Lexique mathématique

a B C D E

Majorant

[ Definition ]

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ (ou de $\mathbb{Q}$) et soit $a\in\mathbb{R}$. On dit que $a$ est

un majorant de $A$ si et seulement si $\forall x\in A,\quad x\leqslant a$.
un minorant de $A$ si et seulement si $\forall x\in A,\quad a\leqslant x$.

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Majorée

[ Definition ]

Une suite (réelle ou non, du moins dans un espace ordonné et métrique) est dite majorée, minorée, bornée, finie, si son image est majorée, minorée, bornée, finie.

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Marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$

[ Definition ]

Un processus adapté $X$ est une martingale si, pour tout $n$, $X_n$ appartient à $L^1$ et l’espérance conditionnelle vérifie $E(X_n | {\cal F}_{n-1})=X_{n-1}$.

Un processus adapté $X$ est une surmartingale si, pour tout $n$, $X_n$ appartient à $L^1$ et l’espérance conditionnelle vérifie $E(X_n | {\cal F}_{n-1})\leq X_{n-1}$.

Un processus adapté $X$ est une sous-martingale si, pour tout $n$, $X_n$ appartient à $L^1$ et l’espérance conditionnelle vérifie $E(X_n | {\cal F}_{n-1})\geq X_{n-1}$.

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Matrice

[ Definition ]

Soit $\mathbb{K}$ un corps et $q,p\in\mathbb{N}^*$. On appelle matrice à $q$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ toute application : \[A: \left\{ \begin{array}{ccl} \llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline \left(i,j\right) & \longmapsto & a_{i,j} \end{array} \right.\] que l’on note :

Le coefficient de $A$ qui se trouve à l’intersection de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne est noté $a_{i,j}$ ou $\left[A\right]_{i,j}$:
1. $i$ représente l’indice de ligne.
2. $j$ représente l’indice de colonne.
On dit aussi que $A$ est une matrice $q\times p$ ou une matrice $\left(q,p\right)$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.
On note $\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ l’ensemble des matrices à $q$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$.

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Matrice associée à une famille finie de vecteurs

[ Definition ]

Étant donnée une famille de vecteurs $(x_1,...,x_p)$ d’un espace vectoriel de dimension finie $n$ et une base $(v_1,...,v_n)$ de $E$, on appelle matrice associée à la famille des $x_i$ et à la base des $v_i$ la matrice $M$ définie par $M_{i,j}=v_i^*(x_j)$.

On appelle rang d’une matrice $M$ le rang de la famille de ses vecteurs colonnes. On le note $rg(M)$.

Une matrice $N$ extraite de $M$, avec $N$ carrée inversible d’ordre le rang de $M$, est appelée matrice principale de $M$.

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Matrice associée à une famille finie de vecteurs

[ Definition ]

Etant donnée une famille de vecteurs $(x_1,...,x_p)$ d’un espace vectoriel de dimension finie $n$ et une base $(v_1,...,v_n)$ de $E$, on appelle matrice associée à la famille des $x_i$ et à la base des $v_i$ la matrice $M$ définie par $M_{i,j}=v_i^*(x_j)$.
On appelle rang d’une matrice $M$ le rang de la famille de ses vecteurs colonnes. On le note $rg(M)$.
Une matrice $N$ extraite de $M$, avec $N$ carrée inversible d’ordre le rang de $M$, est appelée matrice principale de $M$.

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Matrice canonique d’une application linéaire en dimension finie

[ Proposition ]

Soit $f$ une application linéaire entre $E$, espace vectoriel de dimension $p$, et $F$, espace vectoriel de dimension $n$; soit $r$ le rang de $f$. Alors il existe une base $B$ de $E$ et une base $B'$ de $F$ telles que \[Mat_{B,B'}(f)=M\] \[\begin{aligned} & \mbox{avec }& M_{i,j}=1 \mbox{ si $i=j \leq r$}\newline & &M_{i,j}=0 \mbox{ sinon}\end{aligned}\] On appelle cette matrice matrice canonique de $f$.

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Matrice canonique d’une application linéaire en dimension finie

[ Proposition ]

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Matrice carrée

[ Definition ]

