Lexique mathématique
I
Idéal à droite
[ Definition ]
On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).
\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si
\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition
\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))
Idéal à gauche
[ Definition ]
On se donne \((A,+,\times)\) un anneau et \(I\) une partie non vide de \(A\).
\(I\) est un idéal à gauche (resp. à droite) de \((A,+,\times)\) si
\(\bullet\)\(I\) est stable pour l’addition
\(\bullet\)\(A.I\) est inclus dans \(I\) (resp. \(I.A\) est inclus dans \(I\))
Idéal engendré par une partie
[ Definition ]
Une intersection d’idéaux étant un idéal, on peut définir l’idéal engendré par une partie de \(A\) comme l’intersection de tous les idéaux contenant cette partie. C’est donc aussi le plus petit idéal contenant cette partie. On note \((E)\) l’idéal engendré par \(E\).
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Idéal principal
[ Definition ]
On appelle idéal principal un idéal \(I\) d’un anneau commutatif engendré par un singleton \(\{x\}\). On note abusivement \((x)\) pour \((\{x\})\).
Un idéal est dit de type fini s’il est somme d’un nombre fini d’idéaux principaux.
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On appelle anneau principal un anneau intègre tel que tout idéal est principal.
Un idéal \(I\) d’un anneau commutatif est dit idéal maximal s’il est différent de l’anneau tout entier et si tout idéal incluant \(I\) est égal à \(I\) ou à l’anneau lui-même.
On appelle somme d’une famille d’idéaux \((I_k)_{k\in K}\) l’ensemble des \(\sum_{i \in J} x_i\) avec \(J\) fini inclus dans \(K\) et \(x_i \in I_i\).
Idempotent
[ Definition ]
On dit qu’un endomorphisme \(f\) est idempotent lorsque \(f\circ f=f\). Un endomorphisme idempotent est aussi appelé projecteur.
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Identification de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr V\) avec \(\mathbb{R}^2\)
[ Proposition ]
En résumé :
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Identification polynômes et fonctions polynomiales
[ Théorème ]
L’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right) \newline P & \longmapsto & \widetilde P \end{array} \right.\] qui envoie un polynôme sur sa fonction polynomiale associée est injective.
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Identité de Lagrange
[ Proposition ]
\[{\parallel}a \land b {\parallel}^2 = {\parallel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a|b>^2\]
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Identité de
Pythagore
[ Théorème ]
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs de \(E\). Alors \[\left( x \mid y \right) = 0 \Longleftrightarrow
\lVert x+y \rVert_{ }^2 = \lVert x \rVert_{ }^2 +\lVert y \rVert_{
}^2.\]
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Identité de \(E\)
[ Definition ]
Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On définit la fonction identité de \(E\) par \(Id_E: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x & \longmapsto & x \end{array} \right.\).
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Il suffit de la majorer
[ Proposition ]
Une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) est bornée si et seulement si elle est majorée en valeur absolue, c’est-à-dire \[\exists \alpha \in \mathbb{R}~ \forall x\in I, \quad \left|f(x)\right| \leqslant\alpha .\]
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Image
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. On appelle :
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Image de la probabilité
[ Definition ]
Si \((\Omega,\mathcal{A})\) est muni d’une
probabilité, alors la fonction mesurable \(f\) permet de définir de façon naturelle
une probabilité \(P_1\) sur \((\Omega_1,\mathcal{A}_1)\) ainsi: pour tout
\(B\in \mathcal{A}_1\) \[P_1(B)=P(f^{-1}(B)).\] La probabilité
\(P_1\) ainsi fabriquée est appelée
l’image de la probabilité \(P\) par la fonction mesurable \(f\). On parle aussi de la probabilité \(P_1\)
transportée de \(P\) par \(f\). On la note traditionnellement \(P_1=f_*P\). D’autres la notent plus
correctement \(Pf^{-1}\), mais c’est
moins commode.
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Image directe et réciproque de sous-groupes par un morphisme
[ Théorème ]
Soient \(\left(G_1,\star\right)\) et \(\left(G_2,\bullet\right)\) deux groupes et soit \(f~:~G_1
\mapsto G_2\) un morphisme de groupes.
