Lexique mathématique

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S
Second lemme de Borel-Cantelli
[ Corollaire ]
Soit \((E_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite d’événements indépendants. \[\mbox{Si }\sum_n P(E_n) = + \infty, \mbox{ alors } P(limsup\ E_n)=1.\]
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Semi-continuité
[ Definition ]

Une application \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) est semi-continue inférieurement si pour tout \(c\) on a \(f^{-1}(]c,+\infty[)\) ouvert.

Une application \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) est semi-continue supérieurement si pour tout \(c\) on a \(f^{-1}(]-\infty,c[)\) ouvert.
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semi-linéaire
[ Definition ]
Une application d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(F\) est dite semi-linéaire si

\(\bullet\)\(\forall (x,y)\in E^2\ f(x+y)=f(x)+f(y)\)

\(\bullet\)\(\forall (x,{\lambda})\in E\times \mathbb{C}\ f({\lambda}.x)=\overline {\lambda}f(x)\)

Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.

Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel dans \(\mathbb{C}\).

Étant donnés \(E\) et \(F\) des \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels, une application \(\phi\) de \(E \times F\) est dite forme sesquilinéaire sur \(E\times F\) si

\(\bullet\)\(\forall x\) l’application \(y\mapsto \phi(x,y)\) est une forme linéaire sur \(F\)

\(\bullet\)\(\forall y\) l’application \(x\mapsto \phi(x,y)\) est une forme semi-linéaire sur \(E\)

Une forme sesquilinéaire sur \(E\times E\) est dite hermitienne lorsque en outre \(\forall (x,y) \in E^2\ \phi(x,y)=\overline {\phi(y,x)}\).

Une forme sesquilinéaire hermitienne \(\phi\) sur \(E^2\) est dite produit scalaire hermitien sur \(E\) si \(\forall x \in E\setminus\{0\}, \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}^+_*\). On note généralement alors \(=\phi(x,y)\)

Étant donné un produit scalaire hermitien \(<.|.>\), on définit une norme hermitienne; il s’agit de l’application \(x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x|x>}\). On verra plus loin qu’il s’agit d’une norme.

On appelle espace préhilbertien complexe un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel \(F\) d’un espace préhilbertien complexe \(E\) muni d’un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à \(F\), est appelé sous-espace préhilbertien de \(E\) (c’est un espace préhilbertien).
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séparante
[ Definition ]
On dit que la famille d’applications \(f_i\) est séparante si et seulement si pour tout \((x,y)\) il existe \(i\) tel que \(f_i(x) \neq f_i(y)\).
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Séparation par des ouverts
[ Definition ]
On dit que la partie \(A\) et la partie \(B\) sont séparées par des ouverts s’il existe deux ouverts \(U\) et \(V\) tels que \(A \subset U\) et \(B \subset V\) tels que \(U \cap V = \emptyset\).
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Série absolument convergente
[ Definition ]
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. \((x_n)\) dans \(E\) est appelée une série absolument convergente si \(\sum_{n\geq 0} \parallel x_n \parallel < + \infty\).
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Série alternée
[ None ]

Si \(u_n=(-1)^n \epsilon_n\) et si \(\epsilon_n\) décroît vers \(0\), alors la série de terme général \(u_n\) converge.

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série dérivée d’ordre \(p\)
[ Definition ]

On se donne \(\sum_{n\geq 0} a_n.z^n\) une série entière; on appelle série dérivée d’ordre \(p\) la série \(\sum_{n\geq 0} \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p}.z^n\).

On appelle série dérivée (tout court!) d’une série entière la série dérivée d’ordre \(1\).
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série entière
[ Definition ]

On appelle série entière une série de fonctions de terme général \(z\mapsto a_n.z^n\), avec \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de nombres complexes. On la note \(\sum_n a_n.z^n\).

La suite \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est appelée suite des coefficients de la série entière.

