Lexique mathématique

Lexique mathématique

P
Paramétrage de la parabole
[ Proposition ]
On peut paramétrer la parabole d’équation \(Y^2-2~p~X=0\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) par \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} x(t)=\dfrac{p~t^2}{2}\newline y(t)= p~t \end{array}\right. :t \in \mathbb{R}}\]
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Paramétrage de l’ellipse
[ Proposition ]
On peut paramétrer l’ellipse d’équation \({\scriptstyle X^2\over\scriptstyle a^2}+{\scriptstyle Y^2\over\scriptstyle b^2}=1\) avec \(0<b<a\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) par \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} x(t)=a \cos t \newline y(t)= b \sin t \end{array}\right. :t \in [-\pi,\pi]}\]
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Paramétrage de l’hyperbole
[ Proposition ]
On peut paramétrer l’hyperbole d’équation \({\scriptstyle X^2\over\scriptstyle a^2}-{\scriptstyle Y^2\over\scriptstyle b^2}=1\) avec \(a>0, ~ b>0\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) par \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} x(t)=\varepsilon a \mathop{\mathrm{ch}}t \newline y(t)= b \mathop{\mathrm{sh}}t \end{array}\right. :t \in \mathbb{R}, ~ \varepsilon = \pm 1}\]
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Paramètre
[ Definition ]
Soit \(\mathscr C\) une conique de directrice \(\mathscr D\), de foyer \(F\) et d’excentricité \(e\). Soit \(d=d(F,\mathscr D)\). Le réel \(p=e~d\) est appelé paramètre de la conique \(\mathscr C\).
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partie génératrice
[ Definition ]
On note \(H=<X>\), \(H\) est appelé groupe engendré par \(X\), et \(X\) est appelée partie génératrice de \(H\). Si \(X\) est réduit à un seul élément \(x\) on note souvent \(H=<x>\) au lieu de \(H=<\{x\}>\).

Un groupe est dit monogène s’il est engendré par un seul élément. On appelle groupe cyclique un groupe monogène fini.

On appelle ordre d’un élément le cardinal du groupe engendré par cet élément.
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partie principale du pôle de \(f\) en \(a\)
[ Definition ]

Dans le deuxième cas,\(\sum_{i=1}^m \frac{c_i}{(z-a)^i}\) est appelé partie principale du pôle de \(f\) en \(a\); \(m\) est appelé l’ordre du pôle en \(a\).

\(c_1\) est appelé résidu de \(f\) en \(a\); on le note \(Res(f;a)\).

Dans le troisième cas, on dit que \(f\) a une singularité essentielle en \(a\).

Dans le premier cas, on dit que \(f\) a une singularité artificielle en \(a\).
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partie principale du pôle de \(f\) en \(a\)
[ Definition ]

Dans le deuxième cas,\(\sum_{i=1}^m \frac{c_i}{(z-a)^i}\) est appelé partie principale du pôle de \(f\) en \(a\); \(m\) est appelé l’ordre du pôle en \(a\).

\(c_1\) est appelé résidu de \(f\) en \(a\); on le note \(Res(f;a)\).

Dans le troisième cas, on dit que \(f\) a une singularité essentielle en \(a\).

Dans le premier cas, on dit que \(f\) a une singularité artificielle en \(a\).

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Partition \(C^\infty\) de l’unité
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact inclus dans \(\mathbb{R}^n\), inclus dans la réunion des \(\Omega_i\) pour \(i\in [1,p]\), avec \(\Omega_i\) ouvert.

Alors il existe \(f_1\), ..., \(f_p\) des applications \(C^\infty\) telles que le support de \(f_i\) soit inclus dans \(\Omega_i\) pour tout \(i\in[1,p]\), avec \[\chi_K \leq \sum_{i\in [1,p]} f_i \leq 1\]

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passage à la douane
[ Théorème ]
Soit \(X\) un espace topologique, \(A\) une partie connexe de \(X\) et \(B \subset X\). Si \(A\) intersecte à la fois \(B\) et son complémentaire, alors \(A\) intersecte la frontière de \(B\).
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permutation
[ Definition ]
On appelle permutation d’un ensemble une bijection de cet ensemble sur lui-même.

On appelle support d’une permutation \(\sigma\) sur un ensemble \(E\) l’ensemble des éléments \(x\in E\) qui vérifient \(\sigma(x)\neq x\).

On appelle cycle d’un ensemble une bijection \(f\) telle qu’il existe \(a_1,...,a_n\) (en nombre fini et distincts) tels que \(f(a_i)=a_{i+1}\) pour \(i<n\), \(f(a_n)=a_1\) et \(f(b)=b\) si \(b\) n’est aucun des \(a_i\). On note alors \(f=(a_1,a_2,\dots,a_n)\). \(n\) est l’ordre du cycle; il ne s’agit pas d’une définition, car cet ordre colle à la notion d’ordre sur les éléments d’un groupe. \(n\) est aussi appelé longueur du cycle.

On appelle \(n\)-cycle un cycle d’ordre \(n\).

On appelle transposition une permutation qui << échange>> deux éléments. On note \((a,b)\) la transposition qui échange \(a\) et \(b\). Une transposition est un cycle de longueur \(2\).

On appelle groupe symétrique d’un ensemble \(E\) l’ensemble des permutations de cet ensemble.

On note \(\sigma_n\) et on appelle \(n\)-ième groupe symétrique standard le groupe symétrique de \(\{1,2,...,n\}\). Tous les groupes symétriques sur des ensembles de cardinal \(n\) sont isomorphes à \(\sigma_n\).

Pour un \(n\) donné on appelle signature l’unique homomorphisme \(\epsilon\) de \(\sigma_n\) dans \(\{1,-1\}\) tel que \(\epsilon(\tau)=-1\) lorsque \(\tau\) est une transposition.

On appelle \(n\)-ième groupe alterné le noyau de \(\epsilon\) (dans \(\sigma_n\)). On le note \(U_n\).

