Lexique mathématique

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L
La convergence simple correspond-elle à une topologie ?
[ Proposition ]
Soit l’espace \(Y^X\) des applications de \(Y\) dans \(X\), avec \(Y\) un espace topologique. La topologie produit sur \(Y^X\) a pour suites convergentes les suites simplement convergentes. C’est pourquoi on appelle cette topologie la topologie de la convergence simple.
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La dérivée d’une fonction est identiquement nulle sur un intervalle et seulement si cette fonction est constante sur cet intervalle
[ Théorème ]
Soit \(f:I \rightarrow R\). On suppose que:
  1. \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\).

alors la fonction \(f\) est constante si et seulement si \(\forall x \in I\), \(f'(x) = 0\).
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La fonction exponentielle complexe est un morphisme du groupe \(\left(\mathbb{C},+\right)\) dans le groupe \(\left(\mathbb{C}^*,\times\right)\)
[ Proposition ]
\[\forall z,z'\in\mathbb{C}, \quad \boxed{e^{z+z'}=e^z e^{z'}} \qquad \forall z\in \mathbb{C}, \quad \boxed{\left(e^z\right)^{-1}=\left(e^{-z}\right)}\]
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La somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité est nulle
[ Proposition ]
Soit un entier \(n\geqslant 2\). On a : \(\boxed{1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}= \displaystyle{\sum_{z \in \mathbb U_n}^{ }} z = 0}\).
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Lebesguiens
[ Definition ]
La tribu obtenue à partir de la tribu des boréliens en appliquant le théorème [lebesg] s’appelle tribu des lebesguiens. Les éléments de cette tribu sont appelés les lebesguiens. On dit qu’un ensemble est Lebesgue-mesurable si c’est un lebesguien.
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Le cas des suites
[ Proposition ]

Soit \(x_n\) une suite dans un espace topologique \(X\).

