Lexique mathématique

Lexique mathématique

E
endomorphisme adjoint
[ Definition ]
\(\bullet\)\(f^*\) est appelé endomorphisme adjoint de \(f\).

\(\bullet\)\(f\) est dit symétrique si \(f^*=f\).

\(\bullet\)On note \(S(E)\) l’ensemble des endomorphismes symétriques de \(E\).

\(\bullet\)\(f\) est dit antisymétrique si \(f^*=-f\).

\(\bullet\)On note \(A(E)\) l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de \(E\).

\(\bullet\)On appelle groupe orthogonal de \(E\) et on note \(O(E)\) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\); c’est un sous-groupe de \(GL(E)\), ensemble des automorphismes de \(E\).

\(\bullet\)On appelle groupe spécial orthogonal de \(E\) et on note \(SO(E)\) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\) de déterminant \(1\); c’est un sous-groupe de \(O(E)\).
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endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\)
[ Definition ]
\(f\) défini comme en corollaire [c334] est appelé endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\).
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Ensemble dense
[ Definition ]
Un sous-ensemble de l’espace topologique \(X\) est dense dans \(X\) si son adhérence est \(X\).
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ensemble des séries formelles sur \(A\)
[ Definition ]

Étant donné \(A\) un anneau, on note \(A[[X]]\) et on appelle ensemble des séries formelles sur \(A\) l’ensemble des suites à valeurs dans \(A\). Une telle suite \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sera notée \[\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n\] On dit parfois aussi que \(\sum a_n X^n\) est la série génératrice associée à la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

On munit \(A[[X]]\) d’une structure d’anneau en définissant une somme et un produit par \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n)+(\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n) X^n\] \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n) \times (\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (a_kb_{n-k}) X^n\]

Étant donnée \(V\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on appelle aussi série génératrice associée à \(V\) la série \(\sum P(V=n) X^n\).
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Ensemble inductif
[ Definition ]
Deux éléments sont dits comparables si l’un des deux est inférieur ou égal à l’autre.

On appelle chaîne un ensemble totalement ordonné, c’est-à-dire tel que deux éléments de cet ensemble soient toujours comparables.

Un ensemble ordonné est dit inductif si toute chaîne admet un majorant.
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Equation différentielle linéaire du premier ordre
[ Definition ]
Soient \(a,b,c\) trois fonctions définies sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
  • On appelle équation différentielle du premier ordre une équation différentielle de la forme \[\forall t\in I, \quad a\left(t\right)y'\left(t\right)+b\left(t\right)y\left(t\right)=c\left(t\right) \quad (E)\]

  • Une solution de cette équation différentielle est une fonction \(f\) dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{K}\) et vérifiant: \[\forall t \in I, \quad a\left(t\right)f'\left(t\right)+b\left(t\right)f\left(t\right)=c\left(t\right)\]

  • Résoudre, ou intégrer l’équation différentielle \((E)\) revient à déterminer l’ensemble des fonctions qui sont solutions de \((E)\). On notera \(S_\mathbb{K}(E)\) cet ensemble.

  • Le graphe d’une solution \(f\) de \((E)\) dans un repère \(\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan est une courbe intégrale de \((E)\).

  • Si la fonction \(c\) est identiquement nulle, l’équation différentielle \((E)\) est dite homogène ou sans second membre.

  • \((E)\) est dite normalisée si \(a\) est la fonction constante identiquement égale à \(1\) sur \(I\).

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Equation différentielle linéaire du second ordre
[ Definition ]
Considérons trois scalaires \(a,b,c\in\mathbb{K}\) avec \(a\neq 0\) ainsi qu’une fonction \(d:I\rightarrow \mathbb{K}\).
  • On appelle équation différentielle du second ordre une équation différentielle de la forme \[\forall t\in I, \quad a~y''\left(t\right)+b~y'\left(t\right)+c~y\left(t\right)=d\left(t\right) \quad (E)\]

  • Une solution de cette équation différentielle est une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{K}\) et vérifiant \[\forall t \in I, \quad a~f''\left(t\right)+b~f'\left(t\right)+c~f\left(t\right)=d\left(t\right)\]

  • Résoudre, ou intégrer l’équation différentielle \((E)\) revient à déterminer l’ensemble des fonctions qui sont solutions de \((E)\). On notera \(S_\mathbb{K}(E)\) cet ensemble.

  • Le graphe d’une solution \(f\) de \((E)\) dans un repère \(\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan est une courbe intégrale de \((E)\).

