Lexique mathématique
E
EDP \(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}} = 0\)
[ Proposition ]
\[\boxed{(E_4)~: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}} = 0}\] Une fonction \(f \in {\mathcal{C}}^[(2) ]{U,\mathbb{R} }\) est solution de \((E_4)\) si et seulement s’il existe une fonction \(\varphi\in {\mathcal{C}}^[(2) ]{]a,b[,\mathbb{R} }\) et \(\psi \in {\mathcal{C}}^[(2) ]{]a,b[,\mathbb{R} }\) telles que \[\forall (x,y) \in U,\quad
\boxed{f(x,y) = y\varphi(x) + \psi(x)}\]
En savoir plus
EDP \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = 0\)
[ Proposition ]
\[\boxed{(E_1)~: \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0}\] Une fonction \(f \in {\mathcal{C}}^[(1) ]{U, \mathbb{R} }\) est solution de \((E_1)\) si et seulement s’il existe une fonction d’une variable \(k \in {\mathcal{C}}^[(1) ]{]c,d[,\mathbb{R} }\) telle que \(\forall (x,y) \in U, \boxed{f(x,y) = k(y)}\).
En savoir plus
EDP \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = h\)
[ Proposition ]
Soit \(h \in {\mathcal{C}}^[(0) ]{]a,b[,\mathbb{R} }\). \[\boxed{(E_2)~: \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = h(x)}\] Une fonction \(f\in {\mathcal{C}}^[(1) ]{U, \mathbb{R} }\) est solution de \((E_2)\) si et seulement s’il existe une fonction d’une variable \(k \in {\mathcal{C}}^[(1) ]{]c,d[,\mathbb{R} }\) telle que \(\forall (x,y) \in U\), \(\boxed{f(x,y) = H(x) + k(y)}\) où \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(]a, b[\).
En savoir plus
Encadrement d’une fonction continue par morceaux par deux fonctions en escalier
[ None ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \([a,b]\) et \(\varepsilon> 0\). Il existe deux fonctions en escalier, \(\varphi, \psi \in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) vérifiant \[\boxed{\varphi\leqslant f \leqslant\psi} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\psi - \varphi\leqslant\varepsilon}.\]
En savoir plus
Endomorphisme
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
En savoir plus
Endomorphisme adjoint
[ Definition ]
\(\bullet\)\(f^*\) est appelé endomorphisme adjoint de \(f\).
\(\bullet\)On appelle groupe spécial orthogonal de \(E\) et on note \(SO(E)\) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\) de déterminant \(1\); c’est un sous-groupe de \(O(E)\).
En savoir plus
\(\bullet\)\(f\) est dit symétrique si \(f^*=f\).
\(\bullet\)On note \(S(E)\) l’ensemble des endomorphismes symétriques de \(E\).
\(\bullet\)\(f\) est dit antisymétrique si \(f^*=-f\).
\(\bullet\)On note \(A(E)\) l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de \(E\).
\(\bullet\)On appelle groupe orthogonal de \(E\) et on note \(O(E)\) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\); c’est un sous-groupe de \(GL(E)\), ensemble des automorphismes de \(E\).
Endomorphismes orthogonaux
[ Definition ]
Soit
\(u\in L(E)\). On dit que \(u\) est un endomorphisme
orthogonal (ou une isométrie) si \[\forall x\in E, \quad\lVert u(x) \rVert_{ } =
\lVert x \rVert_{ }.\] On note \(\mathrm{O}_{ }(E)\) l’ensemble des
endomorphismes orthogonaux de \(E\).
En savoir plus
Endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\)
[ Definition ]
\(f\) défini comme en corollaire [c334] est appelé endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\).
En savoir plus
Ensemble dense
[ Definition ]
Un sous-ensemble de l’espace topologique \(X\) est dense dans \(X\) si son adhérence est \(X\).
En savoir plus
Ensemble des séries formelles sur \(A\)
[ Definition ]
Étant donné \(A\) un anneau, on note \(A[[X]]\) et on appelle ensemble des séries formelles sur \(A\) l’ensemble des suites à valeurs dans \(A\). Une telle suite \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sera notée \[\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n\] On dit parfois aussi que \(\sum a_n X^n\) est la série génératrice associée à la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
On munit \(A[[X]]\) d’une structure d’anneau en définissant une somme et un produit par \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n)+(\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n) X^n\] \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n) \times (\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (a_kb_{n-k}) X^n\]
Ensemble inductif
[ Definition ]
Deux éléments sont dits comparables si l’un des deux est inférieur ou égal à l’autre.
