Lexique mathématique

Lexique mathématique

L
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire
[ Proposition ]
Soient \(\left(E,+,\cdot\right)\), \(\left(F,+,\cdot\right)\) et \(\left(G,+,\cdot\right)\) trois \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. Si \(f\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et si \(g\in \mathfrak{L}\left(F,G\right)\) alors \(g\circ f \in \mathfrak{L}\left(E,G\right)\)
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La composée de fonctions continues est continue
[ Théorème ]
Soient deux intervalles \(I\) et \(J\). Soit une application \(f\) continue sur \(I\) telle que \(f(I)\subset J\) et \(g\) une application continue sur \(J\). Alors la fonction \(g\circ f\) est continue sur \(I\).
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La convergence simple correspond-elle à une topologie ?
[ Proposition ]
Soit l’espace \(Y^X\) des applications de \(Y\) dans \(X\), avec \(Y\) un espace topologique. La topologie produit sur \(Y^X\) a pour suites convergentes les suites simplement convergentes. C’est pourquoi on appelle cette topologie la topologie de la convergence simple.
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La dérivée d’une fonction est identiquement nulle sur un intervalle et seulement si cette fonction est constante sur cet intervalle
[ Théorème ]
Soit \(f:I \rightarrow R\). On suppose que:
  1. \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\).

alors la fonction \(f\) est constante si et seulement si \(\forall x \in I\), \(f'(x) = 0\).
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La différentielle est nulle en un extremum local
[ Théorème ]
Soient \(f:U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(U\) et \(M_0=(x_0, y_0)\in U\). Si \(M_0\) est un extremum local de \(f\) alors \({\mathrm{d}f}_{M_0}=0\) c’est-à-dire : \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0\).
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La fonction exponentielle complexe est un morphisme du groupe \(\left(\mathbb{C},+\right)\) dans le groupe \(\left(\mathbb{C}^*,\times\right)\)
[ Proposition ]
\[\forall z,z'\in\mathbb{C}, \quad \boxed{e^{z+z'}=e^z e^{z'}} \qquad \forall z\in \mathbb{C}, \quad \boxed{\left(e^z\right)^{-1}=\left(e^{-z}\right)}\]
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La fonction \(F\) est continue sur \(I\)
[ Corollaire ]
Si la fonction \(f\) est continue par morceaux sur l’intervalle \(I\), alors la fonction \(F\) est continue sur \(I\).
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Lagrange
[ Théorème ]
Soit \((G,*)\) un groupe fini. L’ordre de tout élément de \(G\) divise l’ordre de \(G\).
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La matrice d’une isométrie dans une base orthonormale est orthogonale
[ Théorème ]
On considère une base orthonormale \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) d’un espace euclidien \(E\), et un endomorphisme \(u \in L(E)\). Notons \(A = \mathop{\mathrm{Mat}}_{e}(u)\). On a équivalence entre :
  1. \(u\) est un automorphisme orthogonal.

  2. \(A\) est une matrice orthogonale.

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La probabilité \(\delta_a\) de Dirac.
[ Definition ]
La probabilité \(\delta_a\) de Dirac. Si \(a\) est un réel, il s’agit de la probabilité sur \(\mathbb R\) définie par \(\delta_a(A)=0\) si \(a\notin A,\) et \(\delta_a(A)=1\) si \(a\in A.\) Appliquant ceci à \(A=]-\infty,x]\), on obtient la fonction de répartition \[F_{\delta_a}(x)=0\ \mathrm{pour}\ x<a, \ F_{\delta_a}(x)=1\ \mathrm{pour}\ a\leq x.\]
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La signature est un morphisme de groupes
[ Théorème ]
L’application \[\varepsilon: \left\{ \begin{array}{ccl} \bigl(\mathfrak{S}\left(n\right), \circ\bigr) & \longrightarrow & \bigl(\{-1, 1\}, \times\bigr) \newline \sigma & \longmapsto & \varepsilon(\sigma) \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes.
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La somme de deux sous-espaces vectoriels est le plus petit sous-espace vectoriel contenant leur réunion
[ Proposition ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). Alors \(F+G\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\cup G\).
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La somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité est nulle
[ Proposition ]
Soit un entier \(n\geqslant 2\). On a : \(\boxed{1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}= \displaystyle{\sum_{z \in \mathbb U_n}^{ }} z = 0}\).
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La somme de suites convergentes est convergente
[ Théorème ]
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites. On suppose que
  1. \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\),

  2. \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\).

Alors \(u_n+v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l+l'\).
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La suite récurrente reste dans un intervalle stable
[ Proposition ]
Si \(I\) est un intervalle stable par la fonction \(f\) et si \(u_0 \in I\), alors \(\forall n \in \mathbb N\), \(u_n \in I\).
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La valeur absolue d’une suite convergente est convergente
[ Théorème ]
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite convergeant vers \(l\in\mathbb{R}\). Alors \(\boxed{\left|u_n\right|\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \left|l\right|}\)
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Lebesgue
[ Corollaire ]
Soit \(f \in {\mathcal{C}}^[(1) ]{[a,b], \mathbb{C} }\), \[I_n=\displaystyle{\int_{a}^{b}} \sin(nt) f(t) \mathrm{ \;d}t \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\]
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Lebesguiens
[ Definition ]
La tribu obtenue à partir de la tribu des boréliens en appliquant le théorème [lebesg] s’appelle tribu des lebesguiens. Les éléments de cette tribu sont appelés les lebesguiens. On dit qu’un ensemble est Lebesgue-mesurable si c’est un lebesguien.
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Le cas des suites
[ Proposition ]

Soit \(x_n\) une suite dans un espace topologique \(X\).

