Lexique mathématique

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O
On ne peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini
[ Théorème ]

\(\bullet\)Si \(C\) est un processus prévisible borné et positif et si \(X\) est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale (respectivement), alors \((C\bullet X)\) défini par \[( C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n c_i(X_i-X_{i-1})\] est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale.

\(\bullet\)Si \(C\) est un processus prévisible borné et \(X\) une martingale, alors \(C\bullet X\) est une martingale.
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On peut utiliser une inégalité stricte dans la définition de convergence
[ Proposition ]
Une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l \in \mathbb{R}\) si et seulement si \[\forall \varepsilon> 0,~\exists N \in \mathbb{N},~ \forall n \in \mathbb{N},~ n\geqslant N \Rightarrow \lvert u_n-l \rvert < \varepsilon\]
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Opération de \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) sur \(\mathcal{L}^n(E)\)
[ Proposition ]
Soit \(\varphi\in \mathcal{L}^n(E)\) une forme \(n\)-linéaire et \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) une permutation. On définit une nouvelle forme \(n\)-linéaire : \[\sigma \star \varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} E^n & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline (x_1,\dots, x_n) & \longmapsto & \varphi(x_{\sigma(1)},\dots, x_{\sigma(n)}) \end{array} \right.\] et si \(\sigma_1, \sigma_2 \in \mathfrak{S}\left(n\right)\), \(\sigma_1 \star (\sigma_2 \star \varphi) = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \star \varphi\).
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Opérations algébriques avec les matrices diagonales et les matrices triangulaires supérieures
[ Proposition ]
  • Si \(D_1\) et \(D_2\) sont deux matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont respectivement \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) et \(\mu_1,\ldots,\mu_n\), \(D_1 D_2\) est diagonale et ses coefficients diagonaux sont \(\lambda_1 \mu_1,\ldots,\lambda_n \mu_n\).

  • Si \(T_1\) et \(T_2\) sont deux matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont respectivement \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) et \(\mu_1,\ldots,\mu_n\), \(T_1 T_2\) est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont \(\lambda_1 \mu_1,\ldots,\lambda_n \mu_n\).

  • Si \(N\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont nuls, alors \(N^n=0\); on dit que \(N\) est nilpotente.

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Opérations dans \(\mathbb{N}^n\)
[ Definition ]

Étant donnés \(\nu\) et \(\eta\) dans \(\mathbb{N}^n\):

\(\bullet\)on note \(\nu !=\Pi_{i=1}^n (\nu_i)!\).

\(\bullet\)on note \(\nu \geq \eta\) si \(\forall i\in [1,n] \nu_i - \eta_i \geq 0\)

\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(\alpha=\nu-\eta\) avec \(\forall i\in [1,n] \alpha_i = \nu_i - \eta_i\)

\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(C_\nu^\eta = \frac{\nu!}{\eta ! (\nu-\eta)!}=\Pi_{i=1}^n C_{\nu_i}^{\eta_i}\)

\(\bullet\)on note \(|\nu|=\sum_{i=1}^n \nu_i\) (longueur de \(\nu\))

\(\bullet\)on note \(0\) l’élément \((0,...,0)\) de \(\mathbb{N}^n\).

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Opérations élémentaires sur les colonnes
[ Théorème ]
  1. On ne modifie pas le déterminant d’une matrice si l’on retranche à une de ses colonnes \(C_j\) une combinaison linéaire des autres colonnes : \[\mathop{\rm det}(C_1,\dots,C_{j-1}, C_j - \displaystyle{\sum_{k\neq j}^{ }} \lambda_k C_k, C_{j+1},\dots, C_n) = \mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_j, \dots, C_n).\] Lors du calcul d’un déterminant, pour expliquer les calculs, on code cette opération élémentaire sur les colonnes de façon algorithmique : \(\leftarrow C_j{C_j - \displaystyle{\sum_{k\neq j}^{ }} \lambda_k C_k}\).

