Lexique mathématique
F
Facteurs invariants
[ Definition ]
Les \(a_i\) sont appelés facteurs invariants du groupe.
La décomposition ainsi obtenue est appelée décomposition cyclique du groupe \(G\).
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Factorisation dans \(\mathbb{C}\left[X\right]\)
[ None ]
Tout polynôme de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) est scindé sur \(\mathbb{C}\), c’est-à-dire tout polynôme \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) s’écrit sous la forme : \[\boxed{P=a_p .\left(X-\alpha_1\right) \dots\left(X-\alpha_p\right)}\] où les scalaires \(\alpha_k\) sont les racines de \(P\) comptées avec leur multiplicité et \(a_p\) est le coefficient du terme dominant de \(P\).
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Factorisation dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\)
[ Théorème ]
Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme non nul. Alors, il existe \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\in\mathbb{R}\) non nécessairement deux à deux distincts, \(\left(b_1,c_1\right),\ldots,\left(b_s,c_s\right)\in\mathbb{R}^2\) non nécessairement deux à deux distincts tels que \(\Delta_l=b_l^2-4c_l<0\) pour tout \(\ell\in\llbracket 1,s\rrbracket\), et \(\lambda\in\mathbb{R}^*\) tels que : \[\boxed{P=a \prod_{k=1}^r \left(X-\alpha_k\right)
\prod_{\ell=1}^s \left(X^2+b_\ell X+c_\ell\right)}.\]
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Factorisation d’homomorphismes
[ Théorème ]
Soit \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe distingué de \(G\), \(\phi\) un homomorphisme de \(G\) vers un groupe \(G'\).
Si \(H \subset Ker\ \phi\), alors il existe une application \(\tilde
\phi\) de \(G/H\) dans \(G'\) telle que \[\phi=\tilde \phi \circ p\] avec \(p\) la projection canonique de \(G\) sur \(G/H\).
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Factorisation d’un homomorphisme
[ Definition ]
On dit que \(f\) homomorphisme d’un anneau \(A\) vers un anneau \(B\) se factorise par \(A/I\) avec \(I\) idéal de \(A\) si et seulement s’il existe \(g\) homomorphisme de \(A/I\) dans \(B\) tel que \(f(x)=g(\overline x)\).
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Factorisation par les angles moitiés
[ Proposition ]
Pour tout réel \(x\in\mathbb{R}\) : \[\boxed{ e^{ix}+1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left(
e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right)
=2e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) } \quad\quad
\boxed{ e^{ix}-1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left(
e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right)
=2ie^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) }\]
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Famille indépendante
[ Definition ]
Soit \((X_1,\ldots,X_N)\) une suite de v.a. sur
\((\Omega,\mathcal{A},P)\). On se
rappelle que si \(\mathcal{B}\) est la
tribu de Borel, alors par définition des variables aléatoires \(X_j^{-1}(\mathcal{B})=\mathcal{A}_j\) est
une sous tribu de \(\mathcal{A}.\)
Nous dirons que c’est une suite de variables aléatoires indépendantes
si la famille de sous tribus \(\{\mathcal{A}_1,\ldots,\mathcal{A}_N\}\)
est une famille indépendante.
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Famille indépendante
[ Definition ]
Soit \(\{A_1,\ldots, A_N\}\) une famille finie
d’évènements d’un espace de probabilité \((\Omega,\mathcal{A},P)\). On dit que c’est
une famille indépendante ( on dit parfois un "système
indépendant d’évènements") si pour toute partie non vide \(I\) de \(\{1,2,\ldots,N\}\) on a \[P(\cap_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in
I}P(A_i).\]
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Famille indépendante
[ Definition ]
Soit \(\{\mathcal{A}_1,\ldots, \mathcal{A}_N\}\)
une famille finie de sous tribus d’un espace de probabilité \((\Omega,\mathcal{A},P)\). On dit que c’est
une famille indépendante si pour tous \(B_j\in \mathcal{A}_j\) on a \[P(B_1\cap B_2\cap \ldots\cap B_N)=P(B_1)\ldots
P(B_N).\]
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Famille infinie d’évènements est
indépendante
[ Definition ]
Une famille infinie d’évènements est
indépendante si toute sous famille finie est
indépendante.
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Familles orthogonales et orthonormales
[ Definition ]
Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthogonale si \(i\not=j\) implique \(\phi(x_i,x_j)=0\).
Une matrice réelle ou complexe de type \((n,n)\) est dite orthogonale si la famille de ses vecteurs colonnes forme une famille orthonormale de \(\mathbb{K}^n\).
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Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si \(\phi(x_i,x_i)=\chi_{[\![1,rg(q)]\!]}(i)\).
Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si \(\phi(x_i,x_i)=\chi_{[\![1,p]\!]}(i)-\chi_{[\![p+1,rg(q)]\!]}(i)\) pour un certain \(p\) dans \([\![0,rg(q)]\!]\).
Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthonormale si \(\phi(x_i,x_j)=\delta_{i,j}\).
Fermeture ou adhérence
[ Definition ]
Si \(A \subset X\), l’adhérence (dite aussi fermeture) de \(A\) est l’intersection de tous les fermés contenant \(A\), c’est donc le plus petit fermé contenant \(A\). On note \(\overline A\) l’adhérence de \(A\).
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Fermeture transitive
[ Definition ]
On appelle fermeture transitive de \(E\) l’ensemble transitif dont l’existence est garantie par le théorème [ft].
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Fini
[ Definition ]
Un ordinal est dit fini si tout ordinal non vide inclus dans cet ordinal admet un prédécesseur. On appelle aussi entier naturel un ordinal fini.
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Fini
[ Definition ]
Un cardinal est dit fini s’il est fini en tant qu’ordinal. Dans le cas contraire il est dit infini. On note \(Card'\) la classe des cardinaux infinis.