On appelle domaine de convergence d’une série entière l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que la somme \(\sum a_n.z^n\) est bien définie.
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série entière produit
[ Definition ]
Étant donnée deux séries entières \(\sum_{n\geq 0} a_nz^n\) et \(\sum_{n\geq 0}b_nz^n\), on définit la série entière produit par \(\sum_{n\geq 0} c_nz^n\), avec \(c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\), et la série entière somme par \(\sum_{n\geq 0} d_nz^n\) avec \(d_n=a_n+b_n\).
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Signature d’une forme quadratique
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. On appelle signature d’une forme quadratique \(q\) le couple \((s,t)\) avec \(s\) la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de \(E\) sur lequel \(q\) est définie positive et \(t\) la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de \(E\) sur lequel \(q\) est définie négative.
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Similitude directe
[ Definition ]
Une similitude directe est une transformation du plan admettant comme représentation dans le plan complexe l’application: \(\boxed{\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \newline z & \longmapsto & az+b \end{array} \right. }\)\((a,b)\in \mathbb{C}^*\times \mathbb{C}\).
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simplexe
[ Definition ]

On appelle simplexe de dimension \(n\) l’enveloppe convexe de \(n+1\) points formant un repère affine.

On appelle face d’un simplexe l’enveloppe convexe d’un nombre fini (quelconque) de ses points. Sa dimension est par définition le nombre de points de cette face moins \(1\). On appelle \(g\)-face une face de dimension \(g\).
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simplexe
[ Definition ]

On appelle simplexe de dimension \(n\) l’enveloppe convexe de \(n+1\) points formant un repère affine.

On appelle face d’un simplexe l’enveloppe convexe d’un nombre fini (quelconque) de ses points. Sa dimension est par définition le nombre de points de cette face moins \(1\). On appelle \(g\)-face une face de dimension \(g\).
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Sinus et Cosinus hyperboliques
[ Definition ]
Les fonctions sinus hyperbolique \(\mathop{\mathrm{sh}}\) et cosinus hyperbolique \(\mathop{\mathrm{ch}}\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) par \[\mathop{\mathrm{ch}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad \mathop{\mathrm{sh}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \end{array} \right.\]
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sommable de somme \(x\)
[ Definition ]
Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable de somme \(x\) si pour tout \(\epsilon\) il existe \(J \subset I\) finie telle que, pour tout \(K\) fini, \(J \subset K \subset I\) implique \(|x-\sum_{i \in K} x_i | \leq \epsilon\).
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sommable de somme \(x\)
[ Definition ]
Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable de somme \(x\) si pour tout \(\epsilon>0\) il existe \(J \subset I\) finie telle que, pour tout \(K\) fini, \(J \subset K \subset I\) implique \(|x-\sum_{i \in K} x_i | \leq \epsilon\).
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Somme
[ Definition ]
Soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille de groupes abéliens. On note \(\bigoplus_{i \in I} A_i\) l’ensemble des familles \((x_i)_{i \in I}\) avec \(x_i \in A_i\) et les \(x_i\) presque tous nuls; c’est un groupe abélien pour l’addition terme à terme; on l’appelle somme des groupes \(A_i\).

On identifie \(A_i\) à l’ensemble des \((x_i)_{i \in I}\) tels que \(j \neq i\) \(\rightarrow\)\(x_j=0\).

Si \(\forall i \ A_i=A\) alors on note \(A^{(I)}=\bigoplus_{i \in I} A_i\).
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Somme
[ Proposition ]

Soient \(f\) et \(g\) admettant des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\).

Alors \(f+g\) et \(fg\) admettent des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\), et \(f/g\) aussi si \(g(0)\neq 0\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f+g\) est la somme des développements limités de \(f\) et \(g\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(fg\) est le produit des développements limités de \(f\) et \(g\) (on peut tronquer les termes de degré \(>n\)).

\(\bullet\)Le développement limité du composé \(g\circ f\), si \(f(0)=0\), si \(f \equiv^n P\) et si \(g \equiv^n Q\), est \(Q\circ P\), valable à l’ordre \(n\) (les termes de degré \(>n\) passent dans \(o(x^n)\)).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f/g\) est égal au développement limité du quotient des développements limités de \(f\) et \(g\).