On appelle matrice associée à la permutation \(\sigma\) de \(\sigma_n\) la matrice \(M\) telle que \(M_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}\).
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Perpendiculaire commune à deux droites
[ Proposition ]
Soient \(\mathscr D\) et \(\mathscr D'\) deux droites non parallèles, il existe une unique droite \(\Delta\) perpendiculaire à la fois à \(\mathscr D\) et à \(\mathscr D'\). Cette droite est appelée perpendiculaire commune aux deux droites \(\mathscr D\) et à \(\mathscr D'\). Si de plus \(\mathscr D\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\) et si \(\mathscr D'\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}'\) alors \(\Delta\) est dirigée par \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{u}'\).
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plan affine
[ Definition ]
  • Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace \(\mathscr V\). On appelle plan vectoriel engendré (ou dirigé) par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) l’ensemble, noté \(\mathcal P\), des de \(\mathscr V\) qui sont combinaisons linéaires de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \[\mathcal P=\left\{\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} ~|~ \alpha,\beta \in\mathbb{R}\right\}.\]

  • Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace \(\mathscr V\) et \(A\in \mathscr E\) un point de l’espace. On appelle plan affine engendré (ou dirigé) par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) et passant par \(A\) l’ensemble, noté \(\mathscr P\), des \(M\) de \(\mathscr E\) tels que le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est combinaison linéaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \[\mathscr P=\left\{M\in \mathscr E ~|~ \exists \left(\alpha,\beta\right) \in\mathbb{R}^2: \quad \overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} \right\}.\]

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Plans parallèles
[ Definition ]
Deux plans de l’espace sont parallèles si et seulement si ils admettent un vecteur normal non nul commun.
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Plans perpendiculaires
[ Definition ]
Deux plans de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si ils admettent des vecteurs normaux non nuls orthogonaux.
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Plan Vectoriel
[ Definition ]
  • Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace \(\mathscr V\). On appelle plan vectoriel engendré (ou dirigé) par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) l’ensemble, noté \(\mathcal P\), des de \(\mathscr V\) qui sont combinaisons linéaires de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \[\mathcal P=\left\{\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} ~|~ \alpha,\beta \in\mathbb{R}\right\}.\]

  • Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace \(\mathscr V\) et \(A\in \mathscr E\) un point de l’espace. On appelle plan affine engendré (ou dirigé) par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) et passant par \(A\) l’ensemble, noté \(\mathscr P\), des \(M\) de \(\mathscr E\) tels que le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est combinaison linéaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \[\mathscr P=\left\{M\in \mathscr E ~|~ \exists \left(\alpha,\beta\right) \in\mathbb{R}^2: \quad \overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} \right\}.\]

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plus fine
[ Definition ]
Si une topologie \({\cal T}\) est incluse dans une topologie \({\cal T}'\), on dit que \({\cal T}'\) est plus fine que \({\cal T}\), ou que \({\cal T}\) est moins fine que \({\cal T}'\).
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plus grand diviseur commun
[ Definition ]
Soient \(a,b\in{ \mathbb Z}\) tels que \((a,b)\neq (0,0)\). Alors le module d’un diviseur commun à \(a\) et \(b\) est borné par \(\max(|a|,|b|)\) et il existe donc un plus grand diviseur commun à \(a\) et \(b\). On le note \(\mbox{PGCD}(a,b)\). Les nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si \(\mbox{PGCD}(a,b)=1\). Si \(a=b=0\), on pose \(\mbox{PGCD}(a,b)=0\).
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Point d’accumulation d’une partie
[ Definition ]

On appelle point d’accumulation d’une partie \(A\) un point \(x\) adhérent5 à \(A\setminus \{x\}\).

On appelle ensemble dérivé de \(A\) l’ensemble des points d’accumulation de \(A\).
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Point isolé
[ Definition ]

\(x_0\) est isolé si et seulement si \(\{ x_0 \}\) est ouvert.

Un espace topologique est dit discret si tous ses éléments sont des points isolés.
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Point régulier
[ Definition ]
Un point \(M = M(t_0)\) d’un arc paramétré est dit régulier lorsque \(\overrightarrow{F}'(t_0) \neq 0\). Sinon, on dit que c’est un point stationnaire.
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pôle
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère orthonormal direct. Soit \(\theta\) un réel. Soit \(\mathscr R(\theta)\) le repère \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) image de \(\mathscr R\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\). Ce repère, qui est encore orthonormal direct, est le repère polaire attaché au réel \(\theta\). De plus \[\boxed{\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{ u}(\theta)=\cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin \theta \overrightarrow{\jmath }\newline \overrightarrow{v}(\theta)=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath }\end{array}\right.}.\] Le point \(O\) est appelé le pôle et la droite orientée \((O,\overrightarrow{\imath})\) est appelée l’axe polaire de ce repère.
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polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\)
[ Definition ]
On suppose donné \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\), \(a<b\). On suppose donnée une fonction \(w\) de \(]a,b[\) dans \(\mathbb{R}_+^*\) continue. Enfin on suppose que pour tout \(n\), \(\int_a^b x^nw(x)dx\) est convergente 2. On note alors \(E\) l’ensemble des fonctions de \(]a,b[\) dans \(\mathbb{R}\) telles que \[{\parallel}f {\parallel}_2 :=\sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2w(x)dx }<\infty\] L’ensemble des polynômes est inclus dans \(E\), \(E\) muni du produit scalaire suivant: \[=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx\] est un espace de Hilbert. Il existe alors une suite de polynômes \((P_n)_{n\in \mathbb{N}}\), telle que \(deg P_n=n\), et telle que les \(P_n\) forment une famille orthogonale.
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polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\)
[ Definition ]

Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire.

On appelle polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\) l’ensemble des applications presque nulles de \(\mathbb{N}^n\) dans \(A\). On note \(A[X_1,\dots,X_n]\) l’ensemble des polynômes à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\). Par la suite, on dira souvent simplement, pour gagner en concision, polynôme.

On dit que \(P\in\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]\) est de degré \(d\) si \(d\) est le max des \(|\nu|\) tels que \(P_\nu\) est non nul (voir Définition [Nn] pour les rappels sur les opérations dans \(\mathbb{N}^n\)).

Si \(i\in [[1,n]]\), on dit que \(P\) est de degré \(d\) en \(X_i\) si le \(\sup\) des \(\nu_i\) tels que \(P_{\nu}\neq 0\) est \(d\).

On note \(X_i\) l’élément de \(A[X_1,\dots,X_n]\) nul partout sauf en \(\nu=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\), avec \(X_\nu=1\).

Etant donnés \(P\) et \(Q\) deux polynômes, on note \(R=P\times Q\) le produit de \(P\) et \(Q\) avec \[R_\nu=\sum_{\alpha+\beta=\nu} P_\alpha Q_\beta\] (pour les opérations dans \(N^n\), voir Définition [Nn]).

On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.

On appelle dérivé formel d’un polynôme \(P\) par \(D^\nu\) pour \(\nu \in \mathbb{N}^n\) le polynôme \[\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \frac{(\nu+\alpha)!}{\alpha !}P_{\alpha+\nu}.\] On note parfois \(\frac{\delta}{\delta X_i}\) \(D^\nu\) avec \(\nu_j=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\).