Un ensemble ordonné est dit inductif si toute chaîne admet un majorant.
En savoir plus
On appelle chaîne un ensemble totalement ordonné, c’est-à-dire tel que deux éléments de cet ensemble soient toujours comparables.
En valeur absolue
[ Proposition ]
Une fonction \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) est bornée si et seulement si elle est majorée en valeur absolue, c’est-à-dire \[\exists \alpha \in \mathbb{R}~ \forall x\in I, \quad \left|f(x)\right| \leqslant\alpha .\]
En savoir plus
Equation différentielle linéaire du premier ordre
[ Definition ]
Soient \(a,b,c\) trois fonctions définies sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
En savoir plus
Equation différentielle linéaire du second ordre
[ Definition ]
Considérons trois scalaires \(a,b,c\in\mathbb{K}\) avec \(a\neq 0\) ainsi qu’une fonction \(d:I\rightarrow \mathbb{K}\).
En savoir plus
Espace affine de direction \(E\)
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, on appelle espace affine de direction \(E\) un ensemble \(X\) muni d’une application \((x,y) \mapsto \overrightarrow{xy}\) de \(X \times X\) dans \(E\) telle que:
\(\bullet\)\(\forall (x,y,z) \in X^3, \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}\)
\(\bullet\)\(\forall x \in X, \forall u \in E , \exists ! y \in X\ \overrightarrow{xy}=u\)
On définit alors une addition de \(X \times E\) dans \(X\) par \(x + u = y\) avec \(y\) tel que \(\overrightarrow{xy}=u\).
On appelle scalaires les éléments du corps \(\mathbb{K}\).
On appelle vecteurs les éléments de l’espace vectoriel \(E\).
On appelle points les éléments de l’espace affine.
On note parfois surmontés d’une flèche les éléments de \(E\), pour les distinguer des éléments de \(X\); ainsi au lieu de \(u=\overrightarrow{xy}\) ou \(x+u=y\) on peut noter \(x+\overrightarrow{u}=y\).
Une convention usuelle est aussi de noter \(\overrightarrow{X}\) un espace vectoriel associé à \(X\); il faut bien voir toutefois que la direction n’est pas unique et qu’il ne suffit pas que \(X\) soit un espace affine de direction \(E\) pour qu’on puisse définir canoniquement sa direction \(\overrightarrow{X}\).
On appelle dimension d’un espace affine la dimension de sa direction lorsque celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa direction est de dimension infinie.
On appelle translation de vecteur \(a\) avec \(a \in E\) l’application qui à \(x\) dans \(X\) associe \(x+a\).
On appelle variété affine d’un espace affine \(X\) de direction \(F\) ou sous-espace affine de \(X\) tout sous-ensemble de \(X\) de la forme \(x+F\) avec \(x\in X\) et \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) (droite affine si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).
Espace complet
[ Definition ]
Un espace métrique \(X\) est complet, si toute suite de Cauchy de \(X\) a une limite dans \(X\).
En savoir plus
Espace de Banach
[ Definition ]
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Espace de Hilbert
[ Definition ]
On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien complet.
En savoir plus
Espace
euclidien
[ Definition ]
Un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) muni d’un produit scalaire est appelé
un espace préhilbertien réel. Si de plus \(E\) est de dimension finie, on dit que
\(E\) est un espace
euclidien.
En savoir plus
Espace euclidien
[ Definition ]
On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie non nulle.
Un endomorphisme d’un espace euclidien est dit orthogonal si l’image d’une certaine base orthonormale est une base orthonormale (il s’agit forcément d’un automorphisme).
On appelle similitude d’un espace euclidien un endomorphisme égal à la composée d’une homothétie (i.e. une application du type \(E\to E\), \(x\mapsto {\lambda}.x\)) et d’un automorphisme orthogonal.
