Lexique mathématique

Lexique mathématique

O
On ne peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini
[ Théorème ]

\(\bullet\)Si \(C\) est un processus prévisible borné et positif et si \(X\) est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale (respectivement), alors \((C\bullet X)\) défini par \[( C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n c_i(X_i-X_{i-1})\] est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale.

\(\bullet\)Si \(C\) est un processus prévisible borné et \(X\) une martingale, alors \(C\bullet X\) est une martingale.
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Opérations dans \(\mathbb{N}^n\)
[ Definition ]

Étant donnés \(\nu\) et \(\eta\) dans \(\mathbb{N}^n\):

\(\bullet\)on note \(\nu !=\Pi_{i=1}^n (\nu_i)!\).

\(\bullet\)on note \(\nu \geq \eta\) si \(\forall i\in [1,n] \nu_i - \eta_i \geq 0\)

\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(\alpha=\nu-\eta\) avec \(\forall i\in [1,n] \alpha_i = \nu_i - \eta_i\)

\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(C_\nu^\eta = \frac{\nu!}{\eta ! (\nu-\eta)!}=\Pi_{i=1}^n C_{\nu_i}^{\eta_i}\)

\(\bullet\)on note \(|\nu|=\sum_{i=1}^n \nu_i\) (longueur de \(\nu\))

\(\bullet\)on note \(0\) l’élément \((0,...,0)\) de \(\mathbb{N}^n\).

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ordinal limite
[ Definition ]
Un ordinal différent du vide et sans prédécesseur est appelé un ordinal limite. C’est donc un ordinal non vide \(x\) tel que tout élément \(y\) plus petit que \(x\) a un successeur \(succ(y)\) lui aussi plus petit que \(x\).
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ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’un zéro d’une fonction \(f\) \(C^\infty\) l’entier \(p\) minimal tel que \(f^{(p)}(a)\neq 0\). Si un tel entier n’existe pas, le zéro est dit d’ordre infini.
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ordre
[ Definition ]

On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).

Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).

La singularité est dite artificielle si en changeant \(f(a)\) on peut rendre \(f\) holomorphe en \(a\).
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ordre
[ Definition ]

On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).

Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).

La singularité est dite artificielle si en changeant \(f(a)\) on peut rendre \(f\) holomorphe en \(a\).
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ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’une valeur propre d’un endomorphisme en dimension finie le degré de multiplicité de cette valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.

On appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre \({\lambda}\) de l’endomorphisme \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie le sous-espace vectoriel \(Ker\ (f-{\lambda}.I)^m\) avec \(m\) l’ordre de la valeur propre \({\lambda}\).

Un endomorphisme en dimension finie est dit diagonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice diagonale.

Une matrice en dimension finie est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme diagonalisable.

Un endomorphisme en dimension finie est dit trigonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice triangulaire.

Une matrice en dimension finie est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme trigonalisable.
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Orientation d’un plan dans l’espace
[ Definition ]
Étant donnés un plan \(\mathscr P\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) à ce plan, il existe une unique orientation du plan \(\mathscr P\) telle que pour toute base orthonormale directe \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de ce plan, le triplet \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right)\) forme une base orthonormale directe de \(\mathscr E\). On dit que le plan \(\mathscr P\) est orienté par \(\overrightarrow{n}\).
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Origine d’un repère
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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orthogonal
[ Definition ]
\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont dits orthogonaux si \(=<y|x>=0\).

Deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux pour tout \((x,y)\) dans \(X\times Y\).

On appelle orthogonal d’une partie \(X\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des \(y\) tels que \(=0\) pour tout \(x\) dans \(X\).

Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthogonale si \(i\not=j \to <x_i|x_j>=0\).

Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthonormale si \(<x_i|x_j>=\delta_{i,j}\).
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orthogonales
[ Definition ]
On dit que :
  • deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

  • deux droites sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

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Orthogonalisation de Gauss
[ Théorème ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(q\) une forme quadratique sur \(E\). Alors, avec \(r\) le rang de \(q\), il existe \(r\) formes linéaires indépendantes sur \(E\), \(f_1\),...,\(f_r\) tels que \[q=\sum_{i=1}^r \epsilon_i f_i^2\quad \text{ avec}\quad \epsilon_i\in \{-1,1\}.\]
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Orthogonalité
[ Definition ]
Étant données \(q\) une forme quadratique et \(\phi\) sa forme polaire:

\(\bullet\)\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont orthogonaux si et seulement si \(\phi(x,y)=0\)

\(\bullet\)deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si et seulement si tout \(x\) dans \(X\) et tout \(y\) dans \(Y\) sont orthogonaux.

\(\bullet\)On appelle orthogonal d’une partie \(X\) de \(E\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de \(X\).

\(\bullet\)On appelle noyau de \(q\) l’orthogonal de \(E\) (à ne pas confondre avec le cône isotrope de \(q\)); on le note \(N(q)\).

\(\bullet\)On appelle cône isotrope de \(q\) et on note \(C(q)\) l’ensemble des \(x\) tels que \(q(x)=0\) (à ne pas confondre avec le noyau de \(q\)). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.

\(\bullet\)Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\).

\(\bullet\)Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à \(\{0\}\).

\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.

\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit totalement isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est nulle.

\(\bullet\)Une forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout \(x\) on a \(q(x,x) \geq 0\) (resp. \(q(x,x) \leq 0\)).
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Orthogonalité et espaces supplémentaires
[ Proposition ]

\(\bullet\)Si \(F\) et \(G\) sont supplémentaires, alors \(F\) et \(G\) sont orthogonaux si et seulement si \(G\) est l’orthogonal de \(F\).

\(\bullet\)Si \(F\) et \(F^\bot\) sont supplémentaires, alors \({F^\bot}^\bot=F\).
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orthogonaux
[ Definition ]
Étant donné \(x\) dans \(E\) et \(u\) dans \(E^*\), on dit que \(x\) et \(u\) sont orthogonaux si et seulement si \(u(x)=0\)

Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E\), on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E^*\) et on note \(A^\bot\) l’ensemble des \(u\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).

Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E^*\) on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E\) et on note \(A^o\) l’ensemble des \(x\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).
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orthonormal
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

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orthonormale
[ Definition ]
Soit \(\mathscr B(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base \(\mathscr B\) est orthogonale. Si ils sont de plus unitaires, on dit que \(\mathscr B\) est orthonormale.
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