Lexique mathématique

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F
facteurs invariants
[ Definition ]
Les \(a_i\) sont appelés facteurs invariants du groupe. La décomposition ainsi obtenue est appelée décomposition cyclique du groupe \(G\).
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Factorisation d’homomorphismes
[ Théorème ]
Soit \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe distingué de \(G\), \(\phi\) un homomorphisme de \(G\) vers un groupe \(G'\). Si \(H \subset Ker\ \phi\), alors il existe une application \(\tilde \phi\) de \(G/H\) dans \(G'\) telle que \[\phi=\tilde \phi \circ p\] avec \(p\) la projection canonique de \(G\) sur \(G/H\).
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Factorisation d’un homomorphisme
[ Definition ]
On dit que \(f\) homomorphisme d’un anneau \(A\) vers un anneau \(B\) se factorise par \(A/I\) avec \(I\) idéal de \(A\) si et seulement s’il existe \(g\) homomorphisme de \(A/I\) dans \(B\) tel que \(f(x)=g(\overline x)\).
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Factorisation par les angles moitiés
[ Proposition ]
Pour tout réel \(x\in\mathbb{R}\) : \[\boxed{ e^{ix}+1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left( e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right) =2e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) } \quad\quad \boxed{ e^{ix}-1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left( e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right) =2ie^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) }\]
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Familles orthogonales et orthonormales
[ Definition ]
Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthogonale si \(i\not=j\) implique \(\phi(x_i,x_j)=0\).

Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si \(\phi(x_i,x_i)=\chi_{[\![1,rg(q)]\!]}(i)\).

Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si \(\phi(x_i,x_i)=\chi_{[\![1,p]\!]}(i)-\chi_{[\![p+1,rg(q)]\!]}(i)\) pour un certain \(p\) dans \([\![0,rg(q)]\!]\).

Une famille \((x_i)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthonormale si \(\phi(x_i,x_j)=\delta_{i,j}\).

Une matrice réelle ou complexe de type \((n,n)\) est dite orthogonale si la famille de ses vecteurs colonnes forme une famille orthonormale de \(\mathbb{K}^n\).
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Fermeture ou adhérence
[ Definition ]
Si \(A \subset X\), l’adhérence (dite aussi fermeture) de \(A\) est l’intersection de tous les fermés contenant \(A\), c’est donc le plus petit fermé contenant \(A\). On note \(\overline A\) l’adhérence de \(A\).
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fermeture transitive
[ Definition ]
On appelle fermeture transitive de \(E\) l’ensemble transitif dont l’existence est garantie par le théorème [ft].
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fini
[ Definition ]
Un ordinal est dit fini si tout ordinal non vide inclus dans cet ordinal admet un prédécesseur. On appelle aussi entier naturel un ordinal fini.
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fini
[ Definition ]
Un cardinal est dit fini s’il est fini en tant qu’ordinal. Dans le cas contraire il est dit infini. On note \(Card'\) la classe des cardinaux infinis.
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Fonction arccosinus
[ Proposition ]
La fonction cosinus est une bijection de \(\left[0,\pi\right]\) sur \(\left[-1,1\right]\). Sa bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée \(\operatorname{arccos}\): \[\operatorname{arccos} : \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & [0,\pi] \\ y & \longmapsto & \operatorname{arccos} y \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} \forall y\in\left[-1,1\right], & & \cos\left(\operatorname{arccos} y\right)=y\\ \forall x\in\left[0,\pi\right], & & \operatorname{arccos} \left(\cos x\right)=x \end{aligned}\]

De plus \(\operatorname{arccos}\) : \(\quad\)

  • est strictement décroissante sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est continue sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et : \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \operatorname{arccos} ' y=\dfrac{-1}{\sqrt{1-y^2}}}\]

  • est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).

  • réalise une bijection de \(\left[-1,1\right]\) dans \(\left[0,\pi\right]\)

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Fonction arcsinus
[ Proposition ]
La fonction sinus est une bijection de \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) sur \([-1;1]\). La bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée \(\operatorname{arcsin}\) \[\operatorname{arcsin} : \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\ y & \longmapsto & \operatorname{arcsin} y \end{array} \right. .\] \[\begin{aligned} \forall y\in\left[-1,1\right], & & \sin\left(\operatorname{arcsin} y\right)=y\\ \forall x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], & & \operatorname{arcsin} \left(\sin x\right)=x \end{aligned}\] De plus, la fonction \(\operatorname{arcsin}\)
  • est strictement croissante sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est impaire.