  • Si la fonction \(d\) est identiquement nulle sur \(I\) , l’équation différentielle \((E)\) est dite homogène ou sans second membre.

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espace affine de direction \(E\)
[ Definition ]

Étant donné \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, on appelle espace affine de direction \(E\) un ensemble \(X\) muni d’une application \((x,y) \mapsto \overrightarrow{xy}\) de \(X \times X\) dans \(E\) telle que:

\(\bullet\)\(\forall (x,y,z) \in X^3, \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}\)

\(\bullet\)\(\forall x \in X, \forall u \in E , \exists ! y \in X\ \overrightarrow{xy}=u\)

On définit alors une addition de \(X \times E\) dans \(X\) par \(x + u = y\) avec \(y\) tel que \(\overrightarrow{xy}=u\).

On appelle scalaires les éléments du corps \(\mathbb{K}\).

On appelle vecteurs les éléments de l’espace vectoriel \(E\).

On appelle points les éléments de l’espace affine.

On note parfois surmontés d’une flèche les éléments de \(E\), pour les distinguer des éléments de \(X\); ainsi au lieu de \(u=\overrightarrow{xy}\) ou \(x+u=y\) on peut noter \(x+\overrightarrow{u}=y\).

Une convention usuelle est aussi de noter \(\overrightarrow{X}\) un espace vectoriel associé à \(X\); il faut bien voir toutefois que la direction n’est pas unique et qu’il ne suffit pas que \(X\) soit un espace affine de direction \(E\) pour qu’on puisse définir canoniquement sa direction \(\overrightarrow{X}\).

On appelle dimension d’un espace affine la dimension de sa direction lorsque celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa direction est de dimension infinie.

On appelle translation de vecteur \(a\) avec \(a \in E\) l’application qui à \(x\) dans \(X\) associe \(x+a\).

On appelle variété affine d’un espace affine \(X\) de direction \(F\) ou sous-espace affine de \(X\) tout sous-ensemble de \(X\) de la forme \(x+F\) avec \(x\in X\) et \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) (droite affine si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).

On appelle vectorialisé de \(X\) en \(x_0\in X\) l’espace vectoriel \((X,+)\) pour l’addition \(x+y=z\) avec \(z\) tel que \(\overrightarrow{x_0x}+\overrightarrow{x_0y}=\overrightarrow{x_0z}\). Pour l’application qui à \((x,y)\) associe \(z\) tel que \(x+z=y\), \(X\) est un espace affine de direction son vectorialisé.
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Espace complet
[ Definition ]
Un espace métrique \(X\) est complet, si toute suite de Cauchy de \(X\) a une limite dans \(X\).
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Espace de Banach
[ Definition ]

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

Un isomorphisme entre l’espace de Banach \(E\) et l’espace de Banach \(F\) est un isomorphisme des espaces vectoriels normés sous-jacents.
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espace de Hilbert
[ Definition ]
On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien complet.
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Espace euclidien
[ Definition ]

On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie non nulle.

Un endomorphisme d’un espace euclidien est dit orthogonal si l’image d’une certaine base orthonormale est une base orthonormale (il s’agit forcément d’un automorphisme).

On appelle similitude d’un espace euclidien un endomorphisme égal à la composée d’une homothétie (i.e. une application du type \(E\to E\), \(x\mapsto {\lambda}.x\)) et d’un automorphisme orthogonal.

On appelle rapport d’une similitude le rapport d’une homothétie de la décomposition de cette similitude en une homothétie et un automorphisme (le rapport est unique).
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espace euclidien orienté
[ Definition ]
On appelle espace euclidien orienté un couple \((E,C)\)\(E\) est un espace euclidien et \(C\) une classe d’équivalence sur l’ensemble des bases de \(E\) pour la relation d’équivalence \({\cal R}\) définie par \[B {\cal R}B' \iff det\ P_{B,B'}>0\] L’orientation de \(F\) sous-espace vectoriel de dimension \(n-p\) de \((E,C)\) espace euclidien orienté de dimension \(n\) suivant \((e_1,...,e_p)\) une base d’un supplémentaire de \(F\) est l’espace euclidien orienté \[(F,\{(e_{p+1},...,e_n) / (e_1,...,e_n) \in C\})\] (il s’agit d’un espace euclidien orienté)

On appelle base directe de l’espace euclidien orienté \((E,C)\) une base appartenant à \(C\).

