Lexique mathématique

Lexique mathématique

I
idéal à droite
[ Definition ]

On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).

\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si

\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition

\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))

\(I\) est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si \(I\) est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite. \(A\) et \(\{0\}\) sont toujours des idéaux de \(A\); on les appelle idéaux triviaux de \(A\). Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de \(A\).
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Idéal à gauche
[ Definition ]

On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).

\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si

\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition

\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))

\(I\) est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si \(I\) est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite. \(A\) et \(\{0\}\) sont toujours des idéaux de \(A\); on les appelle idéaux triviaux de \(A\). Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de \(A\).
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idéal engendré par une partie
[ Definition ]
Une intersection d’idéaux étant un idéal, on peut définir l’idéal engendré par une partie de \(A\) comme l’intersection de tous les idéaux contenant cette partie. C’est donc aussi le plus petit idéal contenant cette partie. On note \((E)\) l’idéal engendré par \(E\).
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idéal principal
[ Definition ]
On appelle idéal principal un idéal \(I\) d’un anneau commutatif engendré par un singleton \(\{x\}\). On note abusivement \((x)\) pour \((\{x\})\).

On appelle anneau principal un anneau intègre tel que tout idéal est principal.

Un idéal \(I\) d’un anneau commutatif est dit idéal maximal s’il est différent de l’anneau tout entier et si tout idéal incluant \(I\) est égal à \(I\) ou à l’anneau lui-même.

On appelle somme d’une famille d’idéaux \((I_k)_{k\in K}\) l’ensemble des \(\sum_{i \in J} x_i\) avec \(J\) fini inclus dans \(K\) et \(x_i \in I_i\).

Un idéal est dit de type fini s’il est somme d’un nombre fini d’idéaux principaux.
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idempotent
[ Definition ]
On dit qu’un endomorphisme \(f\) est idempotent lorsque \(f\circ f=f\). Un endomorphisme idempotent est aussi appelé projecteur.
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Identification de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr V\) avec \(\mathbb{R}^2\)
[ Proposition ]
En résumé :
  • un repère \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)étant fixé dans \(\mathscr P\), l’application qui a un point de \(\mathscr P\) associe ses coordonnées dans \(\mathscr R\) est une bijection de \(\mathscr P\) dans \(\mathbb{R}^2\). Cette bijection permet d’identifier le plan et \(\mathbb{R}^2\).

  • une base \(\mathscr B\) étant fixée dans \(\mathscr V\), l’application \(\theta_{\mathscr B}\) qui à un vecteur de \(\mathscr V\) lui associe ses coordonnées dans \(\mathscr B\) est bijective et linéaire. Si on prend un peu d’avance sur le chapitre [chapitre_ev], on dit que \(\theta_{\mathscr B}\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Cet isomorphisme permet d’identifier \(\mathscr V\) et \(\mathbb{R}^2\).

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Identité de Lagrange
[ Proposition ]
\[{\parallel}a \land b {\parallel}^2 = {\parallel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a|b>^2\]
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Image d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit \({\mathcal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan.
  • L’image du nombre complexe \(z=x+i\,y\) est le point du plan de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\).

  • L’affixe du point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\) est le nombre complexe \(z=x+i\,y\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(M)\).

  • L’ affixe du vecteur \(\overrightarrow{v}=\alpha\,\overrightarrow{\imath}+\beta\,\overrightarrow{\jmath}\) est le complexe \(\alpha+i\,\beta\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u})\).

