Lexique mathématique

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S
Second lemme de Borel-Cantelli
[ Corollaire ]
Soit \((E_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite d’événements indépendants. \[\mbox{Si }\sum_n P(E_n) = + \infty, \mbox{ alors } P(limsup\ E_n)=1.\]
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Segment
[ Definition ]
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On appelle segment \(\left[a,b\right]\) l’ensemble des réels compris, au sens large, entre \(a\) et \(b\) :
  • Si \(a <b\), \(\left[a,b\right]=\left\{t\in\mathbb{R}\mid a\leqslant t\leqslant b\right\}\).

  • Si \(a=b\), \(\left[a,a\right]=\left\{a\right\}\).

  • Si \(b < a\), \(\left[a,b\right] = \left\{t\in \mathbb{R}\mid b \leqslant t \leqslant a\right\}\).

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Semi-continuité
[ Definition ]

Une application \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) est semi-continue inférieurement si pour tout \(c\) on a \(f^{-1}(]c,+\infty[)\) ouvert.

Une application \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) est semi-continue supérieurement si pour tout \(c\) on a \(f^{-1}(]-\infty,c[)\) ouvert.
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Semi-linéaire
[ Definition ]
Une application d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(F\) est dite semi-linéaire si

\(\bullet\)\(\forall (x,y)\in E^2\ f(x+y)=f(x)+f(y)\)

\(\bullet\)\(\forall (x,{\lambda})\in E\times \mathbb{C}\ f({\lambda}.x)=\overline {\lambda}f(x)\)

Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.

Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel dans \(\mathbb{C}\).

Étant donnés \(E\) et \(F\) des \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels, une application \(\phi\) de \(E \times F\) est dite forme sesquilinéaire sur \(E\times F\) si

\(\bullet\)\(\forall x\) l’application \(y\mapsto \phi(x,y)\) est une forme linéaire sur \(F\)

\(\bullet\)\(\forall y\) l’application \(x\mapsto \phi(x,y)\) est une forme semi-linéaire sur \(E\)

Une forme sesquilinéaire sur \(E\times E\) est dite hermitienne lorsque en outre \(\forall (x,y) \in E^2\ \phi(x,y)=\overline {\phi(y,x)}\).

Une forme sesquilinéaire hermitienne \(\phi\) sur \(E^2\) est dite produit scalaire hermitien sur \(E\) si \(\forall x \in E\setminus\{0\}, \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}^+_*\). On note généralement alors \(=\phi(x,y)\)

Étant donné un produit scalaire hermitien \(<.|.>\), on définit une norme hermitienne; il s’agit de l’application \(x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x|x>}\). On verra plus loin qu’il s’agit d’une norme.

On appelle espace préhilbertien complexe un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel \(F\) d’un espace préhilbertien complexe \(E\) muni d’un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à \(F\), est appelé sous-espace préhilbertien de \(E\) (c’est un espace préhilbertien).
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Séparante
[ Definition ]
On dit que la famille d’applications \(f_i\) est séparante si et seulement si pour tout \((x,y)\) il existe \(i\) tel que \(f_i(x) \neq f_i(y)\).
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Séparation par des ouverts
[ Definition ]
On dit que la partie \(A\) et la partie \(B\) sont séparées par des ouverts s’il existe deux ouverts \(U\) et \(V\) tels que \(A \subset U\) et \(B \subset V\) tels que \(U \cap V = \emptyset\).
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Série absolument convergente
[ Definition ]
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. \((x_n)\) dans \(E\) est appelée une série absolument convergente si \(\sum_{n\geq 0} \parallel x_n \parallel < + \infty\).
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Série alternée
[ None ]

Si \(u_n=(-1)^n \epsilon_n\) et si \(\epsilon_n\) décroît vers \(0\), alors la série de terme général \(u_n\) converge.

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Série dérivée d’ordre \(p\)
[ Definition ]

On se donne \(\sum_{n\geq 0} a_n.z^n\) une série entière; on appelle série dérivée d’ordre \(p\) la série \(\sum_{n\geq 0} \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p}.z^n\).

On appelle série dérivée (tout court!) d’une série entière la série dérivée d’ordre \(1\).
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Série entière
[ Definition ]

On appelle série entière une série de fonctions de terme général \(z\mapsto a_n.z^n\), avec \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de nombres complexes. On la note \(\sum_n a_n.z^n\).

La suite \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est appelée suite des coefficients de la série entière.

On appelle domaine de convergence d’une série entière l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que la somme \(\sum a_n.z^n\) est bien définie.
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Série entière produit
[ Definition ]
Étant donnée deux séries entières \(\sum_{n\geq 0} a_nz^n\) et \(\sum_{n\geq 0}b_nz^n\), on définit la série entière produit par \(\sum_{n\geq 0} c_nz^n\), avec \(c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\), et la série entière somme par \(\sum_{n\geq 0} d_nz^n\) avec \(d_n=a_n+b_n\).
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Série géométrique
[ Definition ]
Soit \(k\in \mathbb{R}\). On définit la progression géométrique (ou série géométrique) de raison \(k\) comme étant la suite de terme général \[\displaystyle{S_n=1+k+k^2+...+k^n=\sum_{i=0}^n k^i }\]
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Séries entières
[ Definition ]
On appelle série entière une série de fonctions de la forme \[\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n} \quad a_{n} \in \mathbf{C}\]
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Signature d’une forme quadratique
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. On appelle signature d’une forme quadratique \(q\) le couple \((s,t)\) avec \(s\) la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de \(E\) sur lequel \(q\) est définie positive et \(t\) la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de \(E\) sur lequel \(q\) est définie négative.
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Signature d’une permutation
[ Definition ]
Soit une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\). On dit qu’un couple \((i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\) est un inversion de \(\sigma\) lorsque \[i < j \textrm{ et } \sigma(i) > \sigma(j).\] On note \(I(\sigma)\) le nombre d’inversions de la permutation \(\sigma\), et on définit la signature de la permutation \(\sigma\) par \[\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}.\] On dit qu’une permutation \(\sigma\) est paire si \(\varepsilon(\sigma) = +1\) et impaire lorsque \(\varepsilon(\sigma) = -1\).
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Signature d’une transposition
[ Corollaire ]
Soit \(\tau\) une transposition de \(\mathfrak{S}\left(n\right)\). C’est une permutation impaire : \(\varepsilon(\tau) = -1\).
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Si l’intégrale d’une fonction continue positive est nulle alors cette fonction est nulle
[ Théorème ]
Soient \(\left[a,b\right]\) un segment et une fonction \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\) vérifiant
  1. la fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\),

  2. elle est positive : \(\forall x\in\left[a,b\right], \quad f\left(x\right) \geqslant 0\).

