Lexique mathématique

Lexique mathématique

T
tangente
[ Definition ]
On définit la relation suivante sur l’ensemble des fonctions continues en \(0\): \[f\equiv^n g \mbox{ si } f-g=o(x^n)\] On dit que \(f\) est tangente à \(g\) à l’ordre \(n\).
En savoir plus
Tangente à la parabole
[ Proposition ]
Dans un repère \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), on considère la parabole \(\mathscr P\) de paramètre \(p>0\) et paramétrée par \(\left\{\begin{array}{l} x(t)={\scriptstyle p~t^2\over\scriptstyle 2}\newline y(t)= p~t \end{array}\right. :t \in \mathbb{R}\).
  • La tangente \(\mathscr T_{M_0}\) à \(\mathscr P\) au point \(M_0\) de \(\mathscr P\) de paramètre \(t_0\in \mathbb{R}\) a pour équation: \[\boxed{x-t_0 y+p{\scriptstyle t_0^2\over\scriptstyle 2}=0}\]

  • La tangente \(\mathscr T_{M_0}\) à \(\mathscr P\) au point \(M_0(x_0,y_0)\) a pour équation \[y~y_0 = p (x+x_0)\]

En savoir plus
Tangente à un arc paramétré
[ Definition ]
Soit un arc paramétré \(\gamma = (I, \overrightarrow{F})\) et \(t_0 \in I\). On dit que l’arc admet une tangente au point \(M_0 = M(t_0) \in \Gamma\) si la famille de droites \(D_t = \bigl(M(t_0), M(t)\bigr)\) admet une limite lorsque \(t \rightarrow t_0\). La droite limite s’appelle la tangente à l’arc au point \(M_0\).
En savoir plus
Tangente en un point régulier
[ Proposition ]
Un arc paramétré possède une tangente en un point régulier \(M(t_0)\) : la droite passant par \(M(t_0)\) dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{F}'(t_0)\).
En savoir plus
Tangente en un point stationnaire
[ Proposition ]

Soit \(M(t_0)\) un point stationnaire d’une courbe paramétrée \((I,\overrightarrow{F})\)\(\overrightarrow{F}\) est donnée par le couple de fonctions \((x,y)\) définies sur \(I\) .

  • si \(\boxed{\dfrac{y(t)-y(t_0)}{x(t)-x(t_0)} \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} m}\)\(m\) est un réel alors la courbe admet en \(M(t_0)\) une tangente de pente \(m\).

  • si \(\boxed{\left| \dfrac{y(t)-y(t_0)}{x(t)-x(t_0)} \right| \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} +\infty}\) alors la courbe admet en \(M(t_0)\) une tangente verticale.

En savoir plus
Tangente en un point stationnaire
[ Proposition ]
Si \(M(t_0)\) est un point stationnaire d’un arc \(\mathcal{C}^{k}\) et s’il existe \(p \leqslant k\) tel que \[\overrightarrow{F}'(t_0) = \dots = \overrightarrow{F}^{(p-1)}(t_0) = 0, \overrightarrow{F}^{(p)}(t_0) \neq 0\] alors l’arc possède une tangente au point \(M(t_0)\) dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{F}^{(p)}(t_0)\).
En savoir plus
Tangente hyperbolique
[ Definition ]
La fonction tangente hyperbolique, notée \(\operatorname{th}\), est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[\operatorname{th} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x} \end{array} \right.\]
En savoir plus
Taux d’accroissement
[ Definition ]
Soient \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et \(a\in I\). On définit le taux d’accroissement de la fonction \(f\) au point \(a\) comme étant la fonction \(\Delta_{a,f}\) définie par \[\Delta_{a,f}: \left\{ \begin{array}{ccl} I\setminus \left\{ a \right\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{array} \right.\]
En savoir plus
terme dominant
[ Definition ]
Soit un polynôme \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) avec \(a_p\neq 0\).
  • On appelle degré de \(P\) et on note \(\deg\left(P\right)\) l’entier \(p\).

  • Par convention, le degré du polynôme nul est \(-\infty\).

  • On appelle terme dominant de \(P\) le monôme \(a_p X^p\).

En savoir plus
Théorème d’arrêt éventuel de Doob
[ Théorème ]

Soit \(T\) un temps d’arrêt et \(X\) une surmartingale, alors si l’une des conditions suivantes est vérifiée:

  • \(\exists N ; \forall {\omega}T({\omega}) < N\)

  • \(\exists K ; \forall ({\omega},n) |X_n({\omega})|<K\) et pour presque tout \({\omega}\) \(T\) est fini.

  • \(E(T)<\infty\) et \(\exists K\) tel que \(\forall (n,{\omega}) |X_n({\omega})-X_{n-1}({\omega})| \leq K\)

alors on peut conclure que \(E(X_T)\leq E(X_0)\).
En savoir plus
Théorème d’Arzela-Ascoli
[ Théorème ]

Soit \(K\) un espace compact et \(F\) un espace métrique. Une partie \({\cal F}\) incluse dans \(C^0(K,F)\) est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si on a les deux conditions suivantes:

\(\bullet\)La famille \({\cal F}\) est équicontinue

\(\bullet\)Pour tout \(x\in K\) l’ensemble des \(f(x)\) pour \(f \in {\cal F}\) est relativement compact
En savoir plus
Théorème d’Ascoli
[ Théorème ]
 

\(\bullet\)Soit \(F\) un espace métrique2, et \(E\) un espace topologique; soit \({\cal F}\) une famille équicontinue en \(e\in E\) de fonctions de \(E\) dans \(F\).

Alors \(\overline {\cal F}\)3 est équicontinue en \(e\).

\(\bullet\)Si \({\cal F}\) est équicontinue en tout point, alors \(\overline {\cal F}\) est équicontinue en tout point.

\(\bullet\)Avec \({\cal E}\) une partie dense de \(E\), la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, la topologie induite par la convergence simple sur \({\cal E}\)4, induisent la même topologie sur \({\cal F}\) (si \({\cal F}\) est équicontinue sur \(X\)).

En savoir plus
Théorème de Baire
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est localement compact, ou s’il est métrique complet, alors

\(\bullet\)Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense

\(\bullet\)Une réunion dénombrable de fermés recouvrant \(X\) comporte un fermé d’intérieur non vide
En savoir plus
Théorème de Baire
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est localement compact, ou s’il est métrique complet, alors

\(\bullet\)toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense

\(\bullet\)une réunion dénombrable de fermés recouvrant \(X\) comporte un fermé d’intérieur non vide
En savoir plus
Théorème de Banach-Alaoglu
[ Théorème ]
Soit \(E'\) le dual d’un espace normé, alors sa boule unité fermée est compacte pour la topologie faible-* (i.e. la topologie engendrée par les applications qui à \(\phi\in E'\) associent \(\phi(x)\) pour un certain \(x\in E\)).
En savoir plus
Théorème de Banach du point fixe
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace métrique complet et \(h\) une contraction de \(X\) dans \(X\). Alors:

\(\bullet\)\(h\) admet un unique point fixe \(x_0\)

\(\bullet\)\(\forall x \ d(x,x_0) \leq \frac1{1-Lip(h)}d(x,h(x))\)
En savoir plus
Théorème de Banach-Steinhaus
[ Théorème ]

Ce théorème est dit aussi théorème de la borne uniforme.

On se donne \(E\) et \(F\) des espaces de Banach, et \((T_i)_{i \in I}\) une famille d’applications linéaires continues de \(E\) dans \(F\).

Si pour tout \(x\), \(\exists M_x ; \forall i\in I , \ {\parallel}T_i(x) {\parallel}\leq M_x{\parallel}x {\parallel}\).

Alors \(\exists M ; \forall i\in I, \ {\parallel}T_i {\parallel}\leq M\).

En savoir plus
Théorème de Banach-Steinhaus
[ Théorème ]
Soit \(T_\alpha:E \rightarrow F\) une famille d’applications linéaires continues de l’espace de Banach \(E\) dans l’espace normé \(F\). Si \[\forall x,\sup_{\alpha} \parallel T_\alpha x \parallel < \infty \] alors \(sup_\alpha \parallel T_\alpha \parallel < \infty\).
En savoir plus
Théorème de Bezout
[ None ]
Dans un anneau principal des éléments \(a_i\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe une famille \({\lambda}_i\) d’éléments de \(A\) telle que \(\sum {\lambda}_i a_i\) soit une unité.
En savoir plus
Théorème de Bezout
[ Théorème ]
\(A\) est supposé principal.

\(\bullet\)Un générateur de \(I=(a_1)+(a_2)+...+(a_n)\) est un pgcd des \(a_i\).