Espace euclidien orienté
[ Definition ]
On appelle espace euclidien orienté un couple \((E,C)\) où \(E\) est un espace euclidien et \(C\) une classe d’équivalence sur l’ensemble des bases de \(E\) pour la relation d’équivalence \({\cal R}\) définie par \[B {\cal R}B' \iff det\ P_{B,B'}>0\] L’orientation de \(F\) sous-espace vectoriel de dimension \(n-p\) de \((E,C)\) espace euclidien orienté de dimension \(n\) suivant \((e_1,...,e_p)\) une base d’un supplémentaire de \(F\) est l’espace euclidien orienté \[(F,\{(e_{p+1},...,e_n) / (e_1,...,e_n) \in C\})\] (il s’agit d’un espace euclidien orienté)
On appelle base indirecte de l’espace euclidien orienté \((E,C)\) une base n’appartenant pas à \(C\).
En savoir plus
On appelle base directe de l’espace euclidien orienté \((E,C)\) une base appartenant à \(C\).
Espace filtré
[ Definition ]
On appelle espace filtré un quadruplet \((\Omega,{\cal F},({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}},P)\) avec \((\Omega,{\cal F},P)\) triplet de probabilité, et \(({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une filtration, c’est-à-dire une suite croissantes de \(\sigma\)-algèbres incluses dans \({\cal F}\).
Un processus \(C\) est dit borné si il existe \(K\) tel que pour tout \(n\) et tout \({\omega}\), \(|C_n({\omega})|\) est majoré par \(K\).
En savoir plus
On appelle processus adapté à un espace filtré ou plus simplement processus une suite \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que \[\forall n\in \mathbb{N}, X_n \mbox{ est }{\cal F}_n\mbox{-mesurable.}\]
On appelle temps d’arrêt une application \(T\) de \(\Omega\) dans \(\mathbb{N}\) telle que pour tout \(n\) \(\{{\omega}; T({\omega}) \leq n \}\) appartient à \({\cal F}_n\).
Étant donnés \(X\) un processus et \(T\) un temps d’arrêt, on note \(X^T\) le processus \(X\) stoppé à l’instant \(T\) défini par \(X^T_n({\omega})=X_{min(T({\omega}),n)}({\omega})\).
On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite \((C_n)_{n>0}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que pour tout \(n>0\) \(C_n\) est \({\cal F}_{n-1}\)-mesurable.
On appelle processus prévisible associé à un temps d’arrêt le processus prévisible \(C\) tel que \(C_n({\omega})\) est égal à \(1\) si \(n \leq T({\omega})\) et égal à \(0\) sinon.
Espace hermitien
[ Definition ]
On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie, non réduit à \(\{0\}\).
En savoir plus
Espace mesurable
[ Definition ]
\((X,{\cal A})\) est un espace mesurable si \({\cal A}\) est une tribu sur \(X\)
En savoir plus
Une partie de \(X\) est dite \({\cal A}\)-mesurable si elle appartient à \({\cal A}\).
Espace préhilbertien
[ Definition ]
Un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) muni d’un produit scalaire est appelé
un espace préhilbertien réel. Si de plus \(E\) est de dimension finie, on dit que
\(E\) est un espace
euclidien.
En savoir plus
Espace projectif associé à \(E\)
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à \(E\) l’ensemble \(P(E)\) des droites vectorielles de \(E\). On note \(P^{n-1}(\mathbb{K})\) pour \(P(\mathbb{K}^n)\).
On appelle dimension de \(P(E)\) la dimension de \(E\) moins un.
On appelle droite (projective) de \(P(E)\) l’image d’un plan vectoriel de \(E\), plan projectif de \(P(E)\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(3\), sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \(q\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \((q+1)\), hyperplan projectif de \(P(E)\) l’image d’un hyperplan vectoriel de \(E\), sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par \(q\) points de \(P(E)\) (i.e. \(q\) droites de \(E\)) l’image du sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les \(q\) droites correspondantes.
On note \(<P>\) le sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par une partie \(P\) incluse dans \(P(E)\).
On dit de \(q\) points de \(P(E)\) qu’ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans \(E\), c’est-à-dire s’ils engendrent un sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \((q-1)\).
On dit de \(n\) points \(x_1,...,x_n\) de \(P(E)\) qu’ils forment un repère projectif de \(P(E)\) si la dimension de \(P(E)\) est \(n-2\) et si toute sous-famille de \(n-1\) points des \(x_i\) est projectivement indépendante.
