Lexique mathématique

Lexique mathématique

U
Une application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice dans deux bases
[ Proposition ]
Soient: 
  1. \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(p\) et \(e=\left(e_1,\ldots,e_p\right)\) une base de \(E\).

  2. \(F\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(q\) et \(f=\left(f_1,\ldots,f_q\right)\) une base de \(F\).

l’application : \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{L}\left(E,F\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right) \newline u & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, si \(M\in \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\), il existe une unique application linéaire \(u\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) telle que \(\theta^{-1}\left(M\right)=u\). On dit que \(u\) est l’application linéaire de \(E\) dans \(F\) représentée par \(M\) dans les bases \(e\) de \(E\) et \(f\) de \(F\).
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Une application linéaire est inversible si et seulement si sa matrice est inversible
[ Proposition ]
Soient \(e\) et \(f\) des bases respectives des \(\mathbb{K}\)-espace vectoriels  \(E\) et \(F\) tous deux de dimension \(n\), \(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et \(A=\textrm{ Mat}_{f \gets e}\left(u\right)\). Alors \(A\) est inversible si et seulement si \(u\) est un isomorphisme.
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Une caractérisation pratique des automorphismes orthogonaux
[ Proposition ]
Soit \(u\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) et soit \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base orthonormale de \(E\). On a équivalence entre :
  1. \(u\in\mathrm{O}_{ }(E)\),

  2. \(\left(u\left(e_1\right),\dots,u\left(e_n\right)\right)\) est encore une base orthonormale de \(E\).

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Une fonction continue par morceaux est la somme d’une fonction continue et d’une fonction en escalier
[ Corollaire ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \([a,b]\). Il existe une fonction \(g\) continue sur \([a,b]\) et une fonction \(\psi\) en escalier sur \([a,b]\) telles que \(f = g + \psi\).
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Une fonction continue sur un intervalle possède une primitive
[ None ]
  1. Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).

  2. Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\)

alors \(\boxed{\textrm{ $f$ possède une primitive $F$ sur $I$}}\).

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Une fonction est équivalente à sa limite si celle-ci est non nulle et finie
[ Proposition ]
Soit \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) et \(a\in\overline I\). Alors \[\left[f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow a]{}l \quad \textrm{ et} \quad l\neq 0 \right]\Rightarrow f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim}l\]
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Une fonction lipschitzienne est continue
[ Théorème ]
Si une fonction \(f~:~I\mapsto \mathbb{R}\) est lipschitzienne sur l’intervalle \(I\), alors \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\).
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Une fonction \(\mathcal{C}^{1}\) admet des dérivées selon tout vecteur
[ None ]
Si \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur l’ouvert \(U\), alors pour tout point \(M_0=(x_0,y_0)\) et tout vecteur non nul \(\overrightarrow{H}=(h,k)\), \(f\) admet une dérivée selon le vecteur \(\overrightarrow{H}\) au point \(M_0\) et \[{\mathrm{D}_{\overrightarrow{H}}}{f}(M_0) = h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + k \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\]
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Une fonction \(\mathcal{C}^{1}\) est continue
[ None ]
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\) alors \(f\) est continue en tout point de \(U\).
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Une fonction \(\mathcal{C}^{n}\) admet un DL d’ordre \(n\)
[ Théorème ]
Soit \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle avec \(0 \in I\). On suppose que
  1. \(f \in {\mathcal{C}}^[(n) ]{I}\)

Alors la fonction \(f\) admet un développement limité en \(0\) à l’ordre \(n\) donné par \[f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\]
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Une forme \(n\)-linéaire antisymétrique détecte les systèmes liés
[ Proposition ]
Soit \(\varphi\) une forme \(n\)-linéaire antisymétrique. Si la famille \((x_1,\dots, x_n)\) est liée, alors \(\varphi(x_1,\dots, x_n) = 0_{\mathbb{K} }\).
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Une intersection de sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel
[ Proposition ]
Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(\left(F_i\right)_{i\in I}\) une famille de sous-espaces vectoriels de \(E\) alors \(\displaystyle{\bigcap_{i\in I} F_i}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
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Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à sa taille
[ Théorème ]
\(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) est inversible si et seulement si \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=n\).
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Un endomorphisme est entièrement déterminé par sa matrice dans une base
[ Proposition ]
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(e\) une base de \(E\). Alors, l’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{L}\left(E\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) \newline u & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{e}\left(u\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’anneaux et d’espaces vectoriels. En particulier, si \(M\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\), il existe un unique endomorphisme \(u\in \mathfrak{L}\left(E\right)\) tel que \(\theta^{-1}\left(M\right)=u\). On dit que \(u\) est l’endomorphisme de \(E\) représenté par \(M\) dans la base \(e\).
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Un endomorphisme est inversible si et seulement si son déterminant est non nul
[ Proposition ]
  1. \(\boxed{ u \in \mathrm{GL}_{ }(E) \Longleftrightarrow \mathop{\rm det}(u) \neq 0_{\mathbb{K} } }\).