On appelle matrice carrée une matrice de type $(n,n)$ pour un certain $n$. On note ${\cal M}_n(\mathbb{K})={\cal M}_{n,n}(\mathbb{K})$.
On appelle matrice d’un endormophisme $f$ associée à une base $B$ (finie) la matrice $Mat_{B,B}(f)$; on la note aussi $Mat_B(f)$.
On appelle diagonale d’une matrice carrée $M$ de type $(n,n)$ le vecteur $(M_{1,1},...,M_{i,i},...,M_{n,n})$.
On appelle trace d’une matrice carrée $M$ la somme $\sum_{i=1}^n M_{i,i}$. On la note $tr(M)$. L’application $M \to tr(M)$ est une application linéaire.
On appelle matrice unité d’ordre $n$ la matrice $M$ avec $M_{i,j}=\delta_{i,j}$. C’est la matrice dans toute base de l’endomorphisme identité.
On appelle matrice scalaire une matrice égale à ${\lambda}.I$ avec ${\lambda}$ un scalaire et $I$ une matrice unité. C’est la matrice dans toute base de l’homothétie de rapport ${\lambda}$.
On appelle matrice diagonale associée à un $n$-uplet $m$ la matrice $M$ de type $(n,n)$ définie par $M_{i,i}=m_i$ et $M_{i,j}=0$ si $i\neq j$. On note $M=diag(m)$.
Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.
Une matrice $M$ est dite antisymétrique si elle est égale à l’opposée de sa transposée, c’est-à-dire si $^tM=-M$.
Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si $j<i \to M_{i,j}=0$
On note ${\cal T}_n^s$ l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre $n$.
Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si $j>i \to M_{i,j}=0$
On note ${\cal T}_n^i$ l’ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d’ordre $n$.

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Matrice carrée

[ Definition ]

On appelle matrice carrée une matrice de type $(n,n)$ pour un certain $n$. On note ${\cal M}_n(\mathbb{K})={\cal M}_{n,n}(\mathbb{K})$.

On appelle matrice d’un endormophisme $f$ associée à une base $B$ (finie) la matrice $Mat_{B,B}(f)$; on la note aussi $Mat_B(f)$.

On appelle diagonale d’une matrice carrée $M$ de type $(n,n)$ le vecteur $(M_{1,1},...,M_{i,i},...,M_{n,n}).$

On appelle trace d’une matrice carrée $M$ la somme $\sum_{i=1}^n M_{i,i}$. On la note $tr(M)$. L’application $M \to tr(M)$ est une application linéaire.

On appelle matrice unité d’ordre $n$ la matrice $M$ avec $M_{i,j}=\delta_{i,j}$. C’est la matrice dans toute base de l’endomorphisme identité.

On appelle matrice scalaire une matrice égale à ${\lambda}.I$ avec ${\lambda}$ un scalaire et $I$ une matrice unité. C’est la matrice dans toute base de l’homothétie de rapport ${\lambda}$.

On appelle matrice diagonale associée à un $n$-uplet $m$ la matrice $M$ de type $(n,n)$ définie par $M_{i,i}=m_i$ et $M_{i,j}=0$ si $i\neq j$. On note $M=diag(m)$.

Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.

Une matrice $M$ est dite antisymétrique si elle est égale à l’opposée de sa transposée, c’est-à-dire si $^tM=-M$.

Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si $j<i \to M_{i,j}=0$

On note ${\cal T}_n^s$ l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre $n$.

Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si $j>i \to M_{i,j}=0$

On note ${\cal T}_n^i$ l’ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d’ordre $n$.

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Matrice carrée

[ Definition ]

Une matrice possédant autant de lignes que de colonnes est dite carrée. On note $\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ l’ensemble des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes.

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Matrice circulante associée au $n$-uple $(x_1,...,x_n)$

[ Definition ]

On appelle matrice circulante associée au $n$-uple $(x_1,...,x_n)$ la matrice $M$ définie par $M_{i,j}=x_{j-i \mbox{ (modulo $n$) }}$, c’est-à-dire \[\left(\begin{array}{ccccc} x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\ x_n & x_1 & x_2 & \ddots & x_{n-1} \\ x_{n-1} & x_n & x_1 & \ddots & x_{n-2} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x_2 & x_3 & x_4 & \dots & x_1 \newline \end{array}\right)\]

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Matrice colonne

[ Definition ]

Une matrice colonne est une matrice qui ne possède qu’une seule colonne.
Une matrice ligne est une matrice qui ne possède qu’une seule ligne.

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Matrice de changement de base

[ Definition ]

Soient $e=\left(e_1,\dots,e_n\right)$ et deux bases du $\mathbb{K}-$espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On appelle matrice de passage de $e$ à $f$ (ou matrice de changement de base) et on note $P_{e \rightarrow f}$ la matrice de la famille $\left(f_1,\ldots,f_n\right)$ relativement à la base $e$ : \[P_{e \rightarrow f}=\textrm{ Mat}_{e}\left(f_1,\ldots,f_n\right)\]

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Matrice de passage

[ Definition ]

On appelle matrice de passage de la base $(e_i)$ à la base $(f_j)$ la matrice $P$ de type $(n,n)$ définie par $P_{i,j}=e_i^*(f_j)$; on la note $P_{(e_i),(f_j)}$. Il s’agit en fait de la matrice $Mat_{(f_j),(e_i)}(Id)$.

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Matrice de passage

[ Definition ]

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Matrice de $\phi$ dans la base ${\cal B}$

[ Definition ]

Étant donnée une forme bilinéaire $\phi$ sur $E$, on appelle matrice de $\phi$ dans la base ${\cal B}$ la matrice $M$ définie par \[M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)\] On la note $Mat_B(\phi)$.