  3. son intégrale est nulle : \(\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=0\).

Alors la fonction est nulle : \(\boxed{\forall x\in\left[a,b\right], \quad f\left(x\right)=0}\)
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Similitude directe
[ Definition ]
Une similitude directe est une transformation du plan admettant comme représentation dans le plan complexe l’application: \(\boxed{\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \newline z & \longmapsto & az+b \end{array} \right. }\)\((a,b)\in \mathbb{C}^*\times \mathbb{C}\).
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Simplexe
[ Definition ]

On appelle simplexe de dimension \(n\) l’enveloppe convexe de \(n+1\) points formant un repère affine.

On appelle face d’un simplexe l’enveloppe convexe d’un nombre fini (quelconque) de ses points. Sa dimension est par définition le nombre de points de cette face moins \(1\). On appelle \(g\)-face une face de dimension \(g\).
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Simplexe
[ Definition ]

On appelle simplexe de dimension \(n\) l’enveloppe convexe de \(n+1\) points formant un repère affine.

On appelle face d’un simplexe l’enveloppe convexe d’un nombre fini (quelconque) de ses points. Sa dimension est par définition le nombre de points de cette face moins \(1\). On appelle \(g\)-face une face de dimension \(g\).
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Sinus et Cosinus hyperboliques
[ Definition ]
Les fonctions sinus hyperbolique \(\mathop{\mathrm{sh}}\) et cosinus hyperbolique \(\mathop{\mathrm{ch}}\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) par \[\mathop{\mathrm{ch}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad \mathop{\mathrm{sh}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \end{array} \right.\]
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Si \(E\) est de dimension \(n\)
[ Proposition ]
  1. \(\left(GL_{n}\left(\mathbb{K}\right),\times\right)\) est un groupe (en général non abélien).

  2. Si \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et si \(e\) est une base de \(E\), l’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} GL_{ }\left(E\right) & \longrightarrow & GL_{n}\left(\mathbb{K}\right) \newline u & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{e}\left(u\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme de groupe.

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Sommable de somme \(x\)
[ Definition ]
Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable de somme \(x\) si pour tout \(\epsilon>0\) il existe \(J \subset I\) finie telle que, pour tout \(K\) fini, \(J \subset K \subset I\) implique \(|x-\sum_{i \in K} x_i | \leq \epsilon\).
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Sommable de somme \(x\)
[ Definition ]
Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable de somme \(x\) si pour tout \(\epsilon\) il existe \(J \subset I\) finie telle que, pour tout \(K\) fini, \(J \subset K \subset I\) implique \(|x-\sum_{i \in K} x_i | \leq \epsilon\).
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Somme
[ Definition ]
Soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille de groupes abéliens. On note \(\bigoplus_{i \in I} A_i\) l’ensemble des familles \((x_i)_{i \in I}\) avec \(x_i \in A_i\) et les \(x_i\) presque tous nuls; c’est un groupe abélien pour l’addition terme à terme; on l’appelle somme des groupes \(A_i\).

On identifie \(A_i\) à l’ensemble des \((x_i)_{i \in I}\) tels que \(j \neq i\) \(\rightarrow\)\(x_j=0\).

Si \(\forall i \ A_i=A\) alors on note \(A^{(I)}=\bigoplus_{i \in I} A_i\).
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Somme
[ Proposition ]

Soient \(f\) et \(g\) admettant des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\).

Alors \(f+g\) et \(fg\) admettent des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\), et \(f/g\) aussi si \(g(0)\neq 0\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f+g\) est la somme des développements limités de \(f\) et \(g\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(fg\) est le produit des développements limités de \(f\) et \(g\) (on peut tronquer les termes de degré \(>n\)).

\(\bullet\)Le développement limité du composé \(g\circ f\), si \(f(0)=0\), si \(f \equiv^n P\) et si \(g \equiv^n Q\), est \(Q\circ P\), valable à l’ordre \(n\) (les termes de degré \(>n\) passent dans \(o(x^n)\)).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f/g\) est égal au développement limité du quotient des développements limités de \(f\) et \(g\).

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Somme de cardinaux
[ Definition ]
Étant donnés deux cardinaux \(A\) et \(B\), on note \(A+B\) le cardinal de l’union disjointe de deux ensembles respectivement équipotents à \(A\) et \(B\).
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Somme de deux sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On appelle somme de \(F\) et \(G\) et on note \(F+G\) le sous-espace vectoriel de \(E\) donné par \[F+G=\left\{x+y~|~ \left(x,y\right)\in F\times G\right\}\]
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Somme de matrices
[ Proposition ]
  • Soient \(A=\left(a_{i,j}\right),B=\left(b_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\). On définit \(A+B\) comme étant la matrice \(C=\left(c_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) donnée par : \[\forall \left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket, \quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}.\]

  • Soit \(A=\left(a_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) et \(\lambda\in\mathbb{K}\). On définit \(\lambda\cdot A\) comme étant la matrice \(D=\left(d_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) donnée par : \[\forall \left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket, \quad d_{i,j}=\lambda a_{i,j}\]

Muni de ces deux lois \(\left(\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel.
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Somme de sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
On se donne \(F_1,...,F_n\) des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel \(E\). L’application \(\phi\) qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \((x_1+x_2+...+x_n)\) est une application linéaire sur l’espace produit \(F_1 \times ... \times F_n\). L’image de \(\phi\) est appelée somme des sous-espaces vectoriels \(F_1,...,F_n\), et est notée \(F_1 + ... + F_n\) ou \(\sum_{i\in[1,n]} F_i\).
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Somme directe
[ Definition ]
On dit que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont en somme directe si \(F\cap G=\left\{0\right\}\). On note alors \(F\oplus G\) leur somme.
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Somme directe
[ Definition ]
\(A\) étant un groupe abélien, les \(A_i\) étant des sous-groupes de \(A\), alors:

\(\bullet\)les \(A_i\) sont dits en somme directe si l’application canonique de \(\bigoplus A_i\) dans \(A\) qui à \((x_i)_{i\in I}\) associe \(\sum_i x_i\) est injective. On identifie alors son image avec \(\bigoplus_{i\in I} A_i\).