On dit de \(x\) dans \(P(E)\) qu’il a pour coordonnées homogènes \((t_1,...,t_n)\) dans un certain repère projectif \((d_0,d_1,...,d_n)\) si un certain \(y\) appartenant à \(x\) a pour coordonnées \((t_1,...,t_n)\) dans une base \((e_0,...,e_{n-1})\) avec \(e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i\) et \(d_i=<e_i>\) pour tout \(i \in [1,n]\).
Espace projectif associé à \(E\)
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à \(E\) l’ensemble \(P(E)\) des droites vectorielles de \(E\). On note \(P^{n-1}(\mathbb{K})\) pour \(P(\mathbb{K}^n)\).
On appelle dimension de \(P(E)\) la dimension de \(E\) moins un.
Attention Ne pas confondre avec l’ensemble des parties de \(E\) !
On appelle droite (projective) de \(P(E)\) l’image d’un plan vectoriel de \(E\), plan projectif de \(P(E)\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(3\), sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \(q\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \((q+1)\), hyperplan projectif de \(P(E)\) l’image d’un hyperplan vectoriel de \(E\), sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par \(q\) points de \(P(E)\) (i.e. \(q\) droites de \(E\)) l’image du sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les \(q\) droites correspondantes.
On note \(<P>\) le sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par une partie \(P\) incluse dans \(P(E)\).
On dit de \(q\) points de \(P(E)\) qu’ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans \(E\), c’est-à-dire s’ils engendrent un sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \((q-1)\).
On dit de \(n\) points \(x_1,...,x_n\) de \(P(E)\) qu’ils forment un repère projectif de \(P(E)\) si la dimension de \(P(E)\) est \(n-2\) et si toute sous-famille de \(n-1\) points des \(x_i\) est projectivement indépendante.
On dit de \(x\) dans \(P(E)\) qu’il a pour coordonnées homogènes \((t_1,...,t_n)\) dans un certain repère projectif \((d_0,d_1,...,d_n)\) si un certain \(y\) appartenant à \(x\) a pour coordonnées \((t_1,...,t_n)\) dans une base \((e_0,...,e_{n-1})\) avec \(e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i\) et \(d_i=<e_i>\) pour tout \(i \in [1,n]\).
Espaces de Hölder
[ Definition ]
Étant donné \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\), \(\alpha\) dans \(]0,1]\), \(k\in \mathbb{N}\), on définit par récurrence sur \(k\) les espaces \(C^{k,\alpha}(\Omega)\) par \[C^{0,\alpha}(\Omega)=Lip_\alpha(\Omega)\] et pour \(k\geq 1\), \(C^{k,\alpha}(\Omega)=\) \[\{ f \mbox{ bornée de $\Omega$ dans $C$ } ; \forall i\in[1,n] {\frac{\delta f}{\delta x_i}}\mbox{ existe et $\in C^{k-1,\alpha}(\Omega)$} \}\]
\[C^{k,\alpha}(\Omega)=\{ f \in C^k(\Omega) ; f \mbox{ bornée } \land \forall \nu / | \nu | \leq k \Rightarrow D^\nu f \in Lip_\alpha(\Omega)\}\]
On munit \(C^{k,\alpha}(\Omega)\) de la norme \(f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}=\sum_{|\nu|\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\alpha\).
De manière équivalente, \({\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}=\sum_{|\nu| \leq k} ({\parallel}D^\nu f {\parallel}_\infty + sup_{x\neq y} \frac{|f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)|}{|x-y|^\alpha})\) (c’est la même expression développée!) et la norme suivante est équivalente à celle-ci:
\[f\mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}' = \sum_{|\nu|\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\infty + \sum_{|\nu|=k} \sup_{x\neq y} \frac{f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)}{|x-y|^\alpha}\]
Espace séparable
[ Definition ]
Un espace est séparable si il contient un ensemble dénombrable dense.
En savoir plus
Espace séparé
[ Definition ]
Un espace est séparé si pour toute paire de points distincts \((x,y)\) on peut trouver un voisinage de \(x\) et un voisinage de \(y\) disjoints.
En savoir plus
Espaces vectoriels \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{C}^n\)
[ None ]
Espace vectoriel
[ Definition ]
Soit \(\mathbb{K}\) un corps. \((E,+,.)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\)) si
Les éléments de \(E\) sont appelés vecteurs, les éléments de \(\mathbb{K}\) sont appelés opérateurs ou scalaires. Le neutre pour \(+\) est noté \(0\). << \(.\) >> est appelé produit externe.
