Lexique mathématique

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T
tangente
[ Definition ]
On définit la relation suivante sur l’ensemble des fonctions continues en \(0\): \[f\equiv^n g \mbox{ si } f-g=o(x^n)\] On dit que \(f\) est tangente à \(g\) à l’ordre \(n\).
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Tangente à la parabole
[ Proposition ]
Dans un repère \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), on considère la parabole \(\mathscr P\) de paramètre \(p>0\) et paramétrée par \(\left\{\begin{array}{l} x(t)={\scriptstyle p~t^2\over\scriptstyle 2}\newline y(t)= p~t \end{array}\right. :t \in \mathbb{R}\).
  • La tangente \(\mathscr T_{M_0}\) à \(\mathscr P\) au point \(M_0\) de \(\mathscr P\) de paramètre \(t_0\in \mathbb{R}\) a pour équation: \[\boxed{x-t_0 y+p{\scriptstyle t_0^2\over\scriptstyle 2}=0}\]

  • La tangente \(\mathscr T_{M_0}\) à \(\mathscr P\) au point \(M_0(x_0,y_0)\) a pour équation \[y~y_0 = p (x+x_0)\]

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Tangente à un arc paramétré
[ Definition ]
Soit un arc paramétré \(\gamma = (I, \overrightarrow{F})\) et \(t_0 \in I\). On dit que l’arc admet une tangente au point \(M_0 = M(t_0) \in \Gamma\) si la famille de droites \(D_t = \bigl(M(t_0), M(t)\bigr)\) admet une limite lorsque \(t \rightarrow t_0\). La droite limite s’appelle la tangente à l’arc au point \(M_0\).
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Tangente en un point régulier
[ Proposition ]
Un arc paramétré possède une tangente en un point régulier \(M(t_0)\) : la droite passant par \(M(t_0)\) dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{F}'(t_0)\).
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Tangente en un point stationnaire
[ Proposition ]
Si \(M(t_0)\) est un point stationnaire d’un arc \(\mathcal{C}^{k}\) et s’il existe \(p \leqslant k\) tel que \[\overrightarrow{F}'(t_0) = \dots = \overrightarrow{F}^{(p-1)}(t_0) = 0, \overrightarrow{F}^{(p)}(t_0) \neq 0\] alors l’arc possède une tangente au point \(M(t_0)\) dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{F}^{(p)}(t_0)\).
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Tangente en un point stationnaire
[ Proposition ]

Soit \(M(t_0)\) un point stationnaire d’une courbe paramétrée \((I,\overrightarrow{F})\)\(\overrightarrow{F}\) est donnée par le couple de fonctions \((x,y)\) définies sur \(I\) .

  • si \(\boxed{\dfrac{y(t)-y(t_0)}{x(t)-x(t_0)} \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} m}\)\(m\) est un réel alors la courbe admet en \(M(t_0)\) une tangente de pente \(m\).

  • si \(\boxed{\left| \dfrac{y(t)-y(t_0)}{x(t)-x(t_0)} \right| \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} +\infty}\) alors la courbe admet en \(M(t_0)\) une tangente verticale.

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Tangente hyperbolique
[ Definition ]
La fonction tangente hyperbolique, notée \(\operatorname{th}\), est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[\operatorname{th} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x} \end{array} \right.\]
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Théorème d’arrêt éventuel de Doob
[ Théorème ]

Soit \(T\) un temps d’arrêt et \(X\) une surmartingale, alors si l’une des conditions suivantes est vérifiée:

  • \(\exists N ; \forall {\omega}T({\omega}) < N\)

  • \(\exists K ; \forall ({\omega},n) |X_n({\omega})|<K\) et pour presque tout \({\omega}\) \(T\) est fini.

  • \(E(T)<\infty\) et \(\exists K\) tel que \(\forall (n,{\omega}) |X_n({\omega})-X_{n-1}({\omega})| \leq K\)

alors on peut conclure que \(E(X_T)\leq E(X_0)\).
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Théorème d’Arzela-Ascoli
[ Théorème ]

Soit \(K\) un espace compact et \(F\) un espace métrique. Une partie \({\cal F}\) incluse dans \(C^0(K,F)\) est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si on a les deux conditions suivantes:

\(\bullet\)La famille \({\cal F}\) est équicontinue

\(\bullet\)Pour tout \(x\in K\) l’ensemble des \(f(x)\) pour \(f \in {\cal F}\) est relativement compact
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Théorème d’Ascoli
[ Théorème ]
 

\(\bullet\)Soit \(F\) un espace métrique2, et \(E\) un espace topologique; soit \({\cal F}\) une famille équicontinue en \(e\in E\) de fonctions de \(E\) dans \(F\).

Alors \(\overline {\cal F}\)3 est équicontinue en \(e\).

\(\bullet\)Si \({\cal F}\) est équicontinue en tout point, alors \(\overline {\cal F}\) est équicontinue en tout point.

\(\bullet\)Avec \({\cal E}\) une partie dense de \(E\), la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, la topologie induite par la convergence simple sur \({\cal E}\)4, induisent la même topologie sur \({\cal F}\) (si \({\cal F}\) est équicontinue sur \(X\)).