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Somme de cardinaux
[ Definition ]
Étant donnés deux cardinaux \(A\) et \(B\), on note \(A+B\) le cardinal de l’union disjointe de deux ensembles respectivement équipotents à \(A\) et \(B\).
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Somme de sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
On se donne \(F_1,...,F_n\) des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel \(E\). L’application \(\phi\) qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \((x_1+x_2+...+x_n)\) est une application linéaire sur l’espace produit \(F_1 \times ... \times F_n\). L’image de \(\phi\) est appelée somme des sous-espaces vectoriels \(F_1,...,F_n\), et est notée \(F_1 + ... + F_n\) ou \(\sum_{i\in[1,n]} F_i\).
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Somme directe
[ Definition ]
\(A\) étant un groupe abélien, les \(A_i\) étant des sous-groupes de \(A\), alors:

\(\bullet\)les \(A_i\) sont dits en somme directe si l’application canonique de \(\bigoplus A_i\) dans \(A\) qui à \((x_i)_{i\in I}\) associe \(\sum_i x_i\) est injective. On identifie alors son image avec \(\bigoplus_{i\in I} A_i\).

\(\bullet\)On dit que \(A\) est somme directe des \(A_i\) si l’application est bijective. On note alors (abusivement) \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\).
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Somme directe de sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
On dit que la somme de \(F_1,...,F_n\) est une somme directe lorsque la fonction \(\phi\) est injective. Au lieu de noter \(\sum F_i\) on peut alors noter \(\bigoplus F_i\)
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Sommet d’une parabole
[ Definition ]
On appelle sommet de la parabole \(\mathscr P\) l’unique point \(S\) d’intersection entre \(\mathscr P\) et son axe focal \(\Delta\). Dans le repère \((F,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), les coordonnées de \(S\) sont \((-{\scriptstyle p\over\scriptstyle 2},0)\).
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Sous-anneau
[ Definition ]
Étant donné \((A,+,\times)\) un anneau, une partie \(B\) de \(A\) est un sous-anneau de \(A\) si

\(\bullet\)\(1\in B\)

\(\bullet\)\((B,+)\) est un sous-groupe de \((A,+)\)

\(\bullet\)\(B\) est stable par multiplication
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sous-corps
[ Definition ]
Un sous-anneau \(L\) de l’anneau sous-jacent à un corps \(K\) est un sous-corps de \(K\) si c’est un corps pour les lois induites.

Si \(L\) est un sous-corps de \(K\), on dit que \(K\) est un sur-corps ou une extension de \(L\).

Avec \(L\) sous-corps de \(K\), et \(A \subset K\), on dit que \(A\) engendre \(K\) sur \(L\) si \(K\) est le plus petit sous-corps de \(K\) contenant \(A\) et \(L\). On note alors \(K=L(A)\). Si \(A\) est fini on note \(K=L(a_1,...,a_n)\). L’extension est dite monogène si \(A\) contient un seul élément.
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sous-corps
[ Definition ]
Un sous-anneau \(L\) de l’anneau sous-jacent à un corps \(K\) est un sous-corps de \(K\) si c’est un corps pour les lois induites.
Si \(L\) est un sous-corps de \(K\), on dit que \(K\) est un sur-corps ou une extension de \(L\). Avec \(L\) sous-corps de \(K\), et \(A \subset K\), on dit que \(A\) engendre \(K\) sur \(L\) si \(K\) est le plus petit sous-corps de \(K\) contenant \(A\) et \(L\). On note alors \(K=L(A)\). Si \(A\) est fini on note \(K=L(a_1,...,a_n)\). L’extension est dite monogène si \(A\) contient un seul élément.
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sous-espace affine
[ Definition ]

On appelle sous-espace affine d’un espace affine \(X\) une partie \(P\) telle que l’une des deux propriétés équivalentes suivantes soit vérifiée pour un certain sous-espace vectoriel \(F\) de \(\overrightarrow X\):

\(\bullet\)il existe \(x\) dans \(X\) tel que \(P=F+x\)

\(\bullet\)pour tout \(x\) dans \(X\) \(P=F+x\); \(F\) est la direction de \(X\).

Deux sous-espaces affines d’un espace affine sont dits supplémentaires si et seulement si leurs directions sont supplémentaires.