\(\bullet\)On dit que \(A\) est somme directe des \(A_i\) si l’application est bijective. On note alors (abusivement) \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\).
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Somme directe de sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
On dit que la somme de \(F_1,...,F_n\) est une somme directe lorsque la fonction \(\phi\) est injective. Au lieu de noter \(\sum F_i\) on peut alors noter \(\bigoplus F_i\)
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Sommet d’une parabole
[ Definition ]
On appelle sommet de la parabole \(\mathscr P\) l’unique point \(S\) d’intersection entre \(\mathscr P\) et son axe focal \(\Delta\). Dans le repère \((F,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), les coordonnées de \(S\) sont \((-{\scriptstyle p\over\scriptstyle 2},0)\).
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Sous-anneau
[ Definition ]
On considère un anneau \((A, +, \times)\) et une partie \(A' \subset A\) de cet anneau. On dit que la partie \(A'\) est un sous-anneau de \(A\) si et seulement si :
  1. \((A',+)\) est un sous-groupe du groupe \((A,+)\) ;

  2. la partie \(A'\) est stable pour la loi\(\times\) : \(\forall (a,b)\in {A'}^2\), \(a\times b \in A'\) ;

  3. l’élément neutre de l’anneau \(A\) est dans \(A'\) : \(1 \in A'\).

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Sous-anneau
[ Definition ]
Étant donné \((A,+,\times)\) un anneau, une partie \(B\) de \(A\) est un sous-anneau de \(A\) si

\(\bullet\)\(1\in B\)

\(\bullet\)\((B,+)\) est un sous-groupe de \((A,+)\)

\(\bullet\)\(B\) est stable par multiplication
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Sous-corps
[ Definition ]
Un sous-anneau \(L\) de l’anneau sous-jacent à un corps \(K\) est un sous-corps de \(K\) si c’est un corps pour les lois induites.
Si \(L\) est un sous-corps de \(K\), on dit que \(K\) est un sur-corps ou une extension de \(L\). Avec \(L\) sous-corps de \(K\), et \(A \subset K\), on dit que \(A\) engendre \(K\) sur \(L\) si \(K\) est le plus petit sous-corps de \(K\) contenant \(A\) et \(L\). On note alors \(K=L(A)\). Si \(A\) est fini on note \(K=L(a_1,...,a_n)\). L’extension est dite monogène si \(A\) contient un seul élément.
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Sous-corps
[ Definition ]
Un sous-anneau \(L\) de l’anneau sous-jacent à un corps \(K\) est un sous-corps de \(K\) si c’est un corps pour les lois induites.

Si \(L\) est un sous-corps de \(K\), on dit que \(K\) est un sur-corps ou une extension de \(L\).

Avec \(L\) sous-corps de \(K\), et \(A \subset K\), on dit que \(A\) engendre \(K\) sur \(L\) si \(K\) est le plus petit sous-corps de \(K\) contenant \(A\) et \(L\). On note alors \(K=L(A)\). Si \(A\) est fini on note \(K=L(a_1,...,a_n)\). L’extension est dite monogène si \(A\) contient un seul élément.
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Sous-corps
[ Definition ]
Soit \(K'\setminus K\) un sous-ensemble d’un corps \((K, +, \times)\). On dit que la partie \(K'\) est un sous-corps du corps \(K\) si et seulement si :
  1. \(K'\) est un sous-anneau de l’anneau \((K,+,\times)\) ;

  2. l’inverse de tout élément non-nul de \(K'\) est dans \(K'\).

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Sous-espace affine
[ Definition ]

On appelle sous-espace affine d’un espace affine \(X\) une partie \(P\) telle que l’une des deux propriétés équivalentes suivantes soit vérifiée pour un certain sous-espace vectoriel \(F\) de \(\overrightarrow X\):

\(\bullet\)il existe \(x\) dans \(X\) tel que \(P=F+x\)

\(\bullet\)pour tout \(x\) dans \(X\) \(P=F+x\); \(F\) est la direction de \(X\).

Deux sous-espaces affines d’un espace affine sont dits supplémentaires si et seulement si leurs directions sont supplémentaires.

On appelle hyperplan affine d’un espace affine \(X\) un sous-espace affine de \(X\) admettant un sous-espace affine supplémentaire de dimension \(1\).
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Sous-espaces orthogonaux
[ Definition ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). On dit qu’ils sont orthogonaux si et seulement si \[\forall x\in F, \forall y\in G, \quad\left( x \mid y \right)=0.\]
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Sous-espaces supplémentaires
[ Definition ]
On dit que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires si et seulement si ils vérifient :
  1. \(E=F+G\)

  2. \(F\cap G=\left\{0\right\}\)

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Sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
Une partie d’un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de cet espace lorsqu’elle est non vide, stable par addition et stable par multiplication par un scalaire.
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Sous-espace vectoriel
[ Definition ]
Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(F\subset E\), une partie de \(E\). On dit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si
  1. La partie \(F\) est non vide : \(F\neq \varnothing\),

  2. la partie \(F\) vérifie : \[\forall \left(x,y\right)\in E^2, \quad \forall \left(\alpha,\beta\right)\in \mathbb{K}^2, \quad \alpha\cdot x + \beta \cdot y \in F\]

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Sous-espace vectoriel engendré
[ Definition ]
On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie \(A\) l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant \(A\). On la note \(Vect\ (A)\). C’est le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\).
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Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un espace vectoriel
[ Definition ]
Soit \(A\) une partie d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,.\right)\). On appelle sous-espace vectoriel engendré par \(A\) le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\). On le note \(Vect\left(A\right)\) et on a : \[\displaystyle{Vect\left(A\right) = \bigcap_{F\in \mathscr F_A} F}\]\(\mathscr F_A\) désigne l’ensemble des sous-espaces vectoriels de \(E\) qui contiennent \(A\).
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Sous-espace vectoriel engendré par une partie finie
[ Proposition ]
Soient \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(A=\left\{x_1,\dots,x_n\right\}\) une partie finie à \(n\) éléments de \(E\). Le sous-espace vectoriel engendré par \(A\) est l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de \(A\) : \[\boxed{Vect{\left(A\right)} =\left\{ \lambda_1\cdot x_1 + \dots+ \lambda_n\cdot x_n ~|~ \left(\lambda_1,\dots,\lambda_n\right)\in K^n\right\}}\]
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Sous-groupe
[ Definition ]
Soit \((G,*)\) un groupe. Un sous-groupe de \((G,*)\) est une partie \(H\subset G\) telle que
  • L’élément neutre \(e\) de \(G\) appartient à \(H\).

  • On a \(h * h'\in H\) quels que soient \(h,h'\in H\).

  • On a \(h^{-1}\in H\) quel que soit \(h\in H\).

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Sous-groupe
[ Definition ]
Soit \((G,*)\) un groupe. Un sous-groupe de \(G\) est une partie \(H\) de \(G\) vérifiant les trois conditions suivantes
  • \(e_G\in H\),

  • \(h\star k \in H\) pour tous les \(h,k\in H\),

  • \(h^{-1}\in H\) pour tous les \(h\in H\).