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Théorème de Baire
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est localement compact, ou s’il est métrique complet, alors

\(\bullet\)toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense

\(\bullet\)une réunion dénombrable de fermés recouvrant \(X\) comporte un fermé d’intérieur non vide
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Théorème de Baire
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est localement compact, ou s’il est métrique complet, alors

\(\bullet\)Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense

\(\bullet\)Une réunion dénombrable de fermés recouvrant \(X\) comporte un fermé d’intérieur non vide
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Théorème de Banach-Alaoglu
[ Théorème ]
Soit \(E'\) le dual d’un espace normé, alors sa boule unité fermée est compacte pour la topologie faible-* (i.e. la topologie engendrée par les applications qui à \(\phi\in E'\) associent \(\phi(x)\) pour un certain \(x\in E\)).
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Théorème de Banach du point fixe
[ Théorème ]

Soit \(X\) un espace métrique complet et \(h\) une contraction de \(X\) dans \(X\). Alors:

\(\bullet\)\(h\) admet un unique point fixe \(x_0\)

\(\bullet\)\(\forall x \ d(x,x_0) \leq \frac1{1-Lip(h)}d(x,h(x))\)
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Théorème de Banach-Steinhaus
[ Théorème ]
Soit \(T_\alpha:E \rightarrow F\) une famille d’applications linéaires continues de l’espace de Banach \(E\) dans l’espace normé \(F\). Si \[\forall x,\sup_{\alpha} \parallel T_\alpha x \parallel < \infty \] alors \(sup_\alpha \parallel T_\alpha \parallel < \infty\).
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Théorème de Banach-Steinhaus
[ Théorème ]

Ce théorème est dit aussi théorème de la borne uniforme.

On se donne \(E\) et \(F\) des espaces de Banach, et \((T_i)_{i \in I}\) une famille d’applications linéaires continues de \(E\) dans \(F\).

Si pour tout \(x\), \(\exists M_x ; \forall i\in I , \ {\parallel}T_i(x) {\parallel}\leq M_x{\parallel}x {\parallel}\).

Alors \(\exists M ; \forall i\in I, \ {\parallel}T_i {\parallel}\leq M\).

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Théorème de Bezout
[ None ]
Dans un anneau principal des éléments \(a_i\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe une famille \({\lambda}_i\) d’éléments de \(A\) telle que \(\sum {\lambda}_i a_i\) soit une unité.
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Théorème de Bezout
[ Théorème ]
\(A\) est supposé principal.

\(\bullet\)Un générateur de \(I=(a_1)+(a_2)+...+(a_n)\) est un pgcd des \(a_i\).

\(\bullet\) \(d\), diviseur commun des \(a_i\), est pgcd des \(a_i\) si et seulement s’il existe une famille \(({\lambda}_i)_{i\in [[1,n]]}\) tels que \(d=\sum {\lambda}_i a_i\) (relation de Bezout).

\(\bullet\)Un générateur de \(I=(a_1)\cap(a_2)\cap ... \cap (a_n)\) est un ppcm des \(a_i\).

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Théorème de Bolzano-Weierstrass
[ Théorème ]
Un espace métrique est compact si et seulement si toute suite à valeurs dans \(X\) contient une sous-suite convergente.
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Théorème de Brouwer
[ Théorème ]
Soit \(f\) une application continue de \(\Delta\) dans \(\Delta\). Alors \(f\) admet au moins un point fixe.
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Théorème de Brouwer
[ Théorème ]
Soit \(f\) une application continue de \(\Delta\) dans \(\Delta\). Alors \(f\) admet au moins un point fixe.
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Théorème de Cantor
[ Théorème ]
Pour tout ensemble \(E\), on a \(\# E < \# {\cal P}(E)\).
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Théorème de Cantor-Bernstein
[ Théorème ]
Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(f\) une injection de \(E\) dans \(F\), et \(g\) une injection de \(F\) dans \(E\); alors il existe une bijection de \(E\) dans \(F\).
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Théorème de Carathéodory
[ Théorème ]
Soit \({\cal A}\) la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal B}\) une algèbre, et \(\mu\) \(\sigma\)-additive de \({\cal B}\) dans \([0,+\infty]\). alors il existe une mesure \(\mu'\) sur \({\cal A}\) dont la restriction à \({\cal B}\) est \(\mu\). Si \(\mu(X)<+\infty\), alors cette extension est unique.
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Théorème de Cauchy dans le cas d’un triangle dans un convexe
[ Corollaire ]

Soit un triangle de sommets \(a\), \(b\) et \(c\). L’intégrale le long de ce triangle est en fait l’intégrale suivant \([a,b]\), plus l’intégrale suivant \([b,c]\), plus l’intégrale suivant \([c,a]\).

On suppose \(\Omega\) convexe contenant \(a\), \(b\) et \(c\).

Alors soit \(f\) une fonction continue sur \(\Omega\), et holomorphe sur \(\Omega\setminus\{ p \}\), avec \(p \in \Omega\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long du triangle est nulle.

(On montrerait facilement le même résultat pour un carré où n’importe quel autre polygone, en le triangulant)

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Théorème de Cauchy dans le cas d’un triangle dans un convexe
[ Corollaire ]

Soit un triangle de sommets \(a\), \(b\) et \(c\). L’intégrale le long de ce triangle est en fait l’intégrale suivant \([a,b]\), plus l’intégrale suivant \([b,c]\), plus l’intégrale suivant \([c,a]\).

On suppose \(\Omega\) convexe contenant \(a\), \(b\) et \(c\).

Alors soit \(f\) une fonction continue sur \(\Omega\), et holomorphe sur \(\Omega\setminus\{ p \}\), avec \(p \in \Omega\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long du triangle est nulle.

(On montrerait facilement le même résultat pour un carré où n’importe quel autre polygone, en le triangulant)
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Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]

On suppose \(\Omega\) ouvert et convexe, \(p\) dans \(\Omega\), \(f\) continue sur \(\Omega\) et \(f\in H(\Omega \setminus \{p\})\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est nulle pour tout chemin \(\gamma\) fermé tel que \(\gamma^* \subset \Omega\).
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Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]

On suppose \(\Omega\) ouvert et convexe, \(p\) dans \(\Omega\), \(f\) continue sur \(\Omega\) et \(f\in H(\Omega \setminus \{p\})\).