On appelle hyperplan affine d’un espace affine \(X\) un sous-espace affine de \(X\) admettant un sous-espace affine supplémentaire de dimension \(1\).
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Sous-espaces vectoriels
[ Definition ]
Une partie d’un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de cet espace lorsqu’elle est non vide, stable par addition et stable par multiplication par un scalaire.
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Sous-espace vectoriel engendré
[ Definition ]
On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie \(A\) l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant \(A\). On la note \(Vect\ (A)\). C’est le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\).
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sous-groupe
[ Definition ]
Soit \((G,*)\) un groupe. Un sous-groupe de \((G,*)\) est une partie \(H\subset G\) telle que
  • L’élément neutre \(e\) de \(G\) appartient à \(H\).

  • On a \(h * h'\in H\) quels que soient \(h,h'\in H\).

  • On a \(h^{-1}\in H\) quel que soit \(h\in H\).

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Sous-groupe
[ Definition ]
\(H \subset G\) est un sous groupe de \(G\) si et seulement si:

\(\bullet\)\(1 \in H\)

\(\bullet\)\((x,y) \in H^2 \rightarrow xy \in H\)

\(\bullet\)\(\forall x \in H, \ x^{-1} \in H\)
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Sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\)
[ Théorème ]

Les sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\) sont de l’une des 5 formes suivantes:

\(\bullet\)Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

\(\bullet\)Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair)

Toutes les isométries des groupes d’un de ces deux premiers types ont la particularité de laisser stable une même droite \(D\), i.e. ce sont des isométries agissant dans le plan \(D^\perp\).

\(\bullet\)Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l’octaèdre (ordre 24)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives de l’icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.

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Sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\)
[ Théorème ]

Les sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\) sont de l’une des 5 formes suivantes:

\(\bullet\)Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

\(\bullet\)Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair) Toutes les isométries des groupes d’un de ces deux premiers types ont la particularité de laisser stable une même droite \(D\), i.e. ce sont des isométries agissant dans le plan \(D^\perp\).

\(\bullet\)Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l’octaèdre (ordre 24)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives de l’icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.

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Sphère
[ Definition ]
Soient \(A\) un point de l’espace et \(R\in13 sqrt _+^*\) un réel positif non nul. On appelle sphère de rayon \(R\) et de centre \(A\) l’ensemble, noté \(\mathscr S\left(A,R\right)\) des points de l’espace situés à une distance \(R\) de \(A\) : \[\mathscr S\left(A,R\right) = \left\{ M\in\mathscr E ~|~ AM=R\right\}\]
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Stabilité de la continuité par composition
[ Théorème ]
Si \(f\) est continue en \(x\) et si \(g\) est continue en \(f(x)\), alors \(g \circ f\) est aussi continue en \(x\).
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stable par \(f\)
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\); c’est-à-dire \(f \in L(E)\). On se donne \(P\) un polynôme appartenant à \(\mathbb{K}[X]\); \(P=\sum_i p_i.X^i\).

Alors:

\(\bullet\)On dit que \(F\), sous-espace vectoriel de \(E\), est stable par \(f\) si et seulement si \(f(F) \subset F\)

\(\bullet\)Si il existe \(n\) tel que \(Ker\ f^n=Ker\ f^{n+1}\), alors le \(n\) minimal vérifiant cette propriété est appelé indice de \(f\).

\(\bullet\)On note \(P(f)\) l’endomorphisme qui à \(x\) associe \(\sum_i p_i.f^i(x)\).

\(\bullet\)On note \(\mathbb{K}[f]\) l’ensemble des \(Q(f)\) pour \(Q \in \mathbb{K}[X]\); c’est une algèbre commutative (sous-algèbre de l’algèbre \(L(E)\) des endomorphismes)

\(\bullet\)On appelle idéal annulateur de \(f\) l’ensemble des \(Q\in \mathbb{K}[X]\) tels que \(Q(f)=0\) (c’est bien un idéal). Ses éléments sont appelés les polynômes annulateurs de \(f\). On le note \({\cal I}(f)\). \(\mathbb{K}[X]\) étant principal, si \({\cal I}(f)\) est non réduit à \(\{0\}\), il est engendré par un polynôme unitaire que l’on appellera polynôme minimal de \(f\) et que l’on notera \(P_f\).