\(\bullet\)Les limites de suites extraites sont des valeurs d’adhérence

\(\bullet\)Si une valeur d’adhérence a une base dénombrable de voisinages, alors c’est la limite d’une suite extraite.
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Le centre d’un p-groupe non trivial est non trivial
[ Proposition ]
Si \(G\) est un \(p\)-groupe de cardinal \(>1\) alors son centre est de cardinal \(>1\).
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Lemme Chinois
[ Corollaire ]
Si \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux alors \[(\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z},+) \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+) \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z},+).\]
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Lemme d’Abel
[ Corollaire ]
Soit \(z\) un nombre complexe tel que la suite \(a_n.z^n\) soit bornée. Alors pour tout \(z'\) tel que \(|z'|<|z|\), la série \(\sum a_n.z'\,^n\) est absolument convergente, et donc \(z'\) appartient au domaine de convergence de la série entière.
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Lemme de Dynkin
[ Corollaire ]
Soit \(I\) un \(\Pi\)-système, alors la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \(I\), notée \(\sigma(I)\), est égale au d-système engendré par \(I\).
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Lemme de Fatou
[ Corollaire ]
Avec \(f_n\) de \(X\) vers \([0,+\infty]\) mesurable, on a \(\int liminf\ f_n \leq liminf \int f_n\).
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Lemme de Lebesgue
[ Corollaire ]
Soit \((X,d)\) un espace métrique tel que toute suite contienne une sous-suite convergente. Si \(V_i\) est un recouvrement ouvert de \(X\), alors il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(x \in X\), il existe \(i\) tel que \(B(x,\epsilon) \subset V_i\).
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Lemme de Scheffé
[ Corollaire ]
Supposons que \(f_n\) soit une suite de fonctions \({\cal L}^1\) de \((S,\mu)\) dans \(\mathbb{R}\), et supposons que pour presque tout \(x\) \(f_n(x) \to f(x)\) quand \(n \to +\infty\). Alors \[\int |f_n|.d\mu \to \int |f|.d\mu\] \[\mbox{si et seulement si }\int |f_n-f|.d\mu \to 0\]
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Lemme de Sperner
[ Corollaire ]
Toute triangulation d’un simplexe de dimension \(n\) munie d’une numérotation standard possède un élément numéroté \((0,...,n)\), c’est-à-dire de sommets numérotés \(0\), \(1\), \(2\), …, \(n\) (pour chaque \(i\in [[0,n]]\), un des sommets de cet éléments est numéroté \(i\), et un seulement).
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Lemme de Sperner
[ Corollaire ]
Toute triangulation d’un simplexe de dimension \(n\) munie d’une numérotation standard possède un élément numéroté \((0,...,n)\).
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Lemme de Steinitz
[ Corollaire ]
Si \(E\) est non réduit à \(\{0\}\), \(E\) admettant une famille génératrice \(I\) de cardinal \(n\), toute famille de \(n+1\) vecteurs (ou plus) est liée.
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Lemme de Steinitz
[ Corollaire ]
Si \(E\) est non réduit à \(\{0\}\), \(E\) admettant une famille génératrice \(I\) de cardinal \(n\), toute famille de \(n+1\) vecteurs (ou plus) est liée.
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Lemme d’Euclide
[ Corollaire ]
Si \(A\) est un anneau factoriel, alors si \(p\) est irréductible et divise \(x.y\), alors \(p\) divise \(x\) ou \(p\) divise \(y\).
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Lemme de Zorn
[ Corollaire ]
Tout ensemble non vide ordonné inductif admet un élément maximal.
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Lemme d’Urysohn
[ Théorème ]
Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) contenant \(K\), alors il existe une fonction \(f\) \(C^\infty\) à support compact telle que \(\chi_K \leq f \leq \chi_\Omega\).
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Lemme d’Urysohn
[ Corollaire ]
Soit \(X\) un espace topologique séparé localement compact, \(U\) un ouvert de \(X\), \(K\) un compact de \(X\) inclus dans \(U\). Alors il existe une fonction \(f\) continue de \(X\) dans \([0,1]\) telle que \[\begin{aligned} x \in K \to f(x)&=1\newline x \not \in U \to f(x)&=0 \end{aligned}\]
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lemme pour la version forte
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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lemme pour la version forte
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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L’ensemble des solutions d’une équation différentielle homogène est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel
[ Proposition ]
Soit l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre \[\forall t\in I, \quad a\left(t\right)y'\left(t\right)+b\left(t\right)y\left(t\right)=0 \quad (E).\] Alors toute combinaison linéaire de solutions de \((E)\) est encore solution de \((E)\).

Autrement dit, si \(\varphi\) et \(\psi\) sont des solutions de \(\left(E\right)\) alors, pour tout couple de scalaires \((\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\), la fonction \(\alpha\varphi+ \beta \psi\) est encore solution de \(E\).

On dit que \(S_\mathbb{K}(E)\) possède une structure d’espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\).
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Le produit mixte est alterné
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Si deux de ces trois vecteurs sont égaux alors le produit mixte de ces trois vecteurs \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est nul.
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Le produit mixte est antisymétrique
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\).
  • On change le signe du produit mixte de trois vecteurs en permutant deux de ces trois vecteurs : \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(1\right)\] \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w},\overrightarrow{v}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(2\right)\] \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(3\right)\]

  • Le produit mixte est invariant par permutation circulaire  \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) \quad \left(4\right)\]