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Image directe et réciproque d’une application linéaire
[ Théorème ]
Soit \(f:E\rightarrow G\) une application linéaire. Soient \(E'\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(F'\) un sous-espace vectoriel de \(F\) alors :
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Image d’un morphisme de groupes
[ Definition ]
On considère un morphisme de groupes \(f~:~G_1\mapsto G_2\). On note \(e_1\) l’élément neutre du groupe \(G_1\) et \(e_2\) l’élément neutre du groupe \(G_2\). On définit
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Image d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit \({\mathcal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan.
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Image d’un segment par une application continue
[ None ]
L’image d’un segment \([a,b]\) par une application continue est un segment et si \(m=\displaystyle{\inf_{[a,b]} f}\) et \(M=\displaystyle{\sup_{[a,b]} f}\) alors \(f\left([a,b]\right)=[m,M]\).
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Image inverse
[ Definition ]
si \(E\) et \(F\) sont des ensembles quelconques, si
\(f\) est une fonction définie sur
\(E\) et à valeurs dans \(F\), et si enfin \(B\) est un sous ensemble de \(F\), l’ensemble \(A\) des \(x\) de \(E\) tels que \(f(x)\) soit dans \(B\) sera désormais noté par \(A=f^{-1}(B).\) Nous l’appellerons
l’image inverse de \(B\) par
\(f\).
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Impaire
[ Definition ]
Soit une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) . On suppose que l’intervalle \(I\) est symétrique par rapport à l’origine (c’est-à-dire que si \(x\in I\) alors \(-x\in I\)). On dit que
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Indépendants
[ Definition ]
Deux \(\pi\)-systèmes \(P_1\) et \(P_2\) sur un même ensemble sont dits indépendants si pour tout \(p_1 \in P_1\) et tout \(p_2 \in P_2\) on a \[P(p_1 \cap p_2) = P(p_1).P(p_2)\]
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Indicatrice de Carmichael
[ Definition ]
Soit
\(n\) un entier \(\geq 2\). On définit \(\lambda(n)\) comme le maximum des ordres
des éléments du groupe \(({ \mathbb Z}/n{
\mathbb Z})^*\). On appelle indicatrice de
Carmichael l’expression \(\lambda(n)\).
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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Indice
[ Théorème ]
Soit \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\). L’indice de \(z\) par rapport à \(\gamma\) est entier, constant sur chaque composante connexe de \(\Omega\), et nul sur la seule composante connexe de \(\Omega\) qui ne soit pas bornée.
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Indice de \(H\) dans \(G\)
[ Definition ]
On appelle indice de \(H\) dans \(G\), avec \(H\) un sous-groupe de \(G\), le cardinal de \(G/H\).
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Inégalité de Bienaymé-Tchébitchev
[ None ]
Si les \((X_i)_{i\in[[1,n]]}\) sont deux à deux indépendantes, pour \(t>0\), \[P\left( |\sum_i X_i - E(X_i) | \geq t \right) \leq \frac{\sum_i
Var(X_i)}{t^2}.\]
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ |<x|y>| \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si et seulement si la famille est liée.
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Pour tous vecteurs \(x,y\in E\), on a l’inégalité de
Cauchy-Schwarz \[\boxed{\left| \left( x
\mid y \right) \right| \leqslant\lVert x \rVert_{ }\lVert y \rVert_{ }
}\] et on a égalité si et seulement si les deux vecteurs sont
colinéaires : \(\left| \left( x \mid y \right)
\right| = \lVert x \rVert_{ }\lVert y \rVert_{ }
\Longleftrightarrow\exists \lambda \in \mathbb{R} :\quad
(y=\lambda x \quad \textrm{ ou} \quad x = \lambda y)\).