\(\bullet\)On appelle valeur propre de \(f\) un scalaire \({\lambda}\) tel que \(f-{\lambda}.I\) ne soit pas injectif; dans ce cas \(E_f({\lambda})=Ker\ (f-{\lambda}.I)\) est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre \({\lambda}\).

\(\bullet\)On appelle spectre de \(f\) l’ensemble des valeurs propres de \(f\). On le note \(Sp(f)\).

\(\bullet\)On appelle vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \({\lambda}\) un élément non nul du sous-espace propre associé à la valeur propre \({\lambda}\): \(x\in E\setminus\{0\}\) est un vecteur propre de \(f\) associé à \({\lambda}\) équivaut simplement à \(f(x)={\lambda}.x\).

\(\bullet\)On appelle valeur propre de \(M\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) une valeur propre de l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).

\(\bullet\)On appelle sous-espace propre de \(M\) associé à \({\lambda}\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) l’espace propre de l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\) pour \({\lambda}\) valeur propre de \(M\).

\(\bullet\)On appelle spectre de \(M\) avec \(M\) une matrice carrée de type \((n,n)\) l’ensemble des valeurs propres de \(M\).
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stationnaire
[ Definition ]
Un point \(M = M(t_0)\) d’un arc paramétré est dit régulier lorsque \(\overrightarrow{F}'(t_0) \neq 0\). Sinon, on dit que c’est un point stationnaire.
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Stone
[ Théorème ]

On se donne \(A\) une sous-algèbre unitaire de l’ensemble des fonctions continues de \(K\) un compact à valeurs dans \(\mathbb{C}\), stable par passage au conjugué et séparant les points de \(K\).

Alors \(A\) est dense dans \(C^0(K,\mathbb{C})\) pour la norme \({\parallel}. {\parallel}_\infty\).
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successeur
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un ordinal, \(E\cup\{E\}\), noté \(succ(E)\), est appelé le successeur de \(E\). On le note \(E+1\). \(E\) est dit le prédécesseur de \(E+1\).
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suite
[ Definition ]
On appelle suite à valeurs dans un ensemble \(E\) une application de \(\mathbb{N}\) dans \(E\). On note fréquemment \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite \(n\mapsto x(n)\). La suite \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite extraite de la suite \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) si il existe \(\phi\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(\forall k,\ y_k=x_{\phi(k)}\).

\(x\) est un point d’accumulation ou une valeur d’adhérence de la suite \(x_n\) si \(x \in \cap_n \overline{\{x_k ; k \geq n\}}\).

\(x_n\) converge vers \(x\) si pour tout voisinage \(V\) de \(x\) il existe \(N\) tel que pour tout \(n>N\), \(x_n \in V\).

La suite \(x_n\) est dite convergente si elle converge vers un certain \(x\).

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Suite de Cauchy
[ Definition ]
Une suite \((x_n)\) dans un espace métrique est dite suite de Cauchy si pour tout \(\epsilon >0\) il existe un \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n,m > N\) on a \(d(x_n,x_m)<\epsilon\).
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suite exacte
[ Definition ]
On appelle suite exacte un schéma comme suit: \[{\atop 1 \rightarrow A} {i\atop{\rightarrow}}{\atop B} {s\atop{\rightarrow}} {\atop{C \rightarrow 1}}\]\(A\), \(B\) et \(C\) sont des groupes, et

\(\bullet\)\(i\) est un homomorphisme injectif de \(A\) dans \(B\)

\(\bullet\)\(s\) est un homomorphisme surjectif de \(B\) dans \(C\)

\(\bullet\)\(Ker\ s = Im\ i\)

(on note \(0\) au lieu de \(1\) lorsque les groupes sont notés additivement)

Lorsque \(i\) et \(s\) ne sont pas précisés, cela signifie simplement que l’on peut trouver de tels \(i\) et \(s\).

