Lexique mathématique

Lexique mathématique

I
idéal à droite
[ Definition ]

On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).

\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si

\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition

\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))

\(I\) est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si \(I\) est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite. \(A\) et \(\{0\}\) sont toujours des idéaux de \(A\); on les appelle idéaux triviaux de \(A\). Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de \(A\).
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Idéal à gauche
[ Definition ]

On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).

\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si

\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition

\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))

\(I\) est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si \(I\) est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite. \(A\) et \(\{0\}\) sont toujours des idéaux de \(A\); on les appelle idéaux triviaux de \(A\). Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de \(A\).
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idéal engendré par une partie
[ Definition ]
Une intersection d’idéaux étant un idéal, on peut définir l’idéal engendré par une partie de \(A\) comme l’intersection de tous les idéaux contenant cette partie. C’est donc aussi le plus petit idéal contenant cette partie. On note \((E)\) l’idéal engendré par \(E\).
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idéal principal
[ Definition ]
On appelle idéal principal un idéal \(I\) d’un anneau commutatif engendré par un singleton \(\{x\}\). On note abusivement \((x)\) pour \((\{x\})\).

On appelle anneau principal un anneau intègre tel que tout idéal est principal.

Un idéal \(I\) d’un anneau commutatif est dit idéal maximal s’il est différent de l’anneau tout entier et si tout idéal incluant \(I\) est égal à \(I\) ou à l’anneau lui-même.

On appelle somme d’une famille d’idéaux \((I_k)_{k\in K}\) l’ensemble des \(\sum_{i \in J} x_i\) avec \(J\) fini inclus dans \(K\) et \(x_i \in I_i\).

Un idéal est dit de type fini s’il est somme d’un nombre fini d’idéaux principaux.
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idempotent
[ Definition ]
On dit qu’un endomorphisme \(f\) est idempotent lorsque \(f\circ f=f\). Un endomorphisme idempotent est aussi appelé projecteur.
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Identification de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr V\) avec \(\mathbb{R}^2\)
[ Proposition ]
En résumé :
  • un repère \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)étant fixé dans \(\mathscr P\), l’application qui a un point de \(\mathscr P\) associe ses coordonnées dans \(\mathscr R\) est une bijection de \(\mathscr P\) dans \(\mathbb{R}^2\). Cette bijection permet d’identifier le plan et \(\mathbb{R}^2\).

  • une base \(\mathscr B\) étant fixée dans \(\mathscr V\), l’application \(\theta_{\mathscr B}\) qui à un vecteur de \(\mathscr V\) lui associe ses coordonnées dans \(\mathscr B\) est bijective et linéaire. Si on prend un peu d’avance sur le chapitre [chapitre_ev], on dit que \(\theta_{\mathscr B}\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Cet isomorphisme permet d’identifier \(\mathscr V\) et \(\mathbb{R}^2\).

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Identification polynômes et fonctions polynomiales
[ Théorème ]
L’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right) \newline P & \longmapsto & \widetilde P \end{array} \right.\] qui envoie un polynôme sur sa fonction polynomiale associée est injective.
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Identité de Lagrange
[ Proposition ]
\[{\parallel}a \land b {\parallel}^2 = {\parallel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a|b>^2\]
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Identité de Pythagore
[ Théorème ]
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs de \(E\). Alors \[\left( x \mid y \right) = 0 \Longleftrightarrow \lVert x+y \rVert_{ }^2 = \lVert x \rVert_{ }^2 +\lVert y \rVert_{ }^2.\]
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Identité de \(E\)
[ Definition ]
Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On définit la fonction identité de \(E\) par \(Id_E: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x & \longmapsto & x \end{array} \right.\).
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il suffit de la majorer
[ Proposition ]
Une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) est bornée si et seulement si elle est majorée en valeur absolue, c’est-à-dire \[\exists \alpha \in \mathbb{R}~ \forall x\in I, \quad \left|f(x)\right| \leqslant\alpha .\]
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Image
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. On appelle :
  • Noyau de \(f\) et on note \(\operatorname{Ker}f\) le sous-ensemble de \(E\) : \(\operatorname{Ker} f=\left\{x\in E ~|~ f\left(x\right)=0_F\right\}\)

  • Image de \(f\) et on note \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) le sous-ensemble de \(F\) : \(\mathop{\mathrm{Im}} f=\left\{f\left(x\right) ~|~ x\in E\right\}\).