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Inégalité de Cauchy-Schwarz
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions continues par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\). On a l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\boxed{ \left| \displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} fg \right| \leqslant
\sqrt{\displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} f} \sqrt{\displaystyle{\int_{[a,b]}^{ }} g} }\]
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Inégalité de convexité
[ Proposition ]
\[\boxed{\forall x\in\left]-1,+\infty\right[, \quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x }\]
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Inégalité de convexité généralisée
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) convexe sur l’intervalle \(I\). Alors \[\forall n\geqslant 2, \forall (x_1,\dots,x_n)\in I^n, \forall
(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in [0,1]^n \textrm{ tels que } \sum_{i=1}^n
\lambda_i=1\] \[f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n) \leqslant\lambda_1f(x_1)+\dots +
\lambda_n f(x_n).\]
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Inégalité de Jensen
[ Théorème ]
On se donne \(f\) une application de \(U\) dans \(\mathbb{R}\), avec \(U\) intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), et \(X\) une variable aléatoire, avec les hypothèses suivantes: \[\begin{aligned}
f \mbox{ convexe};\\
P( X \in U )=1 ;\\
E(|X|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $X$ est intégrable)};\newline
E(|f(X)|)<+\infty \mbox{ (c'est-à-dire que $f\circ X$ est intégrable)}.\end{aligned}\] \[\mbox{Alors: } E(f(X)) \geq f(E(X))\]
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Inégalité de la moyenne
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\) alors on a l’inégalité de la moyenne \[\boxed{\displaystyle{\left|\int_{\left[a,b\right]}{fg}\right| \leqslant\sup_{\left[a,b\right]} \left|f\right|
\int_{\left[a,b\right]}{\left|g\right|} }}\]
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Inégalité de Markov
[ Théorème ]
Supposons \(X\) variable aléatoire , et \(f\) mesurable de \(\mathbb{R}\) muni des boréliens dans \([0,+\infty]\) muni des boréliens, avec \(f\) croissante. Alors \[E(f \circ X) \geq E(f \circ X ; X \geq c) \geq f(c).\int
\chi_{\{{\omega}; X({\omega}) \geq c\}}\] \[\mbox{qu'on peut aussi noter }E(f \circ X) \geq E(f \circ X ;
X \geq c) \geq f(c).P(X\geq c).\]
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Inégalité de
Minkowski
[ Théorème ]
Pour tous vecteurs
\(x,y\in E\), on a l’inégalité de
Minkowski \[\boxed{\Bigl|\lVert x
\rVert_{ } - \lVert y \rVert_{ } \Bigr| \leqslant
\lVert x+y \rVert_{ } \leqslant\lVert x \rVert_{ } + \lVert y
\rVert_{ } }\] et on a égalité dans la majoration de droite si et
seulement si les deux vecteurs \(x\) et
\(y\) se trouvent sur une même
demi-droite issue de l’origine : \(\exists
\lambda \geqslant 0:\quad y=\lambda
x\).
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Soient deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur le segment \([a, b]\). En notant \(\left\| f \right\|_2 = \sqrt{ \int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x }\), on a l’inégalité suivante \[\boxed{ \left\| f+g\right\|_2 \leqslant\left\| f \right\|_2 + \left\| g\right\|_2 }\]
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Inégalité de Minkowski
[ Théorème ]
Soit \(p\in ]1,+\infty[\), et soient \(f\) et \(g\) des fonctions mesurables de \(X\) dans \([0,+\infty]\).
Alors \[\left(\int(f+g)^p\right)^{\frac1p} \leq (\int f^p)^{\frac1p} +
(\int g^p)^{\frac1p}\]
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Inégalité de Minkowski
[ None ]
Dans un espace préhilbertien complexe \[\forall (x,y) \in E^2\ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}\] Il y a égalité si \(y={\lambda}.x\) ou \(x={\lambda}.y\) avec \({\lambda}>0\).
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Inégalité des accroissement finis (IAF)
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que
Alors on a \[\boxed{m\left(b-a\right)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant M\left(b-a\right)}\]
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Inégalité des accroissements finis
[ Théorème ]
Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}\) avec \(a < b\), et \(F\) un espace de Banach. On suppose que les deux fonctions \(f:[a,b] \rightarrow F\) et \(g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) sont continues sur \([a,b]\) et dérivables à droite sur \([a,b]\setminus D\) avec \(D\) au plus dénombrable. Si, pour tout \(t
\in [a,b] \setminus D\) on a \(\parallel f_d'(t) \parallel \leq g_d'(t)\), alors \(\parallel f(b) -f(a) \parallel \leq g(b)-g(a)\).