En savoir plus
\(\bullet\)\((E,+)\) est un groupe abélien
\(\bullet\)\(.\) est une application de \(\mathbb{K}\times E\) dans \(E\)
\(\bullet\) \(\forall ({\lambda}, \mu, x, y) \ ({\lambda}+ \mu).x = {\lambda}.x + \mu.x \land {\lambda}.(x+y)={\lambda}.x + {\lambda}.y \land ({\lambda}.\mu).x={\lambda}.(\mu.x) \land 1.x=x\)
Espace vectoriel de fonctions
[ Proposition ]
Soit \(X\) un ensemble non vide et soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On définit sur l’ensemble \(\mathcal F\left(X,E\right)\) des fonctions définies sur \(X\) à valeurs dans \(E\)
En savoir plus
Espace vectoriel produit
[ Definition ]
Le produit de \(n\) espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbb{K}\), muni de l’addition terme à terme et avec pour multiplication \({\lambda}.(x_1,...,x_n)=({\lambda}.x_1,...,{\lambda}.x_n)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\). On l’appelle espace vectoriel produit.
Plus généralement, si \((E_i)_{i\in I}\) est une famille indexée sur \(I\) quelconque d’espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}\), alors on peut définir l’espace vectoriel produit \(\prod_{i\in I}E_i\) avec là encore la somme terme à terme des composantes, et avec pour multiplication par \({\lambda}\) la multiplication de chaque terme par \({\lambda}\).
En savoir plus
Espace vectoriel quotient
[ Definition ]
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Alors la relation définie par \[x{\cal R}y \iff x-y \in F\] est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et le produit externe. L’ensemble quotient est un espace vectoriel pour les lois induites; il est appelé espace vectoriel quotient et est noté \(E_{/F}\).
En savoir plus
Espace vectoriel \(\mathbb{K}^n\)
[ Proposition ]
Sur l’ensemble des \(n\)-uplets de scalaires \(\mathbb{K} [n]\), on définit
En savoir plus
Muni de ces lois, l’ensemble \(\left(\mathbb{K}^n,+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est le n-uplet \(\boxed{0_{\mathbb{K} [n]} = \left(0,\ldots,0\right)}\).
Espérance
[ Definition ]
On considère une v.a.
\(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\) et on écrit cette
fonction de \(\omega\in\Omega\) comme
différence de deux fonctions positives \(X=X_+-X_-,\) où \(a_+\) signifie max\((a,0)\) et \(a_-=(-a)_+\) (rappelons que cela implique
\(a=a_+-a_-\) et \(|a|=a_++a_-).\) Donc \(|X|=X_+-X_-\). On dira que \(\mathbb E(X)\) existe si, au sens du
théorème , l’espérance de \(|X|\)
existe. Dans ces conditions, d’après le 2) du théorème , \(\mathbb E(X_+)\) et \(\mathbb E(X_-)\) existent, et on définit
l’espérance de \(X\) par \(\mathbb E(X)=\mathbb E(X_+)-\mathbb
E(X_-).\)
En savoir plus
Espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\))
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle d’espérance finie, sur un triplet de probabilité \((\Omega,{\cal A},P)\) et soit \(S\) une sous-\(\sigma\)-algèbre de \({\cal A}\) (resp. \(Y\) une variable aléatoire sur \((\Omega,{\cal A},P)\) qui engendre la \(\sigma\)-algèbre \(S\subset {\cal A}\)). On appelle espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\)) l’unique (presque partout5) variable aléatoire \(E(X|S)\) (resp. \(E(X|Y)=E(X|S)\)) mesurable pour \(S\) et telle que \[\forall s\in S,\ \int_s E(X|S) dP=\int_s X dP\] (on peut aussi écrire \(E(E(X|S)\chi_s)=E(X\chi_s)\)).
Si \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}^x\) et \(\mathbb{R}^y\) respectivement et admettant des densités respectives \(f_x\) et \(f_y\), alors \((X,Y)\) a pour densité \(f_{xy}(a,b)=f_x(a)f_y(b)\) et la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Y\), notée \({\cal L}_{X|Y}\) ou \({\cal L}_{X|Y=y}\) est la loi de densité \(a\mapsto f_{xy}(a,Y)/f_y(Y)\).