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Fonction arccosinus
[ Proposition ]
La fonction cosinus est une bijection de \(\left[0,\pi\right]\) sur \(\left[-1,1\right]\). Sa bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée \(\operatorname{arccos}\): \[\operatorname{arccos} : \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & [0,\pi] \\ y & \longmapsto & \operatorname{arccos} y \end{array} \right.\]
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\[\begin{aligned} \forall y\in\left[-1,1\right], & & \cos\left(\operatorname{arccos} y\right)=y\\ \forall x\in\left[0,\pi\right], & & \operatorname{arccos} \left(\cos x\right)=x \end{aligned}\]
De plus \(\operatorname{arccos}\) : \(\quad\)
est strictement décroissante sur \(\left[-1,1\right]\).
est continue sur \(\left[-1,1\right]\).
est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et : \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \operatorname{arccos} ' y=\dfrac{-1}{\sqrt{1-y^2}}}\]
est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).
réalise une bijection de \(\left[-1,1\right]\) dans \(\left[0,\pi\right]\)
Fonction arcsinus
[ Proposition ]
La fonction sinus est une bijection de \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) sur \([-1;1]\). La bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée \(\operatorname{arcsin}\) \[\operatorname{arcsin} : \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\ y
& \longmapsto & \operatorname{arcsin} y \end{array} \right. .\] \[\begin{aligned}
\forall y\in\left[-1,1\right], & & \sin\left(\operatorname{arcsin} y\right)=y\\
\forall x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], & &
\operatorname{arcsin} \left(\sin x\right)=x \end{aligned}\] De plus, la fonction \(\operatorname{arcsin}\)
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est strictement croissante sur \(\left[-1,1\right]\).
est impaire.
est continue sur \(\left[-1,1\right]\).
est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \operatorname{arcsin} ' y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}}\]
de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).
réalise une bijection de \(\left[-1,1\right]\) dans \(\left[-\pi/2,\pi/2\right]\)
Fonction arctangente
[ Proposition ]
La fonction tangente est une bijection de \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Sa bijection réciproque est appelée fonction arctangente et est notée \(\operatorname{arctan}\): \[\operatorname{arctan} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \\ y & \longmapsto & \operatorname{arctan}
y \end{array} \right.\]
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\[\begin{aligned} \forall y\in\mathbb{R}, & & \tan\left(\operatorname{arctan} y\right)=y\\ \forall x\in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[, & & \operatorname{arctan} \left(\tan x\right)=x \end{aligned}\] La fonction \(\operatorname{arctan}\) \(\quad\)
est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
est impaire.
est continue sur \(\mathbb{R}\).
est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[\boxed{\forall y\in\mathbb{R}, \quad \operatorname{arctan} ' y=\dfrac{1}{1+y^2}}\]
est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\left]-\pi/2,\pi/2\right[\).
Fonction argument cosinus hyperbolique
[ Proposition ]
La fonction cosinus hyperbolique, restreinte à \(\mathbb{R}_+\), définit une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur son image \([1,+\infty[\). L’application réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argch}}\). \[\mathop{\mathrm{argch}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argch}}y \end{array} \right.\] \[\begin{aligned} \forall y\in\left[1,+\infty\right[, & & \mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}_+, & & \mathop{\mathrm{argch}}\left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argch}}\)
est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\).
est dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\) et : \[\boxed{\forall y\in\left]1,+\infty\right[, \quad \mathop{\mathrm{argch}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2-1}}}\]
est strictement croissante sur \(\left[1,+\infty\right[\).
réalise une bijection de \(\left]1,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\).
est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).
Fonction argument sinus hyperbolique
[ Proposition ]
La fonction sinus hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(\mathbb{R}\). L’application réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée \(\mathop{\mathrm{argsh}}\): \[\mathop{\mathrm{argsh}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argsh}}y \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} \forall y\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argsh}}\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argsh}}\)
est impaire.
est continue sur \(\mathbb{R}\).
est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall y\in\mathbb{R}, \quad \mathop{\mathrm{argsh}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}}\]
est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
Fonction argument tangente hyperbolique
[ Proposition ]
La fonction tangente hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(]-1,1[\). L’application réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argth}}\). \[\mathop{\mathrm{argth}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argth}}y \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} \forall y\in\left]-1,1\right[, & & \operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argth}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argth}}\left(\operatorname{th} x\right)=x\end{aligned}\]
La fonction \(\mathop{\mathrm{argth}}\)
est impaire.
est strictement croissante sur \(\left]-1,1\right[\).
est continue sur \(\left]-1,1\right[\).
est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \mathop{\mathrm{argth}}' y=\dfrac{1}{1-y^2}}\]
réalise une bijection de \(\left]-1,1\right[\) dans \(\mathbb{R}\).
est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).
Fonction caractéristique
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}^d\). On appelle fonction caractéristique de \(X\) la fonction \(\phi^X:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) \[\mbox{définie par }\phi^X(t)=E(e^{i<t,X>})\] Cette quantité est toujours bien définie.
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Fonction continue par morceaux sur un intervalle
[ Definition ]
On dit qu’une fonction définie sur un intervalle \(I\) est continue par morceaux sur \(I\) si et seulement si elle est continue par morceaux sur tout segment de \(I\).
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Fonction continue par morceaux sur un segment
[ Definition ]
Soit \(\left[a,b\right]\) un segment. On dit qu’une fonction \(\varphi : \left[a,b\right]\to\mathbb{R}\) est une fonction continue par morceaux sur \(\left[a,b\right]\) lorsqu’il existe une subdivision du segment \(\left[a,b\right]\) telle que
Pour tout \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), la restriction de \(\varphi\) à \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) est continue.
Pour tout \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), \(\varphi\) restreinte à \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) admet une limite finie strictement à droite en \(x_k\) et strictement à gauche en \(x_{k+1}\). Autrement dit, la restriction de \(\varphi\) à \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) est prolongeable par continuité sur \(\left[x_k,x_{k+1}\right]\).
Une telle subdivision est dite adaptée ou subordonnée à \(\varphi\).
Fonction continue sur un intervalle
[ Definition ]
On dit qu’une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si et seulement si la fonction \(f\) est continue en chaque point de \(I\). Cette définition s’écrit avec les quantificateurs sous la forme suivante : \[\forall a\in I, \quad \forall \varepsilon>0 \quad \exists \eta>0 \quad \forall x\in I \quad
\left|x-a\right|\leqslant\eta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|\leqslant\varepsilon\] On note \(\mathscr C\left(I\right)\) (ou \(\mathscr C^0\left(I\right)\), \(\mathscr C\left(I,\mathbb{R}\right)\), \(\mathscr C^0\left(I,\mathbb{R}\right)\)) l’ensemble des fonctions réelles continues sur l’intervalle \(I\).
