Lexique mathématique

Lexique mathématique

Q
Quelques définitions supplémentaires
[ Definition ]
\(\bullet\)On appelle valeur absolue de \(x \in \mathbb{R}\) et on note \(|x|\) le réel \(sup(\{x,-x\})\); c’est une norme, dite norme usuelle, de \(\mathbb{R}\) en tant que \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel; la métrique associée est dite distance usuelle de \(\mathbb{R}\).

\(\bullet\)On note \(x^+=max(x,0)\), et \(x^-=max(-x,0)\), si \(x\) est un réel.

\(\bullet\)On note \(f^+(x)=(f(x))^+\), si \(f\) est une fonction à valeurs réelles. On définit de même \(f^-(x)=(f(x))^-\).

\(\bullet\)On peut définir \(x^+\) à partir de \(x\) et \(|x|\), \(|x|\) à partir de \(x^+\) et \(x^-\), \(sup(x,y)\) à partir de \(|x-y|\), \(x\) et \(y\), en utilisant simplement des additions et des soustractions; on ne donne pas le détail des formules, que l’on retrouve facilement, et qu’il n’est pas utile de connaître par coeur.

\(\bullet\)On appelle partie entière d’un réel \(x\) et on note \(E(x)\) ou \(\lfloor x \rfloor\) le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. Il est caractérisé par \(E(x) \in \mathbb{N}\land E(x)\leq x < E(x)+1\). \(x-E(x)\) est appelé partie décimale ou partie fractionnaire de \(x\), et est noté \([x]\).

\(\bullet\)On appelle intervalle de \(\mathbb{R}\) toute partie de \(\mathbb{R}\) contenant le segment d’extrémités \(x\) et \(y\) pour tous \(x\) et \(y\) dans cette partie.

\(\bullet\)On appelle longueur d’un intervalle \(I\) non vide le réel \(sup_{(x,y)\in I^2} |x-y|\).

\(\bullet\)Une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est dite bornée si \(\{|x-y|;(x,y)\in A^2\}\) est majoré; si \(A\) est non vide le \(sup\) de cet ensemble est alors le diamètre de la partie \(A\), noté \(\delta(A)\).
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Quelques propriétés de la transformée de Fourier
[ Proposition ]

Soit \(f\in L^1(\mathbb{R})\).

\(\bullet\)Avec \(g:x\mapsto f(x)e^{i{\lambda}x}\), pour \({\lambda}\in \mathbb{R}\), \(\hat g(t)=\hat f(t-{\lambda})\).

\(\bullet\)Avec \(g:x\mapsto f(x-{\lambda})\), pour \({\lambda}\in \mathbb{R}\), \(\hat g(t)=\hat f(t)e^{-i{\lambda}t}\).

\(\bullet\)Si \(g\) est \(L^1\) et si \(h=f*g\), alors \(\hat h(t)=\hat f(t) \hat g(t)\).

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Quelques propriétés sur l’orthogonalité
[ Proposition ]
Avec \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie:

\(\bullet\)Pour \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\), on a \(dim\ F + dim\ F^\bot \geq n\)

\(\bullet\)Soit \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\), avec \(q_{|F}\) définie, alors \(E=F\oplus F^\bot\).
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Quelques résultats de géométrie
[ Proposition ]

\(\bullet\)Formule du triangle : \[{\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel} z-x {\parallel}^2 -2.Re(<z-x|y-x>)\]

\(\bullet\)Formule de la médiane : \[{\parallel}y-z {\parallel}^2 + 4 {\parallel} x- \frac12 (y+z) {\parallel}^2 = 2.{\parallel}x-y {\parallel}^2 +2.{\parallel}x-z {\parallel}^2\]

\(\bullet\)Formule du triangle pour un espace préhilbertien réel: \[{\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel}z-x {\parallel}^2 -2<z-x|y-x>\]

\(\bullet\)Formule du parallélogramme, pour un espace préhilbertien réel: \[{\parallel}x+y {\parallel}^2 + {\parallel}x-y {\parallel}^2=2({\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y {\parallel}^2)\]
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Quelques théorèmes (peu difficiles) sans preuve
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soient \(E_1\), ..., \(E_n\) et \(F\) des espaces vectoriels normés, et soit \(f\) une application \(n\)-linéaire de \(E_1,...,E_n\) dans \(F\). Alors :

\(f\) est continue si et seulement si \(f\) est continue en \(0\)

\(f\) est continue si et seulement si \(f\) est bornée sur le produit des boules unités des \(E_i\)

\(\bullet\)Si \(F\) est un espace de Banach, alors \({\cal L}(E_1,...,E_n;F)\) est un espace de Banach.

\(\bullet\)Étant donnée \(f\) application \(n\)-linéaire continue de \(E_1 \times ... \times E_n\) dans \(F\), alors \(f\) est \(\mathcal C^\infty\) sur \(E_1\times...\times E_n\) et, notamment, la différentielle de \(f\) en \((x_1,x_2,...,x_n)\) est \((h_1,...,h_n) \mapsto f(h_1,x_2,...,x_n)+f(x_1,h_2,x_3,...,x_n)+...+f(x_1,x_2,...,x_{n-1},h_n)\).

\(\bullet\)\({\cal L}(E_1,E_2;F) \simeq {\cal L}(E_1;{\cal L}(E_2;F))\).

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quotient
[ Definition ]
\(Q\) est appelé quotient de \(A\) par \(B\), et \(R\) est appelé reste de \(A\) par \(B\).
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quotient
[ Proposition ]

Soient \(f\) et \(g\) admettant des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\).

Alors \(f+g\) et \(fg\) admettent des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\), et \(f/g\) aussi si \(g(0)\neq 0\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f+g\) est la somme des développements limités de \(f\) et \(g\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(fg\) est le produit des développements limités de \(f\) et \(g\) (on peut tronquer les termes de degré \(>n\)).

\(\bullet\)Le développement limité du composé \(g\circ f\), si \(f(0)=0\), si \(f \equiv^n P\) et si \(g \equiv^n Q\), est \(Q\circ P\), valable à l’ordre \(n\) (les termes de degré \(>n\) passent dans \(o(x^n)\)).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f/g\) est égal au développement limité du quotient des développements limités de \(f\) et \(g\).

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Quotientage par l’indexation
[ Proposition ]
Soit \(A\) un anneau intègre, et \(\phi\) l’application qui à \(x\) dans \(A\) quotienté par la relation d’association \({\cal R}\) associe l’idéal engendré par \(x\). \(\phi\) est un isomorphisme d’ordre entre \(A/{\cal R}\) muni de la divisibilité et l’ensemble des idéaux principaux de \(A\) muni de l’inverse de l’inclusion.
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