\(\bullet\) \(d\), diviseur commun des \(a_i\), est pgcd des \(a_i\) si et seulement s’il existe une famille \(({\lambda}_i)_{i\in [[1,n]]}\) tels que \(d=\sum {\lambda}_i a_i\) (relation de Bezout).

\(\bullet\)Un générateur de \(I=(a_1)\cap(a_2)\cap ... \cap (a_n)\) est un ppcm des \(a_i\).

En savoir plus
Théorème de Bézout
[ Théorème ]
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. Il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \[PU + QV = P \wedge Q.\]
En savoir plus
Théorème de Bézout
[ Théorème ]
Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\). On a \[a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \left[\exists(u, v) \in \mathbb{Z}^{2}~: \quad 1 = au + bv\right].\]
En savoir plus
Théorème de Bolzano-Weierstrass
[ Théorème ]
Un espace métrique est compact si et seulement si toute suite à valeurs dans \(X\) contient une sous-suite convergente.
En savoir plus
Théorème de Bolzano-Weierstrass
[ Théorème ]
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.
En savoir plus
Théorème de Brouwer
[ Théorème ]
Soit \(f\) une application continue de \(\Delta\) dans \(\Delta\). Alors \(f\) admet au moins un point fixe.
En savoir plus
Théorème de Brouwer
[ Théorème ]
Soit \(f\) une application continue de \(\Delta\) dans \(\Delta\). Alors \(f\) admet au moins un point fixe.
En savoir plus
Théorème de Cantor
[ Théorème ]
Pour tout ensemble \(E\), on a \(\# E < \# {\cal P}(E)\).
En savoir plus
Théorème de Cantor-Bernstein
[ Théorème ]
Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(f\) une injection de \(E\) dans \(F\), et \(g\) une injection de \(F\) dans \(E\); alors il existe une bijection de \(E\) dans \(F\).
En savoir plus
Théorème de Carathéodory
[ Théorème ]
Soit \({\cal A}\) la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal B}\) une algèbre, et \(\mu\) \(\sigma\)-additive de \({\cal B}\) dans \([0,+\infty]\). alors il existe une mesure \(\mu'\) sur \({\cal A}\) dont la restriction à \({\cal B}\) est \(\mu\). Si \(\mu(X)<+\infty\), alors cette extension est unique.
En savoir plus
Théorème de Carmichael
[ Corollaire ]
On a \(a^{\lambda(n)}\equiv 1\; (n)\) pour tout entier \(a\) premier à \(n\). Réciproquement, si \(m\) vérifie \(a^m\equiv 1\;(n)\) pour tout entier \(a\) premier à \(n\), alors \(m\) est multiple de \(\lambda(n)\).
En savoir plus
Théorème de Cauchy dans le cas d’un triangle dans un convexe
[ Corollaire ]

Soit un triangle de sommets \(a\), \(b\) et \(c\). L’intégrale le long de ce triangle est en fait l’intégrale suivant \([a,b]\), plus l’intégrale suivant \([b,c]\), plus l’intégrale suivant \([c,a]\).

On suppose \(\Omega\) convexe contenant \(a\), \(b\) et \(c\).

Alors soit \(f\) une fonction continue sur \(\Omega\), et holomorphe sur \(\Omega\setminus\{ p \}\), avec \(p \in \Omega\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long du triangle est nulle.

(On montrerait facilement le même résultat pour un carré où n’importe quel autre polygone, en le triangulant)

En savoir plus
Théorème de Cauchy dans le cas d’un triangle dans un convexe
[ Corollaire ]

Soit un triangle de sommets \(a\), \(b\) et \(c\). L’intégrale le long de ce triangle est en fait l’intégrale suivant \([a,b]\), plus l’intégrale suivant \([b,c]\), plus l’intégrale suivant \([c,a]\).

On suppose \(\Omega\) convexe contenant \(a\), \(b\) et \(c\).

Alors soit \(f\) une fonction continue sur \(\Omega\), et holomorphe sur \(\Omega\setminus\{ p \}\), avec \(p \in \Omega\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long du triangle est nulle.

(On montrerait facilement le même résultat pour un carré où n’importe quel autre polygone, en le triangulant)
En savoir plus
Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]

On suppose \(\Omega\) ouvert et convexe, \(p\) dans \(\Omega\), \(f\) continue sur \(\Omega\) et \(f\in H(\Omega \setminus \{p\})\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est nulle pour tout chemin \(\gamma\) fermé tel que \(\gamma^* \subset \Omega\).
En savoir plus
Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]

On suppose \(\Omega\) ouvert et convexe, \(p\) dans \(\Omega\), \(f\) continue sur \(\Omega\) et \(f\in H(\Omega \setminus \{p\})\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est nulle pour tout chemin \(\gamma\) fermé tel que \(\gamma^* \subset \Omega\).
En savoir plus
Théorème de Cayley
[ Théorème ]
Si \(G\) est fini, alors \(G\) est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de \(G\).
En savoir plus
Théorème de convergence des suites adjacentes
[ Théorème ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On suppose que
  1. les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes.

Alors ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limite \(l\in\mathbb{R}\). De plus, \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant l \leqslant v_n}\]
En savoir plus
Théorème de convergence monotone
[ Théorème ]

Soit \(f_n\) une suite croissante de fonctions mesurables positives.

Alors \(f=sup f_n\) est mesurable et \(\int f = lim\ \int f_n\).
En savoir plus
Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles d’un plan projectif. On note \(a\), \(b\) et \(c\) les points d’intersection respectifs de \(BC\) et \(B'C'\), \(AC\) et \(A'C'\), \(AB\) et \(A'B'\). Alors \(a\), \(b\) et \(c\) sont alignés si et seulement si \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes.
En savoir plus
Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles d’un plan projectif. On note \(a\), \(b\) et \(c\) les points d’intersection respectifs de \(BC\) et \(B'C'\), \(AC\) et \(A'C'\), \(AB\) et \(A'B'\). Alors \(a\), \(b\) et \(c\) sont alignés si et seulement si \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes.
En savoir plus
Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles 4. Alors \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes ou parallèles.
En savoir plus
Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles 3. Alors \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes ou parallèles.
En savoir plus
Théorème de Dirichlet
[ Théorème ]

Si \(f\) est \(L^1\) et si \(f\) admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en \(x\), alors \[\sigma_n(f)(x) \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))\]

En savoir plus
Théorème de Fejer
[ Théorème ]

\(\bullet\)Soit \(f\) périodique continue de période \(2\pi\). Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_\infty\) et \({\parallel}\sigma_n(f)-f {\parallel}_\infty \to 0\) pour \(n\to \infty\).

\(\bullet\)Soit \(f\) \(\in\) \({\mathfrak L}^p\), avec \(p\in[1,\infty[\)2. Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_p\) et \({\parallel}\sigma_n(f) -f {\parallel}_p \to 0\) pour \(n\to \infty\).

En savoir plus
Théorème de Fischer-Riesz
[ None ]
Les espaces \(L^p\) sont des espaces de Banach, pour \(p \in [1,+\infty]\).
En savoir plus
Théorème de Gauss
[ Théorème ]
Soient trois entiers non nuls \((a, b, c) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^3\). \[\left[ a \mid bc \quad \textrm{ et} \quad a \wedge b = 1 \right] \Rightarrow a \mid c\]
En savoir plus
Théorème de Gauss
[ Théorème ]
Si \(z\) divise \(x.y\) et si \(z\) est premier avec \(x\) alors \(z\) divise \(y\).
En savoir plus
Théorème de Hahn-Banach des \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel
[ Théorème ]

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(p\) une application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\bullet\)\(\forall (x,y) \in E, p(x+y) \leq p(x)+p(y)\)

\(\bullet\)\(\forall x \in E, \forall {\lambda}\in \mathbb{R}^+, p({\lambda}.x)={\lambda}.p(x)\)

Alors toute forme linéaire \(l\) sur \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) telle que \(l(x) \leq p(x)\) peut être prolongée en une forme linéaire \(L\) sur \(E\) telle que \(\forall x,\ L(x) \leq p(x)\).
En savoir plus
Théorème de Heine
[ Théorème ]
Une application continue d’un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.
En savoir plus
Théorème de Heine
[ Théorème ]
Une fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
En savoir plus
Théorème de Hilbert
[ Théorème ]
Si \(A\) est un anneau noethérien, alors pour tout \(n\) \(A[X_1,...,X_n]\) est aussi un anneau noethérien.
En savoir plus
Théorème de la base incomplète
[ Théorème ]
Si \(I\) est une famille libre et \(K\) une famille génératrice finie, avec \(I \subset K\), alors il existe \(J\) avec \(I \subset J \subset K\) tel que \(J\) soit une base.
En savoir plus
Théorème de la base incomplète
[ Théorème ]
Si \(I\) est une famille libre et \(K\) une famille génératrice finie, avec \(I \subset K\), alors il existe \(J\) avec \(I \subset J \subset K\) tel que \(J\) soit une base.
En savoir plus
Théorème de la base orthonormale incomplète
[ None ]
Toute famille orthonormale \(\left(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p\right)\) d’un espace euclidien \(E \neq \{0_E\}\) de dimension \(n\) (\(p\leqslant n\)) peut être complétée par des vecteurs \(\varepsilon_{p+1},\dots,\varepsilon_n\) de \(E\) en sorte que la famille \(\left(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\right)\) soit une base orthonormale de \(E\).
En savoir plus
Théorème de la bijection
[ Théorème ]
Soit une application \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\). On note \(J=f(I)\). On suppose que la fonction \(f\) est
  1. continue sur \(I\),

  2. strictement monotone sur \(I\).