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Fonction convexe
[ Definition ]
Soit \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset \mathbb{R}\). On dit que \(f\) est convexe lorsque \[\forall (x,y)\in I^2, \forall \lambda \in [0,1], \quad
f\bigl(\lambda x + (1-\lambda)y\bigr) \leqslant
\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\]
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Fonction cosinus
[ Proposition ]
La fonction cosinus, notée \(\cos\) est :
définie sur \(\mathbb{R}\).
à valeurs dans \(\left[-1,1\right]\).
paire.
\(2\pi\)-périodique.
continue sur \(\mathbb{R}\).
dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}, \quad \cos' x=-\sin x}\]
de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
Fonction croissante
[ Definition ]
Soit \(f \in
\mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\). On dit que :
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\(f\) est croissante si et seulement si \(\forall x,y\in I,~ x\leqslant y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)\).
\(f\) est décroissante si et seulement si \(\forall x,y\in I,~x\leqslant y \Rightarrow f(x)\geqslant f(y)\).
\(f\) est monotone si et seulement si \(f\) est croissante ou décroissante.
Fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\)
[ Definition ]
Soit \(f : U\subset \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\). On dit que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur l’ouvert \(U\) lorsque :
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En tout point \((x,y) \in U\), \(f\) possède des dérivées partielles \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\).
Chacune des fonctions \[\dfrac{\partial f}{\partial x} : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad \dfrac{\partial f}{\partial y} : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline (x,y) & \longmapsto & \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{array} \right.\] est continue sur \(U\).
Fonction de répartition
[ Definition ]
Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, la
fonction \(F_X\) définie sur \(\mathbb R\) par \[F_X(x)=P(\{\omega\in\Omega\ ; \ X(\omega)\leq
x\})\] est la fonction de répartition de la variable
aléatoire X.
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Fonction de répartition
[ Definition ]
Soit \(F\) une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R.\) On dit que \(F\) est une fonction de
répartition si elle satisfait aux trois propriétés suivantes:
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\(F\) est croissante (au sens large);
\(\lim_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0\) et \(\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1;\)
\(F\) est continue à droite en tout point \(x\), c’est-à-dire \(\lim_{h\searrow 0}F(x+h)=F(x).\)
Fonction dérivable à droite
[ Definition ]
Soient \(f\in \mathscr
F \left(I,\mathbb{R}\right)\), \(a\in I\) et \(\Delta_{a,f}\) le taux d’accroissement de \(f\) au point \(a\). On dit que
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\(f\) est dérivable à droite au point \(a\) si et seulement si \(\Delta_{a,f}\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(a\) à droite de \(a\).
\(f\) est dérivable à gauche au point \(a\) si et seulement si \(\Delta_{a,f}\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(a\) à gauche de \(a\).
Fonction d’Euler
[ Definition ]
On appelle fonction d’Euler la fonction \(\phi\) telle que \(\phi(n)\) soit le nombre d’entiers \(x\) tels que \(1\leq x \leq n\) et \(x \land n =1\).
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Fonction deux fois dérivable
[ Definition ]
On dit que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) lorsque la fonction \(f'\) est dérivable en tout point de \(I\). Sa dérivée est appelée fonction dérivée seconde de \(f\) et est notée \[f'' \quad \textrm{ ou} \quad D^2f \quad \textrm{ ou} \quad\dfrac{d^2f}{dt^2}\]
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Fonction dominée par une autre
[ Definition ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On dit que \(f\) est dominée par \(g\) au voisinage de \(a\) si et seulement si existe une fonction \(B\) définie au voisinage de \(a\) telle que
On note alors \(f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right)\).
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\(f\left(x\right)=B\left(x\right)g\left(x\right)\) au voisinage de \(a\)
\(B\) est bornée au voisinage de \(a\)
Fonction en escalier
[ Definition ]
Une fonction \(\varphi: \left[a,b\right]\to\mathbb{R}\) est une fonction en escalier sur le segment \(\left[a,b\right]\) s’il existe une subdivision \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) du segment \(\left[a,b\right]\) telle que \(\varphi\) est constante sur chaque intervalle \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) \[\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket, \quad \exists c_k\in\mathbb{R}, \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[, \quad \varphi\left(x\right)=c_k\]
La subdivision \(\tau\) est dite subordonnée à la fonction \(\varphi\).
On notera \(\mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions en escalier sur \([a,b]\) à valeurs réelles.
Fonction exponentielle complexe
[ Definition ]
Soit \(z=a+i\,b\) un nombre complexe. On appelle exponentielle de \(z\) le nombre complexe \[\boxed{e^z=e^{a+i b}=e^a e^{ib}}\] La fonction qui à tout nombre complexe \(z\) associe le nombre complexe \(e^z\) ainsi définie s’appelle fonction exponentielle complexe.
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Fonction intégrable
[ Definition ]
Une fonction \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) est dite intégrable si elle est mesurable et si \(\int |f|\) est finie. On note \({\cal L}^1(X,\mathbb{C})\) l’ensemble des fonctions intégrables de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), et \({\cal L}^1(X,\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions intégrables de \(X\) dans \(\mathbb{R}\). \({\cal L}^1(X)\) tout court désigne généralement \({\cal L}^1(X,\mathbb{R})\) (voir selon le contexte).
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Fonction majorée
[ Definition ]
Soit \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\). On dit que \(f\) est:
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Majorée si et seulement si \(\exists M \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \leqslant M\).
Minorée si et seulement si \(\exists m \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \geqslant m\).
Bornée si elle est majorée et minorée.
Fonction mesurable
[ Definition ]
Soit alors deux
espaces \(\Omega\) et \(\Omega_1\), chacun muni d’une tribu \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{A}_1\), et soit \(f\) une fonction définie sur \(\Omega\) à valeurs dans \(\Omega_1\) On dit que \(f\) est une fonction mesurable si
pour tout \(B\in \mathcal{A}_1\), alors
\(A=f^{-1}(B)\) est un élément de \(\mathcal{A}\).