On dit alors que \(B\) est une extension de \(A\) par \(C\). Si en outre il existe \(\overline C\) sous-groupe de \(B\) tel que la restriction de \(s\) à \(\overline C\) est un isomorphisme, alors on dit que \(\overline C\) est un relèvement. Cela est équivalent à dire qu’il existe un homomorphisme \(t\) de \(C\) dans \(B\) tel que \(s \circ t = Id_C\). S’il y a un relèvement, l’extension est dite scindée, et \(t\) est appelée section de \(s\).
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supplémentaires
[ Definition ]
Deux sous-espaces vectoriels d’un espace \(E\) sont dits supplémentaires lorsque leur somme est directe et égale à \(E\).
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Support d’un arc paramétré
[ Definition ]
On appelle support (ou image) de l’arc paramétré \((I,\overrightarrow{F})\) l’ensemble des points du plan : \[\Gamma = \left\{ M \in \mathscr P~|~ \exists t \in I: ~~ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{F}(t) \right\}\] Pour tout \(t\in I\), on notera \(M(t)\) le point du support de l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) tel que \(\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{F}(t)\).
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surface régulière de \(\mathbb{R}^3\)
[ Definition ]
On appelle surface régulière de \(\mathbb{R}^3\) de classe \(C^k\) (ou plus simplement surface; ici toutes les surfaces seront régulières) une variété de dimension \(2\) et de clase \(C^k\) dans \(\mathbb{R}^3\). On dit qu’une surface \(S\) est réglée si par tout point de \(S\) passe au moins une droite incluse dans \(S\). On dit qu’une surface \(S\) est de révolution si elle est invariante par rotation autour d’une certaine droite \(D\); on dit alors que \(S\cap P\) est un méridien pour tout plan \(P\) contenant \(D\); un cercle situé sur un plan \(P\) orthogonal à \(D\) et contenu dans \(S\) est appelé un parallèle. On appelle plan tangent à \(S\) surface régulière de classe \(C^k\) avec \(k\geq 1\) en \(x\in S\) le plan affine passant par \(X\) et de plan vectoriel directeur engendré par les dérivées partielles \(\frac{\delta f}{\delta x}\) et \(\frac{\delta f}{\delta y}\) par rapport à \(x\) et \(y\) d’une représentation paramétrique \((x,y)\mapsto f(x,y)\). Une surface \(S\) de classe au moins \(C^1\) est dite orientable s’il existe une application \(n\) de \(S\) dans \(\mathbb{R}^3\) telle que \(n(s)\) soit de norme \(1\) et orthogonal à la direction du plan tangent de \(S\) en \(s\). \(n\) est alors une orientation de \(S\), et \((S,n)\) est une surface orientée.
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Sur l’ensemble des points fixes
[ Proposition ]
Étant donnés \(G\) un \(p\)-groupe et \(X\) un ensemble sur lequel agit \(G\), le cardinal de l’ensemble des points fixes de \(X\) pour \(G\) est congru au cardinal de \(X\) modulo \(p\).
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Sur les endomorphismes hermitiens
[ Proposition ]

L’image et le noyau d’un endomorphisme hermitien sont orthogonaux.

Les sous-espaces propres d’un endomorphisme hermitien sont en somme directe orthogonale.

Si \(f\) est un endomorphisme hermitien et si \(F\) est un sous-espace stable par \(f\) alors \(F^\bot\) est stable par \(f\) qui induit sur cet espace un endomorphisme hermitien.

Si \(f\) est un endomorphisme hermitien, alors \(f\) est diagonalisable dans une certaine base orthonormale.
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Sur les points fixes des applications affines
[ Proposition ]

Si \(f\) est affine de \(X\) dans \(X\) (avec \(X\) un espace affine ) et a un point fixe \(x\), alors l’application \(f\) induit une application linéaire du vectorialisé de \(X\) en \(x\) dans lui-même (i.e. un endomorphisme).

Si \(f\) affine de \(X\) dans \(X\) admet un point fixe \(x\) alors l’ensemble des points fixes de \(f\) est \(x+F\) avec \(F\) le noyau de \((\overrightarrow{f}-I)\).