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Sous-groupe
[ Definition ]
Soit \((G, \star)\) un groupe. On dit qu’une partie \(H\subset G\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si :
  1. \(e \in H\).

  2. la partie \(H\) est stable par la loi :  \(\forall (x,y) \in H^{2},~ x\star y \in H\).

  3. \(\forall x \in H\), \(x^{-1} \in H\).

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Sous-groupe
[ Definition ]
\(H \subset G\) est un sous groupe de \(G\) si et seulement si:

\(\bullet\)\(1 \in H\)

\(\bullet\)\((x,y) \in H^2 \rightarrow xy \in H\)

\(\bullet\)\(\forall x \in H, \ x^{-1} \in H\)
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Sous-groupe engendré par \(X\)
[ Definition ]
Soit \(G\) un groupe et \(X\) une partie de \(G\). On note \(<X>\) et on appelle sous-groupe engendré par \(X\) la partie de \(G\) formée de tous les produits d’éléments de \(X\) et de leurs inverses (par convention on pose \(<X>=\{e_G\}\) si \(X\) est vide).
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Sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\)
[ Théorème ]

Les sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\) sont de l’une des 5 formes suivantes:

\(\bullet\)Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

\(\bullet\)Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair)

Toutes les isométries des groupes d’un de ces deux premiers types ont la particularité de laisser stable une même droite \(D\), i.e. ce sont des isométries agissant dans le plan \(D^\perp\).

\(\bullet\)Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l’octaèdre (ordre 24)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives de l’icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.

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Sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\)
[ Théorème ]

Les sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\) sont de l’une des 5 formes suivantes:

\(\bullet\)Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

\(\bullet\)Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair) Toutes les isométries des groupes d’un de ces deux premiers types ont la particularité de laisser stable une même droite \(D\), i.e. ce sont des isométries agissant dans le plan \(D^\perp\).

\(\bullet\)Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l’octaèdre (ordre 24)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives de l’icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.

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Sphère
[ Definition ]
Soient \(A\) un point de l’espace et \(R\in13 sqrt _+^*\) un réel positif non nul. On appelle sphère de rayon \(R\) et de centre \(A\) l’ensemble, noté \(\mathscr S\left(A,R\right)\) des points de l’espace situés à une distance \(R\) de \(A\) : \[\mathscr S\left(A,R\right) = \left\{ M\in\mathscr E ~|~ AM=R\right\}\]
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Stabilité de la continuité par composition
[ Théorème ]
Si \(f\) est continue en \(x\) et si \(g\) est continue en \(f(x)\), alors \(g \circ f\) est aussi continue en \(x\).
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Stable par \(f\)
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\); c’est-à-dire \(f \in L(E)\). On se donne \(P\) un polynôme appartenant à \(\mathbb{K}[X]\); \(P=\sum_i p_i.X^i\).

Alors:

\(\bullet\)On dit que \(F\), sous-espace vectoriel de \(E\), est stable par \(f\) si et seulement si \(f(F) \subset F\)

\(\bullet\)Si il existe \(n\) tel que \(Ker\ f^n=Ker\ f^{n+1}\), alors le \(n\) minimal vérifiant cette propriété est appelé indice de \(f\).

\(\bullet\)On note \(P(f)\) l’endomorphisme qui à \(x\) associe \(\sum_i p_i.f^i(x)\).

\(\bullet\)On note \(\mathbb{K}[f]\) l’ensemble des \(Q(f)\) pour \(Q \in \mathbb{K}[X]\); c’est une algèbre commutative (sous-algèbre de l’algèbre \(L(E)\) des endomorphismes)

\(\bullet\)On appelle idéal annulateur de \(f\) l’ensemble des \(Q\in \mathbb{K}[X]\) tels que \(Q(f)=0\) (c’est bien un idéal). Ses éléments sont appelés les polynômes annulateurs de \(f\). On le note \({\cal I}(f)\). \(\mathbb{K}[X]\) étant principal, si \({\cal I}(f)\) est non réduit à \(\{0\}\), il est engendré par un polynôme unitaire que l’on appellera polynôme minimal de \(f\) et que l’on notera \(P_f\).

\(\bullet\)On appelle valeur propre de \(f\) un scalaire \({\lambda}\) tel que \(f-{\lambda}.I\) ne soit pas injectif; dans ce cas \(E_f({\lambda})=Ker\ (f-{\lambda}.I)\) est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre \({\lambda}\).

\(\bullet\)On appelle spectre de \(f\) l’ensemble des valeurs propres de \(f\). On le note \(Sp(f)\).

\(\bullet\)On appelle vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \({\lambda}\) un élément non nul du sous-espace propre associé à la valeur propre \({\lambda}\): \(x\in E\setminus\{0\}\) est un vecteur propre de \(f\) associé à \({\lambda}\) équivaut simplement à \(f(x)={\lambda}.x\).

\(\bullet\)On appelle valeur propre de \(M\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) une valeur propre de l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).

\(\bullet\)On appelle sous-espace propre de \(M\) associé à \({\lambda}\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) l’espace propre de l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\) pour \({\lambda}\) valeur propre de \(M\).

\(\bullet\)On appelle spectre de \(M\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) l’ensemble des valeurs propres de \(M\).
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Stationnaire
[ Definition ]
Un point \(M = M(t_0)\) d’un arc paramétré est dit régulier lorsque \(\overrightarrow{F}'(t_0) \neq 0\). Sinon, on dit que c’est un point stationnaire.
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Stone
[ Théorème ]

On se donne \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’ensemble des fonctions continues de \(K\) un compact à valeurs dans \(\mathbb{C}\), stable par passage au conjugué et séparant les points de \(K\).

Alors \(A\) est dense dans \(C^0(K,\mathbb{C})\) pour la norme \({\parallel}. {\parallel}_\infty\).
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Strictement croissante
[ Definition ]
Soit \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\). On dit que :
  • \(f\) est croissante si et seulement si \(\forall x,y\in I,~ x\leqslant y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)\).

  • \(f\) est décroissante si et seulement si \(\forall x,y\in I,~x\leqslant y \Rightarrow f(x)\geqslant f(y)\).

  • \(f\) est monotone si et seulement si \(f\) est croissante ou décroissante.

On dit de plus que \(f\) est strictement croissante , strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l’inégalité correspondante est stricte.
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Structure de l’ensemble des solutions de l’équation homogène
[ Théorème ]
Soit \(\left(\mathscr S\right)\) un système linéaire à \(n\) équations et \(p\) inconnues. L’ensemble des solutions du système homogène \(\left(\mathscr S_0\right)\) associé à \(\left(\mathscr S\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(p-\mathop{\mathrm{rg}}\left(\mathscr S\right)\).
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Structure de l’ensemble des solutions de \(\left(\mathscr S\right)\)
[ Théorème ]
Soit \({ S}\) l’ensemble des solutions du système linéaire \(\left(\mathscr S\right)\).
  1. Si le système \(\left(\mathscr S\right)\) n’est pas compatible alors \(\mathcal S=\varnothing\).

