Lexique mathématique
O
On ne peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini
[ Théorème ]
\(\bullet\)Si \(C\) est un processus prévisible borné et positif et si \(X\) est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale (respectivement), alors \((C\bullet X)\) défini par \[( C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n c_i(X_i-X_{i-1})\] est une surmartingale, une sous-martingale ou une martingale.
On peut utiliser une inégalité stricte dans la définition de convergence
[ Proposition ]
Une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l \in \mathbb{R}\) si et seulement si \[\forall \varepsilon> 0,~\exists N \in \mathbb{N},~ \forall n \in \mathbb{N},~ n\geqslant N \Rightarrow \lvert u_n-l \rvert < \varepsilon\]
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Opération de \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) sur \(\mathcal{L}^n(E)\)
[ Proposition ]
Soit \(\varphi\in \mathcal{L}^n(E)\) une forme \(n\)-linéaire et \(\sigma
\in \mathfrak{S}\left(n\right)\) une permutation. On définit une nouvelle forme \(n\)-linéaire : \[\sigma \star \varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} E^n & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline (x_1,\dots,
x_n) & \longmapsto & \varphi(x_{\sigma(1)},\dots, x_{\sigma(n)}) \end{array} \right.\] et si \(\sigma_1, \sigma_2 \in \mathfrak{S}\left(n\right)\), \(\sigma_1 \star (\sigma_2 \star \varphi) = (\sigma_1 \circ \sigma_2)
\star \varphi\).
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Opérations algébriques avec les matrices diagonales et les matrices triangulaires supérieures
[ Proposition ]
Opérations dans \(\mathbb{N}^n\)
[ Definition ]
Étant donnés \(\nu\) et \(\eta\) dans \(\mathbb{N}^n\):
\(\bullet\)on note \(\nu !=\Pi_{i=1}^n (\nu_i)!\).
\(\bullet\)on note \(\nu \geq \eta\) si \(\forall i\in [1,n] \nu_i - \eta_i \geq 0\)
\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(\alpha=\nu-\eta\) avec \(\forall i\in [1,n] \alpha_i = \nu_i - \eta_i\)
\(\bullet\)si \(\nu \geq \eta\) on note \(C_\nu^\eta = \frac{\nu!}{\eta ! (\nu-\eta)!}=\Pi_{i=1}^n C_{\nu_i}^{\eta_i}\)
\(\bullet\)on note \(|\nu|=\sum_{i=1}^n \nu_i\) (longueur de \(\nu\))
\(\bullet\)on note \(0\) l’élément \((0,...,0)\) de \(\mathbb{N}^n\).
Opérations élémentaires sur les colonnes
[ Théorème ]
Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice
[ Definition ]
On appelle opération élémentaire sur les lignes (respectivement sur les colonnes) de la matrice \(A\) une des opérations suivantes :
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Opérations sur les équivalents
[ Théorème ]
Soient \(f,g, \widetilde f, \widetilde g\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) telles que
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Alors
Opérations sur les fonctions
[ Definition ]
Dans \(\mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit les lois suivantes.
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Opérations sur les fonctions lipschitziennes
[ Proposition ]
Opérations sur les relations de comparaison
[ Proposition ]
\(\quad\) Soient \(f\), \(f_1\), \(f_2\), \(g\), \(g_1\) et \(g_2\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) :
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Opérations sur les suites
[ Definition ]
On définit les lois suivantes sur l’ensemble des suites \(\mathscr
S(\mathbb{R})\). Soient \((u_n),(v_n)\in \mathscr S(\mathbb{R})\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\),
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Opérations sur \(\mathbb{K}\left[X\right]\)
[ Definition ]
On définit les opérations suivantes sur les polynômes : Soient les polynômes \(P=\left(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\), \(Q=\left(b_0,b_1,\dots,b_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\) et le scalaire \(\lambda\in \mathbb{K}\) :
\[P+Q=\left(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots,a_n+b_n,0,\dots\right)\] \[\lambda \cdot P=\left(\lambda\cdot a_0,\lambda\cdot a_1,\dots,\lambda\cdot a_n,0,\dots\right)\] \[P\times Q = \left(c_0,c_1,\dots,c_n,\dots\right) \textrm{ où: } \forall k\in\mathbb{N}, \quad c_k=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k b_{n-k}\]
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Orbite d’un élément
[ Definition ]
Soit une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(E\right)\) et un élément \(x \in
E\). On appelle orbite de l’élément \(x\) selon la permutation \(\sigma\), l’ensemble \(\mathcal{O}(x) = \{ \sigma^k(x)~|~k \in \mathbb{Z} \}\). On vérifie facilement que si \(y \in \mathcal{O}(x)\), alors \(\mathcal{O}(x) =
\mathcal{O}(y)\).
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Ordinal limite
[ Definition ]
Un ordinal différent du vide et sans prédécesseur est appelé un ordinal limite. C’est donc un ordinal non vide \(x\) tel que tout élément \(y\) plus petit que \(x\) a un successeur \(succ(y)\) lui aussi plus petit que \(x\).
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Ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’un zéro d’une fonction \(f\) \(C^\infty\) l’entier \(p\) minimal tel que \(f^{(p)}(a)\neq 0\). Si un tel entier n’existe pas, le zéro est dit d’ordre infini.
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Ordre
[ Definition ]
On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).
Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).