\(\bullet\)Les limites de suites extraites sont des valeurs d’adhérence

\(\bullet\)Si une valeur d’adhérence a une base dénombrable de voisinages, alors c’est la limite d’une suite extraite.
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Le centre d’un p-groupe non trivial est non trivial
[ Proposition ]
Si \(G\) est un \(p\)-groupe de cardinal \(>1\) alors son centre est de cardinal \(>1\).
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Le déterminant de deux ou trois vecteurs est une forme multilinéaire alternée
[ Proposition ]
Soit \(e\) une base du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).
  • Si \(n=2\), le déterminant est une forme bilinéaire et alternée : pour tout \(u\), \({u_1}\), \({u_2}\), \(v\), \({v_1}\), \({v_2} \in E\) et pour tous scalaires \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a :

    1. Le déterminant est une forme bilinéaire : \[\boxed{\mathop{\rm det}_e( u, \lambda_1 {v_1}+\lambda_2 {v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}_e( u ,{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}_e(u ,{v_2})}\] \[\boxed{\mathop{\rm det}_e(\lambda_1 {u_1}+\lambda_2 {u_2}, v)=\lambda_1\mathop{\rm det}_e( {u_1} ,{v})+\lambda_2\mathop{\rm det}_e({u_2} ,{v})}\]

    2. Le déterminant est alterné : \[\boxed{\mathop{\rm det}_e\left(v,u\right)=-\mathop{\rm det}_e\left(u,v\right)}\]

  • Si \(n=3\), Le déterminant est une forme trilinéaire et alternée : pour tout \(u\), \({u_1}\), \({u_2}\), \(v\), \({v_1}\), \({v_2}\), \(w\), \(w_1\), \(w_2 \in E\) et pour tous scalaires \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a :

    1. Le déterminant est une forme trilinéaire : \[\boxed{\mathop{\rm det}_e(\lambda_1 {u_1}+\lambda_2 {u_2}, v,w)=\lambda_1\mathop{\rm det}_e( {u_1} ,{v},w)+\lambda_2\mathop{\rm det}_e({u_2} ,{v},w)}\] \[\boxed{\mathop{\rm det}_e( u, \lambda_1 {v_1}+\lambda_2 {v_2},w)=\lambda_1\mathop{\rm det}_e( u ,{v_1},w)+\lambda_2\mathop{\rm det}_e( u ,{v_2},w)}\] \[\boxed{\mathop{\rm det}_e( u, v,\lambda_1 {vw_1}+\lambda_2 {w_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}_e( u ,{v},w_1)+\lambda_2\mathop{\rm det}_e( u ,{v},w_2)}\]

    2. Le déterminant est alterné : \[\boxed{\mathop{\rm det}_e\left(u,v,w\right)=-\mathop{\rm det}_e\left(v,u,w\right)=\mathop{\rm det}_e\left(v,w,u\right)=-\mathop{\rm det}_e\left(w,v,u\right) }.\]