  2. Si l’on inverse deux colonnes d’une matrice, on change son déterminant en son opposé : \[\mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_k,\dots, C_l,\dots, C_n) = - \mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_l, \dots, C_k, \dots, C_n).\] On désigne cette opération élémentaire par : \(\leftrightarrow C_k{C_l}\).

 
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Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice
[ Definition ]
On appelle opération élémentaire sur les lignes (respectivement sur les colonnes) de la matrice \(A\) une des opérations suivantes :
  1. Addition d’une ligne (respectivement d’une colonne) à une autre ligne (respectivement à une autre colonne).

  2. Multiplication d’une ligne (respectivement d’une colonne) par un scalaire .

  3. Échange de deux lignes (respectivement de deux colonnes)

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Opérations sur les équivalents
[ Théorème ]
Soient \(f,g, \widetilde f, \widetilde g\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) telles que
  1. \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim} g\left(x\right)\)

  2. \(\widetilde f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim} \widetilde g\left(x\right)\).

Alors

  1. \(\boxed{ f(x)g(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \widetilde f(x) \widetilde g(x) }\).

  2. Si la fonction \(\widetilde f\) ne s’annule pas sur un voisinage du point \(a\), il en est de même pour la fonction \(\widetilde g\) et alors \(\boxed{\dfrac{f\left(x\right)}{\widetilde f\left(x\right)} \underset{x\rightarrow a}{\sim} \dfrac{g\left(x\right)}{\widetilde g\left(x\right)}}\).

  3. Pour tout réel \(s\), si les fonctions \(f\) et \(g\) sont strictement positives au voisinage du point \(a\), \(\boxed{ \left[ f(x)\right]^{s} \underset{x \rightarrow a}{\sim} \left[ g(x)\right]^{s}}\).

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Opérations sur les fonctions
[ Definition ]
Dans \(\mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit les lois suivantes.
  • Addition. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit l’application \(\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(f+g\right)(x)=f(x)+g(x)\]

  • Multiplication par un réel. Si \((\lambda,f) \in \mathbb{R} \times \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit l’application \(\left(\lambda f\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(\lambda f\right)(x)=\lambda f(x)\]

  • Multiplication de deux fonctions. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit l’application \(\left( fg\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(fg\right)(x)= f(x) g(x)\]

  • Valeur absolue d’une fonction. Si \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit l’application \(\left|f\right| \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left|f\right|(x)=\left| f(x)\right|\]

  • Maximum, Minimum de deux fonctions. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit les deux applications \(\sup\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et \(\inf\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \sup\left(f,g\right)(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\] \[\forall x \in I, \quad \inf\left(f,g\right)(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\]

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Opérations sur les fonctions lipschitziennes
[ Proposition ]
  1. Une combinaison linéaire de deux fonctions lipschitzienne est encore lipschitzienne. Si \(f, g \in \mathscr{L}(I)\), alors \(\alpha~f~+~\beta~g~\in~\mathscr{L}(I)\).

  2. La composée de deux fonctions lipschitziennes est encore lipschitzienne. Si \(f \in \mathscr{L}(I)\) et \(g \in \mathscr{L}(J)\) avec \(f(I) \subset J\), alors \(g\circ f \in \mathscr{L}(I)\).

  3. Soit \(c \in I\), on note \(I_1 = I \cap ]-\infty,c]\) et \(I_2 = I \cap [c, +\infty[\). Si \(f\) est lipschitzienne sur \(I_1\) et sur \(I_2\), alors elle est lipschitzienne sur \(I\).