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Fonction mesurable
[ Definition ]
Étant donné \((X,{\cal A})\) et \((Y,{\cal B})\) des espaces mesurables, \(f:X\rightarrow Y\) est dite mesurable si \(\forall B \in {\cal B},\ f^{-1}(B) \in {\cal A}\).
On définit parfois aussi la notion de fonction mesurable d’un espace mesurable vers un espace topologique; la condition est alors le fait que l’image réciproque d’un ouvert soit une partie mesurable.
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Fonction négligeable devant une autre
[ Definition ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On dit que \(f\) est négligeable devant \(g\) au voisinage de \(a\) si et seulement si il existe une fonction \(\varepsilon\) définie au voisinage de \(a\) telle que
\(f\left(x\right)=\varepsilon\left(x\right)g\left(x\right)\) au voisinage de \(a\)
\(\varepsilon\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow a]{}0\)
Fonction paire
[ Definition ]
Soit une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) . On suppose que l’intervalle \(I\) est symétrique par rapport à l’origine (c’est-à-dire que si \(x\in I\) alors \(-x\in I\)). On dit que
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La fonction \(f\) est paire si et seulement si \(\forall x\in I,~ f(-x)=f(x)\)
La fonction \(f\) est impaire si et seulement si \(\forall x\in I,~f(-x)=-f(x)\).
Fonction périodique
[ Definition ]
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est périodique si et seulement s’il existe un réel \(T>0\) tel que \(\forall x\in I,~f(x+T)=f(x)\). On dit que \(T\) est une période de \(f\) et que \(f\) est \(T\)-périodique.
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Fonction puissance
[ Definition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}\). On appelle fonction puissance d’exposant \(a\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \[\varphi_a: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & x^a=\exp\left(a\ln x\right) \end{array} \right.\]
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Fonctions de classe \(\mathcal{C}^{n}\)
[ Definition ]
On dit qu’une fonction \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur l’intervalle \(I\) si et seulement si
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\(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\),
la fonction \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
On note
\(\mathcal{C}^{0}\left(I\right)\) l’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal{C}^{0}\) sur \(I\), c’est-à-dire l’ensemble des fonctions continues sur \(I\).
Pour \(n\geqslant 1\), \(\mathcal{C}^{n}\left(I\right)\) l’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(I\).
\(\mathcal{C}^{+\infty}\left(I\right)\) l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur \(I\).
Fonctions de répartition à densité.
[ Definition ]
Fonctions de répartition à densité. Soit \(f\) une fonction positive définie sur \(\mathbb R\) qui ait des discontinuités au
plus en un nombre fini de points \(a_1<a_2<\cdots<a_N\) et qui soit
telle que les intégrales \(\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx\) convergent et
satisfassent \[\sum_{i=0}^N\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx=1,\]
avec la convention \(a_0=-\infty\) et
\(a_{N+1}=+\infty.\)
On définit alors la fonction \(F\)
par \(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt.\) Il
est clair que \(F\) est une fonction de
répartition. Ici, elle est de plus continue et, d’après le théorème
fondamental du calcul intégral, elle satisfait \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\notin \{a_1,\ldots ,a_N\}\). La fonction
\(f\) s’appelle alors la
densité de la fonction de répartition \(F\).
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Fonctions équivalentes
[ Definition ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On dit que \(f\) est équivalente à \(g\) au voisinage de \(a\) si et seulement si \[\boxed{f\left(x\right)-g\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right)}\] On note alors \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim} g\left(x\right)\).
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Fonction sinus
[ Proposition ]
La fonction sinus, notée \(\sin\) est :
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définie sur \(\mathbb{R}\).
à valeurs dans \(\left[-1,1\right]\).
impaire.
\(2\pi\)-périodique.
continue sur \(\mathbb{R}\).
dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}, \quad \sin' x=\cos x}\]
de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
Fonctions lipschitziennes
[ Definition ]
Soit un réel \(k \geqslant 0\).
En savoir plus
On dit qu’une fonction \(f: I \mapsto \mathbb{R}\) est \(k\)-lipschitzienne sur l’intervalle \(I\) si et seulement si \[\boxed{\forall (x,y)\in I^2,\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leqslant k\lvert x-y \rvert }\]
On dit qu’une fonction est lipschitzienne sur l’intervalle \(I\) s’il existe \(k\geqslant 0\) telle que \(f\) soit \(k\)-lipschitzienne.
On note \(\mathscr{L}(I)\) l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur l’intervalle \(I\).
Fonction \(k\) fois dérivable
[ Definition ]
Une fonction \(\overrightarrow{F} : I \rightarrow R^2\) est dite \(k\) fois dérivable sur \(I\) si ses fonctions coordonnées le sont.
Une fonction \(\overrightarrow{F}: I \rightarrow R^2\) est dite de classe \(\mathcal{C}^{k}\) sur \(I\) si ses fonctions coordonnées sont \(k\) fois dérivables sur \(I\) et si sa dérivée \(k\)-ième est continue.
Fonctions polynomiales
[ Definition ]
Soit \(P=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On appelle fonction polynomiale associée à \(P\) la fonction donnée par : \[\widetilde P: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline x & \longmapsto & a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \end{array} \right. .\] Nous noterons \(\mathscr P\) le sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right)\) des fonctions polynomiales.
En savoir plus
Fonction strictement convexe
[ Definition ]
On dit qu’une fonction \(f: I \mapsto \mathbb{R}\) est strictement convexe lorsque \(\forall (x, y)\in I^2\), \(x \neq y\), \[\forall \lambda \in ]0, 1[,\quad f\bigl(\lambda x + (1-\lambda) y \bigr)
< \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\]
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Fonction tangente
[ Proposition ]
La fonction tangente, notée \(\tan\), et donnée par : \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\] est :
définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).
à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
impaire.
\(\pi\)-périodique.
continue \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2} +k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).
dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan' x=1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}}\]
de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).
Fonction uniformément continue
[ Definition ]
Soit une fonction \(f~:~I \mapsto \mathbb{R}\) définie sur un intervalle \(I\). On dit qu’elle est uniformément continue sur \(I\) lorsque \[\forall \varepsilon> 0,\quad \exists \eta > 0:\quad ~\forall (x,y) \in I^2,\quad
\lvert x - y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Le nombre \(\eta\) est indépendant des réels \((x, y)\) et s’appelle un module d’uniforme continuité.