  2. Sinon, alors il existe une solution particulière \(x_0\) de \(\left(\mathscr S\right)\) et on a alors : \[\mathcal S=x_0+\mathcal S_0=\left\{x_0+x \in\mathbb{K}^p~|~ x\in S_0\right\}\]

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Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire
[ Proposition ]
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, \(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et \(b\in F\). On note \(\mathcal S\) l’ensemble des solutions de l’équation linéaire \(u\left(x\right)=b\) et \(\mathcal S_0\) l’ensemble des solutions de l’équation sans second membre :\(u\left(x\right)=0\). On a :
  • \(\mathcal S_0\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) (et donc \(\mathcal S_0\) est non vide!).

  • Si \(S\neq \varnothing\) et si \(x_0\in S\) alors \(S=\left\{x_0+h ~|~ h\in S_0\right\}=x_0+S_0\)

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Structure de \(\mathbb{K}\left[X\right]\)
[ Proposition ]
  • \(\left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\cdot\right)\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\mathbb{K}^\mathbb{N}\). Le vecteur nul est le polynôme \(\left(0,\dots\right)\).

  • \(\left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\times\right)\) est un anneau commutatif unitaire. L’élément neutre de la loi \(\times\) est le polynôme \(\left(1,0,\dots\right)\).

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Subdivision d’un segment
[ Definition ]
On appelle subdivision du segment \(\left[a,b\right]\) toute famille \(\tau=\left(x_k\right)_{1\leqslant k\leqslant n}\) de réels tels que \[a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b\] Le pas de la subdivision \(\tau\) est donné par \(\max_{i\in\llbracket 0,n-1\rrbracket} \left|x_{i+1}-x_i\right|\). Une subdivision de \(\left[a,b\right]\) est régulière si tous les \(x_{i+1}-x_i\) sont égaux.
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Subdivision plus fine qu’une autre
[ Definition ]
Considérons \(\tau\) et \(\tau'\) deux subdivisions d’un segment \(\left[a,b\right]\). On dit que \(\tau'\) est plus fine que \(\tau\) si et seulement si tout élément de la famille \(\tau\) est élément de la famille \(\tau'\).

Plus précisément, une subdivision est une famille. Une famille est une application. Il vaut mieux dire que l’image de \(\tau\) est incluse dans l’image de \(\tau'\)

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Successeur
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un ordinal, \(E\cup\{E\}\), noté \(succ(E)\), est appelé le successeur de \(E\). On le note \(E+1\). \(E\) est dit le prédécesseur de \(E+1\).
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Suite
[ Definition ]
On appelle suite à valeurs dans un ensemble \(E\) une application de \(\mathbb{N}\) dans \(E\). On note fréquemment \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite \(n\mapsto x(n)\). La suite \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite extraite de la suite \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) si il existe \(\phi\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(\forall k,\ y_k=x_{\phi(k)}\).

\(x\) est un point d’accumulation ou une valeur d’adhérence de la suite \(x_n\) si \(x \in \cap_n \overline{\{x_k ; k \geq n\}}\).

\(x_n\) converge vers \(x\) si pour tout voisinage \(V\) de \(x\) il existe \(N\) tel que pour tout \(n>N\), \(x_n \in V\).

La suite \(x_n\) est dite convergente si elle converge vers un certain \(x\).

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Suite constante
[ Definition ]
Une suite \((u_n)\in \mathscr S(\mathbb{R})\) est dite constante lorsqu’il existe un réel \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N},~u_n=\alpha\).
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Suite convergente
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) converge vers un réel \(l\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[\boxed{\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}:\quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow \left|u_n-l\right|\leqslant\varepsilon}\] c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout \(n\) plus grand que \(N\), \(u_n\) est à une distance plus petite que \(\varepsilon\) de \(l\).

On dit alors que \(l\) est la limite de la suite \((u_n)\) et on note \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=l}\).

  • S’il existe un tel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) est convergente.

  • S’il n’existe pas de réel \(l\) vérifiant cette propriété, on dit que la suite \((u_n)\) est divergente.

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Suite croissante
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est
  • croissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant u_{n+1}\]

  • décroissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+1} \leqslant u_n\]

  • monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

On dit que \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante , strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l’inégalité correspondante est stricte.
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Suite de Cauchy
[ Definition ]
Une suite \((x_n)\) dans un espace métrique est dite suite de Cauchy si pour tout \(\epsilon >0\) il existe un \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n,m > N\) on a \(d(x_n,x_m)<\epsilon\).
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Suite divergeant vers \(+\infty\) ou \(-\infty\)
[ Definition ]
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite réelle.
  • On dit que \(\left(u_n\right)\) diverge (ou tend) vers \(+\infty\) si et seulement si \[\forall M\in\mathbb{R}, \quad \exists N\in\mathbb{N}: \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow u_n\geqslant M\] On note alors \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  • On dit que \(\left(u_n\right)\) diverge (ou tend) vers \(-\infty\) si et seulement si \[\forall m\in\mathbb{R}, \quad \exists N\in\mathbb{N}: \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow u_n\leqslant m\] On note alors \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -\infty\).

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Suite divergente
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) converge vers un réel \(l\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[\boxed{\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}:\quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow \left|u_n-l\right|\leqslant\varepsilon}\] c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout \(n\) plus grand que \(N\), \(u_n\) est à une distance plus petite que \(\varepsilon\) de \(l\).

On dit alors que \(l\) est la limite de la suite \((u_n)\) et on note \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=l}\).

  • S’il existe un tel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) est convergente.

  • S’il n’existe pas de réel \(l\) vérifiant cette propriété, on dit que la suite \((u_n)\) est divergente.

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Suite dominée par une autre
[ Definition ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites. On dit que \(\left(u_n\right)\) est dominée par \(\left(v_n\right)\) si et seulement si il existe une suite \(\left(B_n\right)\) et un rang \(N\in\mathbb{N}\) tels que :
  1. \(\left(B_n\right)\) est une suite bornée.