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Le déterminant détecte exactement les familles liées
[ Théorème ]
Une famille \((x_1,\dots, x_n)\) est liée si et seulement si \(\mathop{\rm det}_e(x_1,\dots, x_n) = 0_{\mathbb{K} }\).
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Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux
[ None ]
Soit \(A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) une matrice triangulaire:  Alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}A=\prod_{k=1}^n a_{kk}}\]
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Le déterminant est multiplicatif
[ Théorème ]
Si \(u\) et \(v\) sont deux endomorphismes de \(E\), \[\boxed{\mathop{\rm det}(u\circ v) = \mathop{\rm det}(u) \times \mathop{\rm det}(v) }.\]
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Le graphe d’une fonction convexe est situé au dessus de toutes ses tangentes
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) convexe et dérivable. \[\forall x_0\in I,~\forall x\in I, \quad f(x) \geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]
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lemme chinois
[ Corollaire ]
Soient \(n_1, n_2\geq 2\) deux entiers premiers entre eux et \(u_1 n_1 + u_2 n_2= 1\) une équation de Bézout. Soient \(a_1, a_2\in{ \mathbb Z}\) et \(a\in{ \mathbb Z}\) tel que \(a\equiv a_1 u_2 n_2 + a_1 u_1 n_1 (n_1 n_2)\). Alors pour \(x\in{ \mathbb Z}\) on a l’équivalence \[\left. \begin{array}{ccc} x & \equiv & a_1\; (n_1) \newline x & \equiv & a_2\; (n_2) \end{array} \right\} \; \Longleftrightarrow \; x \equiv a\;(n_1 n_2).\]
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Lemme Chinois
[ Corollaire ]
Si \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux alors \[(\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z},+) \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+) \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z},+).\]
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Lemme chinois en termes d’anneaux résiduels
[ Corollaire ]
Soient \(r\) et \(s\) deux entiers \(\geq 2\) et premiers entre eux. Alors l’application \[\Phi : { \mathbb Z}/rs{ \mathbb Z}\rightarrow{ \mathbb Z}/r{ \mathbb Z}\times { \mathbb Z}/s{ \mathbb Z}\: , \; ^{rs}\overline{a} \mapsto (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a})\] est un isomorphisme d’anneaux.
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Lemme d’Abel
[ Corollaire ]
Soit \(z\) un nombre complexe tel que la suite \(a_n.z^n\) soit bornée. Alors pour tout \(z'\) tel que \(|z'|<|z|\), la série \(\sum a_n.z'\,^n\) est absolument convergente, et donc \(z'\) appartient au domaine de convergence de la série entière.
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Lemme d’Abel
[ Corollaire ]
Soient \(r, r_{0}\) des réels tels que \(0<r<r_{0}\). S’il existe un nombre réel (fini) \(M >0\) tel qu’on ait \[\left|a_{n}\right| r_{0}^{n} \leq M \quad \text { pour tout } n \geq 0\] alors \(\sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}\) converge normalement pour \(|z| \leq r .\)
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Lemme de Dynkin
[ Corollaire ]
Soit \(I\) un \(\Pi\)-système, alors la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \(I\), notée \(\sigma(I)\), est égale au d-système engendré par \(I\).
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Lemme de Fatou
[ Corollaire ]
Avec \(f_n\) de \(X\) vers \([0,+\infty]\) mesurable, on a \(\int liminf\ f_n \leq liminf \int f_n\).
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Lemme de Gauss
[ Proposition ]
Si \(P, Q\) et \(R\) sont trois polynômes vérifiant \(\begin{cases} \quad1 \quad P\mid QR\newline \quad 2 \quad P\wedge Q = 1 \end{cases}\) alors \(P\mid R\).
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Lemme de Lebesgue
[ Corollaire ]
Soit \((X,d)\) un espace métrique tel que toute suite contienne une sous-suite convergente. Si \(V_i\) est un recouvrement ouvert de \(X\), alors il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(x \in X\), il existe \(i\) tel que \(B(x,\epsilon) \subset V_i\).
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Lemme de Scheffé
[ Corollaire ]
Supposons que \(f_n\) soit une suite de fonctions \({\cal L}^1\) de \((S,\mu)\) dans \(\mathbb{R}\), et supposons que pour presque tout \(x\) \(f_n(x) \to f(x)\) quand \(n \to +\infty\). Alors \[\int |f_n|.d\mu \to \int |f|.d\mu\] \[\mbox{si et seulement si }\int |f_n-f|.d\mu \to 0\]
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Lemme de Sperner
[ Corollaire ]
Toute triangulation d’un simplexe de dimension \(n\) munie d’une numérotation standard possède un élément numéroté \((0,...,n)\).
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Lemme de Sperner
[ Corollaire ]
Toute triangulation d’un simplexe de dimension \(n\) munie d’une numérotation standard possède un élément numéroté \((0,...,n)\), c’est-à-dire de sommets numérotés \(0\), \(1\), \(2\), …, \(n\) (pour chaque \(i\in [[0,n]]\), un des sommets de cet éléments est numéroté \(i\), et un seulement).
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Lemme de Steinitz
[ Corollaire ]
Si \(E\) est non réduit à \(\{0\}\), \(E\) admettant une famille génératrice \(I\) de cardinal \(n\), toute famille de \(n+1\) vecteurs (ou plus) est liée.
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Lemme de Steinitz
[ Corollaire ]
Si \(E\) est non réduit à \(\{0\}\), \(E\) admettant une famille génératrice \(I\) de cardinal \(n\), toute famille de \(n+1\) vecteurs (ou plus) est liée.
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Lemme des trois pentes
[ Corollaire ]
Soit \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) une fonction convexe : \[\forall (x,y,z)\in I^3,~x<y<z, \quad\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x} \leqslant\dfrac{f(z)-f(y)}{z-y}\]
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Lemme d’Euclide
[ Corollaire ]
Si \(A\) est un anneau factoriel, alors si \(p\) est irréductible et divise \(x.y\), alors \(p\) divise \(x\) ou \(p\) divise \(y\).
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Lemme de Zorn
[ Corollaire ]
Tout ensemble non vide ordonné inductif admet un élément maximal.
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Lemme d’Urysohn
[ Corollaire ]
Soit \(X\) un espace topologique séparé localement compact, \(U\) un ouvert de \(X\), \(K\) un compact de \(X\) inclus dans \(U\). Alors il existe une fonction \(f\) continue de \(X\) dans \([0,1]\) telle que \[\begin{aligned} x \in K \to f(x)&=1\newline x \not \in U \to f(x)&=0 \end{aligned}\]
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Lemme d’Urysohn
[ Théorème ]
Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\), \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) contenant \(K\), alors il existe une fonction \(f\) \(C^\infty\) à support compact telle que \(\chi_K \leq f \leq \chi_\Omega\).
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lemme pour la version forte
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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lemme pour la version forte
[ Théorème ]

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).
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Le noyau et l’image d’un morphisme de groupes sont des sous-groupes
[ Proposition ]
On considère un morphisme de groupes \(f~:~G_1\mapsto G_2\). Alors
  • \(\operatorname{Ker}f\) est un sous-groupe de \(G_1\)

  • \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) est un sous-groupe de \(G_2\).

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L’ensemble des automorphismes d’un groupe est un groupe pour la composition
[ Proposition ]
Si \(\left(G,\star\right)\) est un groupe, on note \({\rm Aut}\left(G\right)\) l’ensemble des automorphismes de \(G\). \(\left({\rm Aut}\left(G\right),\circ\right)\) est un groupe.
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L’ensemble des solutions d’une équation différentielle homogène est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel
[ Proposition ]
Soit l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre \[\forall t\in I, \quad a\left(t\right)y'\left(t\right)+b\left(t\right)y\left(t\right)=0 \quad (E).\] Alors toute combinaison linéaire de solutions de \((E)\) est encore solution de \((E)\).