Réciproquement, on appelle forme bilinéaire sur $E$ associée à la matrice $M$ et à la base $B$ l’application $\phi$ définie par \[\phi(x,y)=^tX.M.Y\] avec $X$ le vecteur défini par $X_i=e_i^*(x)$ et $Y$ le vecteur défini par $Y_i=e_i^*(y)$.

La forme bilinéaire canoniquement associée à une matrice $M$ de type $(n,n)$ est la forme bilinéaire associée à cette matrice dans $\mathbb{K}^n$, muni de sa base canonique.

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Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases

[ Definition ]

Soient:

$E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $e=\left(e_1,\ldots,e_p\right)$ une base de $E$.
$F$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $q$ et $f=\left(f_1,\ldots,f_q\right)$ une base de $F$.
$u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)$.

On appelle matrice de $u$ relativement aux bases $f$ et $e$ et on note $\textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right)$ (ou $\textrm{ Mat}_{e,f}\left(u\right)$) la matrice $q\times p$ donnée par :

où $\left(a_{1j},\dots,a_{qj}\right)$ sont les composantes du vecteur $u\left(e_j\right)$ dans la base $f$.

Autrement dit : $\textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right)$ est la matrice de la famille de vecteurs $\left(u\left(e_1\right),\ldots,u\left(e_p\right)\right)$ relativement à la base $f$ : \[\textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right)= \textrm{ Mat}_{f}\left(u\left(e_1\right),\ldots,u\left(e_p\right)\right).\]

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Matrice d’une famille de vecteurs relativement à une base

[ Definition ]

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $q$ et $e=\left(e_1,\ldots,e_q\right)$ une base de $E$. On considère $\left(v_1,\ldots,v_p\right)$ une famille de $p$ vecteurs de $E$ qui se décomposent dans la base $e$ sous la forme : \[\forall j\in\llbracket 1,p\rrbracket \quad v_j=\sum_{i=1}^q a_{i,j}e_i.\] On appelle matrice de la famille $\left(v_1,\ldots,v_p\right)$ relativement à la base $e$ et on note $\textrm{ Mat}_{e}\left(v_1,\ldots,v_p\right)$ la matrice :

La $j$-ème colonne de cette matrice est constituée des coordonnées du vecteur $v_j$ dans la base $e$.

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Matrice d’une forme linéaire relativement à une base

[ Definition ]

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $e=\left(e_1,\ldots,e_n\right)$ une base de $E$. Si $\varphi$ est une forme linéaire sur $E$, on appelle matrice de $\varphi$ relativement à la base $e$ la matrice ligne $1\times n$ donnée par : \[\textrm{ Mat}_{e}\left(\varphi\right)=\left(\varphi\left(e_1\right),\dots,\varphi\left(e_n\right)\right)\]

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Matrice d’une forme quadratique dans une base $B$

[ Definition ]

On appelle matrice d’une forme quadratique dans une base $B$ la matrice de sa forme polaire dans la base $B$.

On note $Mat_B(q)$ la matrice de la forme quadratique $q$ dans la base $B$.

On appelle rang de $q$ la rang de sa matrice dans une base quelconque (le rang est indépendant de la base).

On appelle discriminant d’une forme quadratique $q$ dans une base $B$ le déterminant de la matrice de $q$ dans la base $B$.

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Matrice d’un endomorphisme dans une base

[ Definition ]

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $e$ une base de $E$. Soit $u\in \mathfrak{L}\left(E\right)$ un endomorphisme de $E$. On appelle matrice de l’endomorphisme $u$ dans la base $e$ la matrice notée $\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)$ et donnée par : \[\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right) = \textrm{ Mat}_{e \gets e}\left(u\right)\] Remarquons que $\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)$ est une matrice carrée : $\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$.

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Matrice d’une permutation

[ Definition ]

On appelle matrice de la permutation $\sigma\in \sigma_n$ la matrice $M$ de type $(n,n)$ définie par $M_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}$.

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Matrice d’un vecteur relativement à une base

[ Definition ]

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $e=\left(e_1,\ldots,e_n\right)$ une base de $E$. Soit $x\in E$ un vecteur qui se décompose sur la base $e$ en : \[x= x_1e_1+\dots + x_n e_n\] On appelle matrice de $x$ relativement à la base $e$ et on note $\textrm{ Mat}_{e}\left(x\right)$ la matrice colonne donnée par : \[\textrm{ Mat}_{e}\left(x\right)= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\newline x_n \end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{n,1}\left(\mathbb{K}\right)\] où $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^n x_i e_i}$

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Matrice identité

[ Definition ]

On appelle matrice identité et on note $I_n$ la matrice de $\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ donnée par : \[I_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots &0 \newline 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\] Tous ses coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale et qui valent $1$.

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Matrice inversible

[ Definition ]

On dit qu’une matrice carrée $A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ est inversible si et seulement si il existe $B\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ tel que : \[AB=I_n \quad \textrm{ et} \quad BA=I_n\] Si tel est le cas $B$ est unique et est appelée matrice inverse de la matrice $A$; on la note $A^{-1}$. L’ensemble des matrices de taille $n$ est noté $GL_{n}\left(\mathbb{K}\right)$.