Si \(X\) est un espace affine de dimension finie, si \(f\) est affine de \(X\) dans \(X\) avec \(\overrightarrow{f}\) ayant un unique point fixe, alors \(f\) a un unique point fixe (et l’unique point fixe de \(\overrightarrow{f}\) est nécessairement \(0\)).
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Symétrie
[ Definition ]
\(A\) et \(B\) étant supplémentaires, on appelle symétrie par rapport à \(A\) parallèlement à \(B\) l’endomorphisme \(s\) tel que \(s_{|A}=Id\) et \(s_{|B}=-Id\).
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Symétrie du produit scalaire
[ Proposition ]
[] Le produit scalaire est symétrique: si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors: \[\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}}\]
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Symétrie du produit scalaire
[ Proposition ]
Le produit scalaire est symétrique : si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}}\).
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Symétrisation d’un compact de \(\mathbb{R}^n\)
[ Corollaire ]

On note \((e_1,...,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et \(P_1\), ..., \(P_n\) les hyperplans orthogonaux aux \(e_i\) passant par \(0\). On se donne \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\).

Alors \(S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)\) est stable par \(x \mapsto -x\).

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Symétrisation d’un compact de \(\mathbb{R}^n\)
[ Corollaire ]

On note \((e_1,...,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et \(P_1\), ..., \(P_n\) les hyperplans orthogonaux aux \(e_i\) passant par \(0\). On se donne \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\).

Alors \(S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)\) est stable par \(x \mapsto -x\).

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symétrisé de Steiner
[ Definition ]

Étant donné \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), on appelle symétrisé de Steiner de \(K\) par rapport à l’hyperplan \(P\) l’ensemble \[S_P(K)=\{ x = p+tu/p\in P \land D(p,u)\cap K \not = \emptyset \land |t|\leq \frac12 \mu'(K \cap D(p,u) \}\]\(u\) désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à \(P\), et où \(D(p,u)\) désigne la droite de vecteur unitaire \(u\) passant par \(p\).

\(\mu'\) désigne la mesure de Lebesgue sur la droite \(D(p,u)\).

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symétrisé de Steiner
[ Definition ]

Etant donné \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), on appelle symétrisé de Steiner de \(K\) par rapport à l’hyperplan \(P\) l’ensemble

\[S_P(K)=\{ x = p+tu/p\in P \land K \cap D(p,u)\cap K \not = 0 \land |t|\leq \mu'(K \cap D(p,u) \}\]\(u\) désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à \(P\), et où \(D(p,u)\) désigne la droite de vecteur unitaire \(u\) passant par \(p\).

\(\mu'\) désigne la mesure de Lebesgue sur la droite \(D(p,u)\).

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Symétrisé et antisymétrisé d’une forme \(n\)-linéaire
[ Definition ]
Soit \(f\) une forme \(n\)-linéaire sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

Alors l’application \(S(f)\) égale à \((x_1,...,x_n) \mapsto \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \sigma_n} f_{\sigma}(x_1,...,x_n)\) est appelée symétrisée de \(f\); elle est symétrique.

Alors l’application \(A(f)\) égale à \((x_1,...,x_n) \mapsto \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \sigma_n} \epsilon(\sigma).f_{\sigma}(x_1,...,x_n)\) est appelée antisymétrisée de \(f\); elle est alternée.

L’application \(f \mapsto S(f)\) est appelée opérateur de symétrisation.

L’application \(f \mapsto A(f)\) est appelée opérateur d’antisymétrisation.
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Système de coordonnées cylindriques
[ Definition ]
Soient :
  • \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace

  • \(M \left|\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right.{z}\) un point de \(\mathscr E\).

  • \(P\) le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(\left(Oxy\right)\) muni du repère orthonormal \(\mathscr R_0\left(P,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).

On appelle système de coordonnées cylindriques de \(M\) par rapport à \(\mathscr R\) tout triplet de réels \(\left(r,\theta,z\right)\) tel que \[\overrightarrow{OM}=r \overrightarrow{u}\left(\theta\right)+z\overrightarrow{k}\] où :

  • \(\left(r,\theta\right)\) est un système de coordonnées polaires pour \(P\) relativement à \(\mathscr R_0\).

  • \(\theta\) est une mesure de l’angle \(\left(\widehat{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OP}}\right)\).