  2. \(\forall n\geqslant N, \quad u_n=B_n v_n\)

On note alors : \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)\)
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Suite équivalentes
[ Definition ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) est équivalente à \(\left(v_n\right)\) si et seulement si : \[u_n -v_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right)\]
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Suite exacte
[ Definition ]
On appelle suite exacte un schéma comme suit: \[{\atop 1 \rightarrow A} {i\atop{\rightarrow}}{\atop B} {s\atop{\rightarrow}} {\atop{C \rightarrow 1}}\]\(A\), \(B\) et \(C\) sont des groupes, et

\(\bullet\)\(i\) est un homomorphisme injectif de \(A\) dans \(B\)

\(\bullet\)\(s\) est un homomorphisme surjectif de \(B\) dans \(C\)

\(\bullet\)\(Ker\ s = Im\ i\)

(on note \(0\) au lieu de \(1\) lorsque les groupes sont notés additivement)

Lorsque \(i\) et \(s\) ne sont pas précisés, cela signifie simplement que l’on peut trouver de tels \(i\) et \(s\).

On dit alors que \(B\) est une extension de \(A\) par \(C\). Si en outre il existe \(\overline C\) sous-groupe de \(B\) tel que la restriction de \(s\) à \(\overline C\) est un isomorphisme, alors on dit que \(\overline C\) est un relèvement. Cela est équivalent à dire qu’il existe un homomorphisme \(t\) de \(C\) dans \(B\) tel que \(s \circ t = Id_C\). S’il y a un relèvement, l’extension est dite scindée, et \(t\) est appelée section de \(s\).
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Suite extraite
[ Definition ]
On dit qu’un suite \((v_n)\) est une suite extraite ou une sous suite d’une suite \((u_n)\) s’il existe une application \(\varphi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad v_n=u_{\varphi(n)}\]
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Suite majorée
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est :
  • majorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N}\right\}\) est majoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists M\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant M\]

  • minorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N} \right\}\) est minoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists m\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \geqslant m\]

  • bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

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Suite négligeable devant une autre
[ Definition ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) est négligeable devant \(\left(v_n\right)\) si et seulement si il existe une suite \(\left(\varepsilon_n\right)\) et un rang \(N\) tels que
  1. \(\varepsilon_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\)

  2. \(\forall n\geqslant N, \quad u_n=\varepsilon_n v_n\)

On note alors : \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right)\).
En savoir plus
Suite réelle
[ Definition ]
Une suite réelle est une application \(u:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\). On note cette application sous forme indicielle \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) ou encore \((u_n)\). L’ensemble des suites réelles est noté \(\mathscr S(\mathbb{R})\).
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Suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\)
[ None ]
Notons \(\mathscr S\left(\mathbb{K}\right)\) l’ensemble des suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\). Avec les lois \[+: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr S\left(\mathbb{K}\right)\times\mathscr S\left(\mathbb{K}\right) & \longrightarrow & \mathscr S\left(\mathbb{K}\right) \\ \left(\left(u_n\right),\left(v_n\right)\right) & \longmapsto & \left(u_n+v_n\right) \end{array} \right.\] \[\cdot: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times\mathscr S\left(\mathbb{K}\right) & \longrightarrow & \mathscr S\left(\mathbb{K}\right) \newline \left(\lambda,\left(u_n\right)\right) & \longmapsto & \left(\lambda\cdot u_n\right) \end{array} \right.\] \(\left(\mathscr S\left(\mathbb{K}\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est la suite constante nulle.
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Suites adjacentes
[ Definition ]
Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes si et seulement si
  1. \(\left(u_n\right)\) est croissante

  2. \(\left(v_n\right)\) est décroissante

  3. \(v_n-u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\)

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Supplémentaires
[ Definition ]
Deux sous-espaces vectoriels d’un espace \(E\) sont dits supplémentaires lorsque leur somme est directe et égale à \(E\).
En savoir plus
Support d’un arc paramétré
[ Definition ]
On appelle support (ou image) de l’arc paramétré \((I,\overrightarrow{F})\) l’ensemble des points du plan : \[\Gamma = \left\{ M \in \mathscr P~|~ \exists t \in I: ~~ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{F}(t) \right\}\] Pour tout \(t\in I\), on notera \(M(t)\) le point du support de l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) tel que \(\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{F}(t)\).
En savoir plus
Surface régulière de \(\mathbb{R}^3\)
[ Definition ]
On appelle surface régulière de \(\mathbb{R}^3\) de classe \(C^k\) (ou plus simplement surface; ici toutes les surfaces seront régulières) une variété de dimension \(2\) et de clase \(C^k\) dans \(\mathbb{R}^3\). On dit qu’une surface \(S\) est réglée si par tout point de \(S\) passe au moins une droite incluse dans \(S\). On dit qu’une surface \(S\) est de révolution si elle est invariante par rotation autour d’une certaine droite \(D\); on dit alors que \(S\cap P\) est un méridien pour tout plan \(P\) contenant \(D\); un cercle situé sur un plan \(P\) orthogonal à \(D\) et contenu dans \(S\) est appelé un parallèle. On appelle plan tangent à \(S\) surface régulière de classe \(C^k\) avec \(k\geq 1\) en \(x\in S\) le plan affine passant par \(X\) et de plan vectoriel directeur engendré par les dérivées partielles \(\frac{\delta f}{\delta x}\) et \(\frac{\delta f}{\delta y}\) par rapport à \(x\) et \(y\) d’une représentation paramétrique \((x,y)\mapsto f(x,y)\). Une surface \(S\) de classe au moins \(C^1\) est dite orientable s’il existe une application \(n\) de \(S\) dans \(\mathbb{R}^3\) telle que \(n(s)\) soit de norme \(1\) et orthogonal à la direction du plan tangent de \(S\) en \(s\). \(n\) est alors une orientation de \(S\), et \((S,n)\) est une surface orientée.
En savoir plus
Sur l’ensemble des points fixes
[ Proposition ]
Étant donnés \(G\) un \(p\)-groupe et \(X\) un ensemble sur lequel agit \(G\), le cardinal de l’ensemble des points fixes de \(X\) pour \(G\) est congru au cardinal de \(X\) modulo \(p\).
En savoir plus
Sur les endomorphismes hermitiens
[ Proposition ]

L’image et le noyau d’un endomorphisme hermitien sont orthogonaux.

Les sous-espaces propres d’un endomorphisme hermitien sont en somme directe orthogonale.

Si \(f\) est un endomorphisme hermitien et si \(F\) est un sous-espace stable par \(f\) alors \(F^\bot\) est stable par \(f\) qui induit sur cet espace un endomorphisme hermitien.

Si \(f\) est un endomorphisme hermitien, alors \(f\) est diagonalisable dans une certaine base orthonormale.
En savoir plus
Sur les points fixes des applications affines
[ Proposition ]

Si \(f\) est affine de \(X\) dans \(X\) (avec \(X\) un espace affine ) et a un point fixe \(x\), alors l’application \(f\) induit une application linéaire du vectorialisé de \(X\) en \(x\) dans lui-même (i.e. un endomorphisme).