Autrement dit, si \(\varphi\) et \(\psi\) sont des solutions de \(\left(E\right)\) alors, pour tout couple de scalaires \((\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\), la fonction \(\alpha\varphi+ \beta \psi\) est encore solution de \(E\).

On dit que \(S_\mathbb{K}(E)\) possède une structure d’espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\).
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Le produit mixte est alterné
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Si deux de ces trois vecteurs sont égaux alors le produit mixte de ces trois vecteurs \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est nul.
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Le produit mixte est antisymétrique
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\).
  • On change le signe du produit mixte de trois vecteurs en permutant deux de ces trois vecteurs : \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(1\right)\] \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w},\overrightarrow{v}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(2\right)\] \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)=-\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \quad \left(3\right)\]

  • Le produit mixte est invariant par permutation circulaire  \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) \quad \left(4\right)\]

On résume ces trois propriétés en disant que le produit mixte est antisymétrique.
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Le produit vectoriel est antisymétrique
[ Proposition ]
Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont éléments de \(\mathscr V\) alors \[\boxed{\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}= - \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\]
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Le produit vectoriel est bilinéaire
[ None ]
L’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V\times \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \newline (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) & \longmapsto & \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \end{array} \right.\] est bilinéaire. Autrement dit, pour tout vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tout réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} \wedge(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} \wedge\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} \wedge\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2})\wedge\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}\wedge\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} \wedge\overrightarrow{v}}.\]
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Le projeté \(p(x)\) réalise la meilleure approximation de \(x\) par des vecteurs de \(F\)
[ Théorème ]
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel  de \(E\). Pour tout \(x\in E\), on pose : \[d(x,F)= \inf_{f\in F} \lVert x-f \rVert_{ } .\] Alors :
  1. \(d(x,F)\) est bien défini ;

  2. \(d(x,F)=\lVert x-p(x) \rVert_{ }\)\(p(x)\) est la projection orthogonale de \(x\) sur \(F\) ;

  3. Si \(f\in F\), \(\lVert x-f \rVert_{ } \geqslant\lVert x-p(x) \rVert_{ }\) avec égalité si et seulement si \(f=p(x)\).

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Le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire qu’elle représente
[ Proposition ]
Soient :
  1. \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(p\) muni d’une base \(e\).

  2. \(F\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(q\) muni d’une base \(f\).

  3. \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\).

On sait qu’il existe une unique application linéaire \(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) telle que \(A=\textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right)\) alors on a : \(\boxed{\mathop{\mathrm{rg}}{u}=\mathop{\mathrm{rg}}{A}}\).
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Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée
[ None ]
Pour tout \(A\in\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\), \(\mathop{\mathrm{rg}}\left({A}^{\mathrm{T}}\right)=\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)\).
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Le résultat tant attendu
[ Théorème ]
Tout fermé de \(\mathbb{R}^n\) s’exprime comme zéro d’une fonction \(C^\infty\).
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Les endomorphismes orthogonaux sont des automorphismes
[ Proposition ]
Soit \(u\in \mathrm{O}_{ }(E)\) un endomorphisme orthogonal de \(E\) alors \(u\) est un automorphisme de \(E\) et \(u^{-1}\in \mathrm{O}_{ }(E)\) .
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Les formes \(n\)-linéaires alternées forment une droite vectorielle
[ Théorème ]
Soit \(e=(e_1,\dots, e_n)\) une base d’un espace \(E\) de dimension \(n\). Pour une famille \((x_1,\dots, x_n)\) de \(n\) vecteurs de \(E\), on note \(x_{ij}\) les composantes des vecteurs \(x_j\) dans la base \(e\) : \[\forall j \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em], \quad x_j = \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}} x_{ij} e_i.\]
  1. L’application \[\mathop{\rm det}_{e} : \left\{ \begin{array}{ccl} E^n & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline (x_1,\dots, x_n) & \longmapsto & \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }}\varepsilon(\sigma) x_{\sigma(1),1} \dots x_{\sigma(n), n} \end{array} \right.\] est une forme \(n\)-linéaire alternée appelée déterminant dans la base \(e\).

  2. Toute forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E\) est proportionnelle au déterminant et l’espace \(\mathcal{A}^n(E)\) est une droite vectorielle : \[\mathcal{A}^n(E) = \mathop{\mathrm{Vect}}(\mathop{\rm det}_e), \quad \dim \mathcal{A}^n(E) = 1.\]

  3. \(\mathop{\rm det}_e(e_1,\dots, e_n) = 1_{\mathbb{K} }\).

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Les graphes des fonctions arcsinus et arccosinus sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=\pi/4\)
[ Proposition ]
\[\begin{aligned} \forall x\in\left[-1,1\right], & & \boxed{\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arccos} x=\dfrac{\pi}{2}}\end{aligned}\]
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Les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles
[ Proposition ]
Soient \(\alpha\in\mathbb{K}\) un scalaire et \(P=\left(X-\alpha\right)\) un polynôme de degré \(1\). Alors \(P\) est irréductible.
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Les racines \(n\)-ièmes de l’unité sont de la forme \(\omega_k=e^{{\scriptstyle{2ik\pi}\over\scriptstyle n}}\)\(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\)
[ Proposition ]
Notons \(\omega = e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\). Il y a exactement \(n\) racines \(n\)-ièmes de l’unité. Elles sont données par les puissances de \(\omega\) : \(\omega^k\)\(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\) \[\boxed{\mathbb U_n= \Bigl\{\omega^k~\mid~k \in [\kern-0.127em[ 0, n-1 ]\kern-0.127em] \Bigr\} = \Bigl\{ e^{{\scriptstyle{2ik\pi}\over\scriptstyle n}}~\mid~k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket \Bigr\} }\]
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Les relations \(o\) et \(O\) sont transitives
[ Proposition ]
Soient \(f\), \(g\) et \(h\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\).
  • \(\left[f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad g\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{o}\left(h\left(x\right)\right)\right]\Rightarrow f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{o}\left(h\left(x\right)\right)\)