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Fonction vectorielle à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\)
[ Definition ]
Une fonction vectorielle \(\overrightarrow{F}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\) définie sur \(I\) est donnée par un couple \((x,y)\) de fonctions réelles définies sur \(I\). Les fonctions \(x: I \longrightarrow R\) et \(y: I \longrightarrow R\) s’appellent les composantes de \(\overrightarrow{F}\) ou les applications coordonnées de \(\overrightarrow{F}\) et: \[\overrightarrow{F}: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \newline t & \longmapsto & (x(t),y(t)) \end{array} \right. .\]
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Fondamental
[ Théorème ]
Si \(\sum a_n.z^n\) a pour rayon de convergence \(R\), la série de terme général \(\sum a_n.z^n\) converge normalement, donc uniformément, sur tout compact contenu dans le disque de centre \(0\) et de rayon \(R\).
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Fondamental! Matrice de la composée de deux applications linéaires
[ Théorème ]
Soient:
\(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(p\) et \(e=\left(e_1,\ldots,e_p\right)\) une base de \(E\).
\(F\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(q\) et \(f=\left(f_1,\ldots,f_q\right)\) une base de \(F\).
\(G\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(r\) et \(g=\left(g_1,\ldots,g_r\right)\) une base de \(G\).
\(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et \(v\in\mathfrak{L}\left(F,G\right)\).
Fondamental : résolution de l’équation différentielle homogène normalisée
[ Théorème ]
On suppose que :
\[\boxed{S_\mathbb{K}(E)=\left\{ t \mapsto \alpha e^{-A\left(t\right)} ~|~ \alpha\in \mathbb{K}\right\}}\]
En savoir plus
\(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).
\(a\) est une fonction continue définie sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
Alors les solutions de l’équation différentielle homogène normalisée : \[\boxed{\forall t\in I, \quad\quad y'\left(t\right)+a\left(t\right)y\left(t\right)=0 \quad (E)}\] sont données par les fonctions \[\boxed{\varphi_\alpha: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline t & \longmapsto & \alpha e^{-A\left(t\right)} \end{array} \right. }\] où \(\alpha \in\mathbb{K}\) et où \(A\) est une primitive de \(a\) sur \(I\).
Forme 2-affine
[ Definition ]
On appelle forme 2-affine une application d’un espace affine \(X\) de dimension finie dans \(\mathbb{K}\) telle qu’étant donné un certain repère cartésien \(R\), \(f(x)=\sum_{(i,j) \in [[1,n]]^2} A_{i,j}.x_i.x_j + 2 \sum_{i\in[[1,n]]} b_i.x_i +c\), avec \(x_i\) les coordonnées cartésiennes de \(x\) dans \(R\) et \(b\) un vecteur à \(n\) composantes, \(c\) un réel, \(A\) une matrice de type \((n,n)\) qui ne soit pas antisymétrique.
Forme bilinéaire sur \(E\)
[ Definition ]
On appelle forme bilinéaire sur \(E\) une forme multilinéaire de \({\cal L}_2(E)\).
Étant donnée \(\phi\) une forme bilinéaire on note \(^t\phi\) l’application \((x,y)\to \phi(y,x)\).
En savoir plus
Forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\)
[ Definition ]
Soit \(U\) un ouvert de \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach, soit \(F\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach.
On appelle forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\) une application de \(U\) dans \({\cal A}_p(E;F)\) 1.
La forme différentielle est dite de classe \(C^n\) si l’application est \(C_n\) (pour \(n\in \mathbb{N}\cup \{ \infty\}\)).
On note \(\Omega^{(n)}_p(U,F)\) l’ensemble des \(p\) formes différentielles de \(U\) dans \(F\) de classe \(C^n\).
Forme linéaire
[ Definition ]
On appelle forme linéaire sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathbb{K}\).
On appelle application linéaire canonique de \(E\) dans \(E^{**}\) l’injection qui à \(x\) associe \(\phi_x:u \mapsto u(x)\) (on vérifiera facilement que c’est une application linéaire).
En savoir plus
On appelle dual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) l’ensemble \(E^{*}\) des formes linéaires sur cet espace vectoriel.
On appelle bidual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel le dual de son dual. On le note \(E^{**}\).
Forme linéaire
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
En savoir plus
Si \(F=\mathbb{K}\), on dit que \(f\) est une forme linéaire. On note \(E^*\) l’ensemble des formes linéaires sur \(E\).
Si \(E=F\), on dit que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
Si \(f:E\rightarrow F\) est bijective, on dit que \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\).
Si \(f\) est à la fois un endomorphisme de \(E\) et un isomorphisme, on dit que \(f\) est un automorphisme de \(E\).
Forme n-linéaire antisymétrique
[ Definition ]
On dit qu’une forme \(n\)-linéaire \(\varphi\in \mathcal{L}^n(E)\) est antisymétrique lorsque \(\forall \sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\), \(\sigma \star
\varphi= \varepsilon(\sigma)\varphi\) où \(\varepsilon(\sigma)\) désigne la signature de la permutation \(\sigma\).
En savoir plus
Forme polaire de \(q\)
[ Definition ]
Étant donnée une forme quadratique \(q\) sur \(E\), l’unique forme bilinéaire symétrique \(\phi\) telle que pour tout \(x\), \(q(x)=\phi(x,x)\) est appelée forme polaire de \(q\).
En savoir plus
Forme quadratique associée à la forme bilinéaire \(\phi\)
[ Definition ]
Deux matrices \(P\) et \(Q\) sont dites congruentes si il existe \(M\) inversible telle que \(P=^tMQM\).
En savoir plus
Forme quadratique hermitienne
[ Definition ]
On appelle forme quadratique hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbb{C}\) telle qu’il existe une forme sesquilinéaire hermitienne \(\phi\) telle que pour tout \(x\) on ait \(q(x)=\phi(x,x)\). Cette forme sesquilinéaire hermitienne est unique (à vérifier plus bas); on l’appelle forme polaire de \(q\).