Si \(f\) affine de \(X\) dans \(X\) admet un point fixe \(x\) alors l’ensemble des points fixes de \(f\) est \(x+F\) avec \(F\) le noyau de \((\overrightarrow{f}-I)\).

Si \(X\) est un espace affine de dimension finie, si \(f\) est affine de \(X\) dans \(X\) avec \(\overrightarrow{f}\) ayant un unique point fixe, alors \(f\) a un unique point fixe (et l’unique point fixe de \(\overrightarrow{f}\) est nécessairement \(0\)).
En savoir plus
Sur \(I\)
[ Proposition ]
Une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) est bornée si et seulement si elle est majorée en valeur absolue, c’est-à-dire \[\exists \alpha \in \mathbb{R}~ \forall x\in I, \quad \left|f(x)\right| \leqslant\alpha .\]
En savoir plus
Symbole de Kronecker
[ Definition ]
Pour tout \(i,j\in\mathbb{N}\), on définit le symbole de Kronecker \(\delta_{i,j}\) par : \[\delta_{i,j}= \begin{cases} 1 & \textrm{ si $i=j$}\newline 0 & \textrm{ sinon} \end{cases}\]
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Symbole de Legendre
[ Definition ]
Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un entier. On pose \[\left(\frac{a}{p}\right) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{si $p$ divise $a$} \\ 1 & \mbox{si $a$ est résidu quadratique modulo $p$} \newline -1 & \mbox{si $a$ est non \'residu quadratique modulo $p$} \end{array} \right.\] On appelle symbole de Legendre l’expression \((\frac{a}{p})\).
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Symétrie
[ Definition ]
\(A\) et \(B\) étant supplémentaires, on appelle symétrie par rapport à \(A\) parallèlement à \(B\) l’endomorphisme \(s\) tel que \(s_{|A}=Id\) et \(s_{|B}=-Id\).
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Symétrie du produit scalaire
[ Proposition ]
Le produit scalaire est symétrique : si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}}\).
En savoir plus
Symétrie du produit scalaire
[ Proposition ]
[] Le produit scalaire est symétrique: si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors: \[\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}}\]
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Symétrie orthogonale
[ Definition ]
Soit \(s\in L(E)\) une symétrie vectorielle (c’est-à-dire un endomorphisme de \(E\) tel que \(s\circ s = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\)).
  • On dit que \(s\) est une symétrie orthogonale si et seulement si les deux sous-espaces vectoriels \(\operatorname{Ker}(s-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(\operatorname{Ker}(s+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) sont orthogonaux.

  • On dit de plus que \(s\) est une réflexion si l’ensemble des vecteurs invariants de \(s\), \(\operatorname{Ker}(s-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) est un hyperplan de \(E\).

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Symétries
[ Definition ]
Soient \(E_1\) et \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) : \(E=E_1\oplus E_2\). Pour tout \(x\in E\), il existe donc un unique couple \(\left(x_1,x_2\right)\in E_1\times E_2\) tel que \(x=x_1+x_2\). Soit \[s: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x=x_1+x_2 & \longmapsto & x_1-x_2 \end{array} \right.\] \(s\) est bien définie et est appelée symétrie par rapport à \(E_1\) parallèlement à \(E_2\), ou plus simplement symétrie.
En savoir plus
Symétrique
[ Definition ]
On suppose que \((E,\star)\) possède un élément neutre \(e\). Soit un élément \(x\in E\). On dit qu’un élément \(y\in E\) est un symétrique (ou un inverse) de l’élément \(x\) si et seulement si : \[x\star y = y\star x =e\] Si tel est le cas, \(y\) est unique et est appelé le symétrique de \(x\).
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Symétrisation d’un compact de \(\mathbb{R}^n\)
[ Corollaire ]

On note \((e_1,...,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et \(P_1\), ..., \(P_n\) les hyperplans orthogonaux aux \(e_i\) passant par \(0\). On se donne \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\).

Alors \(S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)\) est stable par \(x \mapsto -x\).

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Symétrisation d’un compact de \(\mathbb{R}^n\)
[ Corollaire ]

On note \((e_1,...,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et \(P_1\), ..., \(P_n\) les hyperplans orthogonaux aux \(e_i\) passant par \(0\). On se donne \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\).

Alors \(S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)\) est stable par \(x \mapsto -x\).

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Symétrisé de Steiner
[ Definition ]

Etant donné \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), on appelle symétrisé de Steiner de \(K\) par rapport à l’hyperplan \(P\) l’ensemble

\[S_P(K)=\{ x = p+tu/p\in P \land K \cap D(p,u)\cap K \not = 0 \land |t|\leq \mu'(K \cap D(p,u) \}\]\(u\) désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à \(P\), et où \(D(p,u)\) désigne la droite de vecteur unitaire \(u\) passant par \(p\).

\(\mu'\) désigne la mesure de Lebesgue sur la droite \(D(p,u)\).

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Symétrisé de Steiner
[ Definition ]

Étant donné \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), on appelle symétrisé de Steiner de \(K\) par rapport à l’hyperplan \(P\) l’ensemble \[S_P(K)=\{ x = p+tu/p\in P \land D(p,u)\cap K \not = \emptyset \land |t|\leq \frac12 \mu'(K \cap D(p,u) \}\]\(u\) désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à \(P\), et où \(D(p,u)\) désigne la droite de vecteur unitaire \(u\) passant par \(p\).

\(\mu'\) désigne la mesure de Lebesgue sur la droite \(D(p,u)\).

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Symétrisé et antisymétrisé d’une forme \(n\)-linéaire
[ Definition ]
Soit \(f\) une forme \(n\)-linéaire sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

Alors l’application \(S(f)\) égale à \((x_1,...,x_n) \mapsto \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \sigma_n} f_{\sigma}(x_1,...,x_n)\) est appelée symétrisée de \(f\); elle est symétrique.

Alors l’application \(A(f)\) égale à \((x_1,...,x_n) \mapsto \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \sigma_n} \epsilon(\sigma).f_{\sigma}(x_1,...,x_n)\) est appelée antisymétrisée de \(f\); elle est alternée.

L’application \(f \mapsto S(f)\) est appelée opérateur de symétrisation.

L’application \(f \mapsto A(f)\) est appelée opérateur d’antisymétrisation.
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Système complet de restes modulo \(m\)
[ Definition ]
Soit \(m\) un entier \(\geqslant 2\). On appelle système complet de restes modulo \(m\) un système d’entiers contenant un et un seul représentant de chaque classe.
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Système de coordonnées cylindriques
[ Definition ]
Soient :
  • \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace

  • \(M \left|\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right.{z}\) un point de \(\mathscr E\).