  • \(\left[f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad g\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{O}\left(h\left(x\right)\right)\right]\Rightarrow f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{O}\left(h\left(x\right)\right)\)

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Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace de coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) dans \(\mathscr R\) et de coordonnées cylindriques par rapport à \(\mathscr R\) \(\left(r,\theta,z\right)\). On a : \[\boxed{\begin{cases} x=r\cos \theta \\ y= r\sin \theta \newline z=z \end{cases}}\]
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Lien entre les coordonnées sphériques et les coordonnées cartésiennes
[ Proposition ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace de coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) dans \(\mathscr R\) et de coordonnées sphériques \(\left(r,\theta,\varphi\right)\). On a : \[\boxed{\begin{cases} x=r\sin \varphi \cos \theta\\ y= r\sin \varphi\sin\theta \newline z=r\cos \varphi \end{cases}}\]
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Liens entre différentiabilité sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\)
[ Proposition ]
Un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel peut aussi être considéré comme un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant \(E\) et \(F\) en tant que \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels par \(E\) et \(F\) en tant que \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour \(\mathbb{C}\) est différentiable pour \(\mathbb{R}\); par contre la réciproque n’est pas garantie dans le cas général; il faut que la différentielle sur \(\mathbb{R}\) soit définie et que la différentielle sur \(\mathbb{R}\) soit linéaire en tant qu’application entre \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels (c’est-à-dire appartienne à \({\cal L}_{\mathbb{C}}(E,F)\)).
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ligne brisée
[ Definition ]

Un arc ou chemin est une application continue de \([0,1]\) dans \(X\). L’image de \(0\) et l’image de \(1\) sont les extrémités de l’arc.

On appelle longueur d’un arc \(C^1\) l’intégrale de la norme de sa dérivée, lorsque cette intégrale est bien définie.
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Ligne de niveau
[ Definition ]
Soit \(\alpha\) un réel. Une partie \(\mathscr A\) du plan est une ligne de niveau \(\alpha\) d’une fonction \(F:\mathscr P\longrightarrow\mathbb{R}\) si \(\mathscr A\) est solution de l’équation \(F(M)=\alpha\). \[M\in \mathscr A \Leftrightarrow F(M)=\alpha\]
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L’image d’un cercle dans l’espace par une projection orthogonale est une ellipse
[ Proposition ]
L’image d’un cercle \(\mathscr C\) de l’espace par une projection orthogonale sur un plan \(\mathscr P\) non perpendiculaire au plan contenant \(\mathscr C\) est une ellipse de \(\mathscr P\).
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Limite
[ Definition ]
Soit \(f:X \setminus \{x_0\} \rightarrow Y\), avec \(x_0 \in X\). On dit que \(y\) est une limite de \(f\) en \(x_0\), si pour tout voisinage \(V\) de \(y\) dans \(Y\), la réunion \(f^{-1}(V) \cup \{x_0\}\) est un voisinage de \(x_0\).
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Limite
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) converge vers un réel \(l\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[\boxed{\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}:\quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow \left|u_n-l\right|\leqslant\varepsilon}\] c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout \(n\) plus grand que \(N\), \(u_n\) est à une distance plus petite que \(\varepsilon\) de \(l\).

On dit alors que \(l\) est la limite de la suite \((u_n)\) et on note \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=l}\).

  • S’il existe un tel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) est convergente.

  • S’il n’existe pas de réel \(l\) vérifiant cette propriété, on dit que la suite \((u_n)\) est divergente.

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Limite à gauche
[ Definition ]
Soit une fonction \(f: I \setminus \left\{ a \right\} \rightarrow \mathbb{R}\). On dit qu’un réel \(l\) est la limite à droite (resp. à gauche) de \(f\) si il existe un voisinage strict à droite de \(a\) (resp. un voisinage strict à gauche de \(a\)) tel que la restriction de \(f\) à ce voisinage admet \(l\) pour limite en \(a\). Lorqu’elle existe, la limite à droite de \(f\) est unique et est notée \(l= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow a^+}f(x)}\) ou \(l= \displaystyle{l = \lim_{\substack{{x}\rightarrow a \newlinex \geqslant a}} f(x)}\) ou \(\displaystyle{l = \lim_{a^+} f}\). Nous noterons également \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{} l\). On a des notations identiques pour la limite à gauche.
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Limite de l’inverse
[ Théorème ]
Soit \(f : I \mapsto \mathbb{R}\), \(a \in \overline{I}\) et \(l \in \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l\).

  2. \(l \neq 0\).

