Lexique mathématique

Lexique mathématique

R
Racine carrée d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit un nombre complexe \(z\in\mathbb{C}\). On appelle racine carrée de \(z\) une racine deuxième de \(z\), c’est-à-dire un complexe \(Z\) vérifiant \(Z^2=z\).
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Racine \(n\)-ième de l’unité
[ Definition ]
On appelle racine \(n\)-ième de l’unité une racine \(n\)-ième de \(1\), c’est-à-dire un nombre complexe \(z\) tel que \(\boxed{z^n=1}\). On notera \(\mathbb U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité : \(\boxed{ \mathbb U_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \} }\).
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Racine \(n\)-ième d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit \(z\in\mathbb{C}\). On appelle racine \(n\)-ième du nombre complexe \(z\) tout nombre complexe \(\xi\) vérifiant \(\boxed{\xi^n=z}\).
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rang
[ Definition ]
On appelle rang d’une famille finie de vecteurs la dimension de l’espace vectoriel que cette famille engendre.
On appelle rang d’une application linéaire la dimension de son image lorsque celle-ci est finie. C’est en fait le rang de l’image d’une base lorsque le domaine est un espace vectoriel de dimension finie
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rang
[ Definition ]
On appelle rang d’une famille finie de vecteurs la dimension de l’espace vectoriel que cette famille engendre. On appelle rang d’une application linéaire la dimension de son image lorsque celle-ci est finie. C’est en fait le rang de l’image d’une base lorsque le domaine est un espace vectoriel de dimension finie
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rappel
[ Definition ]
Une suite d’applications \(f_n\) de \(X\) dans \(Y\) avec \(X\) et \(Y\) espaces métriques converge uniformément vers \(f\) application de \(X\) dans \(Y\) si \[lim_{n \rightarrow + \infty} sup_{x \in X} d(f_n(x),f(x)) = 0\]
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rayon de convergence
[ Definition ]
Le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n.z^n\) est le sup des réels \(r\geq 0\) tel que \(a_n.r^n\) soit bornée. Le rayon de convergence peut éventuellement être infini, ou nul.
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Recouvrement ouvert
[ Definition ]
Un recouvrement ouvert de l’espace topologique \(X\) est une famille d’ouverts \(U_i\) avec \(X=\cup_i U_i\).
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rectangle mesurable
[ Definition ]
Une fonction vectorielle est dite intégrable si toutes ses composantes sont intégrables. Son intégrale est alors le vecteur dont chaque coordonnée est l’intégrale de la coordonnée correspondante de \(f\).
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Règle de Cauchy
[ Théorème ]

Si pour tout \(n\), \(u_n>0\), alors

\(\bullet\)\(limsup\ \sqrt[n]{u_n} = l < 1\ \ \ \to \ \ \ \sum u_n\) converge

\(\bullet\)\(limsup\ \sqrt[n]{u_n} = l > 1\ \ \ \to \ \ \ \sum u_n\) diverge
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Règle de D’Alembert
[ Théorème ]
On se donne \(\sum a_n.z^n\) une série entière. On suppose que les \(a_n\) sont non nuls, au moins à partir d’un certain rang, et on suppose que \(a_{n+1}/a_n\) tend vers \(L\). Alors \(R=1/L\).
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Règle de la loupe
[ Proposition ]
Soit \(u_n\) une suite décroissante de réels \(>0\); alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum 2^n.u_{2^n}\) sont de même nature.
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Règle de L’Hôpital
[ None ]

On se donne deux fonctions \(f\) et \(g\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) continues en \(a\in\mathbb{R}\), et dérivables sur un voisinage de \(a\) privé de \(a\), avec \(f(a)=g(a)=0\).

On suppose que \(g\) et \(g'\) sont non nulles sur un voisinage de \(a\) privé de \(a\).

Alors si \(\frac{f'}{g'}\) tend vers \(l\) en \(a\), alors \(\frac{f}{g}\) tend vers \(l\) en \(a\).
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Relations entre racines et coefficients d’un polynôme
[ Théorème ]

Notons \(\sigma_i=\Sigma_i(r_1,...,r_n)\), avec \(r_1\),...,\(r_n\) des complexes. On a \(P={\lambda}\Pi_{i=1}^n (X-r_i)\) pour un certain \({\lambda}\) si et seulement si pour tout \(i\in\{1,\ldots ,n\}\), on a \(\sigma_i=(-1)^i\frac{p_{n-i}}{p_n}\).