Alors l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est nulle pour tout chemin \(\gamma\) fermé tel que \(\gamma^* \subset \Omega\).
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Théorème de Cayley
[ Théorème ]
Si \(G\) est fini, alors \(G\) est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de \(G\).
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Théorème de convergence monotone
[ Théorème ]

Soit \(f_n\) une suite croissante de fonctions mesurables positives.

Alors \(f=sup f_n\) est mesurable et \(\int f = lim\ \int f_n\).
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Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles 4. Alors \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes ou parallèles.
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Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles d’un plan projectif. On note \(a\), \(b\) et \(c\) les points d’intersection respectifs de \(BC\) et \(B'C'\), \(AC\) et \(A'C'\), \(AB\) et \(A'B'\). Alors \(a\), \(b\) et \(c\) sont alignés si et seulement si \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes.
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Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles d’un plan projectif. On note \(a\), \(b\) et \(c\) les points d’intersection respectifs de \(BC\) et \(B'C'\), \(AC\) et \(A'C'\), \(AB\) et \(A'B'\). Alors \(a\), \(b\) et \(c\) sont alignés si et seulement si \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes.
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Théorème de Desargues
[ Théorème ]
On se donne \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles 3. Alors \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont concourantes ou parallèles.
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Théorème de Dirichlet
[ Théorème ]

Si \(f\) est \(L^1\) et si \(f\) admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en \(x\), alors \[\sigma_n(f)(x) \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))\]

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Théorème de Fejer
[ Théorème ]

\(\bullet\)Soit \(f\) périodique continue de période \(2\pi\). Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_\infty\) et \({\parallel}\sigma_n(f)-f {\parallel}_\infty \to 0\) pour \(n\to \infty\).

\(\bullet\)Soit \(f\) \(\in\) \({\mathfrak L}^p\), avec \(p\in[1,\infty[\)2. Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_p\) et \({\parallel}\sigma_n(f) -f {\parallel}_p \to 0\) pour \(n\to \infty\).

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Théorème de Fischer-Riesz
[ None ]
Les espaces \(L^p\) sont des espaces de Banach, pour \(p \in [1,+\infty]\).
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Théorème de Gauss
[ Théorème ]
Si \(z\) divise \(x.y\) et si \(z\) est premier avec \(x\) alors \(z\) divise \(y\).
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Théorème de Hahn-Banach des \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel
[ Théorème ]

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(p\) une application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\bullet\)\(\forall (x,y) \in E, p(x+y) \leq p(x)+p(y)\)

\(\bullet\)\(\forall x \in E, \forall {\lambda}\in \mathbb{R}^+, p({\lambda}.x)={\lambda}.p(x)\)

Alors toute forme linéaire \(l\) sur \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) telle que \(l(x) \leq p(x)\) peut être prolongée en une forme linéaire \(L\) sur \(E\) telle que \(\forall x,\ L(x) \leq p(x)\).
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Théorème de Heine
[ Théorème ]
Une application continue d’un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.
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Théorème de Hilbert
[ Théorème ]
Si \(A\) est un anneau noethérien, alors pour tout \(n\) \(A[X_1,...,X_n]\) est aussi un anneau noethérien.
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Théorème de la base incomplète
[ Théorème ]
Si \(I\) est une famille libre et \(K\) une famille génératrice finie, avec \(I \subset K\), alors il existe \(J\) avec \(I \subset J \subset K\) tel que \(J\) soit une base.
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Théorème de la base incomplète
[ Théorème ]
Si \(I\) est une famille libre et \(K\) une famille génératrice finie, avec \(I \subset K\), alors il existe \(J\) avec \(I \subset J \subset K\) tel que \(J\) soit une base.
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Théorème de la bijection
[ Théorème ]
Soit \(I\) un intervalle et soit une application \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\). On note \(J=f(I)\). On suppose que la fonction \(f\) est
  1. continue sur \(I\).

  2. strictement monotone sur \(I\).

alors la fonction \(f\) réalise une bijection de l’intervalle \(I\) sur l’intervalle \(J\) et sa bijection réciproque \(f^{-1}\) est une fonction continue et strictement monotone sur \(J\) de même sens que \(f\).
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Théorème de la convergence dominée de Lebesgue
[ Théorème ]
Soit \(f_n\) de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Hypothèses:

\(\bullet\)\(f_n\) mesurable.

\(\bullet\)Pour presque tout \(x\), \(f_n(x)\) converge.

\(\bullet\)Il existe une fonction \(g\) intégrable de \(X\) dans \([0,+\infty]\) majorant toutes les fonctions \(|f_n|\).

Alors:

\(\bullet\)une certaine fonction \(f\) est limite simple des \(f_n\); cette fonction est intégrable.

\(\bullet\)\(\int | f-f_n |\) \(\rightarrow\)\(0\) (convergence \(L^1\) de \(f_n\) vers \(f\)).