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Polynôme de Taylor
[ Definition ]
Etant donnée une fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans un espace vectoriel normé \(E\) au moins \(n\) fois dérivable en \(a\), on définit le développement de Taylor de \(f\) à l’ordre \(n\) en \(a\) qui est une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(E\) définie par \(P_{f,a,n}(x)=f(a)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k.\)
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polynôme irréductible
[ Definition ]
Un polynôme \(P\) appartenant à \(\mathbb{K}[X]\) est dit polynôme irréductible si il est irréductible en tant qu’élément de l’anneau \(\mathbb{K}[X]\), c’est-à-dire s’il n’est pas inversible et si tout diviseur de \(P\) est une unité ou est produit de \(P\) par une unité.
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polynômes
[ Definition ]
Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire (resp. \(\mathbb{K}\) un corps). L’ensemble des suites d’éléments de \(A\) nulles à partir d’un certain rang, noté \(A^{(\mathbb{N})}\), est un \(A\)-module (resp. un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel ) pour l’addition et la multiplication par un scalaire usuelles. En le munissant en outre du produit suivant: \[\times : (u,v) \mapsto w \mbox{ avec } w_n=\sum_{i+j=n} u_i.v_j\] On obtient une \(A\)-algèbre (resp. \(\mathbb{K}\)-algèbre), notée \(A[X]\) (resp. \(\mathbb{K}[X]\)).

Les éléments de \(A[X]\) sont appelés polynômes.

Deux polynômes \(P\) et \(Q\) non nuls sont dits associés s’il existe \({\lambda}\) inversible tel que \(P={\lambda}.Q\).

On identifie \(A\) (resp. \(\mathbb{K}\)) et l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) avec \(u_n=0\) pour tout \(n>0\), par l’isomorphisme canonique \(x \mapsto (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \mbox{ avec } u_0=x \mbox{ et } u_n=0\) pour tout \(n>0\).

On note \(X\) l’élément \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) avec \(u_0=0\), \(u_1=1\), et \(u_n=0\) pour \(n>1\).

La famille des \(X^i\) pour \(i \in \mathbb{N}\) constitue la base canonique du module libre \(A^{(\mathbb{N})}\) (resp. du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}\)).

Étant donné \(P\) un polynôme, on appelle degré de \(P\) et on note \(\deg P\) le plus grand \(n\) tel que \(P_n\) est non nul. On appelle coefficient dominant de \(P\) le coefficient de \(X^{\deg P}\) (que l’on peut voir comme \({X^{deg(P)}}^*(P)\) si l’on travaille avec un corps, voir la partie [dualite]); on le note \(coef(P)\).

Un polynôme non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est \(1\).

On appelle support d’un polynôme \(P\) l’ensemble des \(n \in \mathbb{N}\) tels que \({X^n}^*(P)\neq 0\). Par définition d’un polynôme, son support est fini.

Le degré d’un polynôme \(P\) est donc aussi le \(\sup\) de son support.

On appelle valuation de \(P\) et on note \(val(P)\) l’\(\inf\) du support de \(P\).

On appelle composé de deux polynômes \(P\) et \(Q\) et on note \(P \circ Q\) le polynôme \(\sum P_n Q^n\) (que l’on peut aussi voir comme \(\sum_{n\in \mathbb{N}} {X^n}^*(P).Q^n\) si l’on travaille avec un corps).
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Polynômes de Lagrange
[ Proposition ]
\((f_i)\) est la base duale des \(P_i\), avec \[P_i(x)=\Pi_{j\neq i} \frac{X-a_j}{a_i-a_j}\]
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Polynômes de Lagrange
[ Proposition ]
\((f_i)\) est la base duale des \(P_i\), avec \[P_i(x)=\Pi_{j\neq i} \frac{X-a_j}{a_i-a_j}\]
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polynôme symétrique
[ Definition ]

Soit \(P \in A[X_1,\dots,X_n]\). \(P\) est dit polynôme symétrique si et seulement si pour tout \(\sigma\) permutation de \([1,...,n]\), \(P(X_1,...,X_n)=P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},...,X_{\sigma(n)})\).

On appelle polynômes symétriques élémentaires les polynômes de la forme \[\Sigma_{k,n}=\sum_{1\leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_k\leq n} X_{a_1}X_{a_2}...X_{a_k}\mbox{ pour }1\leq k \leq n\]

On appelle \(k\)-ième polynôme de Newton le polynôme \(\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^n X_i^k\).
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polynôme symétrique
[ Definition ]
Soit \(P \in A[X_1,\dots,X_n]\). \(P\) est dit polynôme symétrique si et seulement si pour tout \(\sigma\) permutation de \([1,...,n]\), \(P(X_1,...,X_n)=P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},...,X_{\sigma(n)})\).

On appelle polynômes symétriques élémentaires les polynômes de la forme \[\Sigma_{k,n}=\sum_{1\leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_k\leq n} X_{a_1}X_{a_2}...X_{a_k}\mbox{ pour }1\leq k \leq n\]

On appelle \(k\)-ième polynôme de Newton le polynôme \(\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^n X_i^k\).
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Position d’une courbe par rapport à sa direction
[ Definition ]

Etant donné \(\gamma\) un arc suffisamment dérivable de \([0,a]\) dans \(\mathbb{R}^d\), on considère (si elles existent) ses premières dérivées non nulles \(d1=\frac{d^m\gamma}{dx^m}\) et \(d2=\frac{d^n\gamma}{dx^n}\) en \(t\in [0,a]\) telles que \(d1\) et \(d2\) ne soient pas colinéaires2.

On dit que:

  • \(\frac{d\gamma}{dt}\) est appelé vitesse de \(\gamma\) en \(t\). On dit que l’arc est une abscisse ou abscisse curviligne si la vitesse a une norme constante égale à \(1\).

  • la droite passant par \(\gamma(t)\) et de direction \(d1\) est appelé direction de \(\gamma\) en \(t\).

  • \(t\), ou \(\gamma(t)\) s’il n’existe pas \(u\neq t\) tel que \(\gamma(t)=\gamma(u)\), est un point d’inflexion si \(m\) et \(n\) sont impairs (la courbe change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de première espèce si \(m\) est pair et \(n\) est impair (la courbe "rebrousse chemin" et change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de seconde espèce si \(m\) et \(n\) sont pairs (la courbe "rebrousse chemin" et ne change alors pas en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

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Position d’une courbe par rapport à sa direction
[ Definition ]

Étant donné \(\gamma\) un arc suffisamment dérivable de \([0,a]\) dans \(\mathbb{R}^d\), on considère (si elles existent) ses premières dérivées non nulles \(d1=\frac{d^m\gamma}{dt^m}\) et \(d2=\frac{d^n\gamma}{dt^n}\) en \(t\in [0,a]\) telles que \(d1\) et \(d2\) ne soient pas colinéaires3.

On dit que:

  • \(\frac{d\gamma}{dt}\) est appelé vitesse de \(\gamma\) en \(t\). On dit que l’arc est une abscisse ou abscisse curviligne si la vitesse a une norme constante égale à \(1\).

  • la droite passant par \(\gamma(t)\) et de direction \(d1\) est appelé direction de \(\gamma\) en \(t\).