  • est continue sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \operatorname{arcsin} ' y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).

  • réalise une bijection de \(\left[-1,1\right]\) dans \(\left[-\pi/2,\pi/2\right]\)

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Fonction arctangente
[ Proposition ]
La fonction tangente est une bijection de \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Sa bijection réciproque est appelée fonction arctangente et est notée \(\operatorname{arctan}\): \[\operatorname{arctan} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \\ y & \longmapsto & \operatorname{arctan} y \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} \forall y\in\mathbb{R}, & & \tan\left(\operatorname{arctan} y\right)=y\\ \forall x\in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[, & & \operatorname{arctan} \left(\tan x\right)=x \end{aligned}\] La fonction \(\operatorname{arctan}\) \(\quad\)

  • est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

  • est impaire.

  • est continue sur \(\mathbb{R}\).

  • est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[\boxed{\forall y\in\mathbb{R}, \quad \operatorname{arctan} ' y=\dfrac{1}{1+y^2}}\]

  • est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

  • réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\left]-\pi/2,\pi/2\right[\).

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Fonction argument cosinus hyperbolique
[ Proposition ]

La fonction cosinus hyperbolique, restreinte à \(\mathbb{R}_+\), définit une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur son image \([1,+\infty[\). L’application réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argch}}\). \[\mathop{\mathrm{argch}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argch}}y \end{array} \right.\] \[\begin{aligned} \forall y\in\left[1,+\infty\right[, & & \mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}_+, & & \mathop{\mathrm{argch}}\left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argch}}\)

  • est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  • est dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\) et : \[\boxed{\forall y\in\left]1,+\infty\right[, \quad \mathop{\mathrm{argch}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2-1}}}\]

  • est strictement croissante sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  • réalise une bijection de \(\left]1,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\).

  • est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).

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Fonction argument sinus hyperbolique
[ Proposition ]

La fonction sinus hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(\mathbb{R}\). L’application réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée \(\mathop{\mathrm{argsh}}\): \[\mathop{\mathrm{argsh}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argsh}}y \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} \forall y\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argsh}}\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argsh}}\)

  • est impaire.

  • est continue sur \(\mathbb{R}\).

  • est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall y\in\mathbb{R}, \quad \mathop{\mathrm{argsh}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}}\]

  • est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

  • réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

  • est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

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Fonction argument tangente hyperbolique
[ Proposition ]

La fonction tangente hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(]-1,1[\). L’application réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argth}}\). \[\mathop{\mathrm{argth}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argth}}y \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} \forall y\in\left]-1,1\right[, & & \operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argth}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argth}}\left(\operatorname{th} x\right)=x\end{aligned}\]

La fonction \(\mathop{\mathrm{argth}}\)

  • est impaire.

  • est strictement croissante sur \(\left]-1,1\right[\).

  • est continue sur \(\left]-1,1\right[\).

  • est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \mathop{\mathrm{argth}}' y=\dfrac{1}{1-y^2}}\]

  • réalise une bijection de \(\left]-1,1\right[\) dans \(\mathbb{R}\).

  • est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).

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Fonction caractéristique
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}^d\). On appelle fonction caractéristique de \(X\) la fonction \(\phi^X:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) \[\mbox{définie par }\phi^X(t)=E(e^{i<t,X>})\] Cette quantité est toujours bien définie.
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Fonction cosinus
[ Proposition ]

La fonction cosinus, notée \(\cos\) est :

  • définie sur \(\mathbb{R}\).

  • à valeurs dans \(\left[-1,1\right]\).

  • paire.

  • \(2\pi\)-périodique.

  • continue sur \(\mathbb{R}\).

  • dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}, \quad \cos' x=-\sin x}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