  • \(\overrightarrow{u}\left(\theta\right)\) est le vecteur \(\overrightarrow{u}\left(\theta\right)=\cos \theta \overrightarrow{i} + \sin \theta \overrightarrow{j}\)

  • \(r\) est le réel positif tel que \(\overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{u}\left(\theta\right)\)

  • \(z\) est la cote de \(M\) dans \(\mathscr R\).

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Système de coordonnées sphériques
[ Definition ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace et \(P\) son projeté orthogonal sur le plan horizontal \(\left(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)\).

On appelle système de coordonnées sphériques de \(M\) par rapport à \(\mathscr R\) tout triplet de réels \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) tel que :

  • \(r=\left\|\overrightarrow{OM}\right\|\).

  • \(\left(\rho,\theta\right)\) est un système de coordonnées polaires de \(P\) par rapport au repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).

  • \(\varphi\) est la mesure de l’angle \(\left(\widehat{\overrightarrow{k},\overrightarrow{OM}}\right)\) élément de \(\left[0,\pi\right]\).

\(\varphi\) est appelé la colatitude du point \(M\) et \(\theta\) la longitude.
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système d’équations linéaires
[ Definition ]

On appelle système d’équations linéaires une équation de la forme \(MX=Y\), où \(M\) (matrice) et \(Y\) (vecteur) sont donnés et où \(X\) est l’inconnue.

Les opérations sur les lignes et les colonnes d’une matrice ou d’un système linéaire sont par définition:

\(\bullet\)l’addition d’une ligne (resp. colonne) \(i\) à une ligne (resp. colonne) \(j\neq i\)

\(\bullet\)la multiplication d’une ligne (resp. colonne) \(i\) par un scalaire \({\lambda}\neq 0\)

\(\bullet\)la permutation de deux lignes (resp. colonnes) \(i\) et \(j\neq i\)

Ces opérations seront notées respectivement:

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow L_i + L_j\) (resp. \(C_i \leftarrow C_i+ C_j\))

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow {\lambda}.L_i\) (resp. \(C_i \leftarrow {\lambda}.C_i\))

\(\bullet\)\(L_i \leftrightarrow L_j\) (resp. \(C_i \leftrightarrow C_j\))

On pourra éventuellement ajouter à une ligne (resp. une colonne) une autre ligne (resp. colonne) multipliée par un scalaire \({\lambda}\); cela se notera \(L_i\leftarrow L_i+{\lambda}L_j\) (resp. \(C_i\leftarrow C_i+{\lambda}C_j\)) : il s’agit d’une composition des deux premiers types d’opérations.

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système d’équations linéaires
[ Definition ]
On appelle système d’équations linéaires une équation de la forme \(MX=Y\), où \(M\) (matrice) et \(Y\) (vecteur) sont donnés et où \(X\) est l’inconnue.

Les opérations sur les lignes et les colonnes d’une matrice ou d’un système linéaire sont par définition:

\(\bullet\)l’addition d’une ligne (resp. colonne) \(i\) à une ligne (resp. colonne) \(j\neq i\)

\(\bullet\)la multiplication d’une ligne (resp. colonne) \(i\) par un scalaire \({\lambda}\neq 0\)

\(\bullet\)la permutation de deux lignes (resp. colonnes) \(i\) et \(j\neq i\)

Ces opérations seront notées respectivement:

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow L_i + L_j\) (resp. \(C_i \leftarrow C_i+ C_j\))

\(\bullet\)\(L_i \leftarrow {\lambda}.L_i\) (resp. \(C_i \leftarrow {\lambda}.C_i\))

\(\bullet\)\(L_i \leftrightarrow L_j\) (resp. \(C_i \leftrightarrow C_j\))

pourra éventuellement ajouter à une ligne (resp. une colonne) une autre ligne (resp. colonne) multipliée par un scalaire \({\lambda}\); cela se notera \(L_i\leftarrow L_i+{\lambda}L_j\) (resp. \(C_i\leftarrow C_i+{\lambda}C_j\)) : il s’agit d’une composition des deux premiers types d’opérations.

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