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Formes coordonnées associées
[ Definition ]
Etant donnée une base \((e_i)_{i\in [\![1,n]\!]}\) de \(E\), on appelle formes coordonnées associées les \(n\) formes linéaires \(e_j^*\) définies par \(e_j^*(e_i)=\delta_{i,j}\).
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Formes coordonnées associées
[ Definition ]
Étant donnée une base \((e_i)_{i\in [\![1,n]\!]}\) de \(E\), on appelle formes coordonnées associées les \(n\) formes linéaires \(e_j^*\) définies par \(e_j^*(e_i)=\delta_{i,j}\).
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Forme \(n\)-linéaire
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On dit qu’une application \(\varphi: E^n \mapsto \mathbb{K}\) est \(n\)-linéaire si elle est linéaire par rapport à chaque variable, les autres étant fixées : \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em],~\forall (x_1,\dots, x_{i-1}, x_{i+1},\dots, x_n) \in
E^n,~ \forall (x,y) \in E^2,~\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K} [2]\), \[\varphi(x_1,\dots, x_{i-1}, \lambda x + \mu y, x_{i+1},\dots, x_n) =
\lambda \varphi(x_1,\dots, x_{i-1},x, x_{i+1}, \dots, x_n) + \mu
\varphi(x_1,\dots, x_{i-1}, y, x_{i+1},\dots, x_n).\] Nous noterons \(\mathcal{L}^n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires sur l’espace \(E\).
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Formes quadratiques définies positives
[ Proposition ]
Si \(E\) est une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, alors il existe une base de \(E\) orthonormale pour \(q\).
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Formule de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]
On se donne \(\gamma\) un chemin fermé dans un ouvert convexe \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Si \(z \in \Omega\) et \(z \not \in \gamma^*\) alors \[f(z).Ind_\gamma(z)=\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma\frac{f(u)}{u-z}.du\]
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Formule de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]
On se donne \(\gamma\) un chemin fermé dans un ouvert convexe \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Si \(z \in \Omega\) et \(z \not \in \gamma^*\) alors \[f(z).Ind_\gamma(z)=\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma\frac{f(u)}{u-z}.du\]
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Formule de changement de base
[ Proposition ]
Soient :
\[\mathop{\rm det}_{e'}\left(x_1,\dots,x_n\right)=\mathop{\rm det}_{e'}\left(e_1,\dots,e_n\right)\times
\mathop{\rm det}_e\left(x_1,\dots,x_n\right)\]
En savoir plus
\(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\).
\(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base de \(E\).
\(e'=\left(e_1',\dots,e_n'\right)\) une autre base de \(E\).
\(\mathscr S=\left(x_1,\dots,x_n\right)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\).
Alors :
Formule de changement de base
[ Théorème ]
Soient \(e\) et \(e'\) deux bases de l’espace \(E\) et \((x_1,\dots, x_n)
\in E^n\). On a la relation suivante entre le déterminant des vecteurs dans les deux bases : \[\mathop{\rm det}_{e'}(x_1,\dots, x_n) = \mathop{\rm det}_{e'}(e_1,\dots,e_n) \times
\mathop{\rm det}_{e}(x_1,\dots, x_n).\]
En savoir plus
Formule de changement de base pour une application linéaire
[ Proposition ]
On considère :
\(e\) et \(e'\) deux bases du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\)
\(f\) et \(f'\) deux bases du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(F\)
Formule de changement de base pour une forme linéaire
[ Proposition ]
Soient \(e\) et \(e'\) deux bases du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Si \(\varphi\) est une forme linéaire sur \(E\), on a : \[\boxed{\textrm{ Mat}_{e'}\left(\varphi\right)
= \textrm{ Mat}_{e}\left(\varphi\right)\times
P_{e \rightarrow e'}}.\]
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Formule de changement de base pour un endomorphisme
[ Proposition ]
On considère \(e\) et \(e'\) deux bases du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et \(u\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). On a la formule de changement de base : \[\boxed{\textrm{ Mat}_{e'}\left(u\right)
= P_{e'\rightarrow e}\times\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)\times
P_{e \rightarrow e'}}\] qui s’écrit aussi avec \(P=P_{e \rightarrow e'}, A=\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)\) et \(A'=\textrm{ Mat}_{e'}\left(u\right)\) : \[\boxed{A'=P^{-1}AP}\]
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Formule de changement de base pour un vecteur
[ Proposition ]
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\). Considérons \(e\) et \(f\) deux bases de \(E\) et \(x\in E\). Alors : \[\boxed{\textrm{ Mat}_{f}\left(x\right)=P_{f\rightarrow e} \times\textrm{ Mat}_{e}\left(x\right)}.\]
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Formule de Leibnitz
[ Proposition ]
\[\partial^\alpha(f.g)=\sum_{\beta\leq \alpha} C_\alpha^\beta\partial^\beta f.\partial^{\alpha-\beta}
g\]
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Formule de Leibnitz
[ None ]
Si \(f_1 : U \rightarrow F_1\) et \(f_2 : U \rightarrow F_2\) sont différentiables en \(x\) et si \(B : F_1 \times F_2 \rightarrow G\) est bilinéaire continue, alors \(B(f_1,f_2) : x \mapsto B(f_1(x),f_2(x))\) est différentiable en \(x\) et \[DB(f_1,f_2)(x)(h)=B(f_1(x),Df_2(x)(h))+B(Df_1(x)(h),f_2(x))\] En outre si \(f_1\) et \(f_2\) sont \(C^1\) alors \(B(f_1,f_2)\) est \(C^1\).
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Formule de Leibniz
[ Proposition ]
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions \(n\) fois dérivables sur \(I\) alors il en est du même du produit \(fg\) et on a la formule de Leibniz qui permet d’exprimer la dérivée \(n\)-ième du produit \[\boxed{\left(fg\right)^{(n)}=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}
f^{(k)}g^{(n-k)}}}\]
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Formule de Leibniz pour les polynômes
[ Théorème ]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes. On a : \[\boxed{\left(PQ\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}P^{(n-k)}Q^{(k)}}.\]
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Formule de Mac Laurin
[ None ]
Il s’agit simplement de la même formule, dans le cas \(a=0\) (l’usage veut que ce cas particulier soit nommé « formule de Mac Laurin »). \[f(b)=P_{f,0,n}(b)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b)^{n+1}\]
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Formule de Moivre
[ Proposition ]
\[\forall \theta\in\mathbb{R},\quad \forall n\in\mathbb{Z},\quad
\boxed{e^{i n \theta}=\left(e^{i\theta}\right)^n}\]
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Formule de Taylor avec reste intégral
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Si \(\left(a,x\right)\in I^2\). Alors : \[\boxed{f\left(x\right)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k+
\int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t}\]
En savoir plus
Le polynôme \[T_n\left(x\right) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k = f\left(a\right) + \dfrac{\left(x-a\right)}{1!}f'\left(a\right) + \ldots +\dfrac{\left(x-a\right)^n}{n!} f^{\left(n\right)}\left(a\right)\] est appelé polynôme de Taylor de \(f\) de degré \(n\).