En savoir plus
Espérance d’une variable aléatoire dans \(L^1\)
[ Definition ]
Étant donnée \(X\) une variable aléatoire de \(L^1(X,\mathbb{R})\), on définit son espérance par \[E(X)=\int_\Omega X.dP.\] Cette définition peut éventuellement être étendue aux fonctions intégrables positives, sans contrainte de mesurabilité.
Espérance mathématique de \(X\)
[ Definition ]
Soit \((\Omega,\mathcal{A},P)\) un espace de
probabilité. Désignons par \(\mathcal{E}\) l’ensemble de toutes les
variables aléatoires réelles étagées définies sur \(\Omega.\) A tout élément \(X\) de \(\mathcal{E}\) nous associons un nombre
appelé espérance mathématique de \(X\), noté \(\mathbb E(X)\), et défini ainsi: si la loi
de \(X\) est \[P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N},\]
alors \[\mathbb
E(X)=p_1a_1+\cdots+p_Na_N.\]
En savoir plus
Estimations de Cauchy
[ Théorème ]
\(f\) holomorphe sur un disque ouvert \(D\) de rayon \(R\), \(|f|\) bornée par \(M\) sur \(D\), alors \(|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!\ M}{R^n}\) pour tout \(n\geq 0\).
En savoir plus
Estimations de Cauchy
[ Théorème ]
\(f\) holomorphe sur un disque ouvert \(D\) de rayon \(R\), \(|f|\) bornée par \(M\) sur \(D\), alors \(|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!\ M}{R^n}\) pour tout \(n\geq 0\).
En savoir plus
Etude de \({O}_{2}^{+}(\mathbb{R} )\)
[ Théorème ]
Etude de \(O_2^{-}(\mathbb{R} )\)
[ Théorème ]
Considérons
la matrice \(P=\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1\end{pmatrix} \in \mathrm{O}_{2}^{-}(\mathbb{R}
)\). L’application \[\Delta :
\left\{ \begin{array}{ccl} {O}_{2}^{+}(\mathbb{R} ) &
\longrightarrow & \mathrm{O}_{2}^{-}(\mathbb{R} ) \\ A &
\longmapsto & AP \end{array} \right.\] est une bijection.
Toute matrice de \(\mathrm{O}_{2}^{-}(\mathbb{R} )\) est de la
forme \[B=\begin{pmatrix} \cos\theta &
\sin\theta \newline \sin\theta &
-\cos\theta \end{pmatrix} .\]
En savoir plus
Euclide
[ Corollaire ]
Soit \(p\) un nombre premier et \(a,b\in{ \mathbb Z}\). Si \(p\) divise \(ab\) alors \(p\) divise \(a\) ou \(p\) divise \(b\).
En savoir plus
Euclidien
[ Definition ]
Un anneau \(A\) commutatif est dit euclidien pour une application \(f\) de \(A\setminus \{0\}\) dans \(\mathbb{N}\), si pour tout \(a\) dans \(A\) et tout \(b\) dans \(A\setminus \{0\}\) il existe \((q,r)\in A^2\) tels que \(a=b.q+r\) et \(r=0\) ou \(f(r)<f(b)\).
Un anneau \(A\) commutatif est dit euclidien s’il existe une application pour laquelle il est euclidien.
En savoir plus
Exemple fondamental
[ Definition ]
Soit \(X\) muni d’une topologie \({\cal T}\); la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal T}\) s’appelle la \(\sigma\)-algèbre borélienne. Ses éléments sont appelés les boréliens.
En savoir plus
Exemples d’inégalités de convexité
[ Proposition ]
Existence de la dérivée seconde
[ Proposition ]
Soi \(f\) une application de \(U\) ouvert de \(E=E_1 \times E_2 ...
\times E_n\) (des espaces de Banach ) dans \(F\) (un espace de Banach ). Alors si les \(\frac{\delta
f}{\delta x_i}\) existent et sont continues sur un voisinage de \(x\), et si les \(\frac{\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j}\) existent sur un voisinage de \(x\) et sont continues en \(x\), alors \(f\) est deux fois différentiable en \(x\).
En savoir plus
Existence de topologies non métrisables
[ Proposition ]
Il existe des topologies, même séparées4, non métrisables.
