Lexique mathématique

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G
Gauss
[ Corollaire ]
Soient \(a,b,c\in{ \mathbb Z}\). Si \(a\) divise \(bc\) et que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a\) divise \(c\).
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Généralisation
[ Definition ]
On dit que \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans un espace vectoriel normé \(E\) admet un développement limité en \(a\in \mathbb{R}\) à l’ordre \(n\) s’il existe un polynôme \(P\) à coefficients dans \(E\) telle que au voisinage de \(a\) \[f(x)=P(x)+o((x-a)^n).\]
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Généralisation du théorème
[ Théorème ]
[symderpar] Si \(f\) est une application \(n\) fois différentiable de \(E\) dans \(F\), où \(E\) et \(F\) sont des espaces de Banach , alors pour tout \(x\) de \(E\), \(f^{(n)}(x)\) est une application \(n\)-linéaire symétrique sur \(E\) à valeurs dans \(F\).
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Générateurs de \(GL(E)\) et \(SL(E)\)
[ Proposition ]
On a les générateurs suivants:

\(\bullet\)\(GL(E)\) est engendré par l’ensemble des transvections et des dilatations de \(E\).

\(\bullet\)\(SL(E)\) est engendré par l’ensemble des transvections de \(E\).
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G-orbite
[ Definition ]
On note \(G_x\) et on appelle stabilisateur ou fixateur de \(x\in X\) l’ensemble des \(g\in G\) tels que \(g.x=x\). C’est un sous-groupe de \(G\), qui n’est pas nécessairement distingué.

On appelle G-orbite de \(x\) appartenant à \(X\) (ou plus simplement orbite s’il n’y a pas de risque de confusion) et on note \({\omega}(x)\) ou \(G.x\) la classe d’équivalence de \(x\) pour la relation \({\cal R}\) définie par \(a {\cal R}b \iff \exists g \in G / g.a=b\) (il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence).

Un \(G\)-ensemble est dit homogène s’il ne contient qu’une seule orbite.

On dit que \(x \in X\) est un point fixe, si l’orbite de \(x\) est réduite à \(\{x\}\).

On dit que \(G\) opère transitivement si \(\forall x \forall y \exists g\: y=g.x\).

On dit que \(G\) opère \(k\) fois transitivement si \(\forall (x_i)_{i\in \{1,...,k\}} \forall (y_i)_{i\in \{1,...,k\}} (i\neq j \rightarrow x_i\neq x_j \land y_i \neq y_j ) \rightarrow \exists g \forall i \in \{1,...,k\} / y_i=g.x_i\).

On dit que \(G\) opère fidèlement si \((\forall x\ g.x=x) \rightarrow g=1\).

De manière équivalente, \(G\) opère fidèlement si l’action \(\alpha\) est injective (i.e. \(Ker\ \alpha=\{1\}\)), où l’on voit \(\alpha\) comme un morphisme de \(G\) dans l’ensemble des permutations (i.e. des bijections) de \(X\).
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Gradient
[ Definition ]
On définit le gradient de \(f\) au point \(M_0\) comme étant le vecteur \(\overrightarrow{\nabla} f(M_0) = \Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \Bigr)\). Alors pour tout accroissement \(\overrightarrow{H}=(h,k)\), \[{\mathrm{D}_{\overrightarrow{H}}}{f}(M_0) = {\mathrm{d}f}_{M_0}(\overrightarrow{H}) = \left( \overrightarrow{\nabla} f(M_0) \mid \overrightarrow{H} \right)\]
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Graphe orienté
[ Definition ]
Un graphe orienté est la donnée d’un couple \((X,U)\)\(X\) est un ensemble muni d’une relation binaire \(U\). Les éléments de \(X\) sont appelés les sommets du graphe et les éléments de \(U\) sont appelés les arcs du graphe.
On note \(\Gamma^+(x)\) l’ensemble des \(y\) tels que \((x,y) \in U\); on l’appelle ensemble des successeurs de \(x\).
On note \(\Gamma^-(x)\) l’ensemble des \(y\) tels que \((y,x) \in U\); on l’appelle ensemble des prédécesseurs de \(x\).
On note \(d^+(x)=|\Gamma^+(x)|\) le degré sortant ou degré externe de \(x\).
On note \(d^-(x)=|\Gamma^-(x)|\) le degré entrant ou degré interne de \(x\).
Si \(d^-(x)=0\) \(x\) est appelé une source.
Si \(d^+(x)=0\) \(x\) est appelé un puits.
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Graphe orienté
[ Definition ]
Un graphe orienté est la donnée d’un couple \((X,U)\)\(X\) est un ensemble muni d’une relation binaire \(U\). Les éléments de \(X\) sont appelés les sommets du graphe et les éléments de \(U\) sont appelés les arcs du graphe.