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image de la probabilité
[ Definition ]
Si \((\Omega,\mathcal{A})\) est muni d’une probabilité, alors la fonction mesurable \(f\) permet de définir de façon naturelle une probabilité \(P_1\) sur \((\Omega_1,\mathcal{A}_1)\) ainsi: pour tout \(B\in \mathcal{A}_1\) \[P_1(B)=P(f^{-1}(B)).\] La probabilité \(P_1\) ainsi fabriquée est appelée l’image de la probabilité \(P\) par la fonction mesurable \(f\). On parle aussi de la probabilité \(P_1\) transportée de \(P\) par \(f\). On la note traditionnellement \(P_1=f_*P\). D’autres la notent plus correctement \(Pf^{-1}\), mais c’est moins commode.
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Image directe et réciproque de sous-groupes par un morphisme
[ Théorème ]
Soient \(\left(G_1,\star\right)\) et \(\left(G_2,\bullet\right)\) deux groupes et soit \(f~:~G_1 \mapsto G_2\) un morphisme de groupes.
  1. Si \(H_1\) est un sous-groupe de \(G_1\), alors \(f(H_1)\) est un sous-groupe de \(G_2\) ;

  2. Si \(H_2\) est un sous-groupe de \(G_2\), alors \(f^{-1}(H_2)\) est un sous-groupe de \(G_1\).

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Image directe et réciproque d’une application linéaire
[ Théorème ]
Soit \(f:E\rightarrow G\) une application linéaire. Soient \(E'\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(F'\) un sous-espace vectoriel de \(F\) alors :
  1. \(f\left(E'\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).

  2. \(f^{-1}\left(F'\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

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image d’un morphisme de groupes
[ Definition ]
On considère un morphisme de groupes \(f~:~G_1\mapsto G_2\). On note \(e_1\) l’élément neutre du groupe \(G_1\) et \(e_2\) l’élément neutre du groupe \(G_2\). On définit
  • le noyau du morphisme \(f\) : \[\operatorname{Ker}f = \{x \in G_1 \mid f(x) = e_2 \} = f^{-1}\bigl(\{e_2\}\bigr)\]

  • l’image du morphisme \(f\) : \[\mathop{\mathrm{Im}}f = f(G_1) = \{y \in G_2 \mid \exists x \in G_1~ f(x) = y \}\]

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Image d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit \({\mathcal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan.
  • L’image du nombre complexe \(z=x+i\,y\) est le point du plan de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\).

  • L’affixe du point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\) est le nombre complexe \(z=x+i\,y\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(M)\).

  • L’ affixe du vecteur \(\overrightarrow{v}=\alpha\,\overrightarrow{\imath}+\beta\,\overrightarrow{\jmath}\) est le complexe \(\alpha+i\,\beta\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u})\).

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Image d’un segment par une application continue
[ None ]
L’image d’un segment \([a,b]\) par une application continue est un segment et si \(m=\displaystyle{\inf_{[a,b]} f}\) et \(M=\displaystyle{\sup_{[a,b]} f}\) alors \(f\left([a,b]\right)=[m,M]\).
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image inverse
[ Definition ]
si \(E\) et \(F\) sont des ensembles quelconques, si \(f\) est une fonction définie sur \(E\) et à valeurs dans \(F\), et si enfin \(B\) est un sous ensemble de \(F\), l’ensemble \(A\) des \(x\) de \(E\) tels que \(f(x)\) soit dans \(B\) sera désormais noté par \(A=f^{-1}(B).\) Nous l’appellerons l’image inverse de \(B\) par \(f\).
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impaire
[ Definition ]
Soit une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) . On suppose que l’intervalle \(I\) est symétrique par rapport à l’origine (c’est-à-dire que si \(x\in I\) alors \(-x\in I\)). On dit que
  • La fonction \(f\) est paire si et seulement si \(\forall x\in I,~ f(-x)=f(x)\)

  • La fonction \(f\) est impaire si et seulement si \(\forall x\in I,~f(-x)=-f(x)\).