De plus, la restriction de la fonction cosinus à \(\left[0,\pi\right]\) est strictement décroissante.
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Fonction d’Euler
[ Definition ]
On appelle fonction d’Euler la fonction \(\phi\) telle que \(\phi(n)\) soit le nombre d’entiers \(x\) tels que \(1\leq x \leq n\) et \(x \land n =1\).
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Fonction exponentielle complexe
[ Definition ]
Soit \(z=a+i\,b\) un nombre complexe. On appelle exponentielle de \(z\) le nombre complexe \[\boxed{e^z=e^{a+i b}=e^a e^{ib}}\] La fonction qui à tout nombre complexe \(z\) associe le nombre complexe \(e^z\) ainsi définie s’appelle fonction exponentielle complexe.
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Fonction intégrable
[ Definition ]
Une fonction \(f\) de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) est dite intégrable si elle est mesurable et si \(\int |f|\) est finie. On note \({\cal L}^1(X,\mathbb{C})\) l’ensemble des fonctions intégrables de \(X\) dans \(\mathbb{C}\), et \({\cal L}^1(X,\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions intégrables de \(X\) dans \(\mathbb{R}\). \({\cal L}^1(X)\) tout court désigne généralement \({\cal L}^1(X,\mathbb{R})\) (voir selon le contexte).
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Fonction mesurable
[ Definition ]
Étant donné \((X,{\cal A})\) et \((Y,{\cal B})\) des espaces mesurables, \(f:X\rightarrow Y\) est dite mesurable si \(\forall B \in {\cal B},\ f^{-1}(B) \in {\cal A}\). On définit parfois aussi la notion de fonction mesurable d’un espace mesurable vers un espace topologique; la condition est alors le fait que l’image réciproque d’un ouvert soit une partie mesurable.
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Fonction puissance
[ Definition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}\). On appelle fonction puissance d’exposant \(a\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \[\varphi_a: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & x^a=\exp\left(a\ln x\right) \end{array} \right.\]
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Fonction sinus
[ Proposition ]
La fonction sinus, notée \(\sin\) est :
  • définie sur \(\mathbb{R}\).

  • à valeurs dans \(\left[-1,1\right]\).

  • impaire.

  • \(2\pi\)-périodique.

  • continue sur \(\mathbb{R}\).

  • dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}, \quad \sin' x=\cos x}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

De plus, la restriction de la fonction sinus à \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) est strictement croissante.
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Fonction \(k\) fois dérivable
[ Definition ]
  • Une fonction \(\overrightarrow{F} : I \rightarrow R^2\) est dite \(k\) fois dérivable sur \(I\) si ses fonctions coordonnées le sont.

  • Une fonction \(\overrightarrow{F}: I \rightarrow R^2\) est dite de classe \(\mathcal{C}^{k}\) sur \(I\) si ses fonctions coordonnées sont \(k\) fois dérivables sur \(I\) et si sa dérivée \(k\)-ième est continue.

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Fonction tangente
[ Proposition ]

La fonction tangente, notée \(\tan\), et donnée par : \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\] est :

  • définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

  • à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

  • impaire.

  • \(\pi\)-périodique.

  • continue \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2} +k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

  • dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan' x=1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

De plus, la restriction de la fonction tangente à \(\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) est strictement croissante.
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Fonction vectorielle à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\)
[ Definition ]
Une fonction vectorielle \(\overrightarrow{F}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\) définie sur \(I\) est donnée par un couple \((x,y)\) de fonctions réelles définies sur \(I\). Les fonctions \(x: I \longrightarrow R\) et \(y: I \longrightarrow R\) s’appellent les composantes de \(\overrightarrow{F}\) ou les applications coordonnées de \(\overrightarrow{F}\) et: \[\overrightarrow{F}: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \newline t & \longmapsto & (x(t),y(t)) \end{array} \right. .\]
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Fondamental
[ Théorème ]
Si \(\sum a_n.z^n\) a pour rayon de convergence \(R\), la série de terme général \(\sum a_n.z^n\) converge normalement, donc uniformément, sur tout compact contenu dans le disque de centre \(0\) et de rayon \(R\).
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Fondamental : résolution de l’équation différentielle homogène normalisée
[ Théorème ]
On suppose que :
  1. \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).

  2. \(a\) est une fonction continue définie sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).

Alors les solutions de l’équation différentielle homogène normalisée : \[\boxed{\forall t\in I, \quad\quad y'\left(t\right)+a\left(t\right)y\left(t\right)=0 \quad (E)}\] sont données par les fonctions \[\boxed{\varphi_\alpha: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline t & \longmapsto & \alpha e^{-A\left(t\right)} \end{array} \right. }\]\(\alpha \in\mathbb{K}\) et où \(A\) est une primitive de \(a\) sur \(I\).

\[\boxed{S_\mathbb{K}(E)=\left\{ t \mapsto \alpha e^{-A\left(t\right)} ~|~ \alpha\in \mathbb{K}\right\}}\]
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forme 2-affine
[ Definition ]

On appelle forme 2-affine une application d’un espace affine \(X\) de dimension finie dans \(\mathbb{K}\) telle qu’étant donné un certain repère cartésien \(R\), \(f(x)=\sum_{(i,j) \in [[1,n]]^2} A_{i,j}.x_i.x_j + 2 \sum_{i\in[[1,n]]} b_i.x_i +c\), avec \(x_i\) les coordonnées cartésiennes de \(x\) dans \(R\) et \(b\) un vecteur à \(n\) composantes, \(c\) un réel, \(A\) une matrice de type \((n,n)\) qui ne soit pas antisymétrique.