Alors,

  1. \(J\) est un intervalle,

  2. \(f\) réalise une bijection de l’intervalle \(I\) vers l’intervalle \(J\),

  3. la bijection réciproque \(f^{-1} : J \mapsto I\) est une fonction continue sur \(I\), strictement monotone de même sens que \(f\).

En savoir plus
Théorème de la bijection
[ Théorème ]
Soit \(I\) un intervalle et soit une application \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\). On note \(J=f(I)\). On suppose que la fonction \(f\) est
  1. continue sur \(I\).

  2. strictement monotone sur \(I\).

alors la fonction \(f\) réalise une bijection de l’intervalle \(I\) sur l’intervalle \(J\) et sa bijection réciproque \(f^{-1}\) est une fonction continue et strictement monotone sur \(J\) de même sens que \(f\).
En savoir plus
Théorème de la bijection de classe \(\mathcal{C}^{n}\)
[ Théorème ]
Soit \(f\in \mathcal{C}^{n}\left(I\right)\) telle que
  1. \(f'\) ne s’annule pas sur \(I\).

alors \(f\) est une bijection sur son image \(J=f(I)\) et \(f^{-1}\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(J\).
En savoir plus
Théorème de la convergence dominée de Lebesgue
[ Théorème ]
Soit \(f_n\) de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Hypothèses:

\(\bullet\)\(f_n\) mesurable.

\(\bullet\)Pour presque tout \(x\), \(f_n(x)\) converge.

\(\bullet\)Il existe une fonction \(g\) intégrable de \(X\) dans \([0,+\infty]\) majorant toutes les fonctions \(|f_n|\).

Alors:

\(\bullet\)une certaine fonction \(f\) est limite simple des \(f_n\); cette fonction est intégrable.

\(\bullet\)\(\int | f-f_n |\) \(\rightarrow\)\(0\) (convergence \(L^1\) de \(f_n\) vers \(f\)).

\(\bullet\)\(\int f_n \rightarrow \int f\) pour \(n\) \(\rightarrow\)\(+\infty\)
En savoir plus
Théorème de Lagrange
[ Théorème ]
Soit \(G\) un groupe fini, et \(H\) un sous-groupe de \(G\), alors \[|G|=|H|.|G/H|\]
En savoir plus
Théorème de la limite centrale
[ Théorème ]
Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires réelles indépendantes identiquement distribuées et de variance finie. Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), \[\frac{S_n-nE(X_1)}{\sqrt{n\,Var\ X_1}}\] converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.
En savoir plus
Théorème de la limite monotone
[ Théorème ]
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite croissante. On a les deux possibilités suivantes.
  1. Si la suite \(\left(u_n\right)\) est majorée alors elle converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\) donnée par \(l=\sup\left\{u_n ~|~ n \in \mathbb{N}\right\}\).

  2. Si la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas majorée alors elle diverge vers \(+\infty\).

En savoir plus
Théorème de la limite monotone (fonction croissante)
[ Théorème ]
Soient \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\) et \(I = \left] a,b \right[\). Si une fonction \(f:\left] a,b \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) est croissante, alors il y a deux possibilités.
  1. Si \(f\) est majorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(b\) et on a alors \(l= \sup_I f\).

  2. Si \(f\) n’est pas majorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow b]{} +\infty\).

De même,

  1. Si \(f\) est minorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) et \(l = \inf_I f\).

  2. Si \(f\) n’est pas minorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} -\infty\).

En savoir plus
Théorème de la limite monotone (fonction décroissante)
[ Théorème ]
Soient \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\) et \(I = \left] a,b \right[\). Si une fonction \(f:\left] a,b \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) est décroissante, alors il y a deux possibilités.
  1. Si \(f\) est majorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) et on a alors \(l= \sup_I f\).

  2. Si \(f\) n’est pas majorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} +\infty\).

De même,

  1. Si \(f\) est minorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(b\) et \(l = \inf_I f\).

  2. Si \(f\) n’est pas minorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow b]{} -\infty\).

En savoir plus
Théorème de la limite séquentielle
[ Théorème ]
On considère une fonction \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) et \(a\in \bar{I}\). Soit une suite \(\left(u_n\right)\) de points de \(I\) et \(l\in \bar{l}\). On suppose que
  1. \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} a\)

  2. \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\)

alors \(\boxed{f(u_n) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l}\).
En savoir plus
Théorème de l’application ouverte
[ Théorème ]
Soient \(E\) et \(F\) des espaces de Banach, et \(T\) une application linéaire continue surjective de \(E\) dans \(F\). Alors \(T\) est ouverte (c’est-à-dire que l’image de tout ouvert par \(T\) est un ouvert.
En savoir plus
Théorème de l’application ouverte
[ Théorème ]
Une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach est ouverte.
En savoir plus
Théorème de l’image ouverte
[ Théorème ]
On se donne \(\Omega\) un ouvert connexe, i.e. un domaine, et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Alors si \(f\) n’est pas constante, et pour tout \(z_0\) dans \(\Omega\), \(f\) induit sur un voisinage ouvert \(V\) de \(z_0\) une application surjective de \(V\) sur un ouvert \(W\), telle que pour tout \(w\) dans \(W\setminus \{w_0=f(z_0)\}\), il y ait exactement \(m\) points distincts \(z \in V\) dont l’image par \(f\) est \(w\), avec \(m\) l’ordre du zéro de \(f-w_0\) en \(z_0\).
En savoir plus
Théorème de l’image ouverte
[ Théorème ]
On se donne \(\Omega\) un ouvert connexe, i.e. un domaine, et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Alors si \(f\) n’est pas constante, et pour tout \(z_0\) dans \(\Omega\), \(f\) induit sur un voisinage ouvert \(V\) de \(z_0\) une application surjective de \(V\) sur un ouvert \(W\), telle que pour tout \(w\) dans \(W\setminus \{w_0=f(z_0)\}\), il y ait exactement \(m\) points distincts \(z \in V\) dont l’image par \(f\) est \(w\), avec \(m\) l’ordre du zéro de \(f-w_0\) en \(z_0\).
En savoir plus
Théorème de majoration
[ Proposition ]
Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(l\in \mathbb{R}\). On suppose qu’il existe une suite réelle \((\alpha_n)\) et un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que
  1. \(\forall n \geqslant N_1,\quad \left|u_n - l \right| \leqslant\alpha_n\),

  2. \(\alpha_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\)
En savoir plus
Théorème de majoration
[ Théorème ]
Soit \(U \subset \mathbb{R} [2]\) un ouvert, \(M_0\in U\), \(l \in\mathbb{R}\), \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) et \(\theta:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tels que, au voisinage de \(M_0\) on ait :
  1. \(\left|f\left(M\right)-l\right|\leqslant\theta\left(\left\|M-M_0\right\|\right)\)

  2. \(\theta\left(t\right)\xrightarrow[t\rightarrow 0]{} 0\)

alors : \(f\left(M\right)\xrightarrow[M\rightarrow M_0]{} l\).
En savoir plus
Théorème de majoration
[ Proposition ]
Soient
  • une fonction \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\), \(a\in \bar{I}\) et \(l\in \mathbb{R}\).

  • \(\theta\) une fonction définie sur un voisinage \(V\) de \(a\)

On suppose que

  1. \(\forall x\in V, \quad \left|f(x) - l\right| \leqslant\theta \left(x\right)\).