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indépendants
[ Definition ]
Deux \(\pi\)-systèmes \(P_1\) et \(P_2\) sur un même ensemble sont dits indépendants si pour tout \(p_1 \in P_1\) et tout \(p_2 \in P_2\) on a \[P(p_1 \cap p_2) = P(p_1).P(p_2)\]
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Indicatrice de Carmichael
[ Definition ]
Soit \(n\) un entier \(\geq 2\). On définit \(\lambda(n)\) comme le maximum des ordres des éléments du groupe \(({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z})^*\). On appelle indicatrice de Carmichael l’expression \(\lambda(n)\).
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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indice de \(H\) dans \(G\)
[ Definition ]
On appelle indice de \(H\) dans \(G\), avec \(H\) un sous-groupe de \(G\), le cardinal de \(G/H\).
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Inégalité de Bienaymé-Tchébitchev
[ None ]
Si les \((X_i)_{i\in[[1,n]]}\) sont deux à deux indépendantes, pour \(t>0\), \[P\left( |\sum_i X_i - E(X_i) | \geq t \right) \leq \frac{\sum_i Var(X_i)}{t^2}.\]
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Pour tous vecteurs \(x,y\in E\), on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz \[\boxed{\left| \left( x \mid y \right) \right| \leqslant\lVert x \rVert_{ }\lVert y \rVert_{ } }\] et on a égalité si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires : \(\left| \left( x \mid y \right) \right| = \lVert x \rVert_{ }\lVert y \rVert_{ } \Longleftrightarrow\exists \lambda \in \mathbb{R} :\quad (y=\lambda x \quad \textrm{ ou} \quad x = \lambda y)\).
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ |<x|y>| \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si et seulement si la famille est liée.
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions continues par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\). On a l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\boxed{ \left| \displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} fg \right| \leqslant \sqrt{\displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} f} \sqrt{\displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} g} }\]
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Inégalité de convexité
[ Proposition ]
\[\boxed{\forall x\in\left]-1,+\infty\right[, \quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x }\]
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Inégalité de convexité généralisée
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) convexe sur l’intervalle \(I\). Alors \[\forall n\geqslant 2, \forall (x_1,\dots,x_n)\in I^n, \forall (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in [0,1]^n \textrm{ tels que } \sum_{i=1}^n \lambda_i=1\] \[f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n) \leqslant\lambda_1f(x_1)+\dots + \lambda_n f(x_n).\]
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Inégalité de Jensen
[ Théorème ]
On se donne \(f\) une application de \(U\) dans \(\mathbb{R}\), avec \(U\) intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), et \(X\) une variable aléatoire, avec les hypothèses suivantes: \[\begin{aligned} f \mbox{ convexe};\\ P( X \in U )=1 ;\\ E(|X|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $X$ est intégrable)};\newline E(|f(X)|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $f\circ X$ est intégrable)}.\end{aligned}\] \[\mbox{Alors: } E(f(X)) \geq f(E(X))\]
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Inégalité de la moyenne
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\) alors on a l’inégalité de la moyenne \[\boxed{\displaystyle{\left|\int_{\left[a,b\right]}{fg}\right| \leqslant\sup_{\left[a,b\right]} \left|f\right| \int_{\left[a,b\right]}{\left|g\right|} }}\]
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Inégalité de Markov
[ Théorème ]
Supposons \(X\) variable aléatoire , et \(f\) mesurable de \(\mathbb{R}\) muni des boréliens dans \([0,+\infty]\) muni des boréliens, avec \(f\) croissante. Alors \[E(f \circ X) \geq E(f \circ X ; X \geq c) \geq f(c).\int \chi_{\{{\omega}; X({\omega}) \geq c\}}\] \[\mbox{qu'on peut aussi noter }E(f \circ X) \geq E(f \circ X ; X \geq c) \geq f(c).P(X\geq c).\]
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Pour tous vecteurs \(x,y\in E\), on a l’inégalité de Minkowski \[\boxed{\Bigl|\lVert x \rVert_{ } - \lVert y \rVert_{ } \Bigr| \leqslant \lVert x+y \rVert_{ } \leqslant\lVert x \rVert_{ } + \lVert y \rVert_{ } }\] et on a égalité dans la majoration de droite si et seulement si les deux vecteurs \(x\) et \(y\) se trouvent sur une même demi-droite issue de l’origine : \(\exists \lambda \geqslant 0:\quad y=\lambda x\).
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Inégalité de Minkowski
[ None ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si \(y={\lambda}.x\) ou \(x={\lambda}.y\) avec \({\lambda}>0\).
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Soient deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur le segment \([a, b]\). En notant \(\left\| f \right\|_2 = \sqrt{ \int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x }\), on a l’inégalité suivante \[\boxed{ \left\| f+g\right\|_2 \leqslant\left\| f \right\|_2 + \left\| g\right\|_2 }\]
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Soit \(p\in ]1,+\infty[\), et soient \(f\) et \(g\) des fonctions mesurables de \(X\) dans \([0,+\infty]\). Alors \[\left(\int(f+g)^p\right)^{\frac1p} \leq (\int f^p)^{\frac1p} + (\int g^p)^{\frac1p}\]
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Inégalité des accroissement finis (IAF)
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que
  1. la fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\),