  • \(t\), ou \(\gamma(t)\) s’il n’existe pas \(u\neq t\) tel que \(\gamma(t)=\gamma(u)\), est un point d’inflexion si \(m\) et \(n\) sont impairs (la courbe change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de première espèce si \(m\) est pair et \(n\) est impair (la courbe « rebrousse chemin » et change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de seconde espèce si \(m\) et \(n\) sont pairs (la courbe « rebrousse chemin » et ne change alors pas en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

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Position d’une droite par rapport à une sphère
[ Proposition ]
Posons \(d=d\left(O,\mathscr D\right)\). On a :
  • Si \(d>R\) alors \(\mathscr D\) et \(\mathscr S\) ont une intersection vide.

  • Si \(d=R\) alors \(\mathscr D\) et \(\mathscr S\) ont un point commun et un seul. On dit que la droite est tangente à la sphère.

  • Si \(d<R\) alors \(\mathscr D\) et \(\mathscr S\) ont exactement deux points en commun.

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Position d’un plan par rapport à une sphère
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr S\) une sphère de centre \(A\) et de rayon \(R\in13 sqrt _+^*\). Soient \(\mathscr P\) un plan de l’espace et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathscr P\).
  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)>R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S = \varnothing\).

  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)=R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S = \left\{H\right\}\).

  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)<R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S\) est le cercle de centre \(H\) et de rayon \(\sqrt{R^2 - d^2\left(A,\mathscr P\right) }\).

Dans le deuxième cas, on dit que \(\mathscr P\) est le plan tangent à la sphère \(\mathscr S\) au point \(H\).
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Position par rapport au plan tangent
[ Definition ]

On peut toujours, étant donnée une surface régulière \(S\) de classe au moins \(C^1\) avec \(0\in S\) et tangente au plan \(z=0\) choisir une représentation paramétrique locale \(f\) en \(0\) telle que pour un certain \((x,y)\mapsto g(x,y)\) on ait \(f(x,y)=(x,y,g(x,y))\) (ceci s’étend évidemment en tout point \(\neq 0\) de \(S\) et pour tout plan tangent - on préfère translater et tourner la surface pour se ramener à ce cas plus « visuel »). Avec \(Q\) la forme quadratique qui a mêmes dérivées premières et secondes que \(g\), on a alors nécessairement \(Q(x,y)=rx^2+ty^2+2sxy\) pour certains \(r\), \(t\), \(s\) (notation de Monge). On dit que \(0\) est:

  • Un point elliptique si \(rt>s^2\), \(Q\) est alors soit définie positive soit définie négative. Localement, la surface est entièrement d’un même côté du plan \(z=0\), et seul le point \(0\) est intersection du plan et de la surface (attention: localement).

  • Un point hyperbolique si \(rt<s^2\). La surface passe, localement, des deux côtés du plan tangent.

  • Un point parabolique si \(rt=s^2\) et \((r,s,t)\neq (0,0,0)\).

  • Un point plat si \(r=s=t=0\).

La quantité \(rt-s^2\) est appelée courbure de Gauss ou courbure totale de la surface \(S\) en \(0\).

On appelle première forme fondamentale d’une surface \(S\) au moins \(C^1\) en un point \(x\in S\) l’application qui à deux vecteurs appartenant à la direction du plan tangent à \(S\) en \(x\) associe leur produit scalaire. La première forme fondamentale est une forme bilinéaire, dépendant de \(x\); on la notera par la suite, dans une base de la direction du plan tangent, \(g((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sum_{(i,j)\in \{1,2\}^2} g_{i,j} x_iy_j\).
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Pratique de la réduction (sans hypothèse de dimension finie)
[ Proposition ]
 \(\bullet\)une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre

\(\bullet\)une somme finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe

\(\bullet\)si \(f\) et \(g\) sont deux endomorphismes qui commutent, alors les sous-espaces propres de \(f\) sont stables par \(g\)

\(\bullet\)\(\forall ({\lambda},P) \in Sp(f)\times \mathbb{K}[X], \ P({\lambda})\in Sp(P(f))\)

\(\bullet\)Si \(P(f)=0\), alors \({\lambda}\in Sp(f) \to P({\lambda})=0\)

\(\bullet\)Si \(f \in GL(E)\), alors \(Sp(u^{-1})=\{\frac1{{\lambda}} / {\lambda}\in Sp(u) \}\)

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premier
[ Definition ]
Un idéal \(I\) est dit premier si et seulement si l’anneau quotient \(A/I\) est intègre. Un élément non nul d’un anneau est dit premier si et seulement l’idéal engendré par cet élément est premier.
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Première propriété fondamentale du symétrisé de Steiner
[ Corollaire ]
Quel que soit \(K\) compact et \(P\) hyperplan, \(S_P(K)\) a même mesure que \(K\).
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Première propriété fondamentale du symétrisé de Steiner
[ Corollaire ]
Quel que soit \(K\) compact et \(P\) hyperplan, \(S_P(K)\) a même mesure que \(K\).
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première version
[ Definition ]
Étant donné un ensemble \(E\), il existe une fonction \(f\) qui à une partie non vide de \(E\) associe un élément de cette partie.
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Principe de superposition des solutions
[ Proposition ]
Soient \(a,~b,~b_1,~b_2\) quatre fonctions définies et continues sur \(I\) telles que \(b=b_1+b_2\). On considère les équations différentielles \[\forall t\in I, \quad y'\left(t\right)+a\left(t\right) y\left(t\right)=b\left(t\right) \quad (E)\] \[\forall t\in I, \quad y'\left(t\right)+a\left(t\right) y\left(t\right)=b_1\left(t\right) \quad (E_1)\] \[\forall t\in I, \quad y'\left(t\right)+a\left(t\right) y\left(t\right)=b_2\left(t\right) \quad (E_2)\] Si \(y_1\) et \(y_2\) sont des solutions particulières respectivement de \((E_1)\) et \((E_2)\) alors \(y=y_1+y_2\) est une solution particulière de \((E)\).
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Probabilités de grandes déviations
[ Théorème ]
Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées et telles que \(P(X_n>t)\) soit nul pour \(t\) assez grand. Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), la probabilité \(P(|S_n|/n>c )\) avec \(c>0\) décroît exponentiellement en \(n\) (i.e. est inférieur à \(A\exp(-Kn)\) pour certains \(A,K>0\)).
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Problème de Cauchy
[ Definition ]
On appelle problème de Cauchy la recherche d’une solution \(y:I\rightarrow \mathbb{K}\) d’une équation différentielle \(\left(E\right)\) vérifiant une condition initiale \((t_0,y_0) \in I\times \mathbb{K}\) fixée.
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Procédé d’orthonormalisation de Schmidt
[ Proposition ]
Étant donnée une famille \((x_i)_{i\in [0,N[}\) avec \(N\in \mathbb{N}\cup\{+\infty\}\) libre de \(H\) (\(H\) espace de Hilbert ), il existe une unique famille \((y_i)_{i\in [0,N[}\) orthonormale telle que (pour tout \(k<N\)) le sous-espace vectoriel engendré par \((y_i)_{i\in [1,k]}\) soit égal au sous-espace vectoriel engendré par \((x_i)_{i\in [1,k]}\), et telle que (pour tout \(k<N\)) \(<x_k,y_k>\ >0\).
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produit
[ Proposition ]

Soient \(f\) et \(g\) admettant des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\).