Alors \((1/f)(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} 1/l\).
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Limite d’une famille de droites dans le plan
[ Definition ]
On dit qu’une famille de droites \((D_t)_{i \in I\setminus\{t_0\}}\) passant par un même point \(M\) admet une limite lorsque \(t \rightarrow t_0\) s’il existe une famille \((\overrightarrow{u}(t))_{ t \in I \setminus \{t_0\}}\) de vecteurs directeurs de ces droites possédant un vecteur limite \(\overrightarrow{l}\) non-nul lorsque \(t \rightarrow t_0\). La droite \(D = M + \mathop{\mathrm{Vect}}(\overrightarrow{l})\) s’appelle la limite de \((D_t)\).
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Limite d’une fonction en un point
[ Definition ]
Soient une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), un point adhérent \(a\in \overline I\) et un réel \(\ell \in \mathbb{R}\). On dit que la fonction \(f\) admet pour limite le réel \(\ell\) en \(a\) lorsque
  • Si \(a\in \mathbb{R}\) : \(\forall \varepsilon >0,~\exists \eta >0,~\forall x \in I,~\left|x-a\right|\leqslant\eta \Rightarrow \left|f(x)-\ell\right| \leqslant\varepsilon\).

  • Si \(a=+\infty\) : \(\forall \varepsilon >0,~\exists M \in \mathbb{R},~\forall x \in I,~x \geqslant M \Rightarrow \left|f(x)-\ell\right| \leqslant\varepsilon\).

  • Si \(a=-\infty\) : \(\forall \varepsilon >0,~\exists m \in \mathbb{R},~\forall x \in I,~x \leqslant m \Rightarrow \left|f(x)-\ell\right| \leqslant\varepsilon\).

On note alors \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} \ell\).
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Limite d’une somme
[ Théorème ]
Soient \(f, g : I \mapsto \mathbb{R}\) deux fonctions et \(a \in \overline{I}\). On suppose que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_1\) et que \(g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_2\). Alors, \((f+g)(x)~\xrightarrow[x \rightarrow a]{}~l_1~+~l_2\).
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Limite d’une valeur absolue
[ Théorème ]
Soit \(f : I \mapsto \mathbb{R}\), \(a \in \overline{I}\) et \(l \in \mathbb{R}\). Si \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l\), alors \(\lvert f \rvert (x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} \lvert l \rvert\).
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Limite d’un produit
[ Théorème ]
Soient \(f, g : I \mapsto \mathbb{R}\) et \(a \in \overline{I}\). On suppose que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_1\), \(g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_2\). Alors \((fg)(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_1l_2\).
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Limite en un point
[ Definition ]
Soient \(U\subset \mathbb{R}^2\) une partie ouverte, \(M_0=(x_0, y_0)\in U\) et \(f:U\mapsto \mathbb{R}\). On dit que \(f\) tend vers \(l\in\mathbb{R}\) quand \(M=(x,y)\) tend vers \(M_0\) si et seulement si : \[\forall \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x\in U,\quad \left\|M-M_0\right\|\leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(M)-l \rvert \leqslant\varepsilon\] On note alors \(f\left(M\right)\xrightarrow[M\rightarrow M_0]{}l\).
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Limite en un point d’une application vectorielle
[ Definition ]
Soient \(\overrightarrow{l}=(l_1,l_2)\) un vecteur de \(\mathbb{R}^2\), \(t_0\in I\) et \(\overrightarrow{F}\) une application vectorielle définie sur \(I\). On dit que \(\overrightarrow{F}\left(t\right)\) converge vers \(l\) quand \(t\) tend vers \(t_0\) et on note : \[\overrightarrow{F} (t) \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} \overrightarrow{l}\] lorsque \(\left\| \overrightarrow{F} (t) - \overrightarrow{l} \right\| \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} 0\).
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Limite finie \(\Rightarrow\) localement bornée
[ Proposition ]
Soit \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) une fonction admettant une limite finie en \(a\in \overline I\). Alors il existe un voisinage \(V\) du point \(a\) sur lequel la fonction \(f\) est bornée. \(a\).
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Limite infinie
[ Definition ]
Soit une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et un point adhérent \(a \in I\). On dit que la fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) (respectivement \(-\infty\)) lorsque \(x\) tend vers \(a\) lorsque
  • Si \(a\in \mathbb{R}\) : \(\forall B\in \mathbb{R},~\exists \eta >0,~\forall x \in I,~\left|x-a\right|\leqslant\eta \Rightarrow f(x) \geqslant B\) (respectivement \(f(x) \leqslant B\)).

  • Si \(a=+\infty\) : \(\forall B\in \mathbb{R},~\exists A \in \mathbb{R}~\forall x \in I,~x \geqslant A \Rightarrow f(x) \geqslant B\) (respectivement \(f(x) \leqslant B\)).

  • Si \(a=-\infty\) : \(\forall B\in \mathbb{R},~\exists A \in \mathbb{R}~\forall x \in I,~x \leqslant A \Rightarrow f(x) \geqslant B\) (respectivement \(f(x) \leqslant B\)).

On notera alors \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} +\infty\) (respectivement \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow a]{} -\infty\)).
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Limites aux bornes du domaine de définition
[ Proposition ]
\[\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} -\infty \quad \textrm{ et} \quad\ln x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\]
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Limites possibles de \((u_n)\)
[ Proposition ]
Si la suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(l\), et si la fonction \(f\) est continue au point \(l\), alors \(l\) est un point fixe de la fonction \(f\) : \(f(l) = l\).
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Limites usuelles pour \(\exp\)
[ Proposition ]
  • \(\exp{x}\) est prépondérant devant \(x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)  : \(\boxed{\dfrac{\exp x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty}\).

  • \(\exp{x}\) est négligeable devant \(\dfrac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) : \(\boxed{x\exp x \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{} 0}\).