  2. \(\theta \left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} 0\)

alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\).
En savoir plus
Théorème de Montel
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\), \(K\) compact de \(\Omega\), \(M\geq 0\), \(m>0\), \(k\in K\). Alors il existe un certain \(NombreMaxDeZeros\) tels que le nombre de zéros de \(f\) dans \(K\), pour \(f\) holomorphe bornée 3 par \(M\) sur \(K\) et telle que \(|f'(k)|\geq m\), est majoré par \(NombreMaxDeZeros\).
En savoir plus
Théorème de Montel
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\), \(K\) compact de \(\Omega\), \(M\geq 0\), \(m>0\), \(k\in K\). Alors il existe un certain \(NombreMaxDeZeros\) tels que le nombre de zéros de \(f\) dans \(K\), pour \(f\) holomorphe bornée 2 par \(M\) sur \(K\) et telle que \(|f'(k)|\geq m\), est majoré par \(NombreMaxDeZeros\).
En savoir plus
Théorème de Morera
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue complexe dans un ouvert \(\Omega\) dont l’intégrale sur tout triangle est nulle. Alors \(f\) est holomorphe sur \(\Omega\).
En savoir plus
Théorème de Morera
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue complexe dans un ouvert \(\Omega\) dont l’intégrale sur tout triangle est nulle. Alors \(f\) est holomorphe sur \(\Omega\).
En savoir plus
Théorème de Pappus
[ Théorème ]

Soient \(D\) et \(D'\) deux droites du plan, distinctes.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de \(D\), et \(A'\), \(B'\) et \(C'\) trois points de \(D'\).

Si \(AB'\) est parallèle à \(BA'\),

et si \(CB'\) est parallèle à \(BC'\),

alors \(AC'\) est parallèle à \(CA'\),
En savoir plus
Théorème de Pappus
[ Théorème ]

Soient \(D\) et \(D'\) deux droites du plan, distinctes.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de \(D\), et \(A'\), \(B'\) et \(C'\) trois points de \(D'\).

Si \(AB'\) est parallèle à \(BA'\),

et si \(CB'\) est parallèle à \(BC'\),

alors \(AC'\) est parallèle à \(CA'\),
En savoir plus
Théorème de Plancherel
[ Théorème ]

La transformation de Fourier s’étend en une transformation de Fourier \(L^2\), définie comme l’unique application \(f\mapsto \hat f\) de \(L^2\) dans \(L^2\) telle que:

\(\bullet\)elle coïncide avec la transformée de Fourier \(L^1\) sur \(L^1\cap L^2\)

\(\bullet\)c’est une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\)

Elle vérifie en outre certaines propriétés intéressantes:

\(\bullet\)c’est un isomorphisme d’espaces de Hilbert entre \(L^2\) et \(L^2\)

\(\bullet\)elle vérifie le théorème d’inversion \(L^2\) : \[lim_{M\to \infty} {\parallel}f_M-\hat f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec } f_M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(x)e^{-ixt}dx\] \[\mbox{et }lim_{M\to \infty} {\parallel}\hat f_M-f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec }\hat f_M(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M \hat f(t) e^{ixt}dt\]

on peut aussi écrire que l’application de \(L^1\cap L^2\) dans \(L^1\cap L^2\) qui à \(f\) associe \(\tilde f\) avec \(\tilde f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{ixt} dt\) s’étend en une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\), et \(f \mapsto \tilde f\) est l’inverse de \(f\mapsto \hat f\) au sens où pour toute \(f \in L^2\), \(\hat{\tilde f}=\tilde {\hat f}=f\) presque partout.

En savoir plus
Théorème de Pythagore
[ Théorème ]
Si les \(x_i\) sont une famille finie orthogonale alors \({\parallel} \sum_i x_i {\parallel}^2=\sum_i {\parallel}x_i {\parallel}^2\).
En savoir plus
Théorème de Riesz
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace euclidien et soit \(f\in E^{\star}\) une forme linéaire. Alors il existe un unique vecteur \(z_f\in E\) tel que \[\forall x\in E, \quad f(x)=\left( z_f \mid x \right)\]
En savoir plus
Théorème de Riesz
[ Théorème ]
Un espace normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
En savoir plus
Théorème de Rolle
[ Théorème ]
Soit \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que
  1. la fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\),

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle ouvert \(\left]a,b\right[\),

  3. \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\).

Alors il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \(\boxed{f'\left(c\right)=0}\).
En savoir plus
Théorème de Rolle
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue définie sur le segment \([a,b]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \(f(a)=f(b)\). Alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\).
En savoir plus
Théorème de Rouché
[ None ]
\(f\) et \(g\) holomorphes sur \(\Omega\), le disque fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\) étant inclus dans \(\Omega\), et \(|f(z)-g(z)| < |f(z)|\) sur le cercle de centre \(a\) et de rayon \(r\). Alors \(f\) et \(g\) ont le même nombre de zéros sur le disque ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\) (en comptant leurs multiplicités).
En savoir plus
Théorème de Rouché
[ None ]
\(f\) et \(g\) holomorphes sur \(\Omega\), le disque fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\) étant inclus dans \(\Omega\), et \(|f(z)-g(z)| < |f(z)|\) sur le cercle de centre \(a\) et de rayon \(r\). Alors \(f\) et \(g\) ont le même nombre de zéros sur le disque ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\) (en comptant leurs multiplicités).
En savoir plus
Théorème des accroissement finis (TAF)
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que
  1. la fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\),

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle ouvert \(\left]a,b\right[\).

Alors il existe un point intérieur \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \[\boxed{f(b)-f(a)=f'(c)\left(b-a\right)}\]
En savoir plus
Théorème des accroissements finis pour une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)
[ Théorème ]

On se donne \(f\) continue de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(]a,b[\).

Alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)\).
En savoir plus
Théorème des bases téléscopiques
[ Théorème ]
Si \(M \subset L \subset K\) (tous trois des corps), alors si \(e_i\) est une base de \(K\) en tant que \(L\)-espace vectoriel et si \(f_j\) est une base de \(L\) en tant que \(M\)-espace vectoriel , alors \(e_i.f_j\) est une base de \(K\) en tant que \(M\)-espace vectoriel . Donc \([K:M]=[K:L].[L:M]\).
En savoir plus
Théorème des bases téléscopiques
[ Théorème ]
Si \(M \subset L \subset K\) (tous trois des corps) alors si \(e_i\) est une base de \(K\) en tant que \(L\)-espace vectoriel et si \(f_j\) est une base de \(L\) en tant que \(M\)-espace vectoriel alors \(e_i.f_j\) est une base de \(K\) en tant que \(M\)-espace vectoriel Donc \([K:M]=[K:L].[L:M]\).
En savoir plus
Théorème de Schmidt
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(e=(e_1,\dots,e_n)\) une base quelconque de \(E\). Alors il existe une \(\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\) de \(E\) vérifiant :
  1. \(\forall i\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em], \quad \varepsilon_i \in \mathop{\mathrm{Vect}}(e_1,\dots,e_i)\) ;

  2. \(\forall i\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em], \quad \left( e_i \mid \varepsilon_i \right) > 0\).

En savoir plus
Théorème de Schwartz
[ None ]
Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}^n\) dans un espace de Banach \(F\) deux fois différentiable en \(x\), alors \(\frac{\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j}(x)=\frac{d^2 f}{\delta x_j \delta x_i}(x)\).
En savoir plus
Théorème de Schwarz
[ Théorème ]
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \({\mathcal{C}}^[(2) ]{U, \mathbb{R} }\). Alors en tout point \(a \in U\), \[\boxed{\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(a) = \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}(a)}\]
En savoir plus
Théorème des gendarmes
[ Théorème ]
Soient \(\alpha, ~f, ~ \beta\) trois fonctions définies sur un voisinage \(V\) d’un point adhérent \(a\in \overline{I}\) et \(l\in \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(\forall x \in V, \quad \alpha\left(x\right) \leqslant f(x) \leqslant\beta \left(x\right)\)

  2. \(\alpha\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\) et \(\beta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\)

alors la fonction \(f\) admet une limite au point \(a\) et \(f\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\).
En savoir plus
Théorème des gendarmes
[ Théorème ]
On considère trois suites: \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) . On suppose que :
  1. À partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\),

  2. Les deux suites encadrantes \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(l \in \mathbb{R}\).

Alors la suite \((u_n)\) converge vers \(l\).
En savoir plus
Théorème des gendarmes étendu à \(\overline{\mathbb{R}}\)
[ Théorème ]
Soient deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\). On suppose que
  1. À partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant u_n\),

  2. \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\).

Alors \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\).