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Inégalité de Schwartz
[ None ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors \[\int |f.g| \leq \sqrt{\int f^2}.\sqrt{\int g^2}\]
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Inégalité de Schwarz
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), et soit \(\phi\) sa forme polaire. Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)\] et \[\phi(x,y)^2=q(x).q(y) \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est une famille liée.}
%\]
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Inégalité des grandes déviations
[ Théorème ]
Soit
\(\mu\) une mesure positive sur \(\mathbb R\) non concentrée en un point et
telle que l’intervalle des \(\theta\)
réels satisfaisant \(L(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\theta
x}\mu(dx)<\infty\) ait un intérieur \(\Theta\) non vide. On considère la fonction
strictement convexe sur \(\Theta\)
égale à \(k=\log L\) et l’intervalle
ouvert \(M=k'(\Theta),\) et on note
par \(\psi:M\rightarrow \Theta\) la
fonction réciproque de \(k'.\)
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Soit \(m=k'(\theta)\) fixé dans \(M\). Soient \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi \(e^{\theta x-k(\theta)}\mu(dx).\) Soit enfin \(a\in M\) avec \(m<a\) et les nombres \[\begin{aligned} u_n&=&\Pr(\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)\geq a)\newline h(m,a)&=&-\int_m^a(a-x)\psi'(x)dx=a(\psi(m)-\psi(a))+k(\psi(a))-k(\psi(m)). \end{aligned}\] Dans ces conditions on a
Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(E\) un espace de Banach, et \(f\) : \([a,b]\to E\) de classe \(C^n\) sur \([a,b]\) et \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); on suppose en outre que \(f^{(n+1)}\) est bornée par \(M\) sur \(]a,b[\).
Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\in I\). Si \(x\in I\), on peut, d’après le théorème précédent [Formule_de_Taylor], écrire \(f\left(x\right)\) sous la forme \[\begin{aligned}
f\left(x\right)&=&\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k +
\int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t\newline
&=&T_n\left(x\right) + R_n\left(x\right)
\end{aligned}\] On a alors \[\begin{aligned}
\boxed{\left|f\left(x\right)-T_n\left(x\right)\right| =
\left|R_n\left(x\right)\right| \leqslant\dfrac{\left|x-a\right|^{n+1}}{\left(n+1\right)!} M_{n+1}}
\end{aligned}\] où \(M_{n+1}\) est un majorant de \(\left|f^{\left(n+1\right)}\right|\) sur \(\left[a,x\right]\) (qui existe car \(f^{\left(n+1\right)}\) est continue sur le segment \(\left[a,x\right]\))
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalité isopérimétrique
[ Théorème ]
La courbe \(C^1\) fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
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Inégalités de Hölder
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions mesurables de \(X\) dans \(\overline{\mathbb{R}^+}\), et soient \(p\) et \(q\) deux réels \(\in ]1,\infty[\) conjugués, alors \[\int f.g \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int g^q)^{\frac1q}\]
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Inégalités de Minkowski
[ None ]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). Alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\]
\(\bullet\)Soit \(q\) une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), alors pour tout \(x\) et tout \(y\) dans \(E\) \[\sqrt{q(x+y)} = \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)} \Longrightarrow (x,y) \mbox{ est
une famille positivement liée.}\]
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Inégalités triangulaires
[ Proposition ]
Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), on a
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Injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\)
[ Definition ]
On définit une injection canonique de \(E\) dans son bidual \(E''\) par \(x \mapsto (f \mapsto f(x))\). À tout élement de \(E\) on associe donc une forme linéaire continue sur \(E'\) (il s’agit donc bien d’un élément de \(E''\).
On notera \(\phi_x\), pour \(x\) dans \(E\), l’application qui à \(f\) dans \(E'\) associe \(f(x)\).
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Intégrale
[ Definition ]
\(f:(X,{\cal A}) \rightarrow [0,+\infty]\) mesurable
On appelle intégrale de \(f\) sur \(E\) de \(f\) pour \(\mu\) \[%
%
\int_E f d\mu = sup_{s \leq f} \int_E s.d\mu\]
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Intégrale
[ Definition ]
\(s=\sum \alpha_i 1_{|A_i}\) avec la condition d’unicité donnée ci-dessus, alors on appelle intégrale sur \(E
\in {\cal A}\) de \(s\) pour la mesure \(\mu\) \[%
%
\int_E s.d\mu= \sum \alpha_i \mu(A_i \cap E)\]
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Intégrale (au sens de Lebesgue) d’une fonction intégrable
[ Definition ]
Étant donné \(f\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{R}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le réel \(\int f^+ - \int f^-\).
Étant donné \(f=g+i.h\) une fonction intégrable de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), on appelle intégrale de \(f\) et on note \(\int f\) le complexe \(\int g+i.\int h\).