\(\bullet\)\(\int f_n \rightarrow \int f\) pour \(n\) \(\rightarrow\)\(+\infty\)
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Théorème de Lagrange
[ Théorème ]
Soit \(G\) un groupe fini, et \(H\) un sous-groupe de \(G\), alors \[|G|=|H|.|G/H|\]
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Théorème de la limite centrale
[ Théorème ]
Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires réelles indépendantes identiquement distribuées et de variance finie. Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), \[\frac{S_n-nE(X_1)}{\sqrt{n\,Var\ X_1}}\] converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.
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Théorème de l’application ouverte
[ Théorème ]
Soient \(E\) et \(F\) des espaces de Banach, et \(T\) une application linéaire continue surjective de \(E\) dans \(F\). Alors \(T\) est ouverte (c’est-à-dire que l’image de tout ouvert par \(T\) est un ouvert.
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Théorème de l’application ouverte
[ Théorème ]
Une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach est ouverte.
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Théorème de l’image ouverte
[ Théorème ]
On se donne \(\Omega\) un ouvert connexe, i.e. un domaine, et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Alors si \(f\) n’est pas constante, et pour tout \(z_0\) dans \(\Omega\), \(f\) induit sur un voisinage ouvert \(V\) de \(z_0\) une application surjective de \(V\) sur un ouvert \(W\), telle que pour tout \(w\) dans \(W\setminus \{w_0=f(z_0)\}\), il y ait exactement \(m\) points distincts \(z \in V\) dont l’image par \(f\) est \(w\), avec \(m\) l’ordre du zéro de \(f-w_0\) en \(z_0\).
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Théorème de l’image ouverte
[ Théorème ]
On se donne \(\Omega\) un ouvert connexe, i.e. un domaine, et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Alors si \(f\) n’est pas constante, et pour tout \(z_0\) dans \(\Omega\), \(f\) induit sur un voisinage ouvert \(V\) de \(z_0\) une application surjective de \(V\) sur un ouvert \(W\), telle que pour tout \(w\) dans \(W\setminus \{w_0=f(z_0)\}\), il y ait exactement \(m\) points distincts \(z \in V\) dont l’image par \(f\) est \(w\), avec \(m\) l’ordre du zéro de \(f-w_0\) en \(z_0\).
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Théorème de Montel
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\), \(K\) compact de \(\Omega\), \(M\geq 0\), \(m>0\), \(k\in K\). Alors il existe un certain \(NombreMaxDeZeros\) tels que le nombre de zéros de \(f\) dans \(K\), pour \(f\) holomorphe bornée 2 par \(M\) sur \(K\) et telle que \(|f'(k)|\geq m\), est majoré par \(NombreMaxDeZeros\).
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Théorème de Montel
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\), \(K\) compact de \(\Omega\), \(M\geq 0\), \(m>0\), \(k\in K\). Alors il existe un certain \(NombreMaxDeZeros\) tels que le nombre de zéros de \(f\) dans \(K\), pour \(f\) holomorphe bornée 3 par \(M\) sur \(K\) et telle que \(|f'(k)|\geq m\), est majoré par \(NombreMaxDeZeros\).
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Théorème de Morera
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue complexe dans un ouvert \(\Omega\) dont l’intégrale sur tout triangle est nulle. Alors \(f\) est holomorphe sur \(\Omega\).
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Théorème de Morera
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue complexe dans un ouvert \(\Omega\) dont l’intégrale sur tout triangle est nulle. Alors \(f\) est holomorphe sur \(\Omega\).
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Théorème de Pappus
[ Théorème ]

Soient \(D\) et \(D'\) deux droites du plan, distinctes.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de \(D\), et \(A'\), \(B'\) et \(C'\) trois points de \(D'\).

Si \(AB'\) est parallèle à \(BA'\),

et si \(CB'\) est parallèle à \(BC'\),

alors \(AC'\) est parallèle à \(CA'\),
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Théorème de Pappus
[ Théorème ]

Soient \(D\) et \(D'\) deux droites du plan, distinctes.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de \(D\), et \(A'\), \(B'\) et \(C'\) trois points de \(D'\).

Si \(AB'\) est parallèle à \(BA'\),

et si \(CB'\) est parallèle à \(BC'\),

alors \(AC'\) est parallèle à \(CA'\),
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Théorème de Plancherel
[ Théorème ]

La transformation de Fourier s’étend en une transformation de Fourier \(L^2\), définie comme l’unique application \(f\mapsto \hat f\) de \(L^2\) dans \(L^2\) telle que:

\(\bullet\)elle coïncide avec la transformée de Fourier \(L^1\) sur \(L^1\cap L^2\)

\(\bullet\)c’est une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\)

Elle vérifie en outre certaines propriétés intéressantes:

\(\bullet\)c’est un isomorphisme d’espaces de Hilbert entre \(L^2\) et \(L^2\)

\(\bullet\)elle vérifie le théorème d’inversion \(L^2\) : \[lim_{M\to \infty} {\parallel}f_M-\hat f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec } f_M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(x)e^{-ixt}dx\] \[\mbox{et }lim_{M\to \infty} {\parallel}\hat f_M-f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec }\hat f_M(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M \hat f(t) e^{ixt}dt\]

on peut aussi écrire que l’application de \(L^1\cap L^2\) dans \(L^1\cap L^2\) qui à \(f\) associe \(\tilde f\) avec \(\tilde f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{ixt} dt\) s’étend en une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\), et \(f \mapsto \tilde f\) est l’inverse de \(f\mapsto \hat f\) au sens où pour toute \(f \in L^2\), \(\hat{\tilde f}=\tilde {\hat f}=f\) presque partout.

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Théorème de Pythagore
[ Théorème ]
Si les \(x_i\) sont une famille finie orthogonale alors \({\parallel} \sum_i x_i {\parallel}^2=\sum_i {\parallel}x_i {\parallel}^2\).
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Théorème de Riesz
[ Théorème ]
Un espace normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
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Théorème de Rolle
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue définie sur le segment \([a,b]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \(f(a)=f(b)\). Alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\).
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Théorème de Rouché
[ None ]
\(f\) et \(g\) holomorphes sur \(\Omega\), le disque fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\) étant inclus dans \(\Omega\), et \(|f(z)-g(z)| < |f(z)|\) sur le cercle de centre \(a\) et de rayon \(r\). Alors \(f\) et \(g\) ont le même nombre de zéros sur le disque ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\) (en comptant leurs multiplicités).
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Théorème de Rouché
[ None ]
\(f\) et \(g\) holomorphes sur \(\Omega\), le disque fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\) étant inclus dans \(\Omega\), et \(|f(z)-g(z)| < |f(z)|\) sur le cercle de centre \(a\) et de rayon \(r\). Alors \(f\) et \(g\) ont le même nombre de zéros sur le disque ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\) (en comptant leurs multiplicités).
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Théorème des accroissements finis pour une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)
[ Théorème ]

On se donne \(f\) continue de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(]a,b[\).

Alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)\).
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Théorème des bases téléscopiques
[ Théorème ]
Si \(M \subset L \subset K\) (tous trois des corps), alors si \(e_i\) est une base de \(K\) en tant que \(L\)-espace vectoriel et si \(f_j\) est une base de \(L\) en tant que \(M\)-espace vectoriel , alors \(e_i.f_j\) est une base de \(K\) en tant que \(M\)-espace vectoriel . Donc \([K:M]=[K:L].[L:M]\).
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Théorème des bases téléscopiques
[ Théorème ]
Si \(M \subset L \subset K\) (tous trois des corps) alors si \(e_i\) est une base de \(K\) en tant que \(L\)-espace vectoriel et si \(f_j\) est une base de \(L\) en tant que \(M\)-espace vectoriel alors \(e_i.f_j\) est une base de \(K\) en tant que \(M\)-espace vectoriel Donc \([K:M]=[K:L].[L:M]\).
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Théorème de Schwartz
[ None ]
Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}^n\) dans un espace de Banach \(F\) deux fois différentiable en \(x\), alors \(\frac{\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j}(x)=\frac{d^2 f}{\delta x_j \delta x_i}(x)\).
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Théorème des résidus
[ Théorème ]
On suppose \(\Omega\) convexe, \(a_1,...,a_n\) des points distincts de \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega \setminus \{a_1,...,a_n\}\). On suppose que \(f\) admet un pôle en chaque \(a_i\), et on se donne un chemin fermé \(\gamma\) ne passant pas par les \(a_i\). Alors \[\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma f(z).dz = \sum_{k=1}^n Res(f;a_k).Ind_\gamma(a_k)\]
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Théorème des résidus
[ Théorème ]
On suppose \(\Omega\) convexe, \(a_1,...,a_n\) des points distincts de \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega \setminus \{a_1,...,a_n\}\). On suppose que \(f\) admet un pôle en chaque \(a_i\), et on se donne un chemin fermé \(\gamma\) ne passant pas par les \(a_i\). Alors \[\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma f(z).dz = \sum_{k=1}^n Res(f;a_k).Ind_\gamma(a_k)\]
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Théorème des segments emboîtés
[ Théorème ]
L’intersection d’une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers \(0\) est un singleton.
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Théorème de Stone
[ Théorème ]

On se donne \(K\) un compact, et \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’algèbre \(C^0(K,\mathbb{R})\) des fonctions continues à valeurs réelles sur \(\mathbb{K}\), munie de la norme \(f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_\infty = sup_{x\in K} |f(x)|\).

On suppose que \(A\) sépare les points de \(K\), c’est-à-dire qu’étant donnés \(x\) et \(y\) dans \(K\) avec \(y\neq x\), il existe \(f\) dans \(A\) tel que \(f(x) \neq f(y)\).

Alors \(A\) est dense dans \(C^0(K,\mathbb{R})\).
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Théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée
[ Théorème ]

Ce théorème est aussi dit théorème de Darboux.

Soit \(f\) dérivable d’un intervalle \(I\) dans \(\mathbb{R}\); alors \(f'(I)\) est un intervalle.
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Théorème de Sylow
[ Théorème ]
\(G\) étant un groupe fini, et \(p\) un nombre premier divisant l’ordre de \(G\), alors \(G\) admet au moins un \(p\)-sous-groupe de Sylow.
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Théorème de transport
[ Théorème ]
Pour toute fonction mesurable \(\phi\) de \(\mathbb{R}\) (muni des boréliens) dans \(\mathbb{R}\) (muni des boréliens), \[\int_\mathbb{R}\phi d\mu^f=\int_{\Omega} \phi\circ f \ d\mu.\]
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Théorème de Tykhonov
[ Théorème ]
Soit \(X_i\) une famille d’espaces tous non vides. Le produit est compact si et seulement si chacun des facteurs l’est.
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Théorème de Weierstrass
[ None ]
L’ensemble des polynômes sur un compact \(K\) de \(\mathbb{R}\) et à coefficients dans \(\mathbb{R}\) est dense dans l’ensemble des fonctions continues de \(K\) dans \(\mathbb{R}\), pour la norme uniforme \({\parallel}.{\parallel}_\infty\).
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Théorème de Zermelo
[ Théorème ]
Si un ensemble \(E\) est non vide alors il existe une relation de bon ordre (i.e. telle que toute partie non vide de \(E\) admette un minimum).
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Théorème d’inertie de Sylvester
[ Théorème ]
Pour toute base \(q\)-orthogonale \(e_i\), l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)<0\) a même cardinal, l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)=0\) a même cardinal, l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)>0\) a même cardinal.

Le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)>0\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de dimension maximale tel que \(q_{|F}\) soit définie positive.

Le sous-espace vectoriel engendré par l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)<0\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de dimension maximale tel que \(q_{|F}\) soit définie négative.

Le cardinal de l’ensemble des \(i\) tels que \(q(e_i)=0\) est égal à la dimension de \(E\) moins le rang de \(q\).
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Théorème d’inversion
[ Théorème ]

Si \(f\) et \(\hat f\) appartiennent tous deux à \(L^1\), alors \[g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt\] est continue, tend vers \(0\) en \(+\infty\) ou \(-\infty\) et est égale à \(f\) presque partout.