On appelle base indirecte de l’espace euclidien orienté \((E,C)\) une base n’appartenant pas à \(C\).
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espace filtré
[ Definition ]
On appelle espace filtré un quadruplet \((\Omega,{\cal F},({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}},P)\) avec \((\Omega,{\cal F},P)\) triplet de probabilité, et \(({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une filtration, c’est-à-dire une suite croissantes de \(\sigma\)-algèbres  incluses dans \({\cal F}\).

On appelle processus adapté à un espace filtré ou plus simplement processus une suite \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que \[\forall n\in \mathbb{N}, X_n \mbox{ est }{\cal F}_n\mbox{-mesurable.}\]

On appelle temps d’arrêt une application \(T\) de \(\Omega\) dans \(\mathbb{N}\) telle que pour tout \(n\) \(\{{\omega}; T({\omega}) \leq n \}\) appartient à \({\cal F}_n\).

Étant donnés \(X\) un processus et \(T\) un temps d’arrêt, on note \(X^T\) le processus \(X\) stoppé à l’instant \(T\) défini par \(X^T_n({\omega})=X_{min(T({\omega}),n)}({\omega})\).

On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite \((C_n)_{n>0}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que pour tout \(n>0\) \(C_n\) est \({\cal F}_{n-1}\)-mesurable.

On appelle processus prévisible associé à un temps d’arrêt le processus prévisible \(C\) tel que \(C_n({\omega})\) est égal à \(1\) si \(n \leq T({\omega})\) et égal à \(0\) sinon.

Un processus \(C\) est dit borné si il existe \(K\) tel que pour tout \(n\) et tout \({\omega}\), \(|C_n({\omega})|\) est majoré par \(K\).
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espace hermitien
[ Definition ]
On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie, non réduit à \(\{0\}\).
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Espace mesurable
[ Definition ]
\((X,{\cal A})\) est un espace mesurable si \({\cal A}\) est une tribu sur \(X\)

Une partie de \(X\) est dite \({\cal A}\)-mesurable si elle appartient à \({\cal A}\).

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espace projectif associé à \(E\)
[ Definition ]

Étant donné \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à \(E\) l’ensemble \(P(E)\) des droites vectorielles de \(E\). On note \(P^{n-1}(\mathbb{K})\) pour \(P(\mathbb{K}^n)\).

On appelle dimension de \(P(E)\) la dimension de \(E\) moins un.

On appelle droite (projective) de \(P(E)\) l’image d’un plan vectoriel de \(E\), plan projectif de \(P(E)\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(3\), sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \(q\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \((q+1)\), hyperplan projectif de \(P(E)\) l’image d’un hyperplan vectoriel de \(E\), sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par \(q\) points de \(P(E)\) (i.e. \(q\) droites de \(E\)) l’image du sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les \(q\) droites correspondantes.

On note \(<P>\) le sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par une partie \(P\) incluse dans \(P(E)\).

On dit de \(q\) points de \(P(E)\) qu’ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans \(E\), c’est-à-dire s’ils engendrent un sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \((q-1)\).

On dit de \(n\) points \(x_1,...,x_n\) de \(P(E)\) qu’ils forment un repère projectif de \(P(E)\) si la dimension de \(P(E)\) est \(n-2\) et si toute sous-famille de \(n-1\) points des \(x_i\) est projectivement indépendante.

On dit de \(x\) dans \(P(E)\) qu’il a pour coordonnées homogènes \((t_1,...,t_n)\) dans un certain repère projectif \((d_0,d_1,...,d_n)\) si un certain \(y\) appartenant à \(x\) a pour coordonnées \((t_1,...,t_n)\) dans une base \((e_0,...,e_{n-1})\) avec \(e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i\) et \(d_i=<e_i>\) pour tout \(i \in [1,n]\).

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espace projectif associé à \(E\)
[ Definition ]

Étant donné \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à \(E\) l’ensemble \(P(E)\) des droites vectorielles de \(E\). On note \(P^{n-1}(\mathbb{K})\) pour \(P(\mathbb{K}^n)\).

On appelle dimension de \(P(E)\) la dimension de \(E\) moins un.

Attention Ne pas confondre avec l’ensemble des parties de \(E\) !

On appelle droite (projective) de \(P(E)\) l’image d’un plan vectoriel de \(E\), plan projectif de \(P(E)\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(3\), sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \(q\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \((q+1)\), hyperplan projectif de \(P(E)\) l’image d’un hyperplan vectoriel de \(E\), sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par \(q\) points de \(P(E)\) (i.e. \(q\) droites de \(E\)) l’image du sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les \(q\) droites correspondantes.

On note \(<P>\) le sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par une partie \(P\) incluse dans \(P(E)\).