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Matrice jacobienne

[ Definition ]

Un cas particulier important est le cas où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $F=\mathbb{R}^m$; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme: \[\left( \begin{array}{cccc} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\delta f_m}{\delta x_1} & \frac{\delta f_m}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_m}{\delta x_n} \newline \end{array} \right)\] Si $n=m$, la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant, appelé jacobien de $f$.

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Matrice ligne

[ Definition ]

Une matrice colonne est une matrice qui ne possède qu’une seule colonne.
Une matrice ligne est une matrice qui ne possède qu’une seule ligne.

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Matrice nulle

[ Definition ]

On dit que $A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ est la matrice nulle de $\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On la note : $0_{\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)}$ ou $0$ lorsqu’aucune confusion n’est à craindre.

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Matrices élémentaires

[ Definition ]

Pour tout $i\in\llbracket 1,q\rrbracket$ et $j\in\llbracket 1,p\rrbracket$ on définit la matrice élémentaire $E_{i,j}\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ par :

Tous les coefficients de la matrice élémentaire $E_{i,j}$ sont nuls sauf celui à l’intersection de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne qui vaut $1$.

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Matrices élémentaires de type $(n,p)$

[ Definition ]

On appelle matrices élémentaires de type $(n,p)$ les matrices $E_{i,j}$ avec $E_{i,j}(a,b)=\delta_{a,i}.\delta_{b,j}$; c’est-à-dire les matrices de type $(n,p)$ ne comportant qu’un $1$ (en position $(i,j)$) et des $0$ partout ailleurs.

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Matrices élémentaires de type $(n,p)$

[ Definition ]

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Matrices équivalentes

[ Definition ]

Deux matrices $A,B\in \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ sont dites équivalentes si et seulement s’il existe deux matrices inversibles $Q\in GL_{q}\left(\mathbb{K}\right)$ et $P\in GL_{p}\left(\mathbb{K}\right)$ telles que $A = QBP^{-1}$.

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Matrices équivalentes

[ Definition ]

Deux matrices $A$ et $B$ de même type $(n,p)$ sont dites équivalentes si il existe $P$ et $Q$ des matrices inversibles de types respectifs $(p,p)$ et $(n,n)$ telles que \[B=Q.A.P\]

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Matrices équivalentes

[ Definition ]

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Matrices orthogonales

[ Definition ]

On dit qu’une matrice $A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })$ est orthogonale si et seulement si : \[{A}^{\mathrm{T}}A=I_n .\] On note $\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} )$ l’ensemble des matrices orthogonales.

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Matrice $M$ associée à $q$

[ Definition ]

Étant donnée $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ espace hermitien et $q$ une forme quadratique hermitienne sur $E$ de forme polaire $\phi$, on définit la matrice $M$ associée à $q$ ou matrice associée à $\phi$ par $M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$. On note $M=Mat_{(e_i)}(\phi)$ ou $M=Mat_{(e_i)}(q)$.

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Matrices scalaires

[ Definition ]

Une matrice $D\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ est diagonale si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad i\neq j \Rightarrow d_{i,j}=0\] \[D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 &\ddots & \vdots\\ \vdots& \ddots & \ddots & 0 \newline 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}.\] On notera $D=\mathrm{Diag}\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_2\right)$ ainsi que $\mathcal{D}_n\left(\mathbb{K}\right)$ l’ensemble des matrices diagonales de taille $n$.
Les matrices diagonales de la forme $\mathrm{Diag}\left(\lambda,\ldots,\lambda\right)$ où $\lambda\in\mathbb{K}$ sont appelées matrices scalaires.

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Matrices semblables

[ Definition ]

Deux matrices carrées $A$ et $B$ de même type sont dites semblables s’il existe une matrice inversible $P$ telle que \[A=P.B.P^{-1}\]

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Matrices semblables

[ Definition ]

Deux matrices carrées $A,B\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P telle que $A = PBP^{-1}$.

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Matrices semblables

[ Definition ]

Deux matrices carrées $A$ et $B$ de même type sont dites semblables s’il existe une matrice inversible $P$ telle que \[A=P.B.P^{-1}\]

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Matrices $E_{pq}$

[ Definition ]

Pour $(p,q) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2$, on définit la matrice \[E_{pq} = \left( \delta_{ip} \delta_{iq}\right)_{1\leqslant i,j \leqslant n} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) .\] Les coefficients de cette matrice sont tous nuls, sauf le coefficient à la ligne $p$ et à la colonne $q$ qui vaut $1_{\mathbb{K} }$.

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Matrices symétriques

[ Definition ]

Soit $A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$.