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relation sur \(X\)
[ Definition ]
Soit \(X\) un ensemble. Une relation sur \(X\) est un ensemble \(R\subset X\times X\) de couples d’éléments de \(X\). On écrit \(x R x'\) au lieu de \((x,x')\in R\). Une relation \(R\) est une relation d’équivalence si elle est
  • réflexive (i.e. pour tout \(x\in X\), on a \(x R x\))

  • symétrique (i.e. on a équivalence entre \(x R x'\) et \(x' R x\) quels que soient \(x,x'\in X\))

  • transitive (i.e. les conditions \(x R x'\) et \(x' R x''\) impliquent que \(x R x''\) quels que soient \(x,x',x''\in X\))

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Repère Cartésien
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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Repère de l’espace
[ Definition ]
On dit que le quadruplet \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\in\mathscr E \times \mathscr{V}^3\) est un repère de l’espace \(\mathscr E\) si et seulement si \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\) est une base de \(\mathscr V\). \(O\) est appelé origine du repère \(\mathscr R\).
  • Le repère \(\mathscr R\) est dit orthogonal si et seulement si la base \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\) est orthogonale.

  • Le repère \(\mathscr R\) est dit orthonormal si et seulement si la base \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\) est orthonormale.

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repère orthogonal
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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Repère orthonormal direct
[ Definition ]
Un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)est dit direct si l’angle \((\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}})\) a pour mesure \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).
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Repère polaire
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère orthonormal direct. Soit \(\theta\) un réel. Soit \(\mathscr R(\theta)\) le repère \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) image de \(\mathscr R\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\). Ce repère, qui est encore orthonormal direct, est le repère polaire attaché au réel \(\theta\). De plus \[\boxed{\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{ u}(\theta)=\cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin \theta \overrightarrow{\jmath }\newline \overrightarrow{v}(\theta)=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath }\end{array}\right.}.\] Le point \(O\) est appelé le pôle et la droite orientée \((O,\overrightarrow{\imath})\) est appelée l’axe polaire de ce repère.
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Représentation cartésienne d’une droite
[ Proposition ]

Soit \(\mathscr R\) un repère orthonormal de l’espace. On se donne des réels \(a,b,c,d\) et \(a',b',c',d'\) tels que les triplets \(\left(a,b,c\right)\) et \(\left(a',b',c'\right)\) sont non nuls et non proportionnels. L’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient le système \[\left(\star\right)\quad \boxed{\begin{cases} ax+by+cz+d=0\newline a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}}\] est une droite de vecteur directeur \(\boxed{\overrightarrow{n} \wedge \overrightarrow{n}'}\)\(\overrightarrow{n} \left(a,b,c\right)\) et \(\overrightarrow{n}' \left(a',b',c'\right)\).

Réciproquement, toute droite admet au moins un système d’équations de ce type.
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Représentation paramétrique d’un cercle
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Le cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\) et de rayon \(R>0\) admet comme représentation paramétrique \[\boxed{\begin{cases} x&=\alpha+R\cos \theta \\ y&=\beta+R\sin \theta \end{cases}, ~~~~\theta\in \mathbb{R}}\] (Ce qui signifie que \(M\in\mathscr C(\Omega,R)\Leftrightarrow \exists ~ \theta_0\in \mathbb{R}\begin{cases} x_M&=\alpha+R\cos \theta_0 \newline y_M&=\beta+R\sin \theta_0 \end{cases}\)).
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Représentation paramétrique d’une droite
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\) un repère orthonormal de l’espace. Soit \(\mathscr D\) une droite passant par un point \(A\left(x_A,y_A,z_A\right)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\left(x_{\overrightarrow{u}},y_{\overrightarrow{u}},z_{\overrightarrow{u}}\right)\). Une équation paramétrique de \(\mathscr D\) est : \[\boxed{\begin{cases} x=x_A+t x_{\overrightarrow{u}}\\ y=y_A+t y_{\overrightarrow{u}}\newline z=z_A+t z_{\overrightarrow{u}} \end{cases}}\]
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Représentation paramétrique d’une droite
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère du plan. Soit \(D\) une droite du plan passant par un point \(A\) de coordonnées \((x_A,y_A)\) dans \(\mathscr R\) et dirigée par le vecteur non nul \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.\). \(D\) admet comme représentation paramétrique:

\[\boxed{\begin{cases} x&=x_A+t\,\alpha \\ y&=y_A+t\, \beta \end{cases} ; t\in\mathbb{R}} \quad \left(\star\right)\]