  • \(\exp{x}\) est dérivable en \(x=0\) de dérivée égale à \(1\)  : \(\boxed{\dfrac{\exp x-1}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1}\).

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Limites usuelles pour \(\ln\)
[ Proposition ]
  • La fonction \(ln\) est dérivable en \(1\) et \(\ln ' 1=1\) \(\boxed{\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1} \xrightarrow[x\rightarrow 1]{} 1 }\).

  • Cette limite s’écrit aussi sous la forme \(\boxed{\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1}\).

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Limites usuelles pour \(\ln\)
[ Proposition ]
  • \(\ln x \textrm{ est négligeable devant }x \textrm{ quand }x \textrm{ tend vers } +\infty\)  : \(\boxed{\dfrac{\ln x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0 }\).

  • \(\ln x \textrm{ est négligeable devant }\dfrac{1}{x} \textrm{ quand }x \textrm{ tend vers } 0\) : \(\boxed{x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} 0 }\).

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l’indicatrice d’Euler
[ Definition ]
Soit \(n\) un entier \(\geq 2\). On définit \(\phi(n)\) comme le cardinal du groupe des éléments inversibles de l’anneaux \({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\). La fonction \(\phi\) est l’indicatrice d’Euler.
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Linéarité de la dérivation
[ Proposition ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes et \(\alpha\), \(\beta \in \mathbb{K}\) deux scalaires. On a : \[\boxed{\left(\alpha P + \beta Q\right)'=\alpha P' + \beta Q'}.\] On dit que l’opération de dérivation est linéaire.
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L’intégrale d’une fonction continue par morceaux positive est positive
[ Proposition ]
Soit \(\varphi\) une fonction continue par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\). On a \[\boxed{\forall x\in\left[a,b\right], \quad \varphi\left(x\right)\geqslant 0 \Rightarrow \int_{\left[a,b\right]}{\varphi}\geqslant 0}\]
En savoir plus
L’intégrale d’une fonction en escalier positive est positive
[ Proposition ]
Soit \(\varphi\in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) une fonction en escalier sur le segment \(\left[a,b\right]\). Si \(\varphi\) est positive sur \(\left[a,b\right]\) alors \(\int_{\left[a,b\right]}{\varphi}\geqslant 0\).
En savoir plus
L’intégrale est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux
[ Proposition ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Alors \[\boxed{\int_{\left[a,b\right]}{(\alpha f+\beta g)}= \alpha\int_{\left[a,b\right]}{f}+\beta\int_{\left[a,b\right]}{g}}\]
En savoir plus
L’intégrale est une forme linéaire sur \(\mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\)
[ Proposition ]
Soient \(\varphi_1,\varphi_2\in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) deux fonctions en escalier sur le segment \(\left[a,b\right]\). Pour tout \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), on a \[\int_{\left[a,b\right]}{\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2}= \alpha\int_{\left[a,b\right]}{\varphi_1}+\beta\int_{\left[a,b\right]}{\varphi_2}\] Autrement dit, si \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline \varphi & \longmapsto & \int_{\left[a,b\right]}\varphi \end{array} \right.\] alors on a \[\theta\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2\right) = \alpha\theta\left(\varphi_1\right)+\beta\theta\left(\varphi_2\right)\] On dit aussi que \(\theta\) est une forme linéaire sur \(\mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\).
En savoir plus
L’inverse d’une application linéaire bijective est linéaire
[ Proposition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) un isomorphisme entre les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) alors \(f^{-1}:F\rightarrow E\) (qui existe car \(f\) est bijective) est aussi linéaire, c’est-à-dire \(f^{-1}\in\mathfrak{L}\left(F,E\right)\).
En savoir plus
Lipschitz \(\Rightarrow\) uniformément continue \(\Rightarrow\) continue
[ Proposition ]
Soit \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). \[f \textrm{ lipschitzienne sur} I\Rightarrow f \textrm{ uniformément continue sur } I \Rightarrow f \textrm{ continue sur } I\]
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Liste de propriétés du produit de convolution
[ Proposition ]

On se donne \(X\), \(Y\) et \(Z\) des variables aléatoires réelles et \(P^X\), \(P^Y\) et \(P^Z\) leurs lois.

\(\bullet\)Le produit de convolution de la loi \(P^X\) par une masse de Dirac située4 en \(0\) est la loi \(P^X\) elle-même.

\(\bullet\)Le produit de convolution de \(P^X\) par une masse de Dirac située en \(x\) est la loi de \(X+x\).

\(\bullet\)Le produit de convolution est commutatif, associatif.

\(\bullet\)Le produit de convolution est distributif, au sens suivant; pour \(t\) dans \([0,1]\), on a: \[P^X*(t.P^Y+(1-t).P^Z)=t.P^X*P^Y+(1-t).P^X*P^Z.*\]
En savoir plus
Localement compact
[ Definition ]
Un espace topologique est localement compact s’il est séparé et si tout point possède un voisinage compact.
En savoir plus
Localement connexe (par arcs)
[ Definition ]
Un espace est localement connexe (resp. par arcs) si tout point de l’espace possède une base de voisinage connexes (resp. par arcs).
En savoir plus
localement lipschitzienne
[ Definition ]
Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques telle que pour tout \(x\) il existe un voisinage de \(x\) sur lequel la restriction de \(f\) est lipschitzienne.
En savoir plus
Logarithme de base \(a\)
[ Definition ]
Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de \(1\): \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\). On appelle logarithme de base \(a\) l’application notée \(\log_a\) définie par \[\log_a x: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{\ln x}{\ln a} \end{array} \right.\]
En savoir plus
Logarithme népérien
[ Definition ]
On appelle logarithme népérien et on note \(\ln\) l’unique primitive s’annulant en \(1\) de la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) : \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\). \[\boxed{\ln: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \displaystyle{\int_{1}^{x}} \dfrac{\textrm{ dt}}{t} \end{array} \right. }\]
En savoir plus
Loi associative
[ Definition ]
Soit \(\star\) une loi de composition interne sur un ensemble \(E\). On dit que \(\star\) est :
  • commutative si et seulement si \(\forall (a,b)\in E^2\), \(a\star b= b\star a,\)

