Lexique mathématique

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Homéomorphisme

[ Definition ]

Un homéomorphisme est une application bijective continue et de réciproque continue.

Homographies

[ Definition ]

Soit \(E\) et \(F\) des espaces vectoriels de même dimension finie, et \(f \in Isom(E,F)\). Alors \(f\) conservant l’alignement, on peut restreindre \(f\) à \(E\) privé de \(0\) et \(F\) privé de \(0\), on a encore une bijection; on peut alors considérer l’application quotient de \(f\); on obtient une bijection de \(P(E)\) sur \(P(F)\). Cette application est appelée homographie de \(P(E)\) sur \(P(F)\).

Une matrice associée à une homographie de \(P(E)\) dans \(P(F)\) dans des repères projectifs \(R\) et \(R'\) (de \(P(E)\) et \(P(F)\) respectivement) est la matrice dans des bases associées à \(R\) et \(R'\) d’un certain isomorphisme de \(E\) dans \(E'\) engendrant cette homographie. Un endomorphisme ayant pour matrice cette même matrice dans les mêmes bases est dit lui aussi associé à cette homographie.

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Homographies

[ Definition ]

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Homomorhisme de groupes

[ Definition ]

Soit \(G\) et \(H\) deux groupes. Une application \(f: G \rightarrow H\) est un homomorhisme de groupes si elle vérifie \[f(g_1 \star g_2) = f(g_1) \star f(g_2)\] quels que soient \(g_1, g_2\in G\). C’est un isomorphisme si en plus elle est bijective. Les groupes \(G\) et \(H\) sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de \(G\) vers \(H\).

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Homomorphisme d’anneaux

[ Definition ]

Soient \((A, +,\cdot)\) et \((B, +, \cdot)\) deux anneaux. Une application \(f: A \rightarrow B\) est un homomorphisme d’anneaux si elle vérifie \[\begin{aligned} f(a+a') & = & f(a) + f(a') \\ f(a \cdot a') & = & f(a) \cdot f(a') \newline f(1_A) & = & 1_B\end{aligned}\] quels que soient \(a,a'\in A\). C’est un isomorphisme d’anneaux si en plus, elle est bijective. Les anneaux \(A\) et \(B\) sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de \(A\) vers \(B\).

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Homothétie

[ Definition ]

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), notée \(t_{\overrightarrow{u}}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}\).
Soit \(\Omega\) un point du plan et \(\lambda\) un réel non nul. L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\), noté \(h_{\Omega,\lambda}\), est la transformation du plan qui à tout point \(M\in \mathscr P\) associe le point \(M'\in \mathscr P\) tel que \(\boxed{\overrightarrow{\Omega M'}=\lambda \overrightarrow{\Omega M}}\).

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Homothétie affine

[ Definition ]

Une application affine \(f\) est appelée homothétie affine si et seulement si \(\overrightarrow{f}\) est une homothétie (i.e. de la forme \(x \mapsto {\lambda}.x\) avec \({\lambda}\neq 0\)).

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Homothétie de \(E\)

[ Definition ]

Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On appelle homothétie vectorielle de rapport \(\lambda\in\mathbb{K}\) l’application \(h_\lambda=\lambda\cdot Id\), \(h_\lambda: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x & \longmapsto & \lambda\cdot x \end{array} \right.\).

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Hyperplan

[ Definition ]

On appelle hyperplan de \(E\) tout sous-espace vectoriel de \(E\) possèdant comme supplémentaire une droite vectorielle.

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Hypothèse du continu - hypothèse du continu généralisée

[ Definition ]

On appelle hypothèse du continu l’assertion \(\aleph_1=2^{\chi_0}\). On appelle hypothèse du continu généralisée l’assertion \(\aleph_{E+1}=2^{\chi_E}\) pour tout \(E\) ordinal.

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