  • \(P\) le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(\left(Oxy\right)\) muni du repère orthonormal \(\mathscr R_0\left(P,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).

On appelle système de coordonnées cylindriques de \(M\) par rapport à \(\mathscr R\) tout triplet de réels \(\left(r,\theta,z\right)\) tel que \[\overrightarrow{OM}=r \overrightarrow{u}\left(\theta\right)+z\overrightarrow{k}\] où :

  • \(\left(r,\theta\right)\) est un système de coordonnées polaires pour \(P\) relativement à \(\mathscr R_0\).

  • \(\theta\) est une mesure de l’angle \(\left(\widehat{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OP}}\right)\).

  • \(\overrightarrow{u}\left(\theta\right)\) est le vecteur \(\overrightarrow{u}\left(\theta\right)=\cos \theta \overrightarrow{i} + \sin \theta \overrightarrow{j}\)

  • \(r\) est le réel positif tel que \(\overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{u}\left(\theta\right)\)

  • \(z\) est la cote de \(M\) dans \(\mathscr R\).

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Système de coordonnées sphériques
[ Definition ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace et \(P\) son projeté orthogonal sur le plan horizontal \(\left(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)\).

On appelle système de coordonnées sphériques de \(M\) par rapport à \(\mathscr R\) tout triplet de réels \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) tel que :

  • \(r=\left\|\overrightarrow{OM}\right\|\).

  • \(\left(\rho,\theta\right)\) est un système de coordonnées polaires de \(P\) par rapport au repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).

  • \(\varphi\) est la mesure de l’angle \(\left(\widehat{\overrightarrow{k},\overrightarrow{OM}}\right)\) élément de \(\left[0,\pi\right]\).

\(\varphi\) est appelé la colatitude du point \(M\) et \(\theta\) la longitude.
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Système de Cramer
[ Definition ]
Un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues de rang \(n\) est dit de Cramer.
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Système d’équations linéaires
[ Definition ]
On appelle système d’équations linéaires une équation de la forme \(MX=Y\), où \(M\) (matrice) et \(Y\) (vecteur) sont donnés et où \(X\) est l’inconnue.

Les opérations sur les lignes et les colonnes d’une matrice ou d’un système linéaire sont par définition:

\(\bullet\)l’addition d’une ligne (resp. colonne) \(i\) à une ligne (resp. colonne) \(j\neq i\)

\(\bullet\)la multiplication d’une ligne (resp. colonne) \(i\) par un scalaire \({\lambda}\neq 0\)

\(\bullet\)la permutation de deux lignes (resp. colonnes) \(i\) et \(j\neq i\)

Ces opérations seront notées respectivement:

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow L_i + L_j\) (resp. \(C_i \leftarrow C_i+ C_j\))

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow {\lambda}.L_i\) (resp. \(C_i \leftarrow {\lambda}.C_i\))

\(\bullet\)\(L_i \leftrightarrow L_j\) (resp. \(C_i \leftrightarrow C_j\))

pourra éventuellement ajouter à une ligne (resp. une colonne) une autre ligne (resp. colonne) multipliée par un scalaire \({\lambda}\); cela se notera \(L_i\leftarrow L_i+{\lambda}L_j\) (resp. \(C_i\leftarrow C_i+{\lambda}C_j\)) : il s’agit d’une composition des deux premiers types d’opérations.

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Système d’équations linéaires
[ Definition ]

On appelle système d’équations linéaires une équation de la forme \(MX=Y\), où \(M\) (matrice) et \(Y\) (vecteur) sont donnés et où \(X\) est l’inconnue.

Les opérations sur les lignes et les colonnes d’une matrice ou d’un système linéaire sont par définition:

\(\bullet\)l’addition d’une ligne (resp. colonne) \(i\) à une ligne (resp. colonne) \(j\neq i\)

\(\bullet\)la multiplication d’une ligne (resp. colonne) \(i\) par un scalaire \({\lambda}\neq 0\)

\(\bullet\)la permutation de deux lignes (resp. colonnes) \(i\) et \(j\neq i\)

Ces opérations seront notées respectivement:

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow L_i + L_j\) (resp. \(C_i \leftarrow C_i+ C_j\))

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow {\lambda}.L_i\) (resp. \(C_i \leftarrow {\lambda}.C_i\))

\(\bullet\)\(L_i \leftrightarrow L_j\) (resp. \(C_i \leftrightarrow C_j\))

On pourra éventuellement ajouter à une ligne (resp. une colonne) une autre ligne (resp. colonne) multipliée par un scalaire \({\lambda}\); cela se notera \(L_i\leftarrow L_i+{\lambda}L_j\) (resp. \(C_i\leftarrow C_i+{\lambda}C_j\)) : il s’agit d’une composition des deux premiers types d’opérations.

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Système linéaire à \(n\) équations et \(p\) inconnues
[ Definition ]
Soient \[A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}&\dots&a_{1,p}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,p} \end{array}\right) \in \mathfrak{M}_{n,p}\left(\mathbb{K}\right) \quad \textrm{ et} \quad B=\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\newlineb_n\end{array}\right) \in \mathfrak{M}_{n,1}\left(\mathbb{K}\right)\]

On considère le système linéaire à \(n\) lignes et \(p\) inconnues \(\left(\mathscr S\right)\) donné par :

\[\left(\mathscr S\right) = \left\{ \begin{aligned} a_{1,1}x_1&+a_{1,2}x_2&+\cdots&+a_{1,p}x_p&=&b_1\cr & & & &\hfill\vdots\hfill&\cr a_{n,1}x_1&+a_{n,2}x_2&+\cdots&+a_{n,p}x_p&=&b_n \end{aligned}\right.\]

  1. Résoudre ce système consiste à déterminer l’ensemble \(\mathcal S\) de tous les \(p\)-uplets \(\left(x_1,\dots,x_p\right)\in\mathbb{K}^p\) vérifiant \(\left(\mathscr S\right)\).

  2. Le vecteur \(b=\left(b_1,\dots,b_n\right)\) s’appelle le second membre du système \(\left(\mathscr S\right)\).

  3. On appelle système homogène associé au système \(\left(\mathscr S\right)\), le système obtenu lorsque \(b=0\). On le note \(\left(\mathscr S_0\right)\) et on note \(\mathcal S_0\) l’ensemble de ses solutions.

  4. \(A\) s’appelle la matrice du système \(\left(\mathscr S\right)\).

  5. \(\mathop{\mathrm{rg}}{A}\) s’appelle le rang du système et est noté \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(\mathscr S\right)\).

  6. On dit que le système est compatible si l’ensemble de ses solutions est non vide.

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