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Opérations sur les relations de comparaison
[ Proposition ]
\(\quad\) Soient \(f\), \(f_1\), \(f_2\), \(g\), \(g_1\) et \(g_2\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) :
    1. \(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 + f_2 = \underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right)\)

    2. \(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 + f_2 = \underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right)\)

    1. \(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_1\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_2\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 f_2 = \underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_1 g_2\left(x\right)\right)\)

    2. \(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_1\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_2\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 f_2 = \underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_1 g_2\left(x\right)\right)\)

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Opérations sur les suites
[ Definition ]
On définit les lois suivantes sur l’ensemble des suites \(\mathscr S(\mathbb{R})\). Soient \((u_n),(v_n)\in \mathscr S(\mathbb{R})\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\),
  • Addition : \((u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)\)

  • Multiplication par un scalaire : \(\lambda(u_n)=(\lambda ~u_n)\)

  • Multiplication de deux suites : \((u_n)\times(v_n)=(u_n.v_n)\)

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Opérations sur \(\mathbb{K}\left[X\right]\)
[ Definition ]
On définit les opérations suivantes sur les polynômes : Soient les polynômes \(P=\left(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\), \(Q=\left(b_0,b_1,\dots,b_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\) et le scalaire \(\lambda\in \mathbb{K}\) : \[P+Q=\left(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots,a_n+b_n,0,\dots\right)\] \[\lambda \cdot P=\left(\lambda\cdot a_0,\lambda\cdot a_1,\dots,\lambda\cdot a_n,0,\dots\right)\] \[P\times Q = \left(c_0,c_1,\dots,c_n,\dots\right) \textrm{ où: } \forall k\in\mathbb{N}, \quad c_k=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k b_{n-k}\]
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Orbite d’un élément
[ Definition ]
Soit une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(E\right)\) et un élément \(x \in E\). On appelle orbite de l’élément \(x\) selon la permutation \(\sigma\), l’ensemble \(\mathcal{O}(x) = \{ \sigma^k(x)~|~k \in \mathbb{Z} \}\). On vérifie facilement que si \(y \in \mathcal{O}(x)\), alors \(\mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y)\).
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ordinal limite
[ Definition ]
Un ordinal différent du vide et sans prédécesseur est appelé un ordinal limite. C’est donc un ordinal non vide \(x\) tel que tout élément \(y\) plus petit que \(x\) a un successeur \(succ(y)\) lui aussi plus petit que \(x\).
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ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’un zéro d’une fonction \(f\) \(C^\infty\) l’entier \(p\) minimal tel que \(f^{(p)}(a)\neq 0\). Si un tel entier n’existe pas, le zéro est dit d’ordre infini.
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ordre
[ Definition ]

On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).

Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).

La singularité est dite artificielle si en changeant \(f(a)\) on peut rendre \(f\) holomorphe en \(a\).
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ordre
[ Definition ]

On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).

Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).

La singularité est dite artificielle si en changeant \(f(a)\) on peut rendre \(f\) holomorphe en \(a\).
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ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’une valeur propre d’un endomorphisme en dimension finie le degré de multiplicité de cette valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.

On appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre \({\lambda}\) de l’endomorphisme \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie le sous-espace vectoriel \(Ker\ (f-{\lambda}.I)^m\) avec \(m\) l’ordre de la valeur propre \({\lambda}\).

Un endomorphisme en dimension finie est dit diagonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice diagonale.

Une matrice en dimension finie est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme diagonalisable.

Un endomorphisme en dimension finie est dit trigonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice triangulaire.

Une matrice en dimension finie est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme trigonalisable.
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Orientation
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(2\) ou \(3\). Orienter \(E\) revient à choisir une base \(e\) de \(E\). Si \(e'\) une autre base de \(E\), on dit qu’elle est directe si elle est de même sens que \(E\) et indirecte sinon.
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Orientation d’un plan dans l’espace
[ Definition ]
Étant donnés un plan \(\mathscr P\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) à ce plan, il existe une unique orientation du plan \(\mathscr P\) telle que pour toute base orthonormale directe \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de ce plan, le triplet \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right)\) forme une base orthonormale directe de \(\mathscr E\). On dit que le plan \(\mathscr P\) est orienté par \(\overrightarrow{n}\).
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Origine d’un repère
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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orthogonal
[ Definition ]
\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont dits orthogonaux si \(=<y|x>=0\).

Deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux pour tout \((x,y)\) dans \(X\times Y\).

On appelle orthogonal d’une partie \(X\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des \(y\) tels que \(=0\) pour tout \(x\) dans \(X\).

Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthogonale si \(i\not=j \to <x_i|x_j>=0\).

Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthonormale si \(<x_i|x_j>=\delta_{i,j}\).
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Orthogonal d’une partie
[ Definition ]
Soit \(A \subset E\) une partie de \(E\). On définit l’orthogonal de \(A\) comme étant le sous-ensemble de \(E\) noté \(A^{\perp}\) et donné par : \[A^{\perp}=\{ x\in E ~|~ \forall a\in A, \left( x \mid a \right)=0 \}\]
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orthogonales
[ Definition ]
On dit que :
  • deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

  • deux droites sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

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Orthogonalisation de Gauss
[ Théorème ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(q\) une forme quadratique sur \(E\). Alors, avec \(r\) le rang de \(q\), il existe \(r\) formes linéaires indépendantes sur \(E\), \(f_1\),...,\(f_r\) tels que \[q=\sum_{i=1}^r \epsilon_i f_i^2\quad \text{ avec}\quad \epsilon_i\in \{-1,1\}.\]
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Orthogonalité
[ Definition ]
Étant données \(q\) une forme quadratique et \(\phi\) sa forme polaire:

\(\bullet\)\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont orthogonaux si et seulement si \(\phi(x,y)=0\)

\(\bullet\)deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si et seulement si tout \(x\) dans \(X\) et tout \(y\) dans \(Y\) sont orthogonaux.

\(\bullet\)On appelle orthogonal d’une partie \(X\) de \(E\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de \(X\).

\(\bullet\)On appelle noyau de \(q\) l’orthogonal de \(E\) (à ne pas confondre avec le cône isotrope de \(q\)); on le note \(N(q)\).

\(\bullet\)On appelle cône isotrope de \(q\) et on note \(C(q)\) l’ensemble des \(x\) tels que \(q(x)=0\) (à ne pas confondre avec le noyau de \(q\)). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.

\(\bullet\)Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\).

\(\bullet\)Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à \(\{0\}\).

\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.

\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit totalement isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est nulle.

\(\bullet\)Une forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout \(x\) on a \(q(x,x) \geq 0\) (resp. \(q(x,x) \leq 0\)).
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Orthogonalité et espaces supplémentaires
[ Proposition ]

\(\bullet\)Si \(F\) et \(G\) sont supplémentaires, alors \(F\) et \(G\) sont orthogonaux si et seulement si \(G\) est l’orthogonal de \(F\).

\(\bullet\)Si \(F\) et \(F^\bot\) sont supplémentaires, alors \({F^\bot}^\bot=F\).
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orthogonaux
[ Definition ]
Étant donné \(x\) dans \(E\) et \(u\) dans \(E^*\), on dit que \(x\) et \(u\) sont orthogonaux si et seulement si \(u(x)=0\)

Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E\), on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E^*\) et on note \(A^\bot\) l’ensemble des \(u\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).

Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E^*\) on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E\) et on note \(A^o\) l’ensemble des \(x\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).
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orthonormal
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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orthonormale
[ Definition ]
Soit \(\mathscr B(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base \(\mathscr B\) est orthogonale. Si ils sont de plus unitaires, on dit que \(\mathscr B\) est orthonormale.
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orthonormales
[ Definition ]
Soit \(e=(e_1,\dots,e_n)\) une base de \(E\). On dit que \(e\) est une base
  1. orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall (i,j)\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,\quad i\neq j \Rightarrow \left( e_i \mid e_j \right)=0.\]

  2. orthonormale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et unitaires, c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall(i,j)\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2, \quad \left( e_i \mid e_j \right)=\delta_{ij}.\]

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