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Théorème d’inversion globale
[ Théorème ]

Soit \(A\) une application linéaire continue de \(E\) dans \(F\), avec \(E\) un espace de Banach et \(F\) un espace normé, telle que \(A^{-1}\) existe et est continue (\(A\) est un homéomorphisme linéaire). Soit \(\phi\) une application lipschitzienne de \(E\) dans \(F\) telle que \(Lip(\phi) < {\parallel}A^{-1} {\parallel}^{-1}\). Alors:

\(\bullet\)\(h=A+\phi\) est inversible.

\(\bullet\)\(h^{-1}\) est lipschitzienne, avec \(Lip(h^{-1}) \leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{[1-{\parallel}A^{-1} {\parallel}. Lip(\phi)]}\)

\(\bullet\)Si \(h\) est \(C^1\) sur \(U\) ouvert de \(E\), et si \(\forall x \in U, \ Dh(x) \in Isom(E,F)\), alors \(h^{-1}\) est \(C^1\) sur l’ouvert \(h(U)\), et la différentielle de \(h^{-1}\) est donnée par \[\forall x\in U,\ D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}.\]
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Théorème d’inversion locale
[ Théorème ]
Soit \(h\) de \(U\) dans \(F\) une application \(C^1\), avec \(U\) ouvert de \(E\), et \(E\) et \(F\) des espaces de Banach. Si la différentielle \(Dh(x_0)\) est bijective de \(E\) dans \(F\) pour un certain \(x_0\) de \(U\), alors il existe \(U_0\) voisinage de \(x_0\) dans \(E\) et un voisinage ouvert \(V_0\) de \(f(x_0)\) dans \(F\) tels que \(h\) induit un difféomorphisme \(C^1\) de \(U_0\) dans \(V_0\). On a alors \[D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}\mbox{ pour tout $x$ dans $U_0$.}\]
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Théorème du graphe fermé
[ None ]
Soit \(T:E\rightarrow F\), linéaire entre les Banach \(E\) et \(F\). L’application \(T\) est continue si et seulement si le graphe de \(T\) est fermé dans \(E \times F\).
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Théorème du graphe fermé
[ Théorème ]
Soit \(T:E\rightarrow F\), linéaire entre les Banach \(E\) et \(F\). L’application \(T\) est continue si et seulement si le graphe de \(T\) est fermé dans \(E \times F\).
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Théorème du rang
[ Théorème ]
Si \(f \in {\cal L}(E,F)\) et \(E\) de dimension finie, alors \(Im\ f\) et \(Ker\ f\) sont de dimension finie, et \(dim\ E = dim \ Im\ f + dim \ Ker\ f\).
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Théorème du rang
[ Théorème ]
Si \(f \in {\cal L}(E,F)\) et \(E\) de dimension finie, alors \(Im\ f\) et \(Ker\ f\) sont de dimension finie, et \(dim\ E = dim \ Im\ f + dim \ Ker\ f\).
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Théorème fondamental
[ Théorème ]
Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu([a,b])=b-a\) pour \(b>a\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\).

Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu(\Pi_i [a_i,b_i])=\Pi_i (b_i-a_i)\) pour \(b_i>a_i\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\).

On appelle encore mesure de Lebesgue l’extension de cette mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des lebesguiens. La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes:

\(\bullet\)Sur \(\mathbb{R}\), à une constante de proportionnalité près, c’est la seule mesure sur les boréliens invariante par translations et finie sur les intervalles bornés.

\(\bullet\)Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.

\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable (un lebesguien), la mesure de \(E\) est égale à l’\(\inf\) des mesures des parties ouvertes contenant \(E\).

\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable, la mesure de \(E\) est égale au \(sup\) des mesures des parties compactes inclues dans \(E\).
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Théorème multivarié de la limite centrale
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{R}^n\) identiquement distribuées et de variance finie. Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), \[\frac{S_n-nE(X_1)}{\sqrt{n}}\] converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée de matrice de variance covariance la matrice de variance covariance de \(X_1\).

Des extensions du théorème pour des variables aléatoires non-identiquement distribuées ou non-indépendantes existent.
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Théorème noyau-image
[ Théorème ]
\(Im\ f\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(Ker\ f\).
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Théorèmes de passage à la limite en probabilités
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires et \(X\) une variable aléatoire telles que \[P(X_n \to X) = 1\mbox{ c'est-à-dire } P(\{{\omega}; X_n({\omega}) \to X({\omega}) \})=1.\] Alors les résultats de convergence monotone, de Fatou, de convergence dominée et de Scheffé, que l’on peut trouver dans la partie [integra], se reformulent comme suit:

\(\bullet\)Convergence monotone:

Si les \(X_n\) sont \(\geq 0\) et \(X_n({\omega})\) croit vers \(X({\omega})\) pour \(n \to +\infty\), alors \(E(X_n) \to E(X)\).

\(\bullet\)Lemme de Fatou:

Si \(X_n \geq 0\) alors \(E(X) \leq liminf\ E(X_n)\)

\(\bullet\)Théorème de convergence dominée de Lebesgue:

Si pour tout \(n\) et tout \({\omega}\) on a \(|X_n({\omega})| \leq |Y({\omega})|\), avec \(Y\) une variable aléatoire telle que \(E(Y) \leq + \infty\), alors \(E(|X_n-X|) \to 0\), et en particulier \(E(X_n) \to E(X)\).