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indépendants
[ Definition ]
Deux \(\pi\)-systèmes \(P_1\) et \(P_2\) sur un même ensemble sont dits indépendants si pour tout \(p_1 \in P_1\) et tout \(p_2 \in P_2\) on a \[P(p_1 \cap p_2) = P(p_1).P(p_2)\]
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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indice de \(H\) dans \(G\)
[ Definition ]
On appelle indice de \(H\) dans \(G\), avec \(H\) un sous-groupe de \(G\), le cardinal de \(G/H\).
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Inégalité de Bienaymé-Tchébitchev
[ None ]
Si les \((X_i)_{i\in[[1,n]]}\) sont deux à deux indépendantes, pour \(t>0\), \[P\left( |\sum_i X_i - E(X_i) | \geq t \right) \leq \frac{\sum_i Var(X_i)}{t^2}.\]
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ |<x|y>| \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si et seulement si la famille est liée.
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Inégalité de convexité
[ Proposition ]
\[\boxed{\forall x\in\left]-1,+\infty\right[, \quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x }\]
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Inégalité de Jensen
[ Théorème ]
On se donne \(f\) une application de \(U\) dans \(\mathbb{R}\), avec \(U\) intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), et \(X\) une variable aléatoire, avec les hypothèses suivantes: \[\begin{aligned} f \mbox{ convexe};\\ P( X \in U )=1 ;\\ E(|X|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $X$ est intégrable)};\newline E(|f(X)|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $f\circ X$ est intégrable)}.\end{aligned}\] \[\mbox{Alors: } E(f(X)) \geq f(E(X))\]
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Inégalité de Markov
[ Théorème ]
Supposons \(X\) variable aléatoire , et \(f\) mesurable de \(\mathbb{R}\) muni des boréliens dans \([0,+\infty]\) muni des boréliens, avec \(f\) croissante. Alors \[E(f \circ X) \geq E(f \circ X ; X \geq c) \geq f(c).\int \chi_{\{{\omega}; X({\omega}) \geq c\}}\] \[\mbox{qu'on peut aussi noter }E(f \circ X) \geq E(f \circ X ; X \geq c) \geq f(c).P(X\geq c).\]
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Soit \(p\in ]1,+\infty[\), et soient \(f\) et \(g\) des fonctions mesurables de \(X\) dans \([0,+\infty]\). Alors \[\left(\int(f+g)^p\right)^{\frac1p} \leq (\int f^p)^{\frac1p} + (\int g^p)^{\frac1p}\]
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Inégalité de Minkowski
[ None ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si \(y={\lambda}.x\) ou \(x={\lambda}.y\) avec \({\lambda}>0\).
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Inégalité des accroissements finis
[ Théorème ]
Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}\) avec \(a < b\), et \(F\) un espace de Banach. On suppose que les deux fonctions \(f:[a,b] \rightarrow F\) et \(g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) sont continues sur \([a,b]\) et dérivables à droite sur \([a,b]\setminus D\) avec \(D\) au plus dénombrable. Si, pour tout \(t \in [a,b] \setminus D\) on a \(\parallel f_d'(t) \parallel \leq g_d'(t)\), alors \(\parallel f(b) -f(a) \parallel \leq g(b)-g(a)\).
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Inégalité de Schwartz
[ None ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors \[\int |f.g| \leq \sqrt{\int f^2}.\sqrt{\int g^2}\]
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Inégalité de Schwarz
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\] \(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\] et \[\phi(x,y)^2=q(x).q(y) \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est une famille liée.} %\]
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Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]

Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(E\) un espace de Banach, et \(f\) : \([a,b]\to E\) de classe \(C^n\) sur \([a,b]\) et \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); on suppose en outre que \(f^{(n+1)}\) est bornée par \(M\) sur \(]a,b[\).

Alors \({\parallel}f(b)-P_{f,a,n}(b) {\parallel}\leq M\cdot \displaystyle \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\).
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Inégalité de Tchébitchev
[ None ]
Pour \(X\) variable aléatoire, \(P(|X-E(X)|>\epsilon)\leq Var(X)/\epsilon^2\).
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalités de Hölder
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}^+}\), et soient \(p\) et \(q\) deux réels \(\in ]1,\infty[\) conjugués, alors \[\int f.g \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int g^q)^{\frac1q}\]
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Inégalités de Minkowski
[ None ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\] \(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} = \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)} \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est une famille positivement liée.}\]
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Inégalités triangulaires
[ Proposition ]
Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), on a
  1. \(\boxed{|z+z'|\leqslant|z|+|z'|}\).

  2. \(\boxed{\bigl||z|-|z'|\bigr|\leqslant|z-z'|}\).