De même, si

  1. À partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n\),

  2. \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-\infty\),

alors \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-\infty\).
En savoir plus
Théorème des résidus
[ Théorème ]
On suppose \(\Omega\) convexe, \(a_1,...,a_n\) des points distincts de \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega \setminus \{a_1,...,a_n\}\). On suppose que \(f\) admet un pôle en chaque \(a_i\), et on se donne un chemin fermé \(\gamma\) ne passant pas par les \(a_i\). Alors \[\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma f(z).dz = \sum_{k=1}^n Res(f;a_k).Ind_\gamma(a_k)\]
En savoir plus
Théorème des résidus
[ Théorème ]
On suppose \(\Omega\) convexe, \(a_1,...,a_n\) des points distincts de \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega \setminus \{a_1,...,a_n\}\). On suppose que \(f\) admet un pôle en chaque \(a_i\), et on se donne un chemin fermé \(\gamma\) ne passant pas par les \(a_i\). Alors \[\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma f(z).dz = \sum_{k=1}^n Res(f;a_k).Ind_\gamma(a_k)\]
En savoir plus
Théorème des segments emboîtés
[ Théorème ]
L’intersection d’une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers \(0\) est un singleton.
En savoir plus
Théorème de Stone
[ Théorème ]

On se donne \(K\) un compact, et \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’algèbre \(C^0(K,\mathbb{R})\) des fonctions continues à valeurs réelles sur \(\mathbb{K}\), munie de la norme \(f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_\infty = sup_{x\in K} |f(x)|\).

On suppose que \(A\) sépare les points de \(K\), c’est-à-dire qu’étant donnés \(x\) et \(y\) dans \(K\) avec \(y\neq x\), il existe \(f\) dans \(A\) tel que \(f(x) \neq f(y)\).

Alors \(A\) est dense dans \(C^0(K,\mathbb{R})\).
En savoir plus
Théorème des valeurs intermédiaires (deuxième forme)
[ Théorème ]
Soient \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que \(a<b\). On suppose que :
  1. \(f\) est continue sur \([a,b]\).

alors \(f\left(x\right)\) prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f\left(a\right)\) et \(f\left(b\right)\) quand \(x\) parcourt \(\left[a,b\right]\). Autrement dit, si \(y_0\in \left[f(a),f(b)\right]\), alors il existe au moins un réel \(x_0\in [a,b]\) tel que \(\boxed{f(x_0)=y_0}\).
En savoir plus
Théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée
[ Théorème ]

Ce théorème est aussi dit théorème de Darboux.

Soit \(f\) dérivable d’un intervalle \(I\) dans \(\mathbb{R}\); alors \(f'(I)\) est un intervalle.
En savoir plus
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
[ Théorème ]
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et une fonction \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\). Soient deux points \((a,b)\in I^2\) tels que \(a<b\). On suppose que
  1. la fonction \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\).

  2. \(f(a) \leqslant 0\) et \(f(b) \geqslant 0\).

Alors il existe un réel \(c\in[a,b]\) tel que \(\boxed{f(c)=0}\).
En savoir plus
Théorème de Sylow
[ Théorème ]
\(G\) étant un groupe fini, et \(p\) un nombre premier divisant l’ordre de \(G\), alors \(G\) admet au moins un \(p\)-sous-groupe de Sylow.
En savoir plus
Théorème de transport
[ Théorème ]
Pour toute fonction mesurable \(\phi\) de \(\mathbb{R}\) (muni des boréliens) dans \(\mathbb{R}\) (muni des boréliens), \[\int_\mathbb{R}\phi d\mu^f=\int_{\Omega} \phi\circ f \ d\mu.\]
En savoir plus
Théorème de Tykhonov
[ Théorème ]
Soit \(X_i\) une famille d’espaces tous non vides. Le produit est compact si et seulement si chacun des facteurs l’est.
En savoir plus
Théorème d’Euclide
[ Théorème ]
Soient deux entiers \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\). Effectuons la division euclidienne de l’entier \(a\) par l’entier \(b\) : \[\exists!(q, r) \in \mathbb{N}^{2}~:\quad a = bq + r \quad \textrm{ et} \quad 0 \leqslant r < b .\] Alors : \[a\wedge b = b\wedge r.\]
En savoir plus
Théorème d’Euler
[ None ]
Soit \(n\) un entier \(\geq 2\) et \(a\) un entier premier avec \(n\). Alors on a \[a^{\phi(n)} \equiv 1 \; (n),\]\(\phi\) est l’indicatrice d’Euler.
En savoir plus
Théorème de Weierstrass
[ None ]
L’ensemble des polynômes sur un compact \(K\) de \(\mathbb{R}\) et à coefficients dans \(\mathbb{R}\) est dense dans l’ensemble des fonctions continues de \(K\) dans \(\mathbb{R}\), pour la norme uniforme \({\parallel}.{\parallel}_\infty\).
En savoir plus
Théorème de Zermelo
[ Théorème ]
Si un ensemble \(E\) est non vide alors il existe une relation de bon ordre (i.e. telle que toute partie non vide de \(E\) admette un minimum).
En savoir plus
Théorème d’inertie de Sylvester
[ Théorème ]
Pour toute base \(q\)-orthogonale \(e_i\), l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)<0\) a même cardinal, l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)=0\) a même cardinal, l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)>0\) a même cardinal.

Le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)>0\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de dimension maximale tel que \(q_{|F}\) soit définie positive.

Le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)<0\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de dimension maximale tel que \(q_{|F}\) soit définie négative.

Le cardinal de l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)=0\) est égal à la dimension de \(E\) moins le rang de \(q\).
En savoir plus
Théorème d’inversion
[ Théorème ]

Si \(f\) et \(\hat f\) appartiennent tous deux à \(L^1\), alors \[g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt\] est continue, tend vers \(0\) en \(+\infty\) ou \(-\infty\) et est égale à \(f\) presque partout.

En savoir plus
Théorème d’inversion globale
[ Théorème ]

Soit \(A\) une application linéaire continue de \(E\) dans \(F\), avec \(E\) un espace de Banach et \(F\) un espace normé, telle que \(A^{-1}\) existe et est continue (\(A\) est un homéomorphisme linéaire). Soit \(\phi\) une application lipschitzienne de \(E\) dans \(F\) telle que \(Lip(\phi) < {\parallel}A^{-1} {\parallel}^{-1}\). Alors:

\(\bullet\)\(h=A+\phi\) est inversible.

\(\bullet\)\(h^{-1}\) est lipschitzienne, avec \(Lip(h^{-1}) \leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{[1-{\parallel}A^{-1} {\parallel}. Lip(\phi)]}\)

\(\bullet\)Si \(h\) est \(C^1\) sur \(U\) ouvert de \(E\), et si \(\forall x \in U, \ Dh(x) \in Isom(E,F)\), alors \(h^{-1}\) est \(C^1\) sur l’ouvert \(h(U)\), et la différentielle de \(h^{-1}\) est donnée par \[\forall x\in U,\ D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}.\]
En savoir plus
Théorème d’inversion locale
[ Théorème ]
Soit \(h\) de \(U\) dans \(F\) une application \(C^1\), avec \(U\) ouvert de \(E\), et \(E\) et \(F\) des espaces de Banach. Si la différentielle \(Dh(x_0)\) est bijective de \(E\) dans \(F\) pour un certain \(x_0\) de \(U\), alors il existe \(U_0\) voisinage de \(x_0\) dans \(E\) et un voisinage ouvert \(V_0\) de \(f(x_0)\) dans \(F\) tels que \(h\) induit un difféomorphisme \(C^1\) de \(U_0\) dans \(V_0\). On a alors \[D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}\mbox{ pour tout $x$ dans $U_0$.}\]
En savoir plus
Théorème d’opérations sur les fonctions continues
[ Théorème ]
  • Si \(f\) est continue sur \(I\) alors \(\left|f\right|\) est continue sur \(I\).

  • Une combinaison linéaire de fonctions continues sur \(I\) est continue sur \(I\).

  • La fonction produit de deux fonctions continues sur \(I\) est continue sur \(I\).

  • Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\) et si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\) alors \({\scriptstyle f\over\scriptstyle g}\) est continue sur \(I\).