On résume ces trois propriétés en disant que le produit mixte est antisymétrique.
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Le produit vectoriel est antisymétrique
[ Proposition ]
Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont éléments de \(\mathscr V\) alors \[\boxed{\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}= - \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\]
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Le produit vectoriel est bilinéaire
[ None ]
L’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V\times \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \newline (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) & \longmapsto & \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \end{array} \right.\] est bilinéaire. Autrement dit, pour tout vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tout réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} \wedge(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} \wedge\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} \wedge\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2})\wedge\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}\wedge\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} \wedge\overrightarrow{v}}.\]
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Le résultat tant attendu
[ Théorème ]
Tout fermé de \(\mathbb{R}^n\) s’exprime comme zéro d’une fonction \(C^\infty\).
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Les graphes des fonctions arcsinus et arccosinus sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=\pi/4\)
[ Proposition ]
\[\begin{aligned} \forall x\in\left[-1,1\right], & & \boxed{\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arccos} x=\dfrac{\pi}{2}}\end{aligned}\]
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Les racines \(n\)-ièmes de l’unité sont de la forme \(\omega_k=e^{{\scriptstyle{2ik\pi}\over\scriptstyle n}}\)\(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\)
[ Proposition ]
Notons \(\omega = e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\). Il y a exactement \(n\) racines \(n\)-ièmes de l’unité. Elles sont données par les puissances de \(\omega\) : \(\omega^k\)\(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\) \[\boxed{\mathbb U_n= \Bigl\{\omega^k~\mid~k \in [\kern-0.127em[ 0, n-1 ]\kern-0.127em] \Bigr\} = \Bigl\{ e^{{\scriptstyle{2ik\pi}\over\scriptstyle n}}~\mid~k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket \Bigr\} }\]
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Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace de coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) dans \(\mathscr R\) et de coordonnées cylindriques par rapport à \(\mathscr R\) \(\left(r,\theta,z\right)\). On a : \[\boxed{\begin{cases} x=r\cos \theta \\ y= r\sin \theta \newline z=z \end{cases}}\]
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Lien entre les coordonnées sphériques et les coordonnées cartésiennes
[ Proposition ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace de coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) dans \(\mathscr R\) et de coordonnées sphériques \(\left(r,\theta,\varphi\right)\). On a : \[\boxed{\begin{cases} x=r\sin \varphi \cos \theta\\ y= r\sin \varphi\sin\theta \newline z=r\cos \varphi \end{cases}}\]
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Liens entre différentiabilité sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\)
[ Proposition ]
Un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel peut aussi être considéré comme un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant \(E\) et \(F\) en tant que \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels par \(E\) et \(F\) en tant que \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour \(\mathbb{C}\) est différentiable pour \(\mathbb{R}\); par contre la réciproque n’est pas garantie dans le cas général; il faut que la différentielle sur \(\mathbb{R}\) soit définie et que la différentielle sur \(\mathbb{R}\) soit linéaire en tant qu’application entre \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels (c’est-à-dire appartienne à \({\cal L}_{\mathbb{C}}(E,F)\)).
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ligne brisée
[ Definition ]

Un arc ou chemin est une application continue de \([0,1]\) dans \(X\). L’image de \(0\) et l’image de \(1\) sont les extrémités de l’arc.