On note \(\Gamma^+(x)\) l’ensemble des \(y\) tels que \((x,y) \in U\); on l’appelle ensemble des successeurs de \(x\).

On note \(\Gamma^-(x)\) l’ensemble des \(y\) tels que \((y,x) \in U\); on l’appelle ensemble des prédécesseurs de \(x\).

On note \(d^+(x)=|\Gamma^+(x)|\) le degré sortant ou degré externe de \(x\).

On note \(d^-(x)=|\Gamma^-(x)|\) le degré entrant ou degré interne de \(x\).

Si \(d^-(x)=0\) \(x\) est appelé une source.

Si \(d^+(x)=0\) \(x\) est appelé un puits.
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Graphe orienté sans circuit
[ Definition ]
Un graphe orienté \((X,U)\) est dit sans circuit s’il n’existe pas de cycle formé par des arcs \((x_1,x_2), \ldots , (x_{n-1},x_n), (x_n, x_1)\). En anglais on parle de DAG (directed acyclic graph).
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Graphe orienté sans circuit
[ Definition ]
Un graphe orienté \((X,U)\) est dit sans circuit s’il n’existe pas de cycle formé par des arcs \((x_1,x_2), \ldots , (x_{n-1},x_n), (x_n, x_1)\). En anglais on parle de DAG (directed acyclic graph).
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groupe
[ Definition ]
Un groupe est un couple \((G, \star)\) formé d’un ensemble \(G\) et d’une application \[\star : G\times G \rightarrow G \: , \;(g,h) \mapsto g\star h\] appelée la loi du groupe telle que
  • la loi \(\star\) est associative (i.e. on a \((x\star y)\star z= x\star(y\star z)\) quels que soient \(x,y,z\in G\))

  • la loi \(\star\) admet un élément neutre (i.e. il existe \(e\in G\) tel que \(x\star e = e\star x=x\) quel que soit \(x\in G\))

  • tout élément \(x\) de \(G\) admet un inverse \(x'\) pour la loi \(\star\) (i.e. on a \(x\star x'= e = x'\star x\))

Un groupe \((G,\star)\) est commutatif si on a \(x\star y = y \star x\) quels que soient \(x,y\in G\).
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Groupe
[ Definition ]
Soit \(G\) un ensemble. On dit que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe si \(\star\) est une loi de composition interne sur \(G\) vérifiant :
  1. la loi \(\star\) est associative ;

  2. \(G\) possède un élément neutre ;

  3. tout élément \(x\) de \(G\) admet un symétrique.

Si de plus la loi \(\star\) est commutative, on dit que le groupe est abélien (ou commutatif).
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groupe affine d’un espace affine \(X\)
[ Definition ]
On appelle groupe affine d’un espace affine \(X\) l’ensemble des applications affines bijectives de \(X\) dans lui-même muni de la composition; c’est un groupe. On le note \(GA(X)\).

On appelle groupe spécial affine d’un espace affine \(X\) l’ensemble des applications affines bijectives \(f\) de \(X\) dans lui-même telles que \(det\ \overrightarrow f=1\), muni de la composition; c’est un groupe. On le note \(SA(X)\).

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Groupe alterné
[ Definition ]
La signature étant un morphisme de groupes, son noyau \[\operatorname{Ker}\varepsilon= \{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right) \mid \varepsilon(\sigma) = +1\}\] est un sous-groupe du groupe symétrique, appelé groupe alterné. On le note \(\mathcal{A}_n\).
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Groupe des permutations
[ Definition ]
Soit un ensemble \(E\). On appelle permutation de \(E\), une bijection \(\sigma:E\mapsto E\). On note \(\mathfrak{S}\left(E\right)\) l’ensemble des permutations de l’ensemble \(E\). On sait que \(\bigl(\mathfrak{S}\left(E\right), \circ \bigr)\) est un groupe (voir la proposition [prop_gr_sym] page [prop_gr_sym]), appelé groupe des permutations de l’ensemble \(E\).
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groupe des similitudes d’un espace euclidien \(E\)
[ Definition ]
On appelle groupe des similitudes d’un espace euclidien \(E\) et on note \(GO(E)\) l’ensemble des similitudes d’un espace euclidien \(E\), muni de la composition \(\circ\).
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Groupe de torsion
[ Definition ]
Un élément d’un groupe est dit élément de torsion s’il est d’ordre fini.

