Lexique mathématique

Lexique mathématique

N
nombre composé
[ Definition ]
Un entier \(n \in \mathbb{N}\) est dit premier si \(n\geqslant 2\) et si ses seuls diviseurs dans \(\mathbb{N}\), sont \(1\) ou lui-même : \[\forall k \in \mathbb{N}^*,~ k | n \Rightarrow k \in \llbracket 1, n\rrbracket\] On note \(\mathbb{P}\) l’ensemble des nombres premiers. Si un entier \(n \in \mathbb{N}\) n’est pas premier, on dit qu’il est composé.
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Nombre de Néper
[ Definition ]
On appelle nombre de Néper l’unique réel \(e\) vérifiant \(\ln e=1\).
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Nombre imaginaire pur
[ Proposition ]
  1. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle \[\boxed{z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \mathop{\mathrm{Im}}(z)=0}\]

  2. Si un nombre complexe a sa partie réelle nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. On notera \(i \mathbb{R}\) l’ensemble des nombres imaginaires purs \[\boxed{z\in i\mathbb{R}\Leftrightarrow \mathop{\rm Re}(z)=0}\]

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Nombre premier
[ Definition ]
Un entier \(n \in \mathbb{N}\) est dit premier si \(n\geqslant 2\) et si ses seuls diviseurs dans \(\mathbb{N}\), sont \(1\) ou lui-même : \[\forall k \in \mathbb{N}^*,~ k | n \Rightarrow k \in \llbracket 1, n\rrbracket\] On note \(\mathbb{P}\) l’ensemble des nombres premiers. Si un entier \(n \in \mathbb{N}\) n’est pas premier, on dit qu’il est composé.
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Nombres conjugués
[ Definition ]
On dit que deux réels \(p\) et \(q\) sont conjugués si ils sont tous les deux dans \([1,\infty]\) et si \[\frac1p+\frac1q=1\]
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Nombres premiers entre eux
[ Definition ]
On dit que deux nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand diviseur commun est \(1\), autrement dit si et seulement si \(a\wedge b=1\).
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Norme
[ Definition ]
On appelle norme sur \(E\) une application : \(\left\|\cdot\right\|:E\rightarrow \mathbb{R}\) vérifiant :
  1. \(\forall x\in E,\quad \left\|x\right\|=0 \Rightarrow x=0\).

  2. \(\forall x\in E,\quad \forall \lambda \in \mathbb{R},\quad \left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\).

  3. \(\forall x,y\in E,\quad \left\|x+y\right\|\leqslant\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\) (Inégalité triangulaire).

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Norme
[ Definition ]

Soit \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}\), avec \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\). Une norme sur \(E\) est une application \(\parallel . \parallel\) de \(E\) dans \([0,+\infty[\) vérifiant:

\(\bullet\)\(\parallel x \parallel = 0\) si et seulement si \(x=0\)

\(\bullet\)\(\forall x,y \in E\), on a \(\parallel x + y \parallel \leq \parallel x \parallel + \parallel y \parallel\)

\(\bullet\)\(\forall \lambda \in \mathbb{K}\) \(\forall x \in E\) on a \(\parallel \lambda . x \parallel = | \lambda | \parallel x \parallel\)

S’il ne manque que la première propriété, on parle de semi-norme.

On appelle vecteur unitaire un vecteur \(x\) tel que \(\parallel x \parallel=1\).

Un espace muni d’une norme est appelé espace normé ou espace vectoriel normé.

Dans un espace normé une série \((\sum x_n)\) est dite normalement convergente si \(\sum_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}\) converge.