On appelle longueur d’un arc \(C^1\) l’intégrale de la norme de sa dérivée, lorsque cette intégrale est bien définie.
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Ligne de niveau
[ Definition ]
Soit \(\alpha\) un réel. Une partie \(\mathscr A\) du plan est une ligne de niveau \(\alpha\) d’une fonction \(F:\mathscr P\longrightarrow\mathbb{R}\) si \(\mathscr A\) est solution de l’équation \(F(M)=\alpha\). \[M\in \mathscr A \Leftrightarrow F(M)=\alpha\]
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L’image d’un cercle dans l’espace par une projection orthogonale est une ellipse
[ Proposition ]
L’image d’un cercle \(\mathscr C\) de l’espace par une projection orthogonale sur un plan \(\mathscr P\) non perpendiculaire au plan contenant \(\mathscr C\) est une ellipse de \(\mathscr P\).
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Limite
[ Definition ]
Soit \(f:X \setminus \{x_0\} \rightarrow Y\), avec \(x_0 \in X\). On dit que \(y\) est une limite de \(f\) en \(x_0\), si pour tout voisinage \(V\) de \(y\) dans \(Y\), la réunion \(f^{-1}(V) \cup \{x_0\}\) est un voisinage de \(x_0\).
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Limite d’une famille de droites dans le plan
[ Definition ]
On dit qu’une famille de droites \((D_t)_{i \in I\setminus\{t_0\}}\) passant par un même point \(M\) admet une limite lorsque \(t \rightarrow t_0\) s’il existe une famille \((\overrightarrow{u}(t))_{ t \in I \setminus \{t_0\}}\) de vecteurs directeurs de ces droites possédant un vecteur limite \(\overrightarrow{l}\) non-nul lorsque \(t \rightarrow t_0\). La droite \(D = M + \mathop{\mathrm{Vect}}(\overrightarrow{l})\) s’appelle la limite de \((D_t)\).
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Limite en un point d’une application vectorielle
[ Definition ]
Soient \(\overrightarrow{l}=(l_1,l_2)\) un vecteur de \(\mathbb{R}^2\), \(t_0\in I\) et \(\overrightarrow{F}\) une application vectorielle définie sur \(I\). On dit que \(\overrightarrow{F}\left(t\right)\) converge vers \(l\) quand \(t\) tend vers \(t_0\) et on note : \[\overrightarrow{F} (t) \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} \overrightarrow{l}\] lorsque \(\left\| \overrightarrow{F} (t) - \overrightarrow{l} \right\| \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} 0\).
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Limites aux bornes du domaine de définition
[ Proposition ]
\[\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} -\infty \quad \textrm{ et} \quad\ln x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\]
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Limites usuelles pour \(\exp\)
[ Proposition ]
  • \(\exp{x}\) est prépondérant devant \(x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)  : \(\boxed{\dfrac{\exp x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty}\).

  • \(\exp{x}\) est négligeable devant \(\dfrac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) : \(\boxed{x\exp x \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{} 0}\).

  • \(\exp{x}\) est dérivable en \(x=0\) de dérivée égale à \(1\)  : \(\boxed{\dfrac{\exp x-1}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1}\).

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Limites usuelles pour \(\ln\)
[ Proposition ]
  • \(\ln x \textrm{ est négligeable devant }x \textrm{ quand }x \textrm{ tend vers } +\infty\)  : \(\boxed{\dfrac{\ln x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0 }\).

  • \(\ln x \textrm{ est négligeable devant }\dfrac{1}{x} \textrm{ quand }x \textrm{ tend vers } 0\) : \(\boxed{x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} 0 }\).

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Limites usuelles pour \(\ln\)
[ Proposition ]
  • La fonction \(ln\) est dérivable en \(1\) et \(\ln ' 1=1\) \(\boxed{\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1} \xrightarrow[x\rightarrow 1]{} 1 }\).

  • Cette limite s’écrit aussi sous la forme \(\boxed{\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1}\).

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Liste de propriétés du produit de convolution
[ Proposition ]

On se donne \(X\), \(Y\) et \(Z\) des variables aléatoires réelles et \(P^X\), \(P^Y\) et \(P^Z\) leurs lois.

\(\bullet\)Le produit de convolution de la loi \(P^X\) par une masse de Dirac située4 en \(0\) est la loi \(P^X\) elle-même.

\(\bullet\)Le produit de convolution de \(P^X\) par une masse de Dirac située en \(x\) est la loi de \(X+x\).

\(\bullet\)Le produit de convolution est commutatif, associatif.