(Ce qui signifie que \(M(x_M,y_M)\in D\Leftrightarrow \exists \lambda_0 \in \mathbb{R}~~\left\{\begin{array}{c} x_M=x_A+\lambda_0\,\alpha \newline y_M=y_A+\lambda_0\, \beta \end{array}\right.\)).
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Résolution des équations différentielles du premier ordre dans \(\mathbb{R}\)
[ Théorème ]
Considérons \(a,b,c\in\mathbb{R}\) avec \(a\neq 0\) ainsi que \(\left(E\right)\) l’équation différentielle donnée par : \[\forall t\in\mathbb{R}, \quad a y''\left(t\right)+by'\left(t\right)+cy\left(t\right)=0\] Notons \(\Delta\) le discriminant de l’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\).
  • Si \(\Delta> 0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) possède deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t} \end{array} \right. }\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

  • Si \(\Delta=0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) admet une racine double \(r\) et les solutions réelles de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \left(\alpha t+\beta\right)e^{r t} \end{array} \right. }\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

  • Si \(\Delta <0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(r+i\omega\) et \(r-i\omega\) et les solutions réelles de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline t & \longmapsto & \left[\alpha\cos\left(\omega t\right)+ \beta\sin\left(\omega t\right)\right]e^{r t} \end{array} \right. }\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

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Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
[ Théorème ]
Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres complexes avec \(a\neq 0\). Considérons l’équation d’inconnue \(z\in\mathbb{C}\) \[az^2+bz+c=0 \quad \left(\star\right)\] Notons \(\boxed{\Delta=b^2-4ac}\) le discriminant de l’équation \(\left(\star\right)\). On a :
  • Si \(\Delta=0\), l’équation \(\left(\star\right)\) admet une racine double \(z_0\) donnée par : \(\boxed{z_0=\dfrac{-b}{2a}}\).

  • Si \(\Delta \neq 0\) et si \(\delta\) désigne une des deux racines carrées de \(\Delta\) alors l’équation \(\left(\star\right)\) admet deux racines distinctes \(z_1\) et \(z_2\) données par : \(\boxed{z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}}\) et \(\boxed{z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}}\).

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Résolution d’une équation du second degré à coefficients constants dans \(\mathbb{C}\)
[ Théorème ]
Considérons \(a,b,c\in\mathbb{C}\) avec \(a\neq 0\) ainsi que \(\left(E\right)\) l’équation différentielle donnée par : \[a y''+by'+cy=0\] Notons \(\Delta\) le discriminant de son équation caractéristique.
  1. Si \(\Delta\neq 0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) possède deux racines distinctes \(r_1\) et \(r_2\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t} \end{array} \right. }\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\).

  2. Si \(\Delta=0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) admet une racine double \(r\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{C} \newline t & \longmapsto & \left(\alpha t+\beta\right)e^{r t} \end{array} \right. }\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\).

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Résolution d’une équation du second degré à coefficients réels
[ None ]
Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels avec \(a\neq 0\). Considérons l’équation d’inconnue \(x\in\mathbb{C}\) \[ax^2+bx+c=0 \quad \left(\star\right)\] Notons \(\boxed{\Delta=b^2-4ac}\) son discriminant. Remarquons que \(\Delta\in\mathbb{R}\). On a :
  • Si \(\Delta>0\), \(\left(\star\right)\) admet deux solutions distinctes, toutes deux réelles \(x_1\) et \(x_2\) données par \[\boxed{x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}\]

  • Si \(\Delta=0\), \(\left(\star\right)\) admet une seule solution \(x_0\) donnée par : \[\boxed{x_0=-\dfrac{b}{2a}}\]

  • Si \(\Delta<0\), \(\left(\star\right)\) admet deux solutions distinctes, toutes deux complexes conjuguées \(x_1\) et \(x_2\) données par \[\boxed{x_1=\dfrac{-b-i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{x_2=\dfrac{-b+i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}}\]

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Riesz-Fischer - Isomorphisme sur un \(l^2\)
[ Théorème ]
Soit \(H\) un espace de Hilbert, et \((x_i)_{i\in I}\) une base hilbertienne de \(H\). Alors l’application \(x \mapsto (<x_i|x>)_{i \in I}\) est un isomorphisme de \(H\) sur \(l^2(I)\).
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Rotation
[ Definition ]
Soient \(\Omega \in \mathscr P\) et \(\theta\) un réel. La rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\), notée \(r_{\Omega,\theta}\) est la transformation du plan qui
  • à \(\Omega\) associe \(\Omega\),

  • à tout point \(M\) différent de \(\Omega\) associe le point \(M'\) tel que \(\boxed{\left\{\begin{array}{c} (\widehat{\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}})=\theta ~ [2\pi] \newline ||\overrightarrow{\Omega M'}||= ||\overrightarrow{\Omega M}||\end{array}\right.}\)

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rotation d’angle \(\theta\)
[ Definition ]
On appelle rotation d’angle \(\theta\) un endomorphisme associé à la matrice de gauche.
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Runge
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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Runge
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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