On appelle quadrique affine d’un espace affine de dimension finie une équation du type \(f(x)=0\) avec \(f\) une forme 2-affine sur cet espace affine .
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forme bilinéaire sur \(E\)
[ Definition ]
On appelle forme bilinéaire sur \(E\) une forme multilinéaire de \({\cal L}_2(E)\). Étant donnée \(\phi\) une forme bilinéaire on note \(^t\phi\) l’application \((x,y)\to \phi(y,x)\).
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forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\)
[ Definition ]

Soit \(U\) un ouvert de \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach, soit \(F\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach.

On appelle forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\) une application de \(U\) dans \({\cal A}_p(E;F)\) 1.

La forme différentielle est dite de classe \(C^n\) si l’application est \(C_n\) (pour \(n\in \mathbb{N}\cup \{ \infty\}\)).

On note \(\Omega^{(n)}_p(U,F)\) l’ensemble des \(p\) formes différentielles de \(U\) dans \(F\) de classe \(C^n\).

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forme linéaire
[ Definition ]
On appelle forme linéaire sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathbb{K}\).

On appelle dual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) l’ensemble \(E^{*}\) des formes linéaires sur cet espace vectoriel.

On appelle bidual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel le dual de son dual. On le note \(E^{**}\).

On appelle application linéaire canonique de \(E\) dans \(E^{**}\) l’injection qui à \(x\) associe \(\phi_x:u \mapsto u(x)\) (on vérifiera facilement que c’est une application linéaire).
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forme polaire de \(q\)
[ Definition ]
Étant donnée une forme quadratique \(q\) sur \(E\), l’unique forme bilinéaire symétrique \(\phi\) telle que pour tout \(x\), \(q(x)=\phi(x,x)\) est appelée forme polaire de \(q\).
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forme quadratique associée à la forme bilinéaire \(\phi\)
[ Definition ]
Deux matrices \(P\) et \(Q\) sont dites congruentes si il existe \(M\) inversible telle que \(P=^tMQM\).
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forme quadratique hermitienne
[ Definition ]
On appelle forme quadratique hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbb{C}\) telle qu’il existe une forme sesquilinéaire hermitienne \(\phi\) telle que pour tout \(x\) on ait \(q(x)=\phi(x,x)\). Cette forme sesquilinéaire hermitienne est unique (à vérifier plus bas); on l’appelle forme polaire de \(q\).
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formes coordonnées associées
[ Definition ]
Étant donnée une base \((e_i)_{i\in [\![1,n]\!]}\) de \(E\), on appelle formes coordonnées associées les \(n\) formes linéaires \(e_j^*\) définies par \(e_j^*(e_i)=\delta_{i,j}\).
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formes coordonnées associées
[ Definition ]
Etant donnée une base \((e_i)_{i\in [\![1,n]\!]}\) de \(E\), on appelle formes coordonnées associées les \(n\) formes linéaires \(e_j^*\) définies par \(e_j^*(e_i)=\delta_{i,j}\).
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Formes quadratiques définies positives
[ Proposition ]
Si \(E\) est une forme quadratique définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, alors il existe une base de \(E\) orthonormale pour \(q\).
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Formule de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]
On se donne \(\gamma\) un chemin fermé dans un ouvert convexe \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Si \(z \in \Omega\) et \(z \not \in \gamma^*\) alors \[f(z).Ind_\gamma(z)=\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma\frac{f(u)}{u-z}.du\]
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Formule de Cauchy dans un ensemble convexe
[ Théorème ]
On se donne \(\gamma\) un chemin fermé dans un ouvert convexe \(\Omega\), et \(f\) holomorphe sur \(\Omega\). Si \(z \in \Omega\) et \(z \not \in \gamma^*\) alors \[f(z).Ind_\gamma(z)=\frac 1 {2i\pi} \int_\gamma\frac{f(u)}{u-z}.du\]
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Formule de Leibnitz
[ None ]
Si \(f_1 : U \rightarrow F_1\) et \(f_2 : U \rightarrow F_2\) sont différentiables en \(x\) et si \(B : F_1 \times F_2 \rightarrow G\) est bilinéaire continue, alors \(B(f_1,f_2) : x \mapsto B(f_1(x),f_2(x))\) est différentiable en \(x\) et \[DB(f_1,f_2)(x)(h)=B(f_1(x),Df_2(x)(h))+B(Df_1(x)(h),f_2(x))\] En outre si \(f_1\) et \(f_2\) sont \(C^1\) alors \(B(f_1,f_2)\) est \(C^1\).
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Formule de Leibnitz
[ Proposition ]
\[\partial^\alpha(f.g)=\sum_{\beta\leq \alpha} C_\alpha^\beta\partial^\beta f.\partial^{\alpha-\beta} g\]
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Formule de Mac Laurin
[ None ]
Il s’agit simplement de la même formule, dans le cas \(a=0\) (l’usage veut que ce cas particulier soit nommé « formule de Mac Laurin »). \[f(b)=P_{f,0,n}(b)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b)^{n+1}\]
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Formule de Moivre
[ Proposition ]
\[\forall \theta\in\mathbb{R},\quad \forall n\in\mathbb{Z},\quad \boxed{e^{i n \theta}=\left(e^{i\theta}\right)^n}\]
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Formule de Taylor avec reste intégral
[ Théorème ]
Cette fois-ci, \(f\) est supposée \(C^{n+1}\) sur \([a,b]\) et à valeurs dans un espace de Banach. Alors: \[f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{1}{n!}\int_a^b (b-t)^n.f^{(n+1)}(t)dt\]
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Formule de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(f\) de classe \(C^n\) de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que \[f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\]
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Formule de Taylor-Young
[ Théorème ]
On se donne une fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans un espace de Banach \(E\), \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors \[f(x)-P_{f,a,n}(x)=o((x-a)^n)\]
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Formule d’Euler
[ Théorème ]