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle ouvert \(\left]a,b\right[\),

  3. il existe deux réels \((m,M)\in \mathbb{R}^2\) tel que \(\forall x \in ]a,b[, \quad m \leqslant f'(x) \leqslant M\).

Alors on a \[\boxed{m\left(b-a\right)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant M\left(b-a\right)}\]
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Inégalité des accroissements finis
[ Théorème ]
Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}\) avec \(a < b\), et \(F\) un espace de Banach. On suppose que les deux fonctions \(f:[a,b] \rightarrow F\) et \(g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) sont continues sur \([a,b]\) et dérivables à droite sur \([a,b]\setminus D\) avec \(D\) au plus dénombrable. Si, pour tout \(t \in [a,b] \setminus D\) on a \(\parallel f_d'(t) \parallel \leq g_d'(t)\), alors \(\parallel f(b) -f(a) \parallel \leq g(b)-g(a)\).
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Inégalité de Schwartz
[ None ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors \[\int |f.g| \leq \sqrt{\int f^2}.\sqrt{\int g^2}\]
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Inégalité de Schwarz
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\] \(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\] et \[\phi(x,y)^2=q(x).q(y) \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est une famille liée.} %\]
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Inégalité des grandes déviations
[ Théorème ]
Soit \(\mu\) une mesure positive sur \(\mathbb R\) non concentrée en un point et telle que l’intervalle des \(\theta\) réels satisfaisant \(L(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\theta x}\mu(dx)<\infty\) ait un intérieur \(\Theta\) non vide. On considère la fonction strictement convexe sur \(\Theta\) égale à \(k=\log L\) et l’intervalle ouvert \(M=k'(\Theta),\) et on note par \(\psi:M\rightarrow \Theta\) la fonction réciproque de \(k'.\)

Soit \(m=k'(\theta)\) fixé dans \(M\). Soient \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi \(e^{\theta x-k(\theta)}\mu(dx).\) Soit enfin \(a\in M\) avec \(m<a\) et les nombres \[\begin{aligned} u_n&=&\Pr(\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)\geq a)\newline h(m,a)&=&-\int_m^a(a-x)\psi'(x)dx=a(\psi(m)-\psi(a))+k(\psi(a))-k(\psi(m)). \end{aligned}\] Dans ces conditions on a

  1. (Inégalité des grandes déviations) \(u_n^{1/n}\leq e^{h(m,a)}.\)

  2. (Théorème des grandes déviations) \(\lim_{n\infty}u_n^{1/n}= e^{h(m,a)}.\)

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Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]

Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(E\) un espace de Banach, et \(f\) : \([a,b]\to E\) de classe \(C^n\) sur \([a,b]\) et \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); on suppose en outre que \(f^{(n+1)}\) est bornée par \(M\) sur \(]a,b[\).

Alors \({\parallel}f(b)-P_{f,a,n}(b) {\parallel}\leq M\cdot \displaystyle \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\).
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Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\in I\). Si \(x\in I\), on peut, d’après le théorème précédent [Formule_de_Taylor], écrire \(f\left(x\right)\) sous la forme \[\begin{aligned} f\left(x\right)&=&\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k + \int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t\newline &=&T_n\left(x\right) + R_n\left(x\right) \end{aligned}\] On a alors \[\begin{aligned} \boxed{\left|f\left(x\right)-T_n\left(x\right)\right| = \left|R_n\left(x\right)\right| \leqslant\dfrac{\left|x-a\right|^{n+1}}{\left(n+1\right)!} M_{n+1}} \end{aligned}\]\(M_{n+1}\) est un majorant de \(\left|f^{\left(n+1\right)}\right|\) sur \(\left[a,x\right]\) (qui existe car \(f^{\left(n+1\right)}\) est continue sur le segment \(\left[a,x\right]\))
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Inégalité de Tchébitchev
[ None ]
Pour \(X\) variable aléatoire, \(P(|X-E(X)|>\epsilon)\leq Var(X)/\epsilon^2\).
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalités de Hölder
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}^+}\), et soient \(p\) et \(q\) deux réels \(\in ]1,\infty[\) conjugués, alors \[\int f.g \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int g^q)^{\frac1q}\]
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Inégalités de Minkowski
[ None ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\] \(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} = \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)} \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est une famille positivement liée.}\]
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Inégalités triangulaires
[ Proposition ]
Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), on a
  1. \(\boxed{|z+z'|\leqslant|z|+|z'|}\).