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Intégrale de Riemann d’une fonction continue par morceaux
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) continue par morceaux sur un segment \([a,b]\). On considère les ensembles \[\mathscr
I_{<f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier
sur $\left[a,b\right]$ et $\varphi\leqslant f$}\right\}\] \[\mathscr I_{>f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier
sur
$\left[a,b\right]$ et $f\leqslant\varphi$}\right\}\] On a les propriétés suivantes,
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Intégrale d’une fonction en escaliers
[ Definition ]
Supposons que \(a<b\). Soit une fonction en escalier \(\varphi\in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) et \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) une subdivision subordonnée à \(\varphi\). Soient \(c_0,\ldots,c_{n-1}\in\mathbb{R}\) tels que : \(\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[ \quad
\varphi\left(x\right)=c_k\). On définit l’intégrale de la fonction en escalier \(\varphi\) entre \(a\) et \(b\) comme étant le nombre réel \[\int_{\left[a,b\right]}\varphi=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} c_k\left(x_{k+1}-x_k\right)}.\] Ce nombre ne dépend pas du choix de la subdivision \(\tau\) subordonnée à \(\varphi\).
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Intégrale d’une fonction paire ou impaire
[ Proposition ]
Soit \(a> 0\) et \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \(\left[-a,a\right]\).
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Intégrale d’une fonction périodique
[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur \(\mathbb{R}\), \(T\)-périodique. Soit \(\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2\) tel que \(a<b\). Alors : \[\boxed{\int_{a}^{a+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x= \int_{b}^{b+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\] \[\boxed{\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x= \int_{a+T}^{b+T} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]
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Intégrale sur une partie mesurable
[ Definition ]
Soit \(E\) une partie mesurable de \(X\), et \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), alors \(f\) est dite intégrable sur \(E\) si \(f.\chi_E\) est intégrable, avec \(\chi_E\) la fonction caractéristique de \(E\). On définit alors \(\int_E f=\int f.\chi_E\).
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Intégration d’un développement limité
[ Proposition ]
Supposons \(f\) de classe \(C^1\) au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+o((t-a)^n)\] Alors \[f(t)\!=\!f(a)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}\!+o((t-a)^{n+1})\]
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Intégration d’un développement limité au sens fort
[ Proposition ]
Supposons \(f\) dérivable au voisinage de \(a\), et \[f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+O((t-a)^{n+1})\] Alors \[f(t)\!=\! f(t_0)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}+O((t-a)^{n+2})\]
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Intégration par parties
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) des primitives de fonctions réglées sur \(I=[a,b]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Alors \[\int_I fg'=[fg]_a^b-\int_a^b f'g\] avec par définition \([fg]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)\).
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Intégrité de l’anneau des polynômes \(\mathbb{K}\left[X\right]\)
[ Proposition ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). \[\boxed{P\times Q=0 \Rightarrow P=0 \textrm{ ou } Q=0}\]
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Intérieur
[ Definition ]
L’intérieur du sous-ensemble \(A\) de l’espace topologique \(X\), noté \(Int(A)\), est la réunion de tous les ouverts inclus dans \(A\), c’est donc le plus grand ouvert contenu dans \(A\).
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Interprétation du déterminant en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour la droite \((BH)\) l’orientation dans le sens directement orthogonale à \(\overrightarrow{OA}\). On a alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = OA.\overline{HB}.}\] La valeur absolue de ce déterminant correspond à l’aire du parallélogramme construit selon les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
En savoir plus
Interprétation du produit mixte en terme de volume
[ Théorème ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Notons \(\mathcal V\) le volume du parallélépipède \(\mathcal P\) construit à partir de ces \(3\) vecteurs. On a : \[\boxed{\mathcal V = \left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\right|}\]
En savoir plus
Interprétation du produit scalaire en terme de projection
[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour cette droite l’orientation donnée par le vecteur \(\overrightarrow{OA}\). On a alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overline{OA}\,.\,\overline{OH}}\]
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto \bar z\)
[ Proposition ]
La réflexion d’axe \((O,\overrightarrow{\imath})\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(\bar z\).
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Interprétation géométrique de \(z\mapsto z+a\)
[ Proposition ]
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur d’affixe \(a\). La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) est l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point d’affixe \(z+a\).
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Intervalle
[ Definition ]
Soit \(I\) une partie de \(\mathbb{R}\). On dit que \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(\forall x,y\in I,\quad \left[x,y\right]\subset
I\).