Supposons les \(a_i\) tous non nuls.

Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)

\[\frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}.\]
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Formule d’Euler
[ Théorème ]
Supposons les \(a_i\) tous non nuls.

Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)

\[\frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}.\]
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Formule d’Euler
[ Théorème ]

Supposons les \(a_i\) tous non nuls.

Alors \(1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=\)

\[\frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}\]
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Formule d’Hadamard
[ Théorème ]
On se donne \(\sum a_n.z^n\) une série entière. Soit \(L=limsup |a_n|^{1/n}\), alors le rayon de convergence est \(R=1/L\) (avec \(1/0=+\infty\) et \(1/+\infty=0\)).
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Formule d’inversion de Fourier
[ Théorème ]
On suppose que \(\phi^X\), fonction caractéristique de la variable aléatoire \(X\), est intégrable. Alors \(X\) admet une densité continue bornée \(f^X\), et on a \[f^X(x)=\frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} e^{-i<t,x>}\phi^X(t).dt.\]
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Formule du binôme de Newton
[ Proposition ]
Soit \(a\) et \(b\) dans un anneau \(A\). Si \(a\) et \(b\) commutent, alors \[(a+b)^n=\sum_{k\in[0,n]} C_n^k a^kb^{n-k}\]
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Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques
[ Proposition ]
Pour tout \(x,y\in\mathbb{R}\) :
\[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{ch}}(x+y)&=&\mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{ch}}y + \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\ \mathop{\mathrm{ch}}(x-y)&=&\mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{ch}}y - \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\ \mathop{\mathrm{sh}}(x+y)&=&\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}y + \mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\\ \mathop{\mathrm{sh}}(x-y)&=&\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}y - \mathop{\mathrm{ch}}x \mathop{\mathrm{sh}}y\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \operatorname{th} (x+y)&=&\dfrac{\operatorname{th} x + \operatorname{th} y}{1 + \operatorname{th} x \operatorname{th} y }\newline \operatorname{th} (x-y)&=&\dfrac{\operatorname{th} x - \operatorname{th} y}{1 - \operatorname{th} x \operatorname{th} y }\end{aligned}\]
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Formules de Cramer
[ Théorème ]
Considérons le système d’équations linéaire \(MX=Y\), avec \(M\) de type \((n,n)\):

\[M=\left( \begin{array}{cccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array} \right),\ \ \ \ Y=^t\!\!(y_1,...,y_n)=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n\end{array}\right).\]

On suppose en outre que \(M\) est inversible.