  2. \(\boxed{\bigl||z|-|z'|\bigr|\leqslant|z-z'|}\).

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injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\)
[ Definition ]
On définit une injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\) par \(x \mapsto (f \mapsto f(x))\). À tout élement de \(E\) on associe donc une forme linéaire continue sur \(E'\) (il s’agit donc bien d’un élément de \(E''\). On notera \(\phi_x\), pour \(x\) dans \(E\), l’application qui à \(f\) dans \(E'\) associe \(f(x)\).
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intégrale
[ Definition ]
\(f:(X,{\cal A}) \rightarrow [0,+\infty]\) mesurable On appelle intégrale de \(f\) sur \(E\) de \(f\) pour \(\mu\) \[% % \int_E f d\mu = sup_{s \leq f} \int_E s.d\mu\]
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intégrale
[ Definition ]
\(s=\sum \alpha_i 1_{|A_i}\) avec la condition d’unicité donnée ci-dessus, alors on appelle intégrale sur \(E \in {\cal A}\) de \(s\) pour la mesure \(\mu\) \[% % \int_E s.d\mu= \sum \alpha_i \mu(A_i \cap E)\]
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Intégrale (au sens de Lebesgue) d’une fonction intégrable
[ Definition ]
Étant donné \(f\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{R}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le réel \(\int f^+ - \int f^-\). Étant donné \(f=g+i.h\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le complexe \(\int g+i.\int h\).
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Intégrale de Riemann d’une fonction continue par morceaux
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) continue par morceaux sur un segment \([a,b]\). On considère les ensembles \[\mathscr I_{<f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier sur $\left[a,b\right]$ et $\varphi\leqslant f$}\right\}\] \[\mathscr I_{>f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier sur $\left[a,b\right]$ et $f\leqslant\varphi$}\right\}\] On a les propriétés suivantes,
  • \(\mathscr I_{<f}\) admet une borne supérieure.

  • \(\mathscr I_{>f}\) admet une borne inférieure.

  • \(\sup \mathscr I_{<f}=\inf \mathscr I_{>f}\).

On définit alors l’intégrale de Riemann de la fonction continue par morceaux \(f\) sur \([a,b]\) par \[\boxed{\int_{\left[a,b\right]}f=\sup \mathscr I_{<f}=\inf \mathscr I_{>f}}\]
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Intégrale d’une fonction en escaliers
[ Definition ]
Supposons que \(a<b\). Soit une fonction en escalier \(\varphi\in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) et \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) une subdivision subordonnée à \(\varphi\). Soient \(c_0,\ldots,c_{n-1}\in\mathbb{R}\) tels que : \(\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[ \quad \varphi\left(x\right)=c_k\). On définit l’intégrale de la fonction en escalier \(\varphi\) entre \(a\) et \(b\) comme étant le nombre réel \[\int_{\left[a,b\right]}\varphi=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} c_k\left(x_{k+1}-x_k\right)}.\] Ce nombre ne dépend pas du choix de la subdivision \(\tau\) subordonnée à \(\varphi\).
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Intégrale d’une fonction paire ou impaire
[ Proposition ]
Soit \(a> 0\) et \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \(\left[-a,a\right]\).
  • Si \(f\) est paire, \[\boxed{\int_{-a}^{0} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=\int_{0}^{a} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\] En particulier \[\boxed{\int_{-a}^{a} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=2\int_{0}^{a} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]

  • Si \(f\) est impaire, \[\boxed{\int_{-a}^{0} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=-\int_{0}^{a} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\] En particulier \[\boxed{\int_{-a}^{a} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=0}\]