On dit que $A$ est symétrique si et seulement si ${A}^{\mathrm{T}}=A$ c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=a_{i,j}\] L’ensemble des matrices symétriques de taille $n$ est noté $\mathcal{S}_n\left(\mathbb{K}\right)$.
On dit que $A$ est antisymétrique si et seulement si ${A}^{\mathrm{T}}=-A$ c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=-a_{i,j}\] L’ensemble des matrices antisymétriques de taille $n$ est noté $\mathcal{A}_n\left(\mathbb{K}\right)$ à $n$ lignes et $n$ colonnes.

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Matrices triangulaires

[ Definition ]

On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice $A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ vérifiant $\forall i < j, a_{ij} = 0$. On appelle matrice triangulaire supérieure toute matrice $A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ vérifiant $\forall i > j, a_{ij} = 0$.

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Matrice triangulaire supérieure

[ Definition ]

On dit que $T\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$ est triangulaire supérieure lorsque : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad i>j \Rightarrow t_{i,j}=0\] $T$ est de la forme : \[T=\begin{pmatrix} t_{11} & & \dots & t_{1n} \\ 0 & t_{22} & & \\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots \newline 0 & \dots & 0 & t_{nn} \end{pmatrix}\] On note $\mathcal{T}_n\left(\mathbb{K}\right)$ l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille $n$.

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Maximum

[ Definition ]

Soient $f:U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ et $M_0\in U$. On dit que $M_0$ est :

un maximum local (respectivement un maximum local strict) de $f$ si et seulement si il existe un voisinage $V$ de $M_0$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)<f\left(M_0\right)\]
un minimum local (respectivement un minimum local strict) de $f$ si et seulement si il existe un voisinage $V$ de $M_0$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)>f\left(M_0\right)\]
un extremum local si $M_0$ est un maximum ou un minimum local.
un maximum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right)\]
un minimum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right)\]
un extremum global si $M_0$ est un maximum ou un minimum global.

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Mesure

[ Definition ]

Étant donné $(X,{\cal A})$ mesurable, on appelle mesure une application $\mu:{\cal A}\rightarrow [0,+\infty]$ telle que:

$\bullet$$\mu(\emptyset)=0$

$\bullet$Si les $A_i$ sont disjoints, en quantité au plus dénombrable, alors $\mu(\cup A_i)=\sum \mu(A_i)$ ($\sigma$ additivité)

$(X,{\cal A},\mu)$ est appelé espace mesuré.

Étant donné $(X,{\cal A})$ mesurable, on appelle mesure complexe une application $\mu:{\cal A}\rightarrow \mathbb{C}$ telle que:

$\bullet$$\mu(\emptyset)=0$

$\bullet$Si les $A_i$ sont disjoints, en quantité au plus dénombrable, alors $\mu(\cup A_i)=\sum \mu(A_i)$ ($\sigma$ additivité) quel que soit l’ordre de la sommation - c’est-à-dire que la somme est absolument convergente.

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Mesure algébrique

[ Definition ]

Soit $D$ une droite de $\mathscr P$ orientée par un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$. Soient $A$ et $B$ deux points distincts de $D$. La mesure algébrique $\overline{AB}$ est l’unique réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{u}$.

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Mesure finie ou $\sigma$ -finie

[ Definition ]

$(X,{\cal A},\mu)$ mesuré, $\mu$ est finie si $\mu(X)<+\infty$.

$(X,{\cal A},\mu)$ mesuré, $\mu$ est $\sigma$-finie si $\exists ((X_k)_{k\in \mathbb{N}} \in {\cal A}^\mathbb{N}) ; \cup_k X_k=X \land \mu(X_k)<\infty$

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Mesure image

[ Definition ]

Étant donnée $f$ une application mesurable d’un espace $\Omega$ doté d’une mesure $\mu$ dans $\mathbb{R}$ muni des boréliens, on note $\mu^f$ la mesure appelée mesure image de $\mu$ par $f$ définie sur l’ensemble des boréliens de $\mathbb{R}$ par \[\mu^f(E)=\mu\left(f^{-1}(E) \right).\]

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Méthode de Laplace

[ Théorème ]

Soit $f$ une fonction $C^2$ sur $]a,b[$, avec $(a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2$, telle que $f$ admette un maximum unique en $c\in]a,b[$, avec $f''(c)<0$, $f$ n’ayant pas $f(c)$ pour valeur d’adhérence pour $x\to a$ ni pour $x\to b$, et soit $g$ une fonction continue sur $]a,b[$ avec $g(c)\neq 0$.