En savoir plus
Théorème d’opérations sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\).
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un ouvert \(U \subset \mathbb{R}^2\) à valeurs réelles et de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\). Alors :
  1. si \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), \(\alpha f + \beta g\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\) et : \[\forall i=1,2,\quad \boxed{\dfrac{\partial \left(\alpha f + \beta g\right)}{\partial x_i}=\alpha \dfrac{\partial f}{\partial x_i} + \beta \dfrac{\partial g}{\partial x_i}}\]

  2. \(fg\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\) et : \[\forall i=1,2,\quad \boxed{\dfrac{\partial \left(fg\right)}{\partial x_i}= g\dfrac{\partial f}{\partial x_i} + f \dfrac{\partial g}{\partial x_i}}\]

  3. si \(g\) ne s’annule pas sur \(U\) alors \({\scriptstyle f\over\scriptstyle g}\) est définie et \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\). De plus : \[\forall i=1,2,\quad \boxed{\dfrac{\partial \left({\scriptstyle f\over\scriptstyle g}\right)}{\partial x_i}={\scriptstyle g\dfrac{\partial f}{\partial x_i} - f \dfrac{\partial g}{\partial x_i}\over\scriptstyle g^2}}\]

En savoir plus
Théorème d’opérations sur les fonctions dérivables
[ None ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et dérivables sur \(I\).
  • Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\). La fonction \(\alpha f+\beta g\) est dérivable sur l’intervalle I et \[\boxed{\left(\alpha f+\beta g\right)'=\alpha f'+\beta g'}\]

  • La fonction \(fg\) est dérivable sur l’intervalle \(I\) et \[\boxed{\left(fg\right)'=f'g+fg'}\]

  • Si la fonction \(f\) ne s’annule pas sur \(I\), alors la fonction \(1/f\) est définie et dérivable sur \(I\) avec \[\boxed{\left(\dfrac{1}{f}\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}}\]

  • Si la fonction \(g\) ne s’annule pas sur \(I\) alors la fonction \(f/g\) est dérivable sur l’intervalle \(I\) et \[\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{ g^2}}\]

En savoir plus
Théorème du graphe fermé
[ None ]
Soit \(T:E\rightarrow F\), linéaire entre les Banach \(E\) et \(F\). L’application \(T\) est continue si et seulement si le graphe de \(T\) est fermé dans \(E \times F\).
En savoir plus
Théorème du graphe fermé
[ Théorème ]
Soit \(T:E\rightarrow F\), linéaire entre les Banach \(E\) et \(F\). L’application \(T\) est continue si et seulement si le graphe de \(T\) est fermé dans \(E \times F\).
En savoir plus
Théorème du maximum : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f~:~[a,b]\mapsto \mathbb{R}\) continue sur un segment. Alors la fonction \(f\) est bornée et atteint ses bornes \[\exists (c_1,c_2)\in [a,b]^2:\quad f(c_1)=\sup_{x\in [a,b]} f(x) \textrm{ et } f(c_2)=\inf_{x\in [a,b]} f(x)\]

En savoir plus
Théorème du prolongement dérivable
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\in I\). On suppose que
  1. la fonction\(f\) est continue sur l’intervalle \(I\),

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur \(I\setminus\left\{a\right\}\),

  3. \(f'(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\in \mathbb{R}\).

Alors la fonction \(f\) est dérivable au point \(a\) et \(f'(a)=l\).
En savoir plus
Théorème du rang
[ Théorème ]
Si \(f \in {\cal L}(E,F)\) et \(E\) de dimension finie, alors \(Im\ f\) et \(Ker\ f\) sont de dimension finie, et \(dim\ E = dim \ Im\ f + dim \ Ker\ f\).
En savoir plus
Théorème du rang
[ Théorème ]
Si \(f \in {\cal L}(E,F)\) et \(E\) de dimension finie, alors \(Im\ f\) et \(Ker\ f\) sont de dimension finie, et \(dim\ E = dim \ Im\ f + dim \ Ker\ f\).
En savoir plus
Théorème fondamental
[ Théorème ]
Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu([a,b])=b-a\) pour \(b>a\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\).

Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu(\Pi_i [a_i,b_i])=\Pi_i (b_i-a_i)\) pour \(b_i>a_i\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\).

On appelle encore mesure de Lebesgue l’extension de cette mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des lebesguiens. La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes:

\(\bullet\)Sur \(\mathbb{R}\), à une constante de proportionnalité près, c’est la seule mesure sur les boréliens invariante par translations et finie sur les intervalles bornés.

\(\bullet\)Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.

\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable (un lebesguien), la mesure de \(E\) est égale à l’\(\inf\) des mesures des parties ouvertes contenant \(E\).

\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable, la mesure de \(E\) est égale au \(sup\) des mesures des parties compactes inclues dans \(E\).
En savoir plus
Théorème fondamental de l’algèbre
[ Théorème ]
Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) de degré \(\geqslant 1\) (c’est-à-dire non constant) alors \(P\) possède au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
En savoir plus
Théorème fondamental de l’analyse
[ Théorème ]
  1. Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).

  2. Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\).

Soit \(a\in I\) alors la fonction \[\boxed{F: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \int_{a}^{x} f(t)\,\textrm{d}t \end{array} \right. }\] est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(I\) et est \(\boxed{\textrm{ la seule primitive de $f$ qui s'annule en $a$}\quad F'=f \quad \textrm{ et} \quad F\left(a\right)=0}\)
En savoir plus
Théorème fondamental (deuxième forme)
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Soit \(a\in I\). On a \[\boxed{ f(b)-f(a)=\int_{a}^{b} f'(t)\,\textrm{d}t}\]
En savoir plus
Théorème multivarié de la limite centrale
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{R}^n\) identiquement distribuées et de variance finie. Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), \[\frac{S_n-nE(X_1)}{\sqrt{n}}\] converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée de matrice de variance covariance la matrice de variance covariance de \(X_1\).

Des extensions du théorème pour des variables aléatoires non-identiquement distribuées ou non-indépendantes existent.
En savoir plus
Théorème noyau-image
[ Théorème ]
\(Im\ f\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(Ker\ f\).
En savoir plus
Théorèmes de passage à la limite en probabilités
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires et \(X\) une variable aléatoire telles que \[P(X_n \to X) = 1\mbox{ c'est-à-dire } P(\{{\omega}; X_n({\omega}) \to X({\omega}) \})=1.\] Alors les résultats de convergence monotone, de Fatou, de convergence dominée et de Scheffé, que l’on peut trouver dans la partie [integra], se reformulent comme suit:

\(\bullet\)Convergence monotone:

Si les \(X_n\) sont \(\geq 0\) et \(X_n({\omega})\) croit vers \(X({\omega})\) pour \(n \to +\infty\), alors \(E(X_n) \to E(X)\).

\(\bullet\)Lemme de Fatou:

Si \(X_n \geq 0\) alors \(E(X) \leq liminf\ E(X_n)\)

\(\bullet\)Théorème de convergence dominée de Lebesgue:

Si pour tout \(n\) et tout \({\omega}\) on a \(|X_n({\omega})| \leq |Y({\omega})|\), avec \(Y\) une variable aléatoire telle que \(E(Y) \leq + \infty\), alors \(E(|X_n-X|) \to 0\), et en particulier \(E(X_n) \to E(X)\).

\(\bullet\)Lemme de Scheffé:

Si \(E(|X_n|)\to E(|X|)\), alors \(E(|X_n - X|) \to 0\).
En savoir plus
Théorèmes généraux
[ Théorème ]
Soient \(f, g : I \mapsto \mathbb{R}\) deux fonctions continues en un point \(a \in I\), alors
  1. la fonction \((f+g)\) est continue au point \(a\),

  2. la fonction \((fg)\) est continue au point \(a\),

  3. si \(g(a) \neq 0\), la fonction \(f/g\) est définie sur un voisinage du point \(a\) est est continue au point \(a\).

En savoir plus
Théorèmes généraux étendus à \(\overline{\mathbb{R}}\)
[ Théorème ]
On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\). On suppose que :
  1. \(u_n \rightarrow l \in \overline{\mathbb{R}}\),

  2. \(v_n \rightarrow l' \in \overline{\mathbb{R}}\)

Alors,

  • \(u_n + v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l+l'\) sauf si \((l+l')\) est une forme indéfinie.

  • \(u_n v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}ll'\) sauf si \((ll')\) est une forme indéfinie.

  • \(u_n/v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l/l'\) sauf si \(l/l'\) est une forme indéfinie.

En savoir plus
Topologie
[ Definition ]
Une topologie \({\cal T}\) sur l’ensemble \(X\) est une partie \({\cal T}\subset P(X)\) vérifiant:

\(\bullet\)L’ensemble vide \(\emptyset\) et \(X\) sont dans \({\cal T}\)

\(\bullet\)\({\cal T}\) est stable par réunions arbitraires

\(\bullet\)\({\cal T}\) est stable par intersections finies

Un tel couple \((X,{\cal T})\) est appelé espace topologique. Les éléments de \({\cal T}\) sont appelés les ouverts de la topologie.

Une partie de \(X\) est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
En savoir plus
Topologie de la convergence uniforme
[ Definition ]

Soit \(X\) un ensemble (non vide) et \(F\) un espace métrique. L’espace \(F^X\) des applications de \(X\) dans \(F\) est métrique avec les distances \[d_1(f,g)=min[1;sup_{x\in X} d(f(x),g(x))]\mbox{ et }d_2(f,g)=sup_{x\in X}\frac{d(f(x),g(x))}{1+d(f(x),g(x))}.\] Ces deux distances induisent une même topologie, dite topologie de la convergence uniforme.