\(\bullet\)Le produit de convolution est distributif, au sens suivant; pour \(t\) dans \([0,1]\), on a: \[P^X*(t.P^Y+(1-t).P^Z)=t.P^X*P^Y+(1-t).P^X*P^Z.*\]
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Localement compact
[ Definition ]
Un espace topologique est localement compact s’il est séparé et si tout point possède un voisinage compact.
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Localement connexe (par arcs)
[ Definition ]
Un espace est localement connexe (resp. par arcs) si tout point de l’espace possède une base de voisinage connexes (resp. par arcs).
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localement lipschitzienne
[ Definition ]
Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques telle que pour tout \(x\) il existe un voisinage de \(x\) sur lequel la restriction de \(f\) est lipschitzienne.
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Logarithme de base \(a\)
[ Definition ]
Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de \(1\): \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\). On appelle logarithme de base \(a\) l’application notée \(\log_a\) définie par \[\log_a x: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{\ln x}{\ln a} \end{array} \right.\]
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Logarithme népérien
[ Definition ]
On appelle logarithme népérien et on note \(\ln\) l’unique primitive s’annulant en \(1\) de la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) : \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\). \[\boxed{\ln: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \displaystyle{\int_{1}^{x}} \dfrac{\textrm{ dt}}{t} \end{array} \right. }\]
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Loi de composition interne
[ Definition ]
Soit \(E\) un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de \(E\times E\) dans \(E\) : \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} E\times E & \longrightarrow & E \newline (a,b) & \longmapsto & a\star b \end{array} \right.\]
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loi de probabilité \({\cal L}_X\)
[ Definition ]
Supposons que \(X\) soit une variable aléatoire sur un triplet de probabilité \((\Omega,{\cal F},P)\). \(X\) est alors une application de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}\), et \(P\) est une application de \({\cal F}\) dans \([0,1]\).Alors on définit la loi de probabilité \({\cal L}_X\) de \(X\) par \({\cal L}_X=P \circ (X^{-1})\) (\(X^{-1}\) n’est pas l’application réciproque – non nécessairement bien définie – mais l’application qui à une partie associe son image réciproque); \({\cal L}_X\) est ainsi définie sur l’ensemble des boréliens de \(\mathbb{R}\).
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Loi des grands nombres
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes identiquement distribuées et vérifiant \(E|X_1|<\infty\). Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), presque sûrement, \(S_n/n\to E(X_1)\).

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loi jointe
[ Definition ]

Étant données \(X_1,...,X_n\) des variables aléatoires , on appelle

\(\bullet\)loi jointe de \(X_1,...,X_n\) ou simplement loi de \(X_1,...,X_n\) l’application \(L_{X_1,...,X_n}\) qui à un borélien \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) associe \(P(F)\) avec \(F=\{{\omega}\in \Omega ; (X_1({\omega}),...,X_n({\omega})) \in E \}\).

\(\bullet\)fonction de répartition de \(X_1,...,X_n\) l’application qui à \((x1,...,x_n)\) dans \(\mathbb{R}^n\) associe \(L_{X_1,...,X_n}(]-\infty,x_1],...,]-\infty,x_n])\).

\(\bullet\)densité de probabilité ou simplement densité de \(X_1,...,X_n\) une application \(f\) (quand elle existe!) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) telle que pour tout borélien \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) on ait \(L_{X_1,...,X_n}(E)=\int_E f\). Il s’agit donc en fait simplement de la densité de la loi par rapport à la mesure de Lebesgue. La densité est unique presque sûrement; c’est-à-dire que deux densités d’une même variable aléatoire sont presque sûrement égales.
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Loi \(0-1\) de Kolmogorov
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace de probabilité, et soit \(\tau\) la \(\sigma\)-algèbre  asymptotique des \(X_n\); alors :

\(\bullet\)tout événement asymptotique a une probabilité \(0\) ou \(1\).

\(\bullet\)pour toute variable asymptotique \(Y\), il existe un unique \(z\in [-\infty,+\infty]\) tel que \(P(Y=z)=1\).
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Lusin
[ Théorème ]

Soit \(f\) une application mesurable de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{C}\), dont le support est inclus dans \(E\) de mesure finie. Alors pour tout \(\epsilon>0\) il existe \(g\) continue de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{C}\) telle que:

\(\bullet\)\(\mu(\{x / f(x) \neq g(x)\}) < \epsilon\)

\(\bullet\)\(sup |g(x)| \leq sup |f(x)|\)
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Success message!