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Intervalle stable
[ Definition ]
On dit qu’un intervalle \(I\) est stable par la fonction \(f\) lorsque \(f(I) \subset I\), c’est-à-dire \(\forall x \in I\), \(f(x) \in I\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Intuitif pour les topologistes
[ Corollaire ]
Il existe \(\eta>0\) tel que la distance entre un point \(k\) de \(K\) à un point du complémentaire de \(\Omega\) soit toujours \(>\eta\).
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Invariance de l’intégrale par translation
[ Proposition ]
Soient \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \(\left[a,b\right]\) à valeurs réelles et \(T\in \mathbb{R}\). Soit \(f_T: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[a+T,b+T\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & f\left(x-T\right) \end{array} \right.\). Alors \(f_T\) est continue par morceaux sur le segment \(\left[a+T,b+T\right]\) et \[\boxed{\int_{a+T}^{b+T} f_T\left(x\right)\,\textrm{d}x=\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]
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Inverse d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire
[ None ]
Inverse d’une suite convergente
[ Proposition ]
Soit \((u_n)\) une suite et \(l \in \mathbb{R}\). On suppose que
Alors \(\dfrac{1}{u_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{1}{l}\).
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Inversible
[ Definition ]
Soit \(A=(A, + , \; \cdot)\) un anneau. Un élément
\(a\in A\) est inversible s’il
existe un élément \(b\in A\) tel que
\(ab=1_A=ba\). On note \(A^*\) l’ensemble des éléments inversibles
de \(A\). L’anneau \(A\) est un corps si
\(A^*=A\setminus \{0\}\), c’est-à-dire
que tout élément non nul de \(A\) est
inversible (et que \(A\neq \{0_A\}\)).
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Isométrie
[ Definition ]
Étant donnés deux espaces métriques \(E\) et \(F\), une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est une isométrie si \(\forall (x,y)\) \(d_F(f(x),f(y))=d_E(x,y)\).
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Isométries directes en dimension \(3\) : rotations
vectorielles
[ Théorème ]
Soit une isométrie directe \(u\in \mathrm{O}_{
}^{+}(E_3)\). On note \(E(1) =
\operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le
sous-espace vectoriel formé des vecteurs invariants par \(u\). On a montré que :
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Isométries directes et indirectes
[ Definition ]
Soit une isométrie \(u \in \mathrm{O}_{
}(E)\) d’un espace euclidien orienté \(E\). Alors \(\mathop{\rm det}(u) = \pm 1\). On dit que
\(u\) est une isométrie
directe de \(E\) lorsque \(\mathop{\rm det}(u) =
+1\), et une isométrie indirecte lorsque \(\mathop{\rm det}(u) = -1\). On note \(\mathrm{O}_{ }^{+}(E)\) l’ensemble des
isométries directes, et \(\mathrm{O}_{
}^{-}(E)\) l’ensemble des isométries indirectes de \(E\). L’ensemble \(\mathrm{O}_{ }^{+}(E)\) est un sous-groupe
du groupe orthogonal \((\mathrm{O}_{ }(E),
\circ)\).
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Isométries indirectes et réflexion
[ Théorème ]
Une isométrie
indirecte d’un espace euclidien orienté de dimension \(2\) est une symétrie orthogonale par
rapport à une droite, c’est-à-dire une réflexion.
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Isomorphisme
[ Definition ]
Étant donnés \(X\) et \(X'\) deux \(G\)-ensembles, on appelle \(G\)-homomophisme de \(X\) vers \(X'\) une application \(\phi\) de \(X\) dans \(X'\) telle que \(\phi(g.x)=g.\phi(x)\) pour tous \(x\in X\) et \(g\in G\). On note \(Hom(X,X')\) l’ensemble des homomorphismes de \(X\) sur \(X'\). Comme d’habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
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Isomorphisme
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
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Isomorphisme d’espaces normés
[ Definition ]
Un isomorphisme de l’espace vectoriel normé \(E\) sur l’espace vectoriel normé \(F\) est une application \(\phi : E \rightarrow F\) linéaire continue et bijective d’inverse continue. On note \(Isom(E,F)\) le sous-ensemble de \({\cal L}(E,F)\) formé des isomorphismes de \(E\) dans \(F\).
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