En savoir plus
Existence d’une base orthonormale
[ None ]
Tout espace euclidien \(E \neq
\{0_E\}\) possède une base orthonormale.
En savoir plus
Exponentiation de cardinaux
[ Definition ]
Étant donnés des cardinaux \(A\) et \(B\) on note \(A^B\) le cardinal de l’ensemble des applications de \(B\) dans \(A\).
En savoir plus
Exponentielle
[ Definition ]
On appelle exponentielle l’application qui à \(z\in\mathbb{C}\) associe \(\sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{z^n}{n!}\). On la note \(z\mapsto e^z\) ou \(z\mapsto \exp(z)\).
En savoir plus
Exponentielle complexe.
[ Definition ]
Elle est
définie par la série entière \[\exp
(z)=e^{z}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n !}\]
En savoir plus
Exponentielle de base \(a\)
[ Proposition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\). La fonction \(\log_a\) définie une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). On appelle exponentielle de base \(a\) et on note \(\exp_a\), la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}_+^*\) comme application réciproque de \(\log_a\). \[\begin{aligned}
\forall x\in\mathbb{R}_+^*, & & \exp_a\left(\ln_a x\right)=x \newline
\forall y\in\mathbb{R}, & & \ln_a\left(\exp_a y\right)=y \end{aligned}\] De plus, \(\exp_a'\) est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et \[\forall x\in \mathbb{R},\quad
\exp_a'\left(x\right)=\ln a \exp_a\left(x\right)\]
En savoir plus
Exponentielle imaginaire
[ Definition ]
Pour tout réel \(\theta\in \mathbb{R}\), nous appellerons exponentielle imaginaire de \(\theta\) et nous noterons \(e^{i\theta}\) le nombre complexe défini par \[\boxed{e^{i\theta}= \cos \theta + i\sin \theta}\]
En savoir plus
Exponentielle népérienne
[ Proposition ]
La fonction \(\ln\) définie une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur son image \(\mathbb{R}\). L’application réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne et est notée \(exp\).
En savoir plus
\[\exp: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ y & \longmapsto & \exp y \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad \boxed{\exp\left(\ln x\right)=x}\\ \forall y\in\mathbb{R}, \quad \boxed{\ln\left(\exp y\right)=y}\end{aligned}\]
La fonction \(\exp\)
Expression algébrique de la signature
[ Corollaire ]
Soit une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\). On a les expressions suivantes pour sa signature : \[\varepsilon(\sigma) = \prod_{1\leqslant i < j \leqslant n} \dfrac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}
= \prod_{\substack{\{i,j\} \subset [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]
\newline i \neq j }} \dfrac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\]
En savoir plus
Expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormale
[ None ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale. Soient \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}}\] Si \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) est un repère orthonormal et que \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\) de coordonnées \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) dans ce repère alors \[\boxed{AB=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\]
En savoir plus
Expression de la norme d’un vecteur dans un repère orthonormal
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left(x,y,z\right)\) dans la base associée à ce repère. On a : \[\boxed{\left\|\overrightarrow{u}\right\| =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\]
En savoir plus
Expression de l’inverse d’une matrice
[ None ]
Si \(A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K} )\) est une matrice inversible, on dispose d’une formule (théorique) qui donne son inverse : \[A^{-1} = \dfrac{1}{\mathop{\rm det}(A)} {\mathop{\mathrm{com}}(A)}^{\mathrm{T}}.\]
En savoir plus
Expression des racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Un complexe non nul \(z = \rho e^{i\theta}\) admet \(n\) racines \(n\)-ièmes données par \[\boxed{Z_k=\rho^{1/n} e^{i\left({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle n}+{\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle n}\right)} = \rho^{1/n}e^{i\theta/n}
\omega^k, \quad k \in [\kern-0.127em[ 0, n-1 ]\kern-0.127em]}.\] où \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\) ou toute autre racine \(n\)-ième primitive de l’unité.