Alors \(f+g\) et \(fg\) admettent des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\), et \(f/g\) aussi si \(g(0)\neq 0\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f+g\) est la somme des développements limités de \(f\) et \(g\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(fg\) est le produit des développements limités de \(f\) et \(g\) (on peut tronquer les termes de degré \(>n\)).

\(\bullet\)Le développement limité du composé \(g\circ f\), si \(f(0)=0\), si \(f \equiv^n P\) et si \(g \equiv^n Q\), est \(Q\circ P\), valable à l’ordre \(n\) (les termes de degré \(>n\) passent dans \(o(x^n)\)).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f/g\) est égal au développement limité du quotient des développements limités de \(f\) et \(g\).

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Produit cartésien
[ Definition ]
On appelle produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) l’ensemble, noté \(A \times B\), des couples \(\left(a,b\right)\)\(a\in A\) et \(b\in B\).
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Produit d’anneaux
[ Definition ]
On appelle produit de deux anneaux leur produit cartésien muni de l’addition terme à terme et de la multiplication terme à terme.
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Produit de cardinaux
[ Definition ]
Étant donnés \(A\) et \(B\) deux cardinaux, on note \(A \times B\) le cardinal du produit cartésien de \(A\) et de \(B\).
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produit de convolution
[ Definition ]
On se donne deux séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\). Par définition, le produit de convolution de ces deux séries est la série de terme général \(w_n\) défini par \[w_n=\sum_{k=0}^n u_k.v_{n-k}\]
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Produit de convolution
[ Definition ]
On appelle produit de convolution de deux lois de probabilités indépendantes \(P^X\) et \(P^Y\) sur \(\mathbb{R}\) la mesure de probabilité \(P^X*P^Y\) sur \(\mathbb{R}\) définie par \[(P^X*P^Y)(E)=\int_{\mathbb{R}} ( \int_{\mathbb{R}} \chi_E(y) dP^Y(y-x) ) dP^X(x).\]
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produit de convolution de \(f\) et \(g\)
[ Definition ]

Soient \(f\) et \(g\) deux applications de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) mesurables.

Alors on appelle produit de convolution de \(f\) et \(g\) et on note \(f*g\), la fonction \(x\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)\).
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Produit de variables aléatoires indépendantes
[ Théorème ]
Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes appartenant à \(L^1\). Alors \(X.Y\) appartient à \(L^1\) et \(E(X.Y)=E(X).E(Y)\). Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes appartenant à \(L^2\). Alors : \[cov(X,Y)=0\mbox{ et }var(X+Y)=var(X)+var(y).\]
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Produit direct de deux groupes
[ Definition ]
On appelle produit direct de deux groupes \(N\) et \(H\) et on note \(N \times H\) le produit cartésien des groupes \(N\) et \(H\) muni du produit terme à terme \[(n,h).(n',h')=(nn',hh')\] La fonction \(p_2\) qui à \((n,h)\) associe \(h\) est appelée projection de \(N \times H\) sur \(H\).

La fonction \(p_1\) qui à \((n,h)\) associe \(n\) est appelée projection de \(N \times H\) sur \(N\).

On définit alors la généralisation à un produit d’un nombre quelconque de groupes \(\Pi_{i\in I} G_i\). La loi \[((g_i)_{i\in I},(h_i)_{i\in I})= (g_ih_i)_{i\in I}\] munit le produit d’une structure de groupe; on appelle ce groupe le groupe produit.

On définit aussi le produit restreint des \(G_i\) comme étant le sous-groupe du produit des \(G_i\) des éléments \((g_i)_{i\in I}\) ne comportant qu’un nombre fini de \(g_i\) différents de l’élément neutre. S’il s’agit d’un produit d’un nombre fini de groupes il est clair que le produit restreint est égal au produit.
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Produit et quotient de deux nombres complexes sous forme trigonométrique
[ Proposition ]
Soient deux nombres complexes non nuls : \(z=\rho e^{i\theta}\) et \(z'=\rho' e^{i\theta'}\),
  1. \(\boxed{z z'= \rho \rho' e^{i\left(\theta+\theta'\right)}}\)

  2. \(\boxed{\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\rho}{\rho'}e^{i\left(\theta-\theta'\right)}}\).

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produit extérieur
[ Definition ]
Soient \(f_1,...,f_n\) des formes linéaires sur le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

On appelle produit tensoriel de \((f_1,...,f_n)\) l’application qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \(f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)\). On le note \(f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n\).

L’aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de \((f_1,...,f_n)\); on la note \(f_1.f_2.\dots.f_n\).

L’application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de \((f_1,...,f_n)\); on le note \(f_1 \land f_2 \land ... \land f_n\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans \(L_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans \(S_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans \(A_n(E)\).
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Produit extérieur de formes différentielles
[ Definition ]

\(U\) désigne un ouvert d’un espace de Banach \(E\). \(F\), \(G\) et \(H\) sont des espaces de Banach .

On se donne \(\phi\) une application bilinéaire de \(F\times G\) dans \(H\). On suppose que \(f\in \Omega^{(n)}_p(U,F)\) et que \(g\in \Omega^{(n)}_q(U,G)\).

On définit alors le produit extérieur des forme différentielle s \(f\) et \(g\) \(f\land_\phi g\in \Omega^{(n)}_{p+q}(U,H)\) par \[f\land_\phi g: x\mapsto f(x) \land_\phi g(x)\]

La notation est abusive du fait que l’on garde la même notation que pour le produit d’applications multilinéaires. Là aussi on négligera souvent de préciser \(\land_\phi\), et on gardera \(\land\).