  2. Si \(u \in \mathrm{GL}_{ }(E)\), \(\mathop{\rm det}(u^{-1}) = \dfrac{1}{\mathop{\rm det}(u)}\).

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Une première caractérisation des matrices inversibles
[ Théorème ]

Soient \(A,B\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\). On suppose que :

  1. \(A\times B=I_n\)

alors \(A\) et \(B\) sont inversibles et inverses l’une de l’autre : \(B=A^{-1}\) et \(A=B^{-1}\).
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une probabilité
[ Definition ]
Etant donnés un espace d’observables \(\Omega\) et une tribu d’évènements \(\mathcal{A}\) formée de certains sous ensembles de \(\Omega\), une probabilité \(P\) est une application de \(\mathcal{A}\) dans \([0,1]\) , donc un procédé qui associe à tout évènement \(A\) un nombre \(P(A)\) compris entre 0 et 1 appelé probabilité de \(A\), et qui satisfait aux axiomes suivants
  • L’évènement certain est de probabilité 1: \(P(\Omega)=1.\)

  • Axiome d’additivité dénombrable: pour toute suite \(A_1,A_2,\ldots, A_n\ldots\) d’évènements de \(\mathcal{A}\) qui sont de plus deux à deux disjoints, c’est à dire tels que \(A_k\cap A_j=\emptyset\) si \(k\neq j,\) alors la série \[\sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)\] converge et a pour somme \(P(\bigcup_{k\geq 1}A_k).\)

Le triplet \((\Omega,\mathcal{A},P)\) est alors appelé un espace de probabilité.
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Un équivalent donne localement le signe
[ Proposition ]
Si \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim} g\left(x\right)\) alors il existe un voisinage de \(a\) sur lequel \(f\) et \(g\) sont de même signe.
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Un équivalent simple permet de connaître le signe d’une suite
[ Proposition ]
Si \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont deux suites réelles équivalentes alors, il existe un rang à partir duquel elles sont de même signe \[u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n \Rightarrow \left[\exists N \in \mathbb{N}: \quad \forall n \geqslant N, \quad u_n v_n\geqslant 0\right]\]
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Une seconde caractérisation des matrices inversibles
[ Proposition ]
\[A\in GL_{n}\left(\mathbb{K}\right) \Longleftrightarrow\left[\forall X\in\mathfrak{M}_{n,1}\left(\mathbb{K}\right), \quad AX=0 \quad\Rightarrow \quad X=0\right].\]
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Une suite convergente est bornée
[ Théorème ]
Toute suite convergente est bornée.
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Une suite est dominée par une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième est borné
[ Théorème ]
Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites. Si à partir d’un certain rang \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas alors : \[\boxed{u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \textrm{ $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée}}\]
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Une suite est équivalente à une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième tend vers \(1\).
[ Théorème ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. Si \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors \[\boxed{u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1}\]
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Une suite est négligeable devant une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième tend vers \(0\).
[ Théorème ]
Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. Si à partir d’un certain rang \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas alors : \[\boxed{u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\]
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Une suite extraite d’une suite convergente est convergente
[ Proposition ]
Toute suite extraite d’une suite \(\left(u_n\right)\) convergeant vers une limite \(l\) est une suite convergeant vers \(l\)
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Unicité de la borne supérieure
[ Proposition ]
Si une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) possède une borne supérieure alors celle-ci est unique.
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Unicité de la limite
[ Théorème ]
La limite d’une suite réelle, si elle existe, est unique.
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Unicité de la limite
[ Proposition ]
Si \(f\) admet pour limites en \(a \in \overline{I}\) les réels \(\ell\) et \(\ell'\) alors \(\ell=\ell'\). On dira que \(\ell\) est la limite de \(f\) en \(a\) et on écrira \(\ell= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}\) ou \(\displaystyle{\ell = \lim_{a} f}\).
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Unicité de l’élément neutre
[ Proposition ]
Si \((E,\star)\) possède un élément neutre, il est unique.
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Unicité du développement limité
[ Proposition ]
Si \(f\) admet un développement limité en \(a\) à l’ordre \(n\), ce développement limité est unique.
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Unicité du DL
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) admettant un DL d’ordre \(n\) en \(0\). Alors la partie régulière du DL d’ordre \(n\) en \(0\) de \(f\) est unique. Autrement dit, s’il existe des polynômes de degré \(n\) \(P_1\) et \(P_2\) tels que \[f(x) = P_1(x) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right) = P_2(x) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\] alors \(P_1=P_2\).
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Un polynôme non nul de degré \(\leqslant n\) admet au plus \(n\) racines
[ Théorème ]
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme non nul de degré \(\leqslant n\). Si \(P\) admet au moins \(n+1\) racines distinctes alors \(P\) est nul.
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Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel
[ Proposition ]
Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(F\subset E\), une partie non vide de \(E\). On a équivalence entre les deux propositions suivantes.
  1. La partie \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(E,+,.\right)\).

  2. Muni des lois de \(E\) restreintes à \(F\), \(\left(F,+,.\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

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Un sous-groupe a une structure de groupe
[ Théorème ]
Si la partie \(H\) est un sous-groupe de \((G, \star)\), alors puisque cette partie est stable pour la loi de composition interne, on peut définir la restriction de la loi \(\star\) à \(H\) qui est une loi de composition interne sur \(H\). Muni de cette loi restreinte, \((H, \star)\) est un groupe.
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Utilisation de la parité
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) admettant un DL d’ordre \(n\) en \(0\). Si \(f\) est paire (impaire) sur un voisinage symétrique de \(0\), alors la partie principale de son DL à l’ordre \(n\) en \(0\) ne contient que des puissances paires (impaires).
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