La fonction définie sur \(I\) par \[R_n\left(x\right)=\int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t\] est appelée reste intégral.
Formule de Taylor avec reste intégral
[ Théorème ]
Cette fois-ci, \(f\) est supposée \(C^{n+1}\) sur \([a,b]\) et à valeurs dans un espace de Banach. Alors: \[f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{1}{n!}\int_a^b (b-t)^n.f^{(n+1)}(t)dt\]
En savoir plus
Formule de Taylor intégrale à l’ordre \(2\)
[ Théorème ]
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On suppose que \(U\) est un ouvert convexe. Soit \(M_0=(x_0, y_0) \in U\) et un accroissement \(\overrightarrow{H}=(h,k)\) tel que \(M_0 + \overrightarrow{H}
\in U\). On a : \[f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0, y_0) + \Bigl[
\underbrace{h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,
y_0)}_{{\mathrm{d}f}_{M_0}(\overrightarrow{H})} \Bigr] + R(h,k)\] où \[R(h, k) = \displaystyle{\int_{0}^{1}} (1-t)\bigl[ h^2 \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {x}^{2}}(x_0+th,y_0+tk) +
2hk\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(x_0+th,y_0+tk) + k^2\dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}}(x_0+th, y_0+tk)
\bigr] \mathrm{ \;d}t\]
En savoir plus
Formule de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(f\) de classe \(C^n\) de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que \[f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\]
En savoir plus
Formule de Taylor pour les polynômes
[ Théorème ]
Soit \(P\) un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) et \(a\in\mathbb{K}\). Alors : \[\boxed{P=\sum_{k=0}^n {\scriptstyle P^{(k)}\left(a\right)\over\scriptstyle k!}\left(X-a\right)^k}.\]
En savoir plus
Formule de Taylor-Young
[ Théorème ]
Soient \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(a\in I\). Il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) telle que \[\forall x\in I,\quad f\left(x\right) =
T_n(x) + \left(x-a\right)^n \varepsilon\left(x\right)\] avec \(\varepsilon\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} 0\). Autrement dit, \[\boxed{\forall x\in I,\quad f\left(x\right) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k +
\underset{x \rightarrow a}{o}\left(\left(x-a\right)^n\right)}\]
En savoir plus
Formule de Taylor-Young
[ Théorème ]
On se donne une fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans un espace de Banach \(E\), \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors \[f(x)-P_{f,a,n}(x)=o((x-a)^n)\]
En savoir plus
Formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\)
[ Théorème ]
Si \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur l’ouvert convexe \(U \subset \mathbb{R} [2]\), pour \((x_0, y_0) \in U\) et \((h, k) \in
\mathbb{R} [2]\) tel que \((x_0+h,y_0+k) \in U\), \[f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0,y_0) + h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + k
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) + \dfrac{1}{2}\bigl[h^2 \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {(}^{2}}x_0,y_0) +
2hk\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}}(x_0,y_0)\bigr]
+ \lVert (h,k) \rVert_{ }^2R(h, k)\] avec \(R(h,k) \xrightarrow[(h,k) \rightarrow (0,0)]{} 0\).
En savoir plus
Formule d’Euler
[ Théorème ]
Supposons les \(a_i\) tous non nuls.
Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)
Formule d’Euler
[ Théorème ]
Supposons les \(a_i\) tous non nuls.
\[\frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}.\]
En savoir plus
Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)
Formule d’Euler
[ Théorème ]
Supposons les \(a_i\) tous non nuls.
Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)
Formule d’Hadamard
[ Théorème ]
On se donne \(\sum a_n.z^n\) une série entière. Soit \(L=limsup |a_n|^{1/n}\), alors le rayon de convergence est \(R=1/L\) (avec \(1/0=+\infty\) et \(1/+\infty=0\)).
En savoir plus
Formule d’inversion de Fourier
[ Théorème ]
On suppose que \(\phi^X\), fonction caractéristique de la variable aléatoire \(X\), est intégrable. Alors \(X\) admet une densité continue bornée \(f^X\), et on a \[f^X(x)=\frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} e^{-i<t,x>}\phi^X(t).dt.\]
En savoir plus
Formule du binôme de Newton
[ Proposition ]
Soit \(a\) et \(b\) dans un anneau \(A\). Si \(a\) et \(b\) commutent, alors \[(a+b)^n=\sum_{k\in[0,n]} C_n^k a^kb^{n-k}\]
En savoir plus
Formule du binôme de Newton et formule de factorisation
[ Théorème ]
Dans un anneau \((A,+,\times)\), si \((a,b)\in A^2\) vérifient \[\boxed{ a\times b = b\times a}\] Alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a la formule du binôme de Newton \[\boxed{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}}\] et pour tout \(n\geqslant 1\), la formule de factorisation suivante \[\boxed{a^n -b^n =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots + ab^{n-2}+b^{n-1})=
(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k}.\]
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Formule du déterminant par blocs
[ Proposition ]
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{p}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et \(C \in \mathfrak{M}_{n-p}(\mathbb{\mathbb{K} })\) deux matrices carrées et \(B \in \mathfrak{M}_{p,n-p}(\mathbb{\mathbb{K} })\) une matrice rectangulaire. On définit la matrice carrée par blocs : \[M = \begin{pmatrix} A & B \newline 0_{n-p,p} & C \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) .\] On sait calculer un déterminant avec un bloc de zéros en bas à gauche : \[\boxed{\mathop{\rm det}(M) = \mathop{\rm det}(A) \mathop{\rm det}(C) }\]
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Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques
[ Proposition ]
Pour tout \(x,y\in\mathbb{R}\) :
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\[\begin{aligned}
\mathop{\mathrm{ch}}(x+y)&=&\mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{ch}}y + \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\
\mathop{\mathrm{ch}}(x-y)&=&\mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{ch}}y - \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\
\mathop{\mathrm{sh}}(x+y)&=&\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}y + \mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\
\mathop{\mathrm{sh}}(x-y)&=&\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}y - \mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\operatorname{th} (x+y)&=&\dfrac{\operatorname{th} x + \operatorname{th} y}{1 + \operatorname{th} x \operatorname{th} y }\newline
\operatorname{th} (x-y)&=&\dfrac{\operatorname{th} x - \operatorname{th} y}{1 - \operatorname{th} x \operatorname{th} y }\end{aligned}\]
Formules de Cramer
[ Théorème ]
Considérons le système d’équations linéaire \(MX=Y\), avec \(M\) de type \((n,n)\):
Alors \(X\) est solution, avec \[x_i=\frac{
\left|
\begin{array}{cccccccc}
M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,i-1} & Y_1 & M_{1,i+1} & \dots & M_{1,n} \\
M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,i-1} & Y_2 & M_{2,i+1} & \dots & M_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,i-1} & Y_n & M_{n,i+1} & \dots & M_{n,n} \newline
\end{array}
\right|
}{
det\ M
}\]
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\[M=\left( \begin{array}{cccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array} \right),\ \ \ \ Y=^t\!\!(y_1,...,y_n)=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n\end{array}\right).\]
On suppose en outre que \(M\) est inversible.