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produit matriciel
[ Definition ]
On appelle matrice produit des matrices \(A\) et \(B\) de types respectifs \((n,q)\) et \((q,p)\) la matrice \(C\) de type \((n,p)\) telle que \[C_{i,j}=\sum_{k=1}^q A_{i,k}.B_{k,j}\] On note \(C=A \times B\) ou \(C=A.B\).
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produit matriciel
[ Definition ]
On appelle matrice produit des matrices \(A\) et \(B\) de types respectifs \((n,q)\) et \((q,p)\) la matrice \(C\) de type \((n,p)\) telle que \[C_{i,j}=\sum_{k=1}^q A_{i,k}.B_{k,j}\] On note \(C=A \times B\) ou \(C=A.B\).
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produit mixte
[ Definition ]
On appelle produit mixte d’un espace euclidien \((E,C)\) de dimension \(n\) l’application \(det_B\) pour une base \(B \in C\) quelconque; on le note \((x_1,...,x_n)\mapsto [x_1,...,x_n]=det_B(x_1,...,x_n)\). Si \(E\) est un espace euclidien de dimension \(3\), alors étant donnés \(a\) et \(b\) dans \(E\), l’application qui à \(x\) dans \(E\) associe \([a,b,x]\) est linéaire, donc elle est égale à \(x \mapsto <c|x>\) pour un certain \(c\in E\) (voir le théorème [fleps]); on note \(a\land b\) l’élément \(c\) de \(E\), et on l’appelle produit vectoriel de \(a\) et \(b\).
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produit mixte
[ Definition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l’espace \(\mathscr V\). On appelle déterminant ou produit mixte de ces trois vecteurs le nombre réel, noté \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]\) ou \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\), et donné par : \[\boxed{\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\right).\overrightarrow{w}}\]
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Produit scalaire
[ Definition ]
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathscr V\), noté \(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\) (on rencontrera aussi les notations \(\left<\overrightarrow{u}|\overrightarrow{v}\right>\) ou encore \(\left( \overrightarrow{u} \mid \overrightarrow{v} \right)\)) est défini, de manière géométrique, par: \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}= \left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}) \textrm{ si les deux vecteurs } \overrightarrow{u} \textrm{ et } \overrightarrow{v} \textrm{ sont non nuls} \newline \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0 \textrm{ sinon.} \end{array}\right.}\]
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Produit scalaire
[ Definition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O\), \(A\), \(B\) trois points de \(\mathscr E\) tel que  : \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\) et \(\mathscr P\) la plan contenant ces \(3\) points. On appelle produit scalaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) leur produit scalaire dans le plan \(\mathscr P\). En particulier, si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non nuls, on a \[\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|.\left\|\overrightarrow{v}\right\|.\cos \theta\]\(\theta\) est une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\) dans le plan \(\mathscr P\).
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produit scalaire euclidien sur \(E\)
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, on appelle produit scalaire euclidien sur \(E\) une application \(<.|.>\) de \(E^2\) dans \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\bullet\)\(<.|.>\) est bilinéaire

\(\bullet\)\(<.|.>\) est symétrique : \(=<y|x>\) pour tout \(x\) et tout \(y\)

\(\bullet\)la forme quadratique associée à \(<.|.>\) est définie positive : \(\forall x\neq0\), \(\ >0\)

On appelle espace préhilbertien réel un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire euclidien.

Un sous-espace vectoriel \(F\) d’un espace préhilbertien réel \(E\) muni d’un produit scalaire euclidien, muni de la restriction du produit scalaire euclidien à \(F\), est appelée sous-espace préhilbertien de \(E\) (c’est un espace préhilbertien).

Étant donné un produit scalaire euclidien \(<.|.>\), on définit une norme euclidienne; il s’agit de l’application \(x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x|x>}\). On verra plus loin qu’il s’agit bien d’une norme (facile au vu des résultats de la partie [bilin]).
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produit scalaire euclidien usuel
[ Definition ]
Le produit scalaire euclidien usuel sur \(L^2(X)\) est égal à \((f,g) \mapsto <f|g>=\int f .g d\mu.\)

Ce produit scalaire euclidien fait de \(L^2(X)\) un espace hilbertien réel. Le produit scalaire hermitien usuel sur \(L^2_\mathbb{C}(X)\) est égal à \((f,g) \mapsto <f|g>=\int \overline f .g d\mu\).

Ce produit scalaire hermitien fait de \(L^2_\mathbb{C}(X)\) un espace hilbertien complexe.
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Produit semi-direct
[ Definition ]
Étant donnés deux groupes \(N\) et \(H\), et un morphisme de groupe \(\phi\) de \(H\) dans l’ensemble des automorphismes de \(N\) (autrement dit, \(\phi\) est une action de \(H\) sur \(N\)); alors on appelle produit semi-direct de \(N\) et \(H\) relativement à \(\phi\) et on note \(N \rtimes H\) le produit cartésien \(N \times H\) muni de la loi \((n,h).(n',h')=(n(h.n'),hh')\).
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produit symétrique
[ Definition ]
Soient \(f_1,...,f_n\) des formes linéaires sur le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

On appelle produit tensoriel de \((f_1,...,f_n)\) l’application qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \(f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)\). On le note \(f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n\).

L’aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de \((f_1,...,f_n)\); on la note \(f_1.f_2.\dots.f_n\).

L’application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de \((f_1,...,f_n)\); on le note \(f_1 \land f_2 \land ... \land f_n\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans \(L_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans \(S_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans \(A_n(E)\).
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Produit tensoriel
[ Definition ]
Soient \(f_1,...,f_n\) des formes linéaires sur le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

On appelle produit tensoriel de \((f_1,...,f_n)\) l’application qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \(f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)\). On le note \(f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n\).

L’aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de \((f_1,...,f_n)\); on la note \(f_1.f_2.\dots.f_n\).

L’application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de \((f_1,...,f_n)\); on le note \(f_1 \land f_2 \land ... \land f_n\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans \(L_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans \(S_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans \(A_n(E)\).
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Produit vectoriel
[ Definition ]
On suppose qu’on a choisi une orientation de l’espace. Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(\mathscr P\) un plan de l’espace contenant ces deux vecteurs et \(\overrightarrow{k}\) un vecteur normal unitaire à \(\mathscr P\). Fixant \(\overrightarrow{k}\), on fixe une orientation de \(\mathscr P\). On appelle produit vectoriel de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) le vecteur, noté \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\), donné par \[\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}=\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \overrightarrow{k}.\]
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Projecteurs associés
[ Definition ]
Deux projecteurs sont dits projecteurs associés lorsque leur somme est l’identité.
En savoir plus
Projection
[ Definition ]
On a vu que dans le cas où \(F\) et \(G\) étaient des espaces supplémentaires de \(E\), pour tout \(x\) il existait un unique \((f,g) \in F \times G\) tel que \(x=f+g\). On appelle projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) l’application qui à \(x\) associe \(f\).
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Projection orthogonale
[ Proposition ]
Soit \(D\) une droite et soit \(A\) un point du plan \(\mathscr P\). Il existe un unique point \(A'\) de \(D\) tel que le vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) soit orthogonal à la droite \(D\). Ce point est appelé le projeté orthogonal de \(A\) sur \(D\).
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projection orthogonale sur \(E\)
[ Definition ]
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel fermé de \(H\). On appelle projection orthogonale sur \(E\) l’application qui à \(x\) dans \(H\) associe son projeté sur \(E\); il s’agit d’un projecteur, et la symétrie associée à ce projecteur est appelée symétrie orthogonale par rapport à \(E\) (voir [prosym]).
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projeté de \(x\) sur \(Y\) parallèlement à \(Z\)
[ Definition ]
On se donne \(Y\) et \(Z\) deux sous-espaces affines supplémentaires de \(X\) (un espace affine ). Alors (voir plus haut) l’intersection de \(Y\) et \(Z\) est réduite à un singleton; appelons \(O\) ce singleton. On considère alors \(\overrightarrow X\) le vectorialisé de \(X\) et \(O\), \(\overrightarrow Y\) le vectorialisé de \(Y\) en \(O\), et \(\overrightarrow Z\) le vectorialisé de \(Z\) en \(O\). Tout point \(x\) de \(X\) est aussi un point de \(\overrightarrow X\); or \(\overrightarrow X=\overrightarrow Y \oplus \overrightarrow Z\); donc \(x = y + z\) avec \(y\) dans \(\overrightarrow Y\) et \(z\) dans \(\overrightarrow Z\). On appelle \(y\) le projeté de \(x\) sur \(Y\) parallèlement à \(Z\). L’application qui à \(x\) associe son projeté sur \(Y\) parallèlement à \(Z\) est appelée projecteur sur \(Y\) parallèlement à \(Z\).
En savoir plus
propriété de Borel-Lebesgue
[ Definition ]
Un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini.
En savoir plus
Propriété de morphisme de l’exponentielle imaginaire
[ Proposition ]
\[\boxed{\forall \theta,\theta'\in \mathbb{R},\quad e^{i\left(\theta+\theta'\right)}=e^{i\theta}e^{i\theta'}}\]
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Propriété des matrices orthogonales réelles
[ Proposition ]
Une matrice est orthogonale si et seulement si sa transposée l’est.

Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes forment une famille orthonormale de \(\mathbb{R}^n\).

Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs lignes forment une famille orthonormale de \(\mathbb{R}^n\).

Une matrice est orthogonale si et seulement si il s’agit d’une matrice de changement de bases orthonormales.

Une matrice orthogonale est de déterminant \(1\) ou \(-1\).

Une valeur propre de matrice orthogonale est soit \(1\) soit \(-1\).

Une matrice orthogonale \(M\) vérifie \(com(M)=det(M).M\).
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Propriété d’intersection finie non vide
[ Definition ]
Une famille \({\cal A}\) de parties de \(X\) a la propriété d’intersection finie non vide si et seulement si tout sous-ensemble fini de \({\cal A}\) a une intersection non vide.
En savoir plus
Propriété du produit d’applications multilinéaires
[ Proposition ]

\(\land_\phi\) est bilinéaire.

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Propriété fondamentale du produit de convolution
[ Théorème ]

\(\bullet\)Si \(f\) est \(C^k\) (\(k\geq 0\)) et si \(g\) est \(L^1\) à support compact, alors \(f*g\) est \(C^k\). En outre pour tout \(\nu\) tel que \(|\nu|\leq k\) \(D^\nu(f*g)=(D^\nu f)*g\).

\(\bullet\)On a le même résultat si \(f\) est \(C^k\) à support compact et \(g\) est \(L^1\).

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Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
[ Proposition ]
Pour tout \(x,y\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{Z}\)
  1. \(\boxed{\exp\left(x+y\right)=\exp\left(x\right)\exp\left(y\right)}\)

  2. \(\boxed{\exp\left(-x\right)=\dfrac{1}{\exp x}}\)

  3. \(\boxed{\exp\left(x-y\right)=\dfrac{\exp\left(x\right)}{\exp\left(y\right)}}\)

  4. \(\boxed{\exp\left(nx\right)=\left(\exp \left(x\right)\right)^n}\)

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Propriétés algébriques des fonctions puissances
[ Proposition ]

Pour tout \(a,b\in\mathbb{R}\), \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\)

  1. \(x^{a+b}=x^a x^b\)

  2. \(x^{-a}=\dfrac{1}{x^a}\)

  3. \(\left(xy\right)^a=x^a y^a\)

  4. \(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)

  5. \(x^0=1\)

  6. \(1^a=1\)

  7. \(\ln\left(x^a\right)=a\ln x\)

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Propriétés algébriques du logarithme
[ Proposition ]
Pour tout \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\) et \(n\in\mathbb{Z}\)
  1. \(\boxed{\ln\left(xy\right)=\ln x+\ln y}\)

  2. \(\boxed{\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x}\)

  3. \(\boxed{\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y}\)

  4. \(\boxed{\ln \left(x^n\right)=n\ln x}\)

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Propriétés basiques des anneaux de polynômes
[ Proposition ]

\(\bullet\)\(1\) est élément neutre pour la multiplication, \(X\) élément neutre pour \(\circ\), \(0\) élément neutre pour l’addition.

\(\bullet\)Les éléments inversibles de \(\mathbb{K}[X]\) sont les éléments identifiés aux éléments de \(\mathbb{K}\setminus \{0\}\).

\(\bullet\)\(deg(0)=-\infty\) et \(val(0)=+\infty\).

\(\bullet\)\(deg(1)=0\).

\(\bullet\)\(deg(X^i)=i\) et \(val(X^i)=i\).

\(\bullet\)\(deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q)\) et \(val(P.Q)=val(P)+val(Q)\).

\(\bullet\)\(deg(P+Q) \leq \sup(deg(P),deg(Q))\) avec égalité si \(deg(P)\neq deg(Q)\) ou si les coefficients dominants de \(P\) et \(Q\) ne sont pas opposés.

\(\bullet\)\(val(P+Q) \geq \inf(val(P),val(Q))\) avec égalité si \(val(P)\neq val(Q)\) ou si \(P_{val(P)}\) et \(Q_{val(Q)}\) ne sont pas opposés.

\(\bullet\)si \(A\) est intègre alors \(A[X]\) est un anneau intègre; c’est-à-dire que le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynômes est nul.

\(\bullet\)\((P+Q)\circ R = P\circ R + Q \circ R\) mais en général \(P\circ (Q+R) \neq P \circ Q + P \circ R\).
En savoir plus
Propriétés de la conjugaison
[ Proposition ]
Pour tous complexes \(z,\, z' \in \mathbb{C}\),
  1. \(\boxed{\overline{z+z'}=\bar z + \bar z'}\)

  2. \(\boxed{\overline{ zz'}=\bar{z}\bar{z}'}\)

  3. \(\boxed{\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\bar z}{\bar z'}}\) si \(z'\neq 0\).

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Propriétés de l’addition dans \(\mathbb{C}\)
[ Proposition ]
L’addition dans \(\mathbb{C}\)
  • est associative : \(\forall z, z', z''\in \mathbb{C}, \quad z+(z'+z'')=(z+z')+z''\) ;

  • est commutative : \(\forall z, z'\in \mathbb{C}, \quad z+z'=z'+z\)

  • possède un élément neutre \(0\) : \(\forall z\in \mathbb{C}, ~~~ z+0=z\) ;

  • de plus, tout nombre complexe \(z=a+i\,b\) possède un opposé, \(-z =-a -ib\).

On résume ces quatre propriétés en disant que \((\mathbb{C},+)\) est un groupe commutatif.
En savoir plus
Propriétés de l’affixe
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(A\) et \(B\) deux points de \(\mathscr P\) : \[\boxed{\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u})+\textrm{ Aff}(\overrightarrow{v})}\] \[\boxed{\textrm{ Aff}(\overrightarrow{AB})=\textrm{ Aff}(B)-\textrm{ Aff}(A)}\]
En savoir plus
Propriétés de la fonction \(\ln\)
[ Théorème ]
  • La fonction \(\ln\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^*\).