Alors \(X\) est solution, avec \[x_i=\frac{ \left| \begin{array}{cccccccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,i-1} & Y_1 & M_{1,i+1} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,i-1} & Y_2 & M_{2,i+1} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,i-1} & Y_n & M_{n,i+1} & \dots & M_{n,n} \newline \end{array} \right| }{ det\ M }\]
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Formules de Cramer
[ Théorème ]

Considérons le système d’équations linéaire \(MX=Y\), avec \(M\) de type \((n,n)\):

\[M=\left( \begin{array}{cccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array} \right),\ \ \ \ Y=^t\!\!(y_1,...,y_n)=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n\end{array}\right).\]

On suppose en outre que \(M\) est inversible.

Alors \(X\) est solution, avec \[x_i=\frac{ \left| \begin{array}{cccccccc} M_{1,1} & M_{1,2} & \dots & M_{1,i-1} & Y_1 & M_{1,i+1} & \dots & M_{1,n} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \dots & M_{2,i-1} & Y_2 & M_{2,i+1} & \dots & M_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ M_{n,1} & M_{n,2} & \dots & M_{n,i-1} & Y_n & M_{n,i+1} & \dots & M_{n,n} \newline \end{array} \right| }{ det\ M }\]
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Formules d’Euler
[ Théorème ]
\[\forall \theta\in\mathbb{R},\quad \boxed{\cos \theta=\dfrac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{\sin \theta=\dfrac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}}\]
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fraction continue
[ Definition ]

On se donne un entier \(p>1\). On appelle représentation \(p\)-adique du réel \(x\) la suite d’entiers \((c_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[c_n=\left\{ \begin{array}{l}E(x) \mbox{ si $n=0$}\newline \frac{1}{p^n}[E(p^nx)-pE(p^{n-1}x)] \mbox{ sinon} \end{array}\right.\]

(\(E(y)\) désignant la partie entière de \(y\)).
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fraction continue
[ Definition ]
On se donne un entier \(p>1\). On appelle représentation \(p\)-adique du réel \(x\) la suite d’entiers \((c_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \[c_n=\left\{ \begin{array}{l}E(x) \mbox{ si $n=0$}\newline \frac{1}{p^n}[E(p^nx)-pE(p^{n-1}x)] \mbox{ sinon} \end{array}\right.\] (\(E(y)\) désignant la partie entière de \(y\)).
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Fractions continues
[ Definition ]
Une fraction continue est un objet de la forme suivante: \[[a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}}\]

Elle est caractérisée par une suite d’entiers qui est finie ou infinie.

On appelle convergents d’une fraction continue la suite de numérateurs \(p_n\) et de dénominateurs \(q_n\) définis par:

  • \(p_0=a_0\), \(q_0=1\)

  • \(p_1=a_0a_1+1\), \(q_1=1\)

  • \(\vdots\)

  • \(p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\),\(q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\).

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Fractions continues
[ Definition ]

Une fraction continue est un objet de la forme suivante:

\[[a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}}\]

Elle est caractérisée par une suite d’entiers qui est finie ou infinie.

On appelle convergents d’une fraction continue la suite de numérateurs \(p_n\) et de dénominateurs \(q_n\) définis par:

  • \(p_0=a_0\), \(q_0=1\)

  • \(p_1=a_0a_1+1\), \(q_1=1\)

  • \(\vdots\)

  • \(p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\),\(q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\).

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Frontière
[ Definition ]
La frontière de \(A\), notée \(Fr(A)\) est son adhérence privée de son intérieur.
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Fubini
[ Théorème ]
On suppose \((X,{\cal X},\mu_X)\) et \((Y,{\cal Y},\mu_Y)\) des espaces mesurés de mesures \(\sigma\)-finies. Soit \(f\) mesurable de \((X\times Y,{\cal X}\otimes {\cal Y},\mu_X \otimes \mu_Y)\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\).

Alors:

\(\bullet\)pour tout \(x\in X\) l’application \(f_{2,x} : y\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((Y,{\cal Y})\).

\(\bullet\)pour tout \(y\in Y\) l’application \(f_{1,y} : x\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((X,{\cal X})\).

\(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est mesurable positive, et \[\int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est mesurable positive. et \[\int_X ( \int_Y f_{2,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(x\), \(f_{2,x}\) est intégrable, et \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_X ( \int_Y f_{1,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(y\), \(f_{1,y}\) est intégrable, et \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\]
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