Formules de Cramer
[ Proposition ]
Si \(\left(\mathscr S\right)\) est un système de Cramer d’écriture matricielle \(AX=B\), l’unique solution de \(\left(\mathscr S\right)\) est le \(n\)-uplet \(\left(x_1,\dots,x_n\right)\) tel que :
\[\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad \boxed{x_i={\scriptstyle\mathop{\rm det}A_i\over\scriptstyle\mathop{\rm det}A}}\] où \(A_i\) est la matrice obtenue en remplaçant la \(i\)-ème colonne de \(A\) par \(B\).
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Formules de Cramer
[ Théorème ]
Soit \(A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K} )\) une matrice inversible. Notons \(C_1,\dots, C_n\) les vecteurs colonnes de \(A\). Le système de Cramer \(AX
= B\) possède une unique solution \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \newline
x_n\end{pmatrix}\) et on sait exprimer \(x_i\) à l’aide de déterminants : \[\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em], \quad x_i = \dfrac{\mathop{\rm det}(A_i)}{\mathop{\rm det}(A)}\] où \(A_i\) est la matrice obtenue en remplaçant la \(i\)-ème colonne de \(A\) par le second membre \(B\).
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Formules de Cramer
[ Théorème ]
Considérons le système d’équations linéaire \(MX=Y\), avec \(M\) de type \((n,n)\):
\[M=\left( \begin{array}{cccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array} \right),\ \ \ \ Y=^t\!\!(y_1,...,y_n)=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n\end{array}\right).\]
On suppose en outre que \(M\) est inversible.
Formules d’Euler
[ Théorème ]
\[\forall \theta\in\mathbb{R},\quad
\boxed{\cos \theta=\dfrac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}} \quad \textrm{ et} \quad
\boxed{\sin \theta=\dfrac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}}\]
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Fraction continue
[ Definition ]
On se donne un entier \(p>1\). On appelle représentation \(p\)-adique du réel \(x\) la suite d’entiers \((c_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par
\[c_n=\left\{ \begin{array}{l}E(x) \mbox{ si $n=0$}\newline \frac{1}{p^n}[E(p^nx)-pE(p^{n-1}x)] \mbox{ sinon} \end{array}\right.\]
Fraction continue
[ Definition ]
On se donne un entier \(p>1\). On appelle représentation \(p\)-adique du réel \(x\) la suite d’entiers \((c_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \[c_n=\left\{ \begin{array}{l}E(x) \mbox{ si $n=0$}\newline \frac{1}{p^n}[E(p^nx)-pE(p^{n-1}x)] \mbox{ sinon} \end{array}\right.\] (\(E(y)\) désignant la partie entière de \(y\)).
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Fractions continues
[ Definition ]
Une fraction continue est un objet de la forme suivante: \[[a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}}\]
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Elle est caractérisée par une suite d’entiers qui est finie ou infinie.
On appelle convergents d’une fraction continue la suite de numérateurs \(p_n\) et de dénominateurs \(q_n\) définis par:
\(p_0=a_0\), \(q_0=1\)
\(p_1=a_0a_1+1\), \(q_1=1\)
\(\vdots\)
\(p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\),\(q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\).
Fractions continues
[ Definition ]
Une fraction continue est un objet de la forme suivante:
\[[a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}}\]
Elle est caractérisée par une suite d’entiers qui est finie ou infinie.
On appelle convergents d’une fraction continue la suite de numérateurs \(p_n\) et de dénominateurs \(q_n\) définis par:
\(p_0=a_0\), \(q_0=1\)
\(p_1=a_0a_1+1\), \(q_1=1\)
\(\vdots\)
\(p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\),\(q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\).
Fubini
[ Théorème ]
On suppose \((X,{\cal X},\mu_X)\) et \((Y,{\cal Y},\mu_Y)\) des espaces mesurés de mesures \(\sigma\)-finies. Soit \(f\) mesurable de \((X\times Y,{\cal X}\otimes {\cal Y},\mu_X \otimes
\mu_Y)\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
\(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est mesurable positive, et \[\int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est mesurable positive. et \[\int_X ( \int_Y f_{2,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(x\), \(f_{2,x}\) est intégrable, et \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_X
( \int_Y f_{1,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(y\), \(f_{1,y}\) est intégrable, et \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_Y
( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\]
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Alors:
\(\bullet\)pour tout \(x\in X\) l’application \(f_{2,x} : y\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((Y,{\cal Y})\).
\(\bullet\)pour tout \(y\in Y\) l’application \(f_{1,y} : x\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((X,{\cal X})\).