  • La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) et \(\boxed{\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \quad \ln' x=\dfrac{1}{x}}\).

  • La fonction \(\ln\) est même \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), ce qui signifie qu’elle est dérivable et que toutes ses dérivées sont dérivables.

  • La fonction \(\ln\) est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\)

En savoir plus
Propriétés de la multiplication dans \(\mathbb{C}\)
[ Proposition ]
La multiplication dans \(\mathbb{C}\)
  • est associative : \(\forall z, z', z''\in \mathbb{C},\quad z(z'z'')=(zz')z''\)

  • est commutative : \(\forall z, z'\in \mathbb{C},\quad zz'=z'z\)

  • possède un élément neutre \(1\) : \(\forall z\in \mathbb{C}, \quad z\times 1=z\)

De plus, tout nombre complexe non nul \(z=a+i\,b\) possède un inverse \(z^{-1}\) vérifiant \(z \times z^{-1} = 1\) donné par \[\boxed{z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}}.\] On résume ces quatre propriétés en disant que \((\mathbb{C}^*,\times)\) est un groupe commutatif.
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Propriétés des application \(p\)-linéaires avec \(\dim E = n\)
[ Proposition ]

\(E\) est ici supposé isomorphe à \(\mathbb{R}^n\).

Toute application \(p\)-linéaire de \(E\) dans \(F\) s’écrit de manière unique \[x\mapsto \sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_p\leq n} \underbrace{c_{i_1,\dots,i_p}}_{\in F} e_{i_1}^*\land e_{i_2}^* \land \dots e_{i_p}^*\] avec la famille des \(e_i^*\) la base duale de la base des \(e_i\) (base canonique de \(\mathbb{R}^n\)), c’est-à-dire que les \(e_i^*\) sont les formes qui donnent les coordonnées d’un point.

En particulier, si \(p=n\), l’application s’écrit \(x\mapsto (e_1^* \land e_2^* \land \dots \land e_n^*)(x)c\), avec \(c\) un élément de \(F\), et si \(p>n\), l’application est nécessairement nulle.
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Propriétés des espaces projectifs
[ Proposition ]

\(\bullet\)Dans un espace projectif, par deux points distincts passe une droite et une seule.

\(\bullet\)Dans un espace projectif, l’intersection d’une droite et d’un hyperplan qui ne la contient pas est constituée d’un point et d’un seul.

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Propriétés des espaces projectifs
[ Proposition ]

\(\bullet\)Dans un espace projectif, par deux points distincts passe une droite et une seule.

\(\bullet\)Dans un espace projectif, l’intersection d’une droite et d’un hyperplan qui ne la contient pas est constituée d’un point et d’un seul.

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Propriétés des plans projectifs
[ Proposition ]

Dans un plan projectif:

\(\bullet\)Deux droites distinctes se coupent en un point et un seul \(\to\) pas de droites sans point commun!

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Propriétés des plans projectifs
[ Proposition ]

Dans un plan projectif:

\(\bullet\)Deux droites distinctes se coupent en un point et un seul \(\to\) pas de droites sans point commun!

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Propriétés des projecteurs
[ Proposition ]

En notant \(p\) le projecteur sur \(Y\) parallèlement à \(Z\):

\(\bullet\)pour tout \(x\) dans \(X\) \(p(x)\) est l’unique point de \(Y\) tel que \(\overrightarrow{xp(x)} \in \overrightarrow Z\), avec \(\overrightarrow Z\) la direction de \(Z\).

\(\bullet\)\(p\circ p =p\) (\(p\) est idempotent)

\(\bullet\)\(p\) est affine

\(\bullet\)\(p(X)=Y\)

\(\bullet\)\(p\) induit l’identité sur \(Y\)

\(\bullet\)\(\overrightarrow Z\) est le noyau de \(\overrightarrow p\).
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Propriétés du module
[ Proposition ]
Pour tout nombre complexe \(z\),
  1. \(|z|=0 \Leftrightarrow z=0\)

  2. \(|z|=|\bar z|\)

  3. \(\mathop{\rm Re}(z) \leqslant|\mathop{\rm Re}(z)| \leqslant|z|\)

  4. \(\mathop{\rm Im}(z)\leqslant|\mathop{\rm Im}(z)| \leqslant|z|\)

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Propriétés du produit de formes multilinéaires
[ Proposition ]

\(\bullet\)Si \(f\) appartient à \({\cal A}_p(E,\mathbb{R})\) et \(g\) appartient à \({\cal A}_q(E,\mathbb{R})\), alors \(f\land g=(-1)^{pq} g \land f\)

\(\bullet\)Si \(f\) ppartient à \({\cal A}_p(E,\mathbb{R})\), \(g\) appartient à \({\cal A}_q(E,\mathbb{R})\) et \(h\) appartient à \({\cal A}_r(E,\mathbb{R})\), alors \((f\land g)\land h=f\land (g \land h)\).

\(\bullet\)Si les \(f_i\) sont des formes linéaires continues sur \(E\) (dans \(\mathbb{R}\)), pour \(i\in [1,n]\), alors \[f_1 \land \dots \land f_n (x_1,\dots,x_n) = \sum_{\sigma\in \sigma^n} \epsilon(\sigma) f_i(x_{\sigma(i)})=det\ (f_i(x_j))_{i,j}\]

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Propriétés fondamentales du produit de convolution
[ Proposition ]

Soient \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois \(P^X\) et \(P^Y\).

\(\bullet\)La loi de \(X+Y\) est \(P^X*P^Y\).

\(\bullet\)\(P^X*P^Y=P^Y*P^X\).

\(\bullet\)Pour toute fonction mesurable \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), \[\int_\mathbb{R}f(x).d(P^X*P^Y)(x)=\int_\mathbb{R}\left( \int_\mathbb{R}f(x+y) dP^Y(y)\right)dP^X(x).\]
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Propriété universelle des groupes abéliens
[ Proposition ]
Étant donnée une famille \((A_i)_{i\in I}\) de groupes abéliens, \(A'\) un groupe abélien, \(\phi_i\) un homomorphisme de \(A_i\) sur \(A'\), alors il existe un unique homomorphisme de \(\bigoplus A_i\) vers \(A'\) tel que la restriction de cet homomorphisme à \(A_i\) soit \(\phi_i\).
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Propriété vraie presque partout
[ Definition ]
Une propriété \(P\) est dite vraie presque partout si l’ensemble des éléments pour lesquels elle est fausse est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Une partie est dite négligeable si elle est incluse dans une partie de mesure nulle, c’est-à-dire si sa fonction caractéristique est nulle presque partout. Un espace mesuré est dit complet si tout ensemble négligeable est mesurable (et donc de mesure \(0\)).
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