On suppose en outre que pour tout $t$ l’intégrale \[\int_a^b |g(x)|e^{tf(x)}dx\mbox{ est convergente}.\] \[\mbox{Alors }\int_a^b g(x)e^{tf(x)}dx \simeq_{t\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi}g(c)e^{tf(c)}}{\sqrt{-tf''(c)}}\]

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Méthode d’intégration par parties

[ Proposition ]

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On suppose que :

$u$ et $v$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$.

alors \[\boxed{\int_{a}^{b} u'\left(t\right)v\left(t\right)\,\textrm{d}t=\left[{u\left(t\right)v\left(t\right)}\right]_{a}^{b}- \int_{a}^{b} u\left(t\right)v'\left(t\right)\,\textrm{d}t}\]

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Méthode du pivot de Gauss

[ Théorème ]

La méthode de Gauss consiste à :
1) permuter les lignes pour avoir un coefficient non nul en haut à gauche de la matrice; ce coefficient est appelé pivot
2) soustraire la première ligne multipliée par un coefficient adéquat à chacune des autres lignes de manière à avoir des zéros sur toute la première colonne en dehors du premier coefficient) Procéder de même sur la matrice extraite, simplement dépourvue de sa première ligne et sa première colonne.

Le point $1)$ pourra toujours être réalisé si on trouve toujours un coefficient non nul à échanger; pour peu que la matrice soit inversible, cette condition sera toujours vérifiée. Si elle ne l’est pas, on peut travailler sur la matrice extraite par suppression de la première colonne.

En réitérant cette méthode, on arrive à obtenir une matrice triangulaire supérieure. En fait la matrice obtenue est de la forme illustrée sur la figure [matobt], du moins après permutation des colonnes.

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Méthode du pivot de Gauss

[ Proposition ]

Par une suite d’oel, on peut transformer une matrice inversible en une matrice triangulaire supérieure (inversible!).

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Méthode du pivot de Gauss

[ Théorème ]

(déterminants avec deux colonnes identiques)
La méthode de Gauss consiste à :

1) permuter les lignes pour avoir un coefficient non nul en haut à gauche de la matrice; ce coefficient est appelé pivot

2) soustraire la première ligne multipliée par un coefficient adéquat à chacune des autres lignes de manière à avoir des zéros sur toute la première colonne en dehors du premier coefficient

3) Procéder de même sur la matrice extraite, simplement dépourvue de sa première ligne et sa première colonne.

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Métrique

[ Definition ]

Une métrique ou distance sur l’ensemble $X$ est une application $d:X \times X \rightarrow [0,+\infty[$ vérifiant:

$\bullet$$d(x,y)=0 \iff x=y$

$\bullet$$d(x,y)=d(y,x)$

$\bullet$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ (propriété dite inégalité triangulaire)

On dit alors que $(X,d)$ est un espace métrique.

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Métrisabilité de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact

[ Proposition ]

On suppose $X$ localement compact, réunion dénombrable de compacts $K_n$, $\forall m,K_m \subset K_{m+1}$, $Y$ métrique; alors la topologie engendrée par la distance \[d(f,g)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k} \frac{N_{K_k}(f,g)}{1+N_{K_k}(f,g)}\] admet pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur tout compact au sens de la définition [frincon].

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Métrisabilité: topologie de convergence uniforme

[ Proposition ]

Lorsque $X$ est un espace topologique compact, et si on se limite à l’ensemble $C^0(X,F)$ des applications continues de $X$ dans $F$ (métrique) alors la topologie définie par la distance $d(f,g)=sup_X d(f(x),g(x))$ sur $C^0(X,Y)$ est telle que les suites convergentes sont les suites uniformément convergentes au sens de la définition [frincon].

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Métrisable

[ Definition ]

Une topologie est dite métrisable si et seulement si il existe une métrique telle que la topologie soit associée à cette métrique.

Deux métriques $d_1$ et $d_2$ sont dites équivalentes si il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha d_1 < d_2 < \beta d_1$ 2, avec $\alpha,\beta> 0$.

Deux métriques sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie.

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Milieu de $xy$

[ Definition ]

Étant donné $X$ un espace affine , le point $x + \frac12 \overrightarrow{xy}=y+\frac12 \overrightarrow{yx}$ est appelé milieu de $xy$. C’est le barycentre de $(x,\frac12)$ et $(y,\frac12)$.

On appelle symétrie une application affine $f$ d’un espace affine dans lui-même telle que $f \circ f = I$ (i.e. $f$ est involutive).

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Mineur,cofacteur

[ Definition ]

Soit $A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)$.

On appelle mineur d’indice $\left(i,j\right)$ le déterminant $\Delta_{i,j}$ de la matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de la matrice $A$.
On appelle cofacteur d’indice $\left(i,j\right)$ et on note $A_{i,j}$ le scalaire $A_{i,j}=\left(-1\right)^{i+j}\Delta_{i,j}$.

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Mineur et cofacteur

[ Definition ]

Le déterminant de la matrice $M$ à laquelle on ôte la $j$-ième colonne et la $i$-ième ligne est appelé mineur $(i,j)$ de $M$. On le note généralement $\Delta_{i,j}$.
Le déterminant de la matrice $M$ à laquelle on ôte la $j$-ième colonne pour la remplacer par le $i$-ième vecteur de la base est appelé cofacteur $(i,j)$ de $M$. On le note généralement $\gamma_{i,j}(M)$.
La matrice $\gamma$ ainsi définie est appelée comatrice de $M$. On la note généralement $com(M)$.
La matrice $^t\gamma$ est appelée matrice complémentaire de $M$. On la note généralement $\tilde M$.