Un groupe abélien est dit sans torsion si aucun de ses éléments (autres que le neutre) n’est d’ordre fini.

Un groupe abélien est dit de torsion si tous ses éléments sont d’ordre fini.

Étant donné \(p\) un nombre premier, un groupe abélien est dit de p-torsion si tous ses éléments sont d’ordre une puissance de \(p\).

Un groupe abélien est dit libre s’il est isomorphe à \(\mathbb{Z}^n\) pour un certain \(n\in \mathbb{N}\).

On appelle sous-groupe de torsion d’un groupe abélien \(G\) le sous-groupe constitué par les éléments de torsion2.

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Groupe diédral
[ Definition ]
On appelle groupe diédral d’ordre \(n\) et on note \(D_n\) le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à \(n\) côtés. Il contient \(2.n\) éléments, comme on pourra s’en convaincre en distinguant le cas \(n\) pair et le cas \(n\) impair; \(n\) rotations et \(n\) symétries.

On note \(R_n\) l’ensemble des \(n\) rotations de \(D_n\).

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Groupe orthogonal
[ Théorème ]
\((\mathrm{O}_{ }(E), \circ)\) est un sous-groupe du groupe linéaire \((GL_{ }\left(E\right),\circ)\). On l’appelle le groupe orthogonal de \(E\).
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groupe orthogonal d’un espace euclidien \(E\)
[ Definition ]
On appelle groupe orthogonal d’un espace euclidien \(E\) l’ensemble des automorphismes orthogonaux de \(E\) muni de la composition \(\circ\); on le note \(O(E)\).

On appelle groupe spécial orthogonal d’un espace euclidien \(E\) l’ensemble des automorphismes orthogonaux de \(E\) de déterminant \(1\) muni de la composition \(\circ\); on le note \(SO(E)\) ou \(O^+(E)\).

On note \(O^-(E)\) le complémentaire de \(SO(E)\) dans \(O(E)\).

On note en outre \(O_n(\mathbb{R})\) l’ensemble \(O(\mathbb{R}^n)\) et \(SO_n(\mathbb{R})\) ou \(O_n^+(\mathbb{R})\) l’ensemble \(SO(\mathbb{R}^n)\).

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groupe orthogonal réel d’ordre \(n\)
[ Definition ]
On appelle groupe orthogonal réel d’ordre \(n\) l’ensemble des matrices \(M\) réelles de type \((n,n)\) telles que \(^tM.M=I\), on le note \(O_n(\mathbb{R})\) ; il s’agit d’un sous-groupe du groupe linéaire réel d’ordre \(n\).

On appelle groupe spécial orthogonal réel d’ordre \(n\) l’ensemble des matrices \(M\) réelles de type \((n,n)\) telles que \(^tM.M=I\) et \(det\ M=1\), on le note \(SO_n(\mathbb{R})\) ou \(O_n^+(\mathbb{R})\); il s’agit d’un sous-groupe du groupe orthogonal réel d’ordre \(n\) et d’un sous-groupe du groupe spécial linéaire d’ordre \(n\). C’est d’ailleurs leur intersection.

On appelle matrice orthogonale une matrice appartenant à \(O_n(\mathbb{R})\) pour un certain \(n\).
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Groupe produit
[ Proposition ]
On considère deux groupes \((G,\star)\) et \((H,\bullet)\) et sur l’ensemble \(G\times H\), on définit la loi \(\bigstar\) par : \[\forall ((x,y), (x',y'))\in (G\times H)^2, \quad(x,y) \bigstar (x',y')= (x\star x', y\bullet y')\] Alors \((G\times H, \bigstar)\) est un groupe appelé groupe produit.
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groupe projectif de \(E\)
[ Definition ]
L’ensemble des homographies d’un espace projectif \(P(E)\) sur lui-même forme un groupe pour \(\circ\); on l’appelle groupe projectif de \(E\), et on le note \(PGL(E)\).
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groupe projectif de \(E\)
[ Definition ]
L’ensemble des homographies d’un espace projectif \(P(E)\) sur lui-même forme un groupe pour \(\circ\); on l’appelle groupe projectif de \(E\), et on le note \(PGL(E)\).
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Groupes des bijections d’un ensemble
[ Proposition ]
Soit \(E\) un ensemble. On note \(\mathfrak S\left(E\right)\) l’ensemble des bijections de \(E\) dans \(E\). Alors \(\left(\mathfrak S\left(E\right),\circ\right)\) est un groupe (en général non abélien).
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Groupe \(\mathbb U\) des nombres complexes de module \(1\)
[ Proposition ]
Nous noterons \(\mathbb U\), l’ensemble des nombres complexes de module égal à \(1\) \[\boxed{\mathbb U=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ |z|=1\right\}}\] Cet ensemble vérifie les propriétés suivantes.
  1. \(\mathbb U\) est stable pour le produit : \(\forall z,z'\in\mathbb U,\quad z.z'\in\mathbb U\).