Si \(X\) est en fait un espace topologique compact, alors sur l’espace des applications continues de \(X\) dans \(F\), noté \(C^0(X,F)\), cette topologie est aussi induite par la distance \[d(f,g)=sup_{x\in X} d(f(x),g(x)).\]
En savoir plus
Topologie de la convergence uniforme sur tout compact
[ Definition ]

Si \(X\) est un espace topologique localement compact, on peut définir sur \(C^0(X,F)\) la famille d’écarts \((N_{K})\), pour \(K\) compact non vide de \(X\), par: \[N_{K}(f,g)= \sup_{x\in K} d(f(x),g(x)) \in [0, \infty[.\] Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur les compacts de \(X\). C’est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Si la famille \((K_i)_{i\in I}\) (\(I\) non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact \(K\) de \(X\) est inclus dans un certain \(K_i\), alors la famille des \(N_{K_i}\) suffit.

La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d’ouverts les \(\left(g \mapsto N_{K}(f,g)\right)^{-1}[0,\epsilon[)\) pour \(\epsilon>0\), \(K\) compact non vide et \(f\) application continue de \(X\) dans \(Y\).
En savoir plus
topologie faible étoile
[ Definition ]
La topologie faible étoile, alias topologie faible-*, est la topologie engendrée par la famille des \(\phi_x\) pour \(x\) dans \(E\). On notera \(f_n {*\atop \rightharpoonup}f\) la convergence de la suite \(f_n\) vers \(f\) dans \(E'\) pour la topologie faible-*.
En savoir plus
Topologie faible et topologie faible-*
[ Definition ]
On appelle topologie faible sur l’espace normé \(E\) la topologie engendrée par l’ensemble des formes linéaires continues de \(E\) dans \(K\). On appelle topologie faible-* sur le dual de l’espace normé \(E\) la topologie engendrée par l’ensemble des applications qui à \(\phi\) associent \(\phi(x)\), étant donné \(x \in X\).
En savoir plus
Topologie forte
[ Definition ]
On appelle topologie forte la topologie définie sur le dual par la norme usuelle.
En savoir plus
topologie induite
[ Definition ]
Étant donné \(A \subset X\), on appelle topologie induite par la topologie de \(X\) sur \(A\) l’ensemble des intersections d’ouverts de \(X\) avec \(A\).
En savoir plus
Topologie produit
[ Definition ]
On appelle topologie produit sur le produit des \(X_i\) la topologie engendrée par les projections canoniques de \(X=\Pi_i X_i\) sur \(X_i\).
En savoir plus
Topologie quotient
[ Definition ]

La topologie quotient est définie comme suit:

\(U \subset X / {\cal R}\) est ouvert si et seulement si \(\Pi^{-1}(U)\) est ouvert.
En savoir plus
Toute matrice inversible s’interprète comme une matrice de changement de base
[ Proposition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(e\) une base de \(E\). Alors pour toute matrice inversible \(A\in GL_{n}\left(\mathbb{K}\right)\), il existe une unique base \(e'\) de \(E\) telle que \(A=P_{e \rightarrow e'}\).
En savoir plus
Tout \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(n\) est isomorphe à \(\mathfrak{M}_{n,1}\left(\mathbb{K}\right)\)
[ Proposition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et soit \(e\) une base de \(E\). L’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{n,1}\left(\mathbb{K}\right) \newline x & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{e}\left(x\right) \end{array} \right.\) qui à un vecteur associe la matrice colonne de ses coordonnées dans la base \(E\) est un isomorphisme de \(\mathbb{K}-\)espaces vectoriels.
En savoir plus
Trace d’une matrice carrée
[ Definition ]
Soit \(A=\left(a_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) une matrice carrée. On appelle trace de \(A\) et on note \(\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)\), le scalaire : \[\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right)=\sum_{i=1}^n a_{i,i}\]
En savoir plus
Traduction des oec en termes matriciels
[ Proposition ]
On a le tableau de correspondances :
\(k\) oec matrice \(P\)
\(1\) \(C_i \gets \lambda C_i+\lambda C_j\) \(I_p+\lambda E_{i,j}\) Matrice de transvection
\(2\) \(C_i \gets \lambda C_i\) \(I_p-E_{i,i}+\lambda E_{i,i}\) Matrice de dilatation
\(3\) \(C_i \leftrightarrow C_j\) \(I_p-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}\)
qui se lit ainsi : Effectuer l’opération élémentaire n°\(k\) sur les colonnes de \(A\) revient à multiplier \(A\) par la matrice inversible \(P\)
En savoir plus
Traduction des oel en termes matriciels
[ Proposition ]
On a le tableau de correspondances :

\(k\) oel matrice \(P\)
\(1\) \(L_i \gets L_i+\lambda L_j\) \(I_n+\lambda E_{i,j}\) Matrice de transvection
\(2\) \(L_i \gets \lambda L_i\) \(I_n-E_{i,i}+\lambda E_{i,i}\) Matrice de dilatation
\(3\) \(L_i \leftrightarrow L_j\) \(I_n-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}\)
qui se lit ainsi : Effectuer l’opération élémentaire n°\(k\) sur les lignes de \(A\) revient à multiplier \(A\) par la matrice inversible \(P\)
En savoir plus
Transformation de limite en inégalité
[ Proposition ]
Soit \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) une fonction, \(a \in \overline{I}\) et \(l \in \mathbb{R}\) et deux réels \(k,k' \in \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l\).

  2. \(k < l < k'\).

Alors il existe un voisinage \(V\) du point \(a\) tel que \(\forall x \in V\cap I\), \(k \leqslant f(x) \leqslant k'\).
En savoir plus
Transformation de limite en inégalités
[ Théorème ]
Soit \((u_n)\) une suite et \(k,k' \in \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l \in \mathbb{R}\)

  2. \(k < l < k'\).

Alors, il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N\), \(k \leqslant u_n \leqslant k'\).
En savoir plus
transformation de Toeplitz
[ Definition ]
Etant donnée une famille \((c_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2}\) de coefficients complexes, on définit la transformation de Toeplitz associée à cette famille comme étant l’application qui à une suite complexe \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) associe la suite \((Tu_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(Tu_n=\sum_{i=0}^\infty c_{n,i}.u_i\). On dit que \(T\) est régulière si et seulement si pour toute suite \(u_n\) convergente, \(Tu_n\) est définie pour tout \(n\) et la suite \((Tu_n)\) converge vers la même limite que \((u_n)\).
En savoir plus
Transformée d’Abel
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace vectoriel normé , \((r_n)\) une suite de réels, \((e_n)\) une suite de \(E\). On note \(E_n=\sum_{k=0}^n e_k\). Alors pour tout \(M<N\) \[\sum_{n=M}^N r_ne_n = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k\] avec \([rE]_M^N=r(N)E(N)-r(M)E(M-1)\) par définition (attention au \(-1\)!).
En savoir plus
transformée de Fourier
[ Definition ]
On se donne \(f\) dans \(L^1_\mathbb{C}(\mathbb{R})\), et on note pour \(x\) dans \(\mathbb{R}\) \[\hat f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt}.dt\] \(\hat f\) est appelée transformée de Fourier de \(f\) (plus précisément il s’agit de la transformée de Fourier \(L^1\) de \(f\)). On note \({\cal C}\) l’ensemble des \(x \in \mathbb{C}\) tels que \(|x|=1\).
En savoir plus
Transitivité de la relation \(o\)
[ Proposition ]
La relation \(o\) est transitive, ce qui signifie que si \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) sont trois suites réelles, alors : \[\left[u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right) \quad \textrm{ et} \quad v_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(w_n\right)\right] \quad\Rightarrow \quad u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(w_n\right)\]
En savoir plus
Transitivité de la relation \(O\)
[ Proposition ]
Le relation \(O\) est transitive, ce qui signifie que si \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) sont trois suites, alors : \[\left[u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right) \quad \textrm{ et} \quad v_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\right] \quad\Rightarrow \quad u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\]
En savoir plus
Translation
[ Definition ]
  • Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), notée \(t_{\overrightarrow{u}}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}\).

  • Soit \(\Omega\) un point du plan et \(\lambda\) un réel non nul. L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\), noté \(h_{\Omega,\lambda}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\boxed{\overrightarrow{\Omega M'}=\lambda \overrightarrow{\Omega M}}\).

En savoir plus
Translations
[ Definition ]
Étant donné \(a\in X\), on appelle translation de vecteur \(a\) l’application d’un espace vectoriel \(X\) dans lui-même qui à \(x\) associe \(x+a\). On note \({\cal T}(E)\) l’ensemble des translations de \(E\).

On appelle sous-espace affine de \(E\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) par une translation de \(E\).