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Mineur et cofacteur

[ Definition ]

Le déterminant de la matrice $M$ à laquelle on ôte la $j$-ième colonne et la $i$-ième ligne est appelé mineur $(i,j)$ de $M$. On le note généralement $\Delta_{i,j}$.

Le déterminant de la matrice $M$ à laquelle on ôte la $j$-ième colonne pour la remplacer par le $i$-ième vecteur de la base est appelé cofacteur $(i,j)$ de $M$. On le note généralement $\gamma_{i,j}(M)$.

La matrice $\gamma$ ainsi définie est appelée comatrice de $M$. On la note généralement $com(M)$.

La matrice $^t\gamma$ est appelée matrice complémentaire de $M$. On la note généralement $\tilde M$.

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Mineurs

[ Definition ]

Soit un déterminant d’une matrice $n\times n$. \[\Delta= \begin{vmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \newline a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}.\]

On note $m_{i,j}$ le déterminant $(n-1)\times (n-1)$ obtenu en barrant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $\Delta$. Le scalaire $m_{i,j}$ s’appelle le mineur relatif à $a_{ij}$
On appelle cofacteur de $\Delta$ relatif à $a_{i,j}$, le scalaire $\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}m_{i,j}.$

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Minimum

[ Definition ]

Soient $f:U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ et $M_0\in U$. On dit que $M_0$ est :

un maximum local (respectivement un maximum local strict) de $f$ si et seulement si il existe un voisinage $V$ de $M_0$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)<f\left(M_0\right)\]
un minimum local (respectivement un minimum local strict) de $f$ si et seulement si il existe un voisinage $V$ de $M_0$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)>f\left(M_0\right)\]
un extremum local si $M_0$ est un maximum ou un minimum local.
un maximum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right)\]
un minimum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right)\]
un extremum global si $M_0$ est un maximum ou un minimum global.

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Minimum relatif

[ Definition ]

On dit que $f$ admet un minimum relatif ou minimum local en $x\in U$ si il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que pour tout $v$ dans $V$ $f(x)\leq f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum relatif strict ou minimum local strict en $x\in U$ si il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que pour tout $v\neq x$ dans $V$ $f(x) < f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum global en $x\in U$ si pour tout $v$ dans $U$ $f(x)\leq f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum global strict en $x\in U$ si pour tout $v\neq x$ dans $U$ $f(x) < f(v)$.

On définit de même les notions de maximum relatif, maximum relatif strict, maximum global, maximum global strict, en remplaçant les $\leq$ par des $\geq$ et les $<$ par des $>$.

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Minimum relatif

[ Definition ]

On dit que $f$ admet un minimum relatif ou minimum local en $x\in U$ si il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que pour tout $v$ dans $V$ $f(x)\leq f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum relatif strict ou minimum local strict en $x\in U$ si il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que pour tout $v\neq x$ dans $V$ $f(x) < f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum global en $x\in U$ si pour tout $v$ dans $U$ $f(x)\leq f(v)$.

On dit que $f$ admet un minimum global strict en $x\in U$ si pour tout $v\neq x$ dans $U$ $f(x) < f(v)$.

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Minorant

[ Definition ]

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ (ou de $\mathbb{Q}$) et soit $a\in\mathbb{R}$. On dit que $a$ est

un majorant de $A$ si et seulement si $\forall x\in A,\quad x\leqslant a$.
un minorant de $A$ si et seulement si $\forall x\in A,\quad a\leqslant x$.

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Minorée

[ Definition ]

On dit qu’une suite réelle $\left(u_n\right)$ est :

majorée lorsque le sous-ensemble $\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N}\right\}$ est majoré dans $\mathbb{R}$, c’est-à-dire lorsque : \[\exists M\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant M\]
minorée lorsque le sous-ensemble $\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N} \right\}$ est minoré dans $\mathbb{R}$, c’est-à-dire lorsque : \[\exists m\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \geqslant m\]
bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

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Minorée

[ Definition ]

Soit $f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)$. On dit que $f$ est:

Majorée si et seulement si $\exists M \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \leqslant M$.
Minorée si et seulement si $\exists m \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \geqslant m$.
Bornée si elle est majorée et minorée.

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Module d’un nombre complexe

[ Definition ]

Soient $z=a+i\,b$ un nombre complexe et $M$ son image dans $\mathscr P$. On appelle module de $z$ le réel positif ou nul noté $|z|$ et donné par : \[|z|=||\overrightarrow{OM}||\]

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Moment centré

[ Definition ]

Le moment centré d’ordre $n$ de la variable aléatoire $X$ est défini par $\mathbb E[(X-m_1)^n]$ où $m_1=\mathbb E(X)$ .