Enfin une définition nécessitant la notion de continuité (définie ultérieurement): on appelle isomorphisme de l’espace vectoriel normé \(E\) dans l’espace vectoriel normé \(F\) une application linéaire continue bijective de réciproque continue (c’est-à-dire qu’il s’agit d’un morphisme algébrique (i.e. au sens des espaces vectoriels ) et d’un homéomorphisme).
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Norme associée au produit scalaire
[ Proposition ]
La norme euclidienne \(\left\|\cdot\right\|\) associée à un produit scalaire \(\left( \cdot \mid \cdot \right)\) sur \(E\) est une norme sur \(E\).
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Norme d’une application linéaire
[ Definition ]

Si \(\phi\) est une application linéaire entre espaces normés, on définit sa norme \(\parallel \phi \parallel\) par \(\parallel \phi \parallel = sup \{\parallel \phi(x) \parallel / \parallel x \parallel \leq 1 \}\)

Cette norme peut a priori être infinie - ce qui signifie donc que l’appellation « norme », bien que classique, est abusive. Il ne s’agit d’une norme qu’en se restreignant à l’ensemble des applications pour lesquelles cette « norme » est finie.
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Norme d’un vecteur
[ Definition ]
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de \(\mathscr V\) possédant \(\overrightarrow{AB}\) comme représentant dans \(\mathscr V\)\(A,B\in\mathscr E\). On appelle norme de \(\overrightarrow{u}\) et on note \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|\) la longueur \(AB\).
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Norme du produit vectoriel de deux vecteurs
[ None ]
Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\): \[\boxed{\left\| \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \right\| = |\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})| = \left\|\overrightarrow{u}\right\|.\left\|\overrightarrow{v}\right\|.\left|\sin(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}})\right|}\]
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Norme euclidienne associée à un produit scalaire
[ Definition ]
On définit la norme euclidienne associée à un produit scalaire \(\left( \cdot \mid \cdot \right)\) par : \[\forall x\in E, \quad \boxed{ \left\| x \right\| = \sqrt{ \left( x \mid x \right) } }.\]
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Normes équivalentes
[ Definition ]
Deux normes \(\parallel . \parallel_1\) et \(\parallel . \parallel_2\) sur un même espace vectoriel sont équivalentes si il existe \(\alpha,\beta> 0\) tels que \(\alpha.\parallel x \parallel_1 < \parallel x \parallel_2 < \beta.\parallel x \parallel_1\)
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Normes \(N_p\)
[ Definition ]
Si \(p\in [1,+\infty[\) alors on note \(N_p\) l’application qui à une fonction \(f\) de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\) ou de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) associe \((\int |f|^p)^{\frac1p}\).

On appelle majorant essentiel d’une fonction \(f\) tout \(M\) dans \((0,+\infty]\) tel que \(|f(x)| \leq M\) pour presque tout \(x\).

Si \(p=+\infty\) alors on note \(N_\infty\) l’application qui à une fonction \(f\) de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\) ou de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) associe la borne \(\inf\) des majorants essentiels de \(f\). \(N_\infty(f)\) est appelée borne supérieure essentielle de \(f\).

On dit qu’une fonction est essentiellement bornée si \(N_\infty(f)\) est fini.

On note \({\cal L}^p(X,\mu)\) ou \({\cal L}^p(X)\) lorsqu’il n’y a pas ambiguité l’ensemble des fonctions \(f\) mesurables de \((X,\mu)\) dans \(\mathbb{R}\) telles que \(N^p(f)\) est fini.

Pour la relation \({\cal R}\) définie par \[f {\cal R}g \iff f(x)=g(x) \mbox{ presque partout}\] on note \(L^p(X,\mu)\) ou \(L^p(X)\) l’ensemble des classes d’équivalence de l’ensemble des applications de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) contenant au moins une fonction de \({\cal L}^p(X,\mu)\).

On définit de même \({\cal L}^p_\mathbb{C}(X,\mu)\), \(L^p_\mathbb{C}(X,\mu)\), \({\cal L}^p_\mathbb{C}(X)\) et \(L^p_\mathbb{C}(X)\), en considérant des fonctions à valeur dans \(\mathbb{C}\).

On note \(l^p(X)\) l’espace \(L_\mathbb{C}(X,\mu)={\cal L}_\mathbb{C}(X,\mu)\) avec \(\mu\) la mesure du dénombrement (il y a identité entre \(L(\mathbb{N})\) et \({\cal L}(\mathbb{N})\) car le seul ensemble négligeable est l’ensemble vide).