Ordre
[ Definition ]
On appelle \(m\) l’ordre du zéro de \(f\) en \(a\).
Si \(f\) est holomorphe sur un ouvert \(\Omega\) privé d’un point \(a\), et n’est pas holomorphe en \(a\), on dit que \(f\) admet une singularité isolée en \(a\).
Ordre
[ Definition ]
On appelle ordre d’une valeur propre d’un endomorphisme en dimension finie le degré de multiplicité de cette valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.
Une matrice en dimension finie est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme trigonalisable.
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On appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre \({\lambda}\) de l’endomorphisme \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie le sous-espace vectoriel \(Ker\ (f-{\lambda}.I)^m\) avec \(m\) l’ordre de la valeur propre \({\lambda}\).
Un endomorphisme en dimension finie est dit diagonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice diagonale.
Une matrice en dimension finie est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire si elle représente un endomorphisme diagonalisable.
Un endomorphisme en dimension finie est dit trigonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice triangulaire.
Orientation
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(2\) ou \(3\). Orienter \(E\) revient à choisir une base \(e\) de \(E\). Si \(e'\) une autre base de \(E\), on dit qu’elle est directe si elle est de même sens que \(E\) et indirecte sinon.
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Orientation d’un plan dans l’espace
[ Definition ]
Étant donnés un plan \(\mathscr P\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) à ce plan, il existe une unique orientation du plan \(\mathscr P\) telle que pour toute base orthonormale directe \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de ce plan, le triplet \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right)\) forme une base orthonormale directe de \(\mathscr E\). On dit que le plan \(\mathscr P\) est orienté par \(\overrightarrow{n}\).
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Origine d’un repère
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
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Orthogonal
[ Definition ]
\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont dits orthogonaux si \(=<y|x>=0\).
Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthonormale si \(<x_i|x_j>=\delta_{i,j}\).
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Deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux pour tout \((x,y)\) dans \(X\times Y\).
On appelle orthogonal d’une partie \(X\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des \(y\) tels que \(=0\) pour tout \(x\) dans \(X\).
Une famille \((x_i)_{i\in I}\) est dite orthogonale si \(i\not=j \to <x_i|x_j>=0\).
Orthogonal d’une partie
[ Definition ]
Soit \(A \subset E\) une partie de \(E\). On définit l’orthogonal de \(A\) comme étant le sous-ensemble de \(E\) noté \(A^{\perp}\) et donné par : \[A^{\perp}=\{ x\in E ~|~ \forall a\in A, \left( x
\mid a \right)=0 \}\]
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Orthogonales
[ Definition ]
On dit que :
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Orthogonalisation de Gauss
[ Théorème ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(q\) une forme quadratique sur \(E\). Alors, avec \(r\) le rang de \(q\), il existe \(r\) formes linéaires indépendantes sur \(E\), \(f_1\),...,\(f_r\) tels que \[q=\sum_{i=1}^r
\epsilon_i f_i^2\quad \text{ avec}\quad \epsilon_i\in \{-1,1\}.\]
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Orthogonalité
[ Definition ]
Étant données \(q\) une forme quadratique et \(\phi\) sa forme polaire:
\(\bullet\)Une forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout \(x\) on a \(q(x,x)
\geq 0\) (resp. \(q(x,x) \leq 0\)).
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\(\bullet\)\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont orthogonaux si et seulement si \(\phi(x,y)=0\)
\(\bullet\)deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si et seulement si tout \(x\) dans \(X\) et tout \(y\) dans \(Y\) sont orthogonaux.
\(\bullet\)On appelle orthogonal d’une partie \(X\) de \(E\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de \(X\).
\(\bullet\)On appelle noyau de \(q\) l’orthogonal de \(E\) (à ne pas confondre avec le cône isotrope de \(q\)); on le note \(N(q)\).
\(\bullet\)On appelle cône isotrope de \(q\) et on note \(C(q)\) l’ensemble des \(x\) tels que \(q(x)=0\) (à ne pas confondre avec le noyau de \(q\)). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.
\(\bullet\)Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\).
\(\bullet\)Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à \(\{0\}\).
\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.
\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit totalement isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est nulle.
Orthogonalité et espaces supplémentaires
[ Proposition ]
\(\bullet\)Si \(F\) et \(G\) sont supplémentaires, alors \(F\) et \(G\) sont orthogonaux si et seulement si \(G\) est l’orthogonal de \(F\).
Orthogonaux
[ Definition ]
Étant donné \(x\) dans \(E\) et \(u\) dans \(E^*\), on dit que \(x\) et \(u\) sont orthogonaux si et seulement si \(u(x)=0\)
Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E^*\) on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E\) et on note \(A^o\) l’ensemble des \(x\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).
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Étant donnée une partie non vide \(A\) de \(E\), on appelle orthogonal de \(A\) dans \(E^*\) et on note \(A^\bot\) l’ensemble des \(u\) orthogonaux à tous les éléments de \(A\).
Orthonormal
[ Definition ]
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
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Orthonormale
[ Definition ]
Soit \(\mathscr B(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base \(\mathscr B\) est orthogonale. Si ils sont de plus unitaires, on dit que \(\mathscr B\) est orthonormale.
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Orthonormales
[ Definition ]
Soit \(e=(e_1,\dots,e_n)\) une base de
\(E\). On dit que \(e\) est une base
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