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Moment d’ordre $k$

[ Definition ]

On appelle moment d’ordre $k$ de la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ l’espérance de $X^k$ (quand elle existe). On appelle moment centré d’ordre $k$ de la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ l’espérance de $(X-E(X))^k$.

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Monotone

[ Definition ]

On dit qu’une suite réelle $\left(u_n\right)$ est

croissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant u_{n+1}\]
décroissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+1} \leqslant u_n\]
monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

On dit que $\left(u_n\right)$ est strictement croissante , strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l’inégalité correspondante est stricte.

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Monotones

[ Proposition ]

Soit une fonction $f : I \mapsto \mathbb{R}$. On suppose que

$f$ est dérivable sur $I$.

Alors on a les résultats suivants :

$\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \geqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f$ est croissante sur $I$.
$\left[\forall x\in I, \quad f'(x) > 0\right]$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement croissante sur $I$.
$\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \leqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f$ est décroissante sur $I$.
$\left[\forall x\in I, \quad f'(x) < 0 \right]$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement décroissante sur $I$.
$\left[\forall x\in I, \quad f'(x) = 0\right] \Longleftrightarrow f$ est constante sur $I$.

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Morphisme

[ Definition ]

Soient deux groupes $(G_1, \star)$ et $(G_2, \bullet)$. Une application $f~:~G_1\longrightarrow G_2$ est un morphisme de groupes ou homomorphisme si et seulement si : \[\forall (x,y)\in G_1^2, \quad f( x\star y) = f(x) \bullet f(y)\]

On dit de plus que $\varphi$ est un :

endomorphisme lorsque $G_1=G_2$
isomorphisme lorsque $f$ est bijective
automorphisme lorsque $f$ est un endomorphisme et un isomorphisme.

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Morphisme d’anneaux

[ Definition ]

Une application $f$ d’un anneau $(A,+,\times)$ vers un anneau $(B,+,\times)$ est un morphisme d’anneaux (ou homomorphisme) si:

$\bullet$$f$ est un morphisme du groupe $(A,+)$ vers le groupe $(B,+)$

$\bullet$$f(x.y)=f(x).f(y)$ pour tout $(x,y) \in A^2$

$\bullet$$f(1_A)=1_B$

On appelle alors noyau de $f$ l’ensemble $ker\ f$ des $x \in A$ tels que $f(x)=0$.

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Morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres

[ Definition ]

Un morphisme d’algèbre est une application qui est à la fois un morphisme d’anneaux sur les anneaux sous-jacents et un morphisme d’espaces vectoriels sur les espaces vectoriels sous-jacents.

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Morphisme d’ordre

[ Definition ]

On appelle morphisme d’ordre entre deux ensembles ou classes ordonnés $A$ et $B$ une application $f$ de $A$ vers $B$ telle que $f(a)\geq f(b) \iff a \geq b$. Un morphisme d’ordre bijectif est appelé isomorphisme d’ordre. S’il existe un isomorphisme d’ordre entre deux ensembles ou classes alors on dit que ces ensembles ou classes sont isomorphes pour l’ordre.

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Moyenne de Cesaro

[ Théorème ]

On se donne une suite $u_n$ à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$. Soit ${\lambda}_n$ une suite de réels $>0$, telle que $\sum {\lambda}_n$ diverge.

Si $u_n \to l$, alors $v_n \to l$, avec $v_n=\frac{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k.u_k}{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k}$.

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Multiplication d’applications $p$-linéaires alternées

[ Definition ]

Etant donnée une application $\phi$ bilinéaire de $F\times G$ dans $H$, on définit une multiplication d’applications $p$-linéaires alternées par: \[{\cal A}_p(E,F) \times {\cal A}_q(E,G) \to {\cal A}_{p+q}(E,H)\] \[(f,g) \mapsto f \land_\phi g\] définie par \[(f\land_\phi g)(x_1,\dots,x_{p+q})=\sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) \phi(f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dots,x_{\sigma(p)}),g(x_{\sigma(p+1)},x_{\sigma(p+2)},\dots,x_{\sigma(p+q)}))\] La sommation étant étendue à l’ensemble des permutations $\sigma$ de $[1,n]$ telles que $\sigma(1) < \sigma(2) < \dots < \sigma(p)$ et $\sigma(p+1) < \sigma(p+2) < \dots < \sigma(p+q)$.

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Multiplication d’une matrice par un scalaire

[ Proposition ]

Soient $A=\left(a_{i,j}\right),B=\left(b_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$. On définit $A+B$ comme étant la matrice $C=\left(c_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ donnée par : \[\forall \left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket, \quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}.\]
Soit $A=\left(a_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ et $\lambda\in\mathbb{K}$. On définit $\lambda\cdot A$ comme étant la matrice $D=\left(d_{i,j}\right)\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)$ donnée par : \[\forall \left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket, \quad d_{i,j}=\lambda a_{i,j}\]

Muni de ces deux lois $\left(\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right),+,\cdot\right)$ est un $\mathbb{K}-$espace vectoriel.

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