  2. Le produit est associatif : \(\forall z,z',z''\in\mathbb U,\quad (z\times z')\times z''=z\times(z'\times z'')\).

  3. Le complexe \(1\) est élément de \(\mathbb U\) et est l’élément neutre du produit : \(\forall z\in\mathbb U,\quad z\times 1=1\times z=z\).

  4. Si \(z\) est élément de \(\mathbb U\), alors son inverse \(\dfrac{1}{z}\) aussi. De plus, on a \(\boxed{\dfrac{1}{z}=\bar z}\).

  5. Le produit est commutatif : \(\forall z,z'\in \mathbb U,\quad z\times z'=z'\times z\).

On dit que \((\mathbb U,\times)\) est un groupe commutatif appelé groupe des nombres complexes de module \(1\).
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groupe spécial linéaire
[ Definition ]
Le noyau de l’homomorphisme qui à \(f\) associe son déterminant est par définition l’ensemble des automorphismes de déterminant \(1\); on l’appelle groupe spécial linéaire et on le note \(SL(E)\).
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Groupe spécial orthogonal \({O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )\)
[ Definition ]
Soit une matrice orthogonale \(A \in \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} )\). Alors \(\mathop{\rm det}(A) = \pm 1\). On définit les sous-ensembles de \(\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} )\) suivants : \[{O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )= \{A \in \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} ) \mid \mathop{\rm det}A = +1 \} \quad \mathrm{O}_{n}^{-}(\mathbb{R} ) = \{A \in \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} ) \mid \mathop{\rm det}A = -1 \}\] Les matrices de \({O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )\) sont appelées spéciales orthogonales. L’ensemble \({O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )\) est un sous-groupe du groupe orthogonal \((\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} ), \times)\).
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Groupe symétrique
[ Definition ]
Lorsque l’ensemble \(E = [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), on note \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) le groupe des permutations de \(E\) qui est un groupe fini de cardinal \(n!\). Ce groupe s’appelle le groupe symétrique d’ordre \(n\). Une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) se note \[\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & \dots & n \newline \sigma(1) & \dots & \sigma(n) \end{smallmatrix}\bigr)\]
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groupe unitaire complexe d’ordre \(n\)
[ Definition ]
L’ensemble des matrices \(M\) de type \((n,n)\) à coefficients dans \(\mathbb{C}\) telles que \(^t\overline M.M=I\) est un groupe pour \(\circ\); on l’appelle groupe unitaire complexe d’ordre \(n\), et on le note \(U_n(\mathbb{C})\). L’ensemble des matrices \(M\) de type \((n,n)\) à coefficients dans \(\mathbb{C}\) telles que \(^t\overline M.M=I\) et \(det\ M=1\) est un groupe pour \(\circ\); on l’appelle groupe spécial unitaire complexe d’ordre \(n\); on le note \(SU_n(\mathbb{C})\), c’est un sous-groupe de \(U_n(\mathbb{C})\).
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groupe unitaire de \(E\)
[ Definition ]
On appelle groupe unitaire de \(E\) et on note \(U(E)\) avec \(E\) un espace hermitien (voir partie [hermit]) l’ensemble des automorphismes unitaires de \(E\), c’est-à-dire des automorphismes \(f\) de \(E\) tels que \(f^{-1}=f^*\), muni de la composition. On appelle groupe spécial unitaire de \(E\), et on note \(SU(E)\), avec \(E\) un espace hermitien, le sous-groupe de \(U(E)\) constitué des automorphismes unitaires de \(E\) de déterminant \(1\).
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