On appelle direction d’un sous-espace affine \(A\) l’ensemble des \(x-y\) pour \(x\) et \(y\) dans \(A\).

On dit qu’un sous-espace affine \(A\) est parallèle à un sous-espace affine \(B\) si et seulement si la direction de \(A\) est incluse dans la direction de \(B\).

On dit que deux sous-espaces affines sont parallèles s’ils ont même direction.

On dit que deux sous-espaces affines sont strictement parallèles s’ils ont même direction et sont distincts.
En savoir plus
Transport
[ Proposition ]
Soit \(\mu\) une mesure sur un espace mesurable \(X\), et \(f\) une fonction mesurable de \(X\) dans \(Y\) un autre espace mesurable; alors l’application qui à une partie mesurable \(E\) de \(Y\) associe \(\mu(f^{-1}(E))\) est une mesure sur \(Y\). On note \(\mu^f\) cette mesure.
En savoir plus
transposée de \(f\)
[ Definition ]
Étant donnée \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\) on appelle transposée de \(f\) l’application de \(F^*\) dans \(E^*\) qui à \(v\) associe \(v \circ f\). C’est une application linéaire, et on la note \(^tf\).
En savoir plus
Transposée d’une matrice
[ Definition ]
Étant donnée une matrice \(M\) on appelle matrice transposée de \(M\) la matrice \(N\) avec \(N_{i,j}=M_{j,i}\). Si \(M\) est de type \((n,p)\), alors \(N\) est de type \((p,n)\). On note \(N= ^t\!\!M\).
En savoir plus
Transposée d’une matrice
[ Definition ]
Etant donnée une matrice \(M\) on appelle matrice transposée de \(M\) la matrice \(N\) avec \(N_{i,j}=M_{j,i}\). Si \(M\) est de type \((n,p)\), alors \(N\) est de type \((p,n)\). On note \(N= ^t\!\!M\).
En savoir plus
Transposée d’une matrice
[ Definition ]
On appelle transposée de \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) la matrice noté \({A}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{p,q}\left(\mathbb{K}\right)\) dont les colonnes sont formées par les lignes de \(A\). Autrement dit : \[\forall i\in\llbracket 1,p\rrbracket, \quad \forall j\in\llbracket 1,q\rrbracket, \quad \left[{A}^{\mathrm{T}}\right]_{i,j}=a_{j,i}\]
En savoir plus
Transposée d’un produit
[ Proposition ]
Pour tout \(A\in\mathfrak{M}_{r,q}\left(\mathbb{K}\right)\) et \(B\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) : \[\boxed{{\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}={B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}}\]
En savoir plus
Transposition
[ Definition ]
Une transposition de \(\mathfrak{S}\left(E\right)\) est un cycle de longueur \(2\). Une transposition échange deux éléments \(a\), \(b\) et laisse les autres invariants. On note \(\tau_{ab}\) une telle transposition.
En savoir plus
transvection affine
[ Definition ]
Étant donné \(X\) un espace affine , on appelle transvection affine une application \(f\) telle qu’il existe \(H\) un hyperplan affine, \(h\) une forme affine sur \(X\) telle que \(\{x\in X ; h(x)=0\}=H\), un vecteur \(\overrightarrow u\) dans \(\overrightarrow H\) tels que pour tout \(x\) dans \(X\), \(f(x)=x+h(x).\overrightarrow u\).
En savoir plus
triangulation d’un simplexe \(\Delta\)
[ Definition ]

Soit \(\sigma\in \sigma_{n+1}\) une permutation de \([[0,n]]\).

On note \(\Delta_\sigma\) l’ensemble des points \(x\) de \(\Delta\) tels que \[c_{\sigma(0)}(x) \geq c_{\sigma(1)}(x) \geq ... \geq c_{\sigma(n)}(x)\]
En savoir plus
triangulation d’un simplexe \(\Delta\)
[ Definition ]

Soit \(\sigma\in \sigma_{n+1}\) une permutation de \([0,n]\).

On note \(\Delta_\sigma\) l’ensemble des points \(x\) de \(\Delta\) tels que \[c_{\sigma(0)}(x) \geq c_{\sigma(1)}(x) \geq ... \geq c_{\sigma(n)}(x)\]
En savoir plus
tribu
[ Definition ]
Soit \(\Omega\) un ensemble et soit \(\mathcal{A}\) une partie de \(\mathcal{P}(\Omega)\). \(\mathcal{A}\) a une structure de tribu si il satisfait aux trois axiomes:
  1. Si \(A\in \mathcal{A}\), alors son complémentaire \(A^c=\Omega \setminus A\) est aussi dans \(\mathcal{A}.\)

  2. Si on a une suite finie ou dénombrable \(A_1,\ldots,A_n,\ldots\) d’éléments de \(\mathcal{A}\), alors leur réunion \(\bigcup_{n\geq 1}A_n\) est aussi dans \(\mathcal{A}.\)

  3. L’ensemble vide \(\emptyset\) est dans \(\mathcal{A}.\)

Un élément de \(\mathcal{A}\) est appelé un événement.
En savoir plus
tribu de Borel
[ Definition ]
La plus petite tribu qui contient les ouverts de \(\mathbb R\) muni de sa topologie canonique est appelée tribu de Borel. Les éléments de cette tribu sont appelés les boréliens de \(\mathbb R\).
En savoir plus
Trièdre de Frenet
[ Definition ]

On appelle trièdre de Frenet en \(t\) (avec les notations ci-dessus) de l’arc au moins \(C^2\) \(\gamma\), lorsque \(\gamma\) est une abscisse curviligne et lorsque les quantités qui suivent sont bien définies, le trièdre \((i,j,k)\) défini par \(i=\gamma'(t)\), \(j=\frac{1}{{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}}\frac{di}{dt}\), \(k\) le produit vectoriel de \(i\) et \(j\). \({\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé courbure en \(t\). Son inverse \(1/{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé rayon de courbure en \(t\). La torsion est \({\parallel}\frac{dk}{dt}{\parallel}\).

La droite passant par \(t\) et de direction \(i\) est appelée tangente en \(t\) (ou \(\gamma(t)\) lorsque cela ne prête pas à confusion).
En savoir plus
Trièdre de Frenet
[ Definition ]

On appelle trièdre de Frenet en \(t\) (avec les notations ci-dessus) de l’arc au moins \(C^2\) \(\gamma\), lorsque \(\gamma\) est une abscisse curviligne et lorsque les quantités qui suivent sont bien définies, le trièdre \((i,j,k)\) défini par \(i=\gamma'(t)\), \(j=\frac{1}{{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}}\frac{di}{dt}\), \(k\) le produit vectoriel de \(i\) et \(j\). \({\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé courbure en \(t\). Son inverse \(1/{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé rayon de courbure en \(t\). La torsion est \({\parallel}\frac{dk}{dt}{\parallel}\).

La droite passant par \(t\) et de direction \(i\) est appelée tangente en \(t\) (ou \(\gamma(t)\) lorsque cela ne prête pas à confusion).

En savoir plus
Tri topologique
[ Definition ]
Un tri topologique d’un graphe orienté sans circuit \(G=(X,U)\) est une permutation \((x_1,x_2,...,x_n)\) de \(X\) telle que \((x_i,x_j) \in U \Longrightarrow i < j\).
En savoir plus
Tri topologique
[ Definition ]
Un tri topologique d’un graphe orienté sans circuit \(G=(X,U)\) est une permutation \((x_1,x_2,...,x_n)\) de \(X\) telle que \((x_i,x_j) \in U \Longrightarrow i < j\).
En savoir plus
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul
[ Théorème ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
En savoir plus
Troncature des développements limités
[ Proposition ]
Si \(f(t)=P(t)+o((t-a)^n)\) alors a fortiori \(f(t)=P(t)+o((t-a)^p)\) pour \(p<n\).
En savoir plus
Troncature d’un DL
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) admettant un DL à l’ordre \(n\) en \(0\). Soit un entier naturel \(p \leqslant n\). Alors \(f\) admet un DL à l’ordre \(p\) en \(0\) et celui ci est obtenu en ne gardant que les termes de degré inférieur à \(p\) dans la partie principale.
En savoir plus
Type mixte.
[ Definition ]
Type mixte. On rencontre un peu rarement des fonctions de répartition de la forme \(F=\lambda G+(1-\lambda)H\)\(G\) est une fonction de répartition à densité, comme vu à l’exemple 1, où \(H\) est une fonction de répartition d’une probabilité discrète, comme vu aux exemples 2, 3 ou 4, et où \(0<\lambda<1.\) Si \(H\) a une discontinuité en \(a\) de saut \(p\), alors \(F\) a une discontinuité en \(a\) de saut \((1-\lambda)p.\)
En savoir plus
Success message!