\(\bullet\)Lemme de Scheffé:

Si \(E(|X_n|)\to E(|X|)\), alors \(E(|X_n - X|) \to 0\).
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Topologie
[ Definition ]
Une topologie \({\cal T}\) sur l’ensemble \(X\) est une partie \({\cal T}\subset P(X)\) vérifiant:

\(\bullet\)L’ensemble vide \(\emptyset\) et \(X\) sont dans \({\cal T}\)

\(\bullet\)\({\cal T}\) est stable par réunions arbitraires

\(\bullet\)\({\cal T}\) est stable par intersections finies

Un tel couple \((X,{\cal T})\) est appelé espace topologique. Les éléments de \({\cal T}\) sont appelés les ouverts de la topologie.

Une partie de \(X\) est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
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Topologie de la convergence uniforme
[ Definition ]

Soit \(X\) un ensemble (non vide) et \(F\) un espace métrique. L’espace \(F^X\) des applications de \(X\) dans \(F\) est métrique avec les distances \[d_1(f,g)=min[1;sup_{x\in X} d(f(x),g(x))]\mbox{ et }d_2(f,g)=sup_{x\in X}\frac{d(f(x),g(x))}{1+d(f(x),g(x))}.\] Ces deux distances induisent une même topologie, dite topologie de la convergence uniforme.

Si \(X\) est en fait un espace topologique compact, alors sur l’espace des applications continues de \(X\) dans \(F\), noté \(C^0(X,F)\), cette topologie est aussi induite par la distance \[d(f,g)=sup_{x\in X} d(f(x),g(x)).\]
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Topologie de la convergence uniforme sur tout compact
[ Definition ]

Si \(X\) est un espace topologique localement compact, on peut définir sur \(C^0(X,F)\) la famille d’écarts \((N_{K})\), pour \(K\) compact non vide de \(X\), par: \[N_{K}(f,g)= \sup_{x\in K} d(f(x),g(x)) \in [0, \infty[.\] Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur les compacts de \(X\). C’est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Si la famille \((K_i)_{i\in I}\) (\(I\) non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact \(K\) de \(X\) est inclus dans un certain \(K_i\), alors la famille des \(N_{K_i}\) suffit.

La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d’ouverts les \(\left(g \mapsto N_{K}(f,g)\right)^{-1}[0,\epsilon[)\) pour \(\epsilon>0\), \(K\) compact non vide et \(f\) application continue de \(X\) dans \(Y\).
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topologie faible étoile
[ Definition ]
La topologie faible étoile, alias topologie faible-*, est la topologie engendrée par la famille des \(\phi_x\) pour \(x\) dans \(E\). On notera \(f_n {*\atop \rightharpoonup}f\) la convergence de la suite \(f_n\) vers \(f\) dans \(E'\) pour la topologie faible-*.
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Topologie faible et topologie faible-*
[ Definition ]
On appelle topologie faible sur l’espace normé \(E\) la topologie engendrée par l’ensemble des formes linéaires continues de \(E\) dans \(K\). On appelle topologie faible-* sur le dual de l’espace normé \(E\) la topologie engendrée par l’ensemble des applications qui à \(\phi\) associent \(\phi(x)\), étant donné \(x \in X\).
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Topologie forte
[ Definition ]
On appelle topologie forte la topologie définie sur le dual par la norme usuelle.
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topologie induite
[ Definition ]
Étant donné \(A \subset X\), on appelle topologie induite par la topologie de \(X\) sur \(A\) l’ensemble des intersections d’ouverts de \(X\) avec \(A\).
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Topologie produit
[ Definition ]
On appelle topologie produit sur le produit des \(X_i\) la topologie engendrée par les projections canoniques de \(X=\Pi_i X_i\) sur \(X_i\).
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Topologie quotient
[ Definition ]

La topologie quotient est définie comme suit:

\(U \subset X / {\cal R}\) est ouvert si et seulement si \(\Pi^{-1}(U)\) est ouvert.
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transformation de Toeplitz
[ Definition ]
Etant donnée une famille \((c_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2}\) de coefficients complexes, on définit la transformation de Toeplitz associée à cette famille comme étant l’application qui à une suite complexe \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) associe la suite \((Tu_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(Tu_n=\sum_{i=0}^\infty c_{n,i}.u_i\). On dit que \(T\) est régulière si et seulement si pour toute suite \(u_n\) convergente, \(Tu_n\) est définie pour tout \(n\) et la suite \((Tu_n)\) converge vers la même limite que \((u_n)\).
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Transformée d’Abel
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace vectoriel normé , \((r_n)\) une suite de réels, \((e_n)\) une suite de \(E\). On note \(E_n=\sum_{k=0}^n e_k\). Alors pour tout \(M<N\) \[\sum_{n=M}^N r_ne_n = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k\] avec \([rE]_M^N=r(N)E(N)-r(M)E(M-1)\) par définition (attention au \(-1\)!).
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transformée de Fourier
[ Definition ]
On se donne \(f\) dans \(L^1_\mathbb{C}(\mathbb{R})\), et on note pour \(x\) dans \(\mathbb{R}\) \[\hat f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt}.dt\] \(\hat f\) est appelée transformée de Fourier de \(f\) (plus précisément il s’agit de la transformée de Fourier \(L^1\) de \(f\)). On note \({\cal C}\) l’ensemble des \(x \in \mathbb{C}\) tels que \(|x|=1\).
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Translation
[ Definition ]
  • Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), notée \(t_{\overrightarrow{u}}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}\).

  • Soit \(\Omega\) un point du plan et \(\lambda\) un réel non nul. L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\), noté \(h_{\Omega,\lambda}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\boxed{\overrightarrow{\Omega M'}=\lambda \overrightarrow{\Omega M}}\).

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Translations
[ Definition ]
Étant donné \(a\in X\), on appelle translation de vecteur \(a\) l’application d’un espace vectoriel \(X\) dans lui-même qui à \(x\) associe \(x+a\). On note \({\cal T}(E)\) l’ensemble des translations de \(E\).