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Intégrale d’une fonction périodique
[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur \(\mathbb{R}\), \(T\)-périodique. Soit \(\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2\) tel que \(a<b\). Alors : \[\boxed{\int_{a}^{a+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x= \int_{b}^{b+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\] \[\boxed{\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x= \int_{a+T}^{b+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]
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Intégrale sur une partie mesurable
[ Definition ]
Soit \(E\) une partie mesurable de \(X\), et \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), alors \(f\) est dite intégrable sur \(E\) si \(f.\chi_E\) est intégrable, avec \(\chi_E\) la fonction caractéristique de \(E\). On définit alors \(\int_E f=\int f.\chi_E\).
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Intégration d’un développement limité
[ Proposition ]
Supposons \(f\) de classe \(C^1\) au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+o((t-a)^n)\] Alors \[f(t)\!=\!f(a)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}\!+o((t-a)^{n+1})\]
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Intégration d’un développement limité au sens fort
[ Proposition ]
Supposons \(f\) dérivable au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+O((t-a)^{n+1})\] Alors \[f(t)\!=\! f(t_0)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}+O((t-a)^{n+2})\]
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Intégration par parties
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) des primitives de fonctions réglées sur \(I=[a,b]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Alors \[\int_I fg'=[fg]_a^b-\int_a^b f'g\] avec par définition \([fg]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)\).
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Intégrité de l’anneau des polynômes \(\mathbb{K}\left[X\right]\)
[ Proposition ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). \[\boxed{P\times Q=0 \Rightarrow P=0 \textrm{ ou } Q=0}\]
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Intérieur
[ Definition ]
L’intérieur du sous-ensemble \(A\) de l’espace topologique \(X\), noté \(Int(A)\), est la réunion de tous les ouverts inclus dans \(A\), c’est donc le plus grand ouvert contenu dans \(A\).
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Interprétation du déterminant en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour la droite \((BH)\) l’orientation dans le sens directement orthogonale à \(\overrightarrow{OA}\). On a alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = OA.\overline{HB}.}\] La valeur absolue de ce déterminant correspond à l’aire du parallélogramme construit selon les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
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Interprétation du produit mixte en terme de volume
[ Théorème ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Notons \(\mathcal V\) le volume du parallélépipède \(\mathcal P\) construit à partir de ces \(3\) vecteurs. On a : \[\boxed{\mathcal V = \left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\right|}\]
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Interprétation du produit scalaire en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour cette droite l’orientation donnée par le vecteur \(\overrightarrow{OA}\). On a alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overline{OA}\,.\,\overline{OH}}\]
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto \bar z\)
[ Proposition ]
La réflexion d’axe \((O,\overrightarrow{\imath})\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(\bar z\).
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto z+a\)
[ Proposition ]
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur d’affixe \(a\). La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(z+a\).
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Intervalle
[ Definition ]
Soit \(I\) une partie de \(\mathbb{R}\). On dit que \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(\forall x,y\in I,\quad \left[x,y\right]\subset I\).
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Intervalle stable
[ Definition ]
On dit qu’un intervalle \(I\) est stable par la fonction \(f\) lorsque \(f(I) \subset I\), c’est-à-dire \(\forall x \in I\), \(f(x) \in I\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Invariance de l’intégrale par translation
[ Proposition ]
Soient \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\) à valeurs réelles et \(T\in \mathbb{R}\). Soit \(f_T: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[a+T,b+T\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & f\left(x-T\right) \end{array} \right.\). Alors \(f_T\) est continue par morceaux sur le segment \(\left[a+T,b+T\right]\) et \[\boxed{\int_{a+T}^{b+T} f_T\left(x\right)\,\textrm{d}x=\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]
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Inverse d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire
[ None ]
  • Une matrice diagonale \(D=\mathrm{Diag}\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right)\) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas : \[D^{-1}=\mathrm{Diag}\left({\lambda_1}^{-1},\ldots,{\lambda_n}^{-1}\right)\]

  • Une matrice triangulaire supérieure \(T\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) de la forme : \[T=\begin{pmatrix} t_{11} & * & \dots & * \\ 0 & t_{22} & & \\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & t_{nn} \end{pmatrix}\]

    est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, \(T^{-1}\) est de la forme : \[T=\begin{pmatrix} t_{11}^{-1} & * & \dots & * \\ 0 & t_{22}^{-1} & & * \\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots \newline 0 & \dots & 0 & t_{nn}^{-1} \end{pmatrix}.\]

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Inverse d’une suite convergente
[ Proposition ]
Soit \((u_n)\) une suite et \(l \in \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l \in \mathbb{R}\),

  2. \(l \neq 0\).