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injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\)
[ Definition ]
On définit une injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\) par \(x \mapsto (f \mapsto f(x))\). À tout élement de \(E\) on associe donc une forme linéaire continue sur \(E'\) (il s’agit donc bien d’un élément de \(E''\). On notera \(\phi_x\), pour \(x\) dans \(E\), l’application qui à \(f\) dans \(E'\) associe \(f(x)\).
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intégrale
[ Definition ]
\(f:(X,{\cal A}) \rightarrow [0,+\infty]\) mesurable On appelle intégrale de \(f\) sur \(E\) de \(f\) pour \(\mu\) \[% % \int_E f d\mu = sup_{s \leq f} \int_E s.d\mu\]
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intégrale
[ Definition ]
\(s=\sum \alpha_i 1_{|A_i}\) avec la condition d’unicité donnée ci-dessus, alors on appelle intégrale sur \(E \in {\cal A}\) de \(s\) pour la mesure \(\mu\) \[% % \int_E s.d\mu= \sum \alpha_i \mu(A_i \cap E)\]
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Intégrale (au sens de Lebesgue) d’une fonction intégrable
[ Definition ]
Étant donné \(f\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{R}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le réel \(\int f^+ - \int f^-\). Étant donné \(f=g+i.h\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le complexe \(\int g+i.\int h\).
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Intégrale sur une partie mesurable
[ Definition ]
Soit \(E\) une partie mesurable de \(X\), et \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), alors \(f\) est dite intégrable sur \(E\) si \(f.\chi_E\) est intégrable, avec \(\chi_E\) la fonction caractéristique de \(E\). On définit alors \(\int_E f=\int f.\chi_E\).
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Intégration d’un développement limité
[ Proposition ]
Supposons \(f\) de classe \(C^1\) au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+o((t-a)^n)\] Alors \[f(t)\!=\!f(a)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}\!+o((t-a)^{n+1})\]
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Intégration d’un développement limité au sens fort
[ Proposition ]
Supposons \(f\) dérivable au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+O((t-a)^{n+1})\] Alors \[f(t)\!=\! f(t_0)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}+O((t-a)^{n+2})\]
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Intégration par parties
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) des primitives de fonctions réglées sur \(I=[a,b]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Alors \[\int_I fg'=[fg]_a^b-\int_a^b f'g\] avec par définition \([fg]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)\).
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Intérieur
[ Definition ]
L’intérieur du sous-ensemble \(A\) de l’espace topologique \(X\), noté \(Int(A)\), est la réunion de tous les ouverts inclus dans \(A\), c’est donc le plus grand ouvert contenu dans \(A\).
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Interprétation du déterminant en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour la droite \((BH)\) l’orientation dans le sens directement orthogonale à \(\overrightarrow{OA}\). On a alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = OA.\overline{HB}.}\] La valeur absolue de ce déterminant correspond à l’aire du parallélogramme construit selon les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
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Interprétation du produit mixte en terme de volume
[ Théorème ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Notons \(\mathcal V\) le volume du parallélépipède \(\mathcal P\) construit à partir de ces \(3\) vecteurs. On a : \[\boxed{\mathcal V = \left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\right|}\]
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Interprétation du produit scalaire en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour cette droite l’orientation donnée par le vecteur \(\overrightarrow{OA}\). On a alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overline{OA}\,.\,\overline{OH}}\]
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto \bar z\)
[ Proposition ]
La réflexion d’axe \((O,\overrightarrow{\imath})\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(\bar z\).
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto z+a\)
[ Proposition ]
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur d’affixe \(a\). La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(z+a\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Involution
[ Definition ]
Un endomorphisme \(f\) est une involution lorsque \(f\circ f =Id\).
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Isométrie
[ Definition ]
Étant donnés deux espaces métriques \(E\) et \(F\), une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est une isométrie si \(\forall (x,y)\) \(d_F(f(x),f(y))=d_E(x,y)\).
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isomorphisme
[ Definition ]
Étant donnés \(X\) et \(X'\) deux \(G\)-ensembles, on appelle \(G\)-homomophisme de \(X\) vers \(X'\) une application \(\phi\) de \(X\) dans \(X'\) telle que \(\phi(g.x)=g.\phi(x)\) pour tous \(x\in X\) et \(g\in G\). On note \(Hom(X,X')\) l’ensemble des homomorphismes de \(X\) sur \(X'\). Comme d’habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
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Isomorphisme d’espaces normés
[ Definition ]
Un isomorphisme de l’espace vectoriel normé \(E\) sur l’espace vectoriel normé \(F\) est une application \(\phi : E \rightarrow F\) linéaire continue et bijective d’inverse continue. On note \(Isom(E,F)\) le sous-ensemble de \({\cal L}(E,F)\) formé des isomorphismes de \(E\) dans \(F\).
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