  • associative si et seulement si \(\forall (a,b,c) \in E^3\), \(a\star (b\star c)= (a\star b)\star c.\)

On dit que plus que \(\star\) admet \(e\in E\) comme élément neutre si et seulement si \(\forall x \in E\), \(e\star x = x\star e = x\)
En savoir plus
Loi de composition interne
[ Definition ]
Soit \(E\) un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de \(E\times E\) dans \(E\) : \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} E\times E & \longrightarrow & E \newline (a,b) & \longmapsto & \varphi(a,b) \end{array} \right.\]
En savoir plus
Loi de composition interne
[ Definition ]
Soit \(E\) un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de \(E\times E\) dans \(E\) : \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} E\times E & \longrightarrow & E \newline (a,b) & \longmapsto & a\star b \end{array} \right.\]
En savoir plus
loi de la variable aléatoire \(X\)
[ Definition ]
Si \(X\) est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},P)\), l’application \(P_X\) définie de l’ensemble des boréliens de \(\mathcal{B}\) dans \([0,1]\) par \(P_X(B)=P(X^{-1}(B))\) est une probabilité sur \(\mathbb R\) appelé loi de la variable aléatoire \(X\).
En savoir plus
loi de probabilité \({\cal L}_X\)
[ Definition ]
Supposons que \(X\) soit une variable aléatoire sur un triplet de probabilité \((\Omega,{\cal F},P)\). \(X\) est alors une application de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}\), et \(P\) est une application de \({\cal F}\) dans \([0,1]\).Alors on définit la loi de probabilité \({\cal L}_X\) de \(X\) par \({\cal L}_X=P \circ (X^{-1})\) (\(X^{-1}\) n’est pas l’application réciproque – non nécessairement bien définie – mais l’application qui à une partie associe son image réciproque); \({\cal L}_X\) est ainsi définie sur l’ensemble des boréliens de \(\mathbb{R}\).
En savoir plus
Loi de réciprocité quadratique
[ Théorème ]
Si \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers impairs distincts, on a \[(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p})= \theta(p,q).\]
En savoir plus
Loi des grands nombres
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes identiquement distribuées et vérifiant \(E|X_1|<\infty\). Alors avec \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), presque sûrement, \(S_n/n\to E(X_1)\).

En savoir plus
loi jointe
[ Definition ]

Étant données \(X_1,...,X_n\) des variables aléatoires , on appelle

\(\bullet\)loi jointe de \(X_1,...,X_n\) ou simplement loi de \(X_1,...,X_n\) l’application \(L_{X_1,...,X_n}\) qui à un borélien \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) associe \(P(F)\) avec \(F=\{{\omega}\in \Omega ; (X_1({\omega}),...,X_n({\omega})) \in E \}\).

\(\bullet\)fonction de répartition de \(X_1,...,X_n\) l’application qui à \((x1,...,x_n)\) dans \(\mathbb{R}^n\) associe \(L_{X_1,...,X_n}(]-\infty,x_1],...,]-\infty,x_n])\).

\(\bullet\)densité de probabilité ou simplement densité de \(X_1,...,X_n\) une application \(f\) (quand elle existe!) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) telle que pour tout borélien \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) on ait \(L_{X_1,...,X_n}(E)=\int_E f\). Il s’agit donc en fait simplement de la densité de la loi par rapport à la mesure de Lebesgue. La densité est unique presque sûrement; c’est-à-dire que deux densités d’une même variable aléatoire sont presque sûrement égales.
En savoir plus
Loi \(0-1\) de Kolmogorov
[ Théorème ]

Soit \((X_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace de probabilité, et soit \(\tau\) la \(\sigma\)-algèbre  asymptotique des \(X_n\); alors :

\(\bullet\)tout événement asymptotique a une probabilité \(0\) ou \(1\).

\(\bullet\)pour toute variable asymptotique \(Y\), il existe un unique \(z\in [-\infty,+\infty]\) tel que \(P(Y=z)=1\).
En savoir plus
L’ordre de \(g\)
[ Definition ]
Soit \((G,\star)\) un groupe et \(g\) un élément de \(G\). L’ordre de \(g\) est le plus petit entier \(n\geq 1\) tel que \(\exp_g(n)=e_G\) s’il existe un tel entier. Sinon, l’ordre de \(g\) est infini. On note \(\mbox{ord}_G(g)\) ou \(\mbox{ord}\,(g)\) l’ordre de \(g\) dans \(G\).
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Lusin
[ Théorème ]

Soit \(f\) une application mesurable de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{C}\), dont le support est inclus dans \(E\) de mesure finie. Alors pour tout \(\epsilon>0\) il existe \(g\) continue de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{C}\) telle que:

\(\bullet\)\(\mu(\{x / f(x) \neq g(x)\}) < \epsilon\)

\(\bullet\)\(sup |g(x)| \leq sup |f(x)|\)
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