En savoir plus
Expression du déterminant dans une base orthonormale directe
[ Théorème ]
Soit \(\mathscr B\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) une base orthonormale directe de \(\mathscr V\). Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\) et soient \(\left(x,y,z\right)\), \(\left(x',y',z'\right)\) et \(\left(x'',y'',z''\right)\) leurs coordonnées respectives dans cette base. Alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=
\left|
\begin{array}{ccc}
x&x'&x''\\
y&y'&y''\\
z&z'&z''
\end{array}
\right|=
x'' \left|
\begin{array}{cc}
y&y'\\
z &z'
\end{array}
\right| -
y''\left|
\begin{array}{cc}
z&z'\\
x &x'
\end{array}
\right| +
z''\left|
\begin{array}{cc}
x&x'\newline
y &y'
\end{array}
\right|}\]
En savoir plus
Expression du déterminant dans une base orthonormale directe
[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale directe et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'\] On notera \(\left|\begin{array}{cc}x & x' \\ y & y'\end{array}\right|\) le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\). On a donc \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left|\begin{array}{cc}
x & x' \newline
y & y'
\end{array}\right|=xy'-x'y}\]
En savoir plus
Expression du PGCD et du PPCM à l’aide des facteurs premiers
[ Théorème ]
Soient deux entiers non-nuls \((a, b) \in {\mathbb{N}^*}^2\). Leur décomposition en facteurs premiers s’écrit : \[a = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\nu_p(a)} \quad
b = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\nu_p(b)}.\] Alors la décomposition de \(a\wedge b\) et de \(a \vee b\) en facteurs premiers s’écrit : \[a\wedge b = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\min\{\nu_p(a), \nu_p(b)\}}
\quad a\vee b = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\max\{\nu_p(a), \nu_p(b)\}}.\]
En savoir plus
Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \newline y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'}\]
En savoir plus
Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
[ Théorème ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(\left(x,y,z\right)\) et \(\left(x',y',z'\right)\) les coordonnées respectives des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) dans \(\mathscr R\). On a \[\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = xx'+yy'+zz'}\]
En savoir plus
Expression du produit vectoriel dans une base orthonormale
[ Théorème ]
Soit \(\mathscr B\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) une base orthonormale directe. Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) des vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées respectives \(\left(x,y,z\right)\) et \(\left(x',y',z'\right)\) dans \(\mathscr B\). Les coordonnées \(\left(X,Y,Z\right)\) de \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\) sont données par :
Autrement dit : \[\boxed{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} yz'-y'z \newline zx'-z'x \end{matrix} \right.{xy'-x'y}}\]
En savoir plus
\[\boxed{ X=\left| \begin{array}{cc} y&y'\\ z &z' \end{array} \right|} \quad \boxed{ Y=\left| \begin{array}{cc} z&z'\\ x &x' \end{array} \right|} \quad \boxed{ X=\left| \begin{array}{cc} x&x'\\ y &y' \end{array} \right|}\]
Expression du produit vectoriel dans une
base orthonormale directe
[ Proposition ]
Soit \((i,j,k)\) une base orthonormale
directe de \(E\). on a
\(\bullet\) \(i\wedge j = k\), \(j\wedge k = i\), \(k\wedge i = j\),
et si \(u(x_1,y_1,z_1)\) et \(v(x_2,y_2,z_2)\), alors \(u\wedge v(L,M,N)\) avec
\[L = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{vmatrix}, \qquad M = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}, \qquad N = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \newline y_1 & y_2 \end{vmatrix}.\]
En savoir plus
\(\bullet\) \(i\wedge j = k\), \(j\wedge k = i\), \(k\wedge i = j\),
et si \(u(x_1,y_1,z_1)\) et \(v(x_2,y_2,z_2)\), alors \(u\wedge v(L,M,N)\) avec
\[L = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{vmatrix}, \qquad M = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}, \qquad N = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \newline y_1 & y_2 \end{vmatrix}.\]
Extensive
[ Definition ]
Une relation \({\cal R}\) est dite extensive si \(\forall (y,z) [\forall x (x{\cal R}y \iff x{\cal R}z) \rightarrow y=z]\).
Un ensemble est dit extensif si \(\in\) est une relation extensive sur cet ensemble. C’est-à-dire que \(E\) est un ensemble extensif lorsque, dès que deux éléments \(x\) et \(y\) quelconques de \(E\) ont même intersection avec \(E\), alors \(x=y\).
En savoir plus
Extremum
[ Definition ]
Soient \(f:U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) et \(M_0\in U\). On dit que \(M_0\) est :
En savoir plus
Extremum
[ Definition ]
Soit \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et soit \(a\in I\)
En savoir plus
Extremum local
[ Definition ]
Soit \(f\in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et soit \(a\in I\)
En savoir plus