Alors \(\dfrac{1}{u_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{1}{l}\).
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inversible
[ Definition ]
Soit \(A=(A, + , \; \cdot)\) un anneau. Un élément \(a\in A\) est inversible s’il existe un élément \(b\in A\) tel que \(ab=1_A=ba\). On note \(A^*\) l’ensemble des éléments inversibles de \(A\). L’anneau \(A\) est un corps si \(A^*=A\setminus \{0\}\), c’est-à-dire que tout élément non nul de \(A\) est inversible (et que \(A\neq \{0_A\}\)).
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Involution
[ Definition ]
Un endomorphisme \(f\) est une involution lorsque \(f\circ f =Id\).
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Isométrie
[ Definition ]
Étant donnés deux espaces métriques \(E\) et \(F\), une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est une isométrie si \(\forall (x,y)\) \(d_F(f(x),f(y))=d_E(x,y)\).
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Isométries directes en dimension \(3\) : rotations vectorielles
[ Théorème ]
Soit une isométrie directe \(u\in \mathrm{O}_{ }^{+}(E_3)\). On note \(E(1) = \operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le sous-espace vectoriel formé des vecteurs invariants par \(u\). On a montré que :
  1. Si \(u \neq \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\), \(E(1)\) est une droite vectorielle \(D = \mathop{\mathrm{Vect}}(\varepsilon_3)\)\(\varepsilon_3\) est un vecteur de norme \(1\) ;

  2. Pour toute base orthonormée directe \(\varepsilon= (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) (le troisième vecteur \(\varepsilon_3\) dirigeant l’axe et fixé), la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\) s’écrit : \[\boxed{Mat_e(u) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta&0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \newline 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} .\] On dit que \(u\) est la rotation d’axe \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_3)\) et d’angle \(\theta\).

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Isométries directes et indirectes
[ Definition ]
Soit une isométrie \(u \in \mathrm{O}_{ }(E)\) d’un espace euclidien orienté \(E\). Alors \(\mathop{\rm det}(u) = \pm 1\). On dit que \(u\) est une isométrie directe de \(E\) lorsque \(\mathop{\rm det}(u) = +1\), et une isométrie indirecte lorsque \(\mathop{\rm det}(u) = -1\). On note \(\mathrm{O}_{ }^{+}(E)\) l’ensemble des isométries directes, et \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) l’ensemble des isométries indirectes de \(E\). L’ensemble \(\mathrm{O}_{ }^{+}(E)\) est un sous-groupe du groupe orthogonal \((\mathrm{O}_{ }(E), \circ)\).
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Isométries indirectes et réflexion
[ Théorème ]
Une isométrie indirecte d’un espace euclidien orienté de dimension \(2\) est une symétrie orthogonale par rapport à une droite, c’est-à-dire une réflexion.
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isomorphisme
[ Definition ]
Étant donnés \(X\) et \(X'\) deux \(G\)-ensembles, on appelle \(G\)-homomophisme de \(X\) vers \(X'\) une application \(\phi\) de \(X\) dans \(X'\) telle que \(\phi(g.x)=g.\phi(x)\) pour tous \(x\in X\) et \(g\in G\). On note \(Hom(X,X')\) l’ensemble des homomorphismes de \(X\) sur \(X'\). Comme d’habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
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isomorphisme
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
  • Si \(F=\mathbb{K}\), on dit que \(f\) est une forme linéaire. On note \(E^*\) l’ensemble des formes linéaires sur \(E\).

  • Si \(E=F\), on dit que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).

  • Si \(f:E\rightarrow F\) est bijective, on dit que \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\).

  • Si \(f\) est à la fois un endomorphisme de \(E\) et un isomorphisme, on dit que \(f\) est un automorphisme de \(E\).

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Isomorphisme d’espaces normés
[ Definition ]
Un isomorphisme de l’espace vectoriel normé \(E\) sur l’espace vectoriel normé \(F\) est une application \(\phi : E \rightarrow F\) linéaire continue et bijective d’inverse continue. On note \(Isom(E,F)\) le sous-ensemble de \({\cal L}(E,F)\) formé des isomorphismes de \(E\) dans \(F\).
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