On note \(l^p\) l’espace \(L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)={\cal L}^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)=L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N})={\cal L}^p_\mathbb{C}(\mathbb{N})\), avec \(\mu\) la mesure du dénombrement.

Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable de somme \(x\) si pour tout \(\epsilon\) il existe \(J \subset I\) finie telle que pour tout \(K\) fini telle que \(J \subset K \subset I\) on ait \(|x-\sum_{i \in K} x_i| \leq \epsilon\).
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Notations
[ Definition ]
On considère un anneau \((A, +, \times)\). Soit un élément \(a\in A\) et un entier \(n\in \mathbb N\). On note
  • \(na= \begin{cases} \underbrace{a+\dots +a}_{n \textrm{ fois }} & \textrm{ si } n \neq 0 \\ 0 & \textrm{ si } n=0 \end{cases}\)

  • \((-n)a = n(-a)= \underbrace{(-a)+\dots + (-a)}_{n \textrm{ fois}}\)

  • \(a^n = \begin{cases} \underbrace{a\times \dots \times a} _{n \textrm{ fois} }& \textrm{ si } n \neq 0 \newline 1 & \textrm{ si } n=0 \end{cases}\)

  • \(a^{-n}\) n’a de sens que si \(a\) est inversible pour \(\times\). On a alors \(a^{-n} = \left( a^{-1}\right)^n\).

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Noyau
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. On appelle :
  • Noyau de \(f\) et on note \(\operatorname{Ker}f\) le sous-ensemble de \(E\) : \(\operatorname{Ker} f=\left\{x\in E ~|~ f\left(x\right)=0_F\right\}\)

  • Image de \(f\) et on note \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) le sous-ensemble de \(F\) : \(\mathop{\mathrm{Im}} f=\left\{f\left(x\right) ~|~ x\in E\right\}\).

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Noyau
[ Definition ]
On considère un morphisme de groupes \(f~:~G_1\mapsto G_2\). On note \(e_1\) l’élément neutre du groupe \(G_1\) et \(e_2\) l’élément neutre du groupe \(G_2\). On définit
  • le noyau du morphisme \(f\) : \[\operatorname{Ker}f = \{x \in G_1 \mid f(x) = e_2 \} = f^{-1}\bigl(\{e_2\}\bigr)\]

  • l’image du morphisme \(f\) : \[\mathop{\mathrm{Im}}f = f(G_1) = \{y \in G_2 \mid \exists x \in G_1~ f(x) = y \}\]

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Noyau et cône isotrope d’une forme quadratique positive
[ None ]
\(\bullet\)Si \(q\) est positive alors \(N(q)=C(q)\). \(\bullet\)Si \(q\) est positive alors \(q\) est définie si et seulement si elle est non-dégénérée.
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Numérotation standard d’un simplexe
[ Definition ]
Étant donnée une triangulation \(\Delta_i\) d’un simplexe \(\Delta\), on note \(S\) l’ensemble des sommets des éléments de cette triangulation. On appelle numérotation standard d’une triangulation d’un simplexe de sommets \(x_0,...,x_n\) une application \(f\) de \(S\) dans \([[0,n]]\) telle que \(f(x_i)=i\) et si pour tout \(s\) dans \(S\) \(f(s)=i\) pour un certain \(i\) tel que \(x_i\) est un sommet de la face de \(\Delta\) de dimension minimale contenant \(x\).
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Numérotation standard d’un simplexe
[ Definition ]
Etant donnée une triangulation \(\Delta_i\) d’un simplexe \(\mathbb{D}\), on note \(S\) l’ensemble des sommets des éléments de cette triangulation. On appelle numérotation standard d’une triangulation d’un simplexe de sommets \(x_0,...,x_n\) une application \(f\) de \(S\) dans \(\{0,n\}\) telle que \(f(x_i)=i\) et si pour tout \(s\) dans \(S\) \(f(s)=i\) pour un certain \(x_i\) tel que \(x_i\) est un sommet de la face de \(\Delta\) de dimension minimale contenant \(x\).
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