluse dans \(V\). Avec ce vocabulaire, une partie \(U\) est ouverte si et seulement si \(U\) est un voisinage de chacun de ses points.
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Voisinages à gauche
[ Definition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}\). On dit qu’une partie \(V\) de \(\mathbb{R}\) est
  • un voisinage à droite de \(a\) lorsqu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left[a,a+\varepsilon\right] \subset V\),

  • un voisinage à gauche de \(a\) lorsqu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left[a-\varepsilon,a\right] \subset V\),

  • un voisinage strict à droite de \(a\) lorsqu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left]a,a+\varepsilon\right] \subset V\),

  • un voisinage strict à gauche de \(a\) lorsqu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left[a-\varepsilon,a\right[ \subset V\),

  • un voisinage pointé de \(a\) lorsqu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\left[a-\varepsilon,a\right[\cup\left]a,a+\varepsilon\right] \subset V\).

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