On appelle sous-espace affine de \(E\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) par une translation de \(E\).

On appelle direction d’un sous-espace affine \(A\) l’ensemble des \(x-y\) pour \(x\) et \(y\) dans \(A\).

On dit qu’un sous-espace affine \(A\) est parallèle à un sous-espace affine \(B\) si et seulement si la direction de \(A\) est incluse dans la direction de \(B\).

On dit que deux sous-espaces affines sont parallèles s’ils ont même direction.

On dit que deux sous-espaces affines sont strictement parallèles s’ils ont même direction et sont distincts.
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Transport
[ Proposition ]
Soit \(\mu\) une mesure sur un espace mesurable \(X\), et \(f\) une fonction mesurable de \(X\) dans \(Y\) un autre espace mesurable; alors l’application qui à une partie mesurable \(E\) de \(Y\) associe \(\mu(f^{-1}(E))\) est une mesure sur \(Y\). On note \(\mu^f\) cette mesure.
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transposée de \(f\)
[ Definition ]
Étant donnée \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\) on appelle transposée de \(f\) l’application de \(F^*\) dans \(E^*\) qui à \(v\) associe \(v \circ f\). C’est une application linéaire, et on la note \(^tf\).
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Transposée d’une matrice
[ Definition ]
Etant donnée une matrice \(M\) on appelle matrice transposée de \(M\) la matrice \(N\) avec \(N_{i,j}=M_{j,i}\). Si \(M\) est de type \((n,p)\), alors \(N\) est de type \((p,n)\). On note \(N= ^t\!\!M\).
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Transposée d’une matrice
[ Definition ]
Étant donnée une matrice \(M\) on appelle matrice transposée de \(M\) la matrice \(N\) avec \(N_{i,j}=M_{j,i}\). Si \(M\) est de type \((n,p)\), alors \(N\) est de type \((p,n)\). On note \(N= ^t\!\!M\).
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transvection affine
[ Definition ]
Étant donné \(X\) un espace affine , on appelle transvection affine une application \(f\) telle qu’il existe \(H\) un hyperplan affine, \(h\) une forme affine sur \(X\) telle que \(\{x\in X ; h(x)=0\}=H\), un vecteur \(\overrightarrow u\) dans \(\overrightarrow H\) tels que pour tout \(x\) dans \(X\), \(f(x)=x+h(x).\overrightarrow u\).
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triangulation d’un simplexe \(\Delta\)
[ Definition ]

Soit \(\sigma\in \sigma_{n+1}\) une permutation de \([[0,n]]\).

On note \(\Delta_\sigma\) l’ensemble des points \(x\) de \(\Delta\) tels que \[c_{\sigma(0)}(x) \geq c_{\sigma(1)}(x) \geq ... \geq c_{\sigma(n)}(x)\]
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triangulation d’un simplexe \(\Delta\)
[ Definition ]

Soit \(\sigma\in \sigma_{n+1}\) une permutation de \([0,n]\).

On note \(\Delta_\sigma\) l’ensemble des points \(x\) de \(\Delta\) tels que \[c_{\sigma(0)}(x) \geq c_{\sigma(1)}(x) \geq ... \geq c_{\sigma(n)}(x)\]
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Trièdre de Frenet
[ Definition ]

On appelle trièdre de Frenet en \(t\) (avec les notations ci-dessus) de l’arc au moins \(C^2\) \(\gamma\), lorsque \(\gamma\) est une abscisse curviligne et lorsque les quantités qui suivent sont bien définies, le trièdre \((i,j,k)\) défini par \(i=\gamma'(t)\), \(j=\frac{1}{{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}}\frac{di}{dt}\), \(k\) le produit vectoriel de \(i\) et \(j\). \({\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé courbure en \(t\). Son inverse \(1/{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé rayon de courbure en \(t\). La torsion est \({\parallel}\frac{dk}{dt}{\parallel}\).

La droite passant par \(t\) et de direction \(i\) est appelée tangente en \(t\) (ou \(\gamma(t)\) lorsque cela ne prête pas à confusion).

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Trièdre de Frenet
[ Definition ]

On appelle trièdre de Frenet en \(t\) (avec les notations ci-dessus) de l’arc au moins \(C^2\) \(\gamma\), lorsque \(\gamma\) est une abscisse curviligne et lorsque les quantités qui suivent sont bien définies, le trièdre \((i,j,k)\) défini par \(i=\gamma'(t)\), \(j=\frac{1}{{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}}\frac{di}{dt}\), \(k\) le produit vectoriel de \(i\) et \(j\). \({\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé courbure en \(t\). Son inverse \(1/{\parallel}\frac{di}{dt}{\parallel}\) est appelé rayon de courbure en \(t\). La torsion est \({\parallel}\frac{dk}{dt}{\parallel}\).

La droite passant par \(t\) et de direction \(i\) est appelée tangente en \(t\) (ou \(\gamma(t)\) lorsque cela ne prête pas à confusion).
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Tri topologique
[ Definition ]
Un tri topologique d’un graphe orienté sans circuit \(G=(X,U)\) est une permutation \((x_1,x_2,...,x_n)\) de \(X\) telle que \((x_i,x_j) \in U \Longrightarrow i < j\).
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Tri topologique
[ Definition ]
Un tri topologique d’un graphe orienté sans circuit \(G=(X,U)\) est une permutation \((x_1,x_2,...,x_n)\) de \(X\) telle que \((x_i,x_j) \in U \Longrightarrow i < j\).
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Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul
[ Théorème ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
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Troncature des développements limités
[ Proposition ]
Si \(f(t)=P(t)+o((t-a)^n)\) alors a fortiori \(f(t)=P(t)+o((t-a)^p)\) pour \(p<n\).
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Success message!