On dit de \(q\) points de \(P(E)\) qu’ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans \(E\), c’est-à-dire s’ils engendrent un sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \((q-1)\).

On dit de \(n\) points \(x_1,...,x_n\) de \(P(E)\) qu’ils forment un repère projectif de \(P(E)\) si la dimension de \(P(E)\) est \(n-2\) et si toute sous-famille de \(n-1\) points des \(x_i\) est projectivement indépendante.

On dit de \(x\) dans \(P(E)\) qu’il a pour coordonnées homogènes \((t_1,...,t_n)\) dans un certain repère projectif \((d_0,d_1,...,d_n)\) si un certain \(y\) appartenant à \(x\) a pour coordonnées \((t_1,...,t_n)\) dans une base \((e_0,...,e_{n-1})\) avec \(e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i\) et \(d_i=<e_i>\) pour tout \(i \in [1,n]\).

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Espaces de Hölder
[ Definition ]

Étant donné \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\), \(\alpha\) dans \(]0,1]\), \(k\in \mathbb{N}\), on définit par récurrence sur \(k\) les espaces \(C^{k,\alpha}(\Omega)\) par \[C^{0,\alpha}(\Omega)=Lip_\alpha(\Omega)\] et pour \(k\geq 1\), \(C^{k,\alpha}(\Omega)=\) \[\{ f \mbox{ bornée de $\Omega$ dans $C$ } ; \forall i\in[1,n] {\frac{\delta f}{\delta x_i}}\mbox{ existe et $\in C^{k-1,\alpha}(\Omega)$} \}\]

Cette définition équivaut à (voir la définition [Nn] pour les opérations sur \(\mathbb{N}^n\)):

\[C^{k,\alpha}(\Omega)=\{ f \in C^k(\Omega) ; f \mbox{ bornée } \land \forall \nu / | \nu | \leq k \Rightarrow D^\nu f \in Lip_\alpha(\Omega)\}\]

On munit \(C^{k,\alpha}(\Omega)\) de la norme \(f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}=\sum_{|\nu|\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\alpha\).

De manière équivalente, \({\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}=\sum_{|\nu| \leq k} ({\parallel}D^\nu f {\parallel}_\infty + sup_{x\neq y} \frac{|f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)|}{|x-y|^\alpha})\) (c’est la même expression développée!) et la norme suivante est équivalente à celle-ci:

\[f\mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha}' = \sum_{|\nu|\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\infty + \sum_{|\nu|=k} \sup_{x\neq y} \frac{f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)}{|x-y|^\alpha}\]

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Espace séparable
[ Definition ]
Un espace est séparable si il contient un ensemble dénombrable dense.
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Espace séparé
[ Definition ]
Un espace est séparé si pour toute paire de points distincts \((x,y)\) on peut trouver un voisinage de \(x\) et un voisinage de \(y\) disjoints.
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Espace vectoriel
[ Definition ]
Soit \(\mathbb{K}\) un corps. \((E,+,.)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\)) si

\(\bullet\)\((E,+)\) est un groupe abélien

\(\bullet\)\(.\) est une application de \(\mathbb{K}\times E\) dans \(E\)

\(\bullet\) \(\forall ({\lambda}, \mu, x, y) \ ({\lambda}+ \mu).x = {\lambda}.x + \mu.x \land {\lambda}.(x+y)={\lambda}.x + {\lambda}.y \land ({\lambda}.\mu).x={\lambda}.(\mu.x) \land 1.x=x\)

Les éléments de \(E\) sont appelés vecteurs, les éléments de \(\mathbb{K}\) sont appelés opérateurs ou scalaires. Le neutre pour \(+\) est noté \(0\). << \(.\) >> est appelé produit externe.
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Espace vectoriel produit
[ Definition ]
Le produit de \(n\) espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbb{K}\), muni de l’addition terme à terme et avec pour multiplication \({\lambda}.(x_1,...,x_n)=({\lambda}.x_1,...,{\lambda}.x_n)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\). On l’appelle espace vectoriel produit. Plus généralement, si \((E_i)_{i\in I}\) est une famille indexée sur \(I\) quelconque d’espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}\), alors on peut définir l’espace vectoriel produit \(\prod_{i\in I}E_i\) avec là encore la somme terme à terme des composantes, et avec pour multiplication par \({\lambda}\) la multiplication de chaque terme par \({\lambda}\).
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espace vectoriel quotient
[ Definition ]
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Alors la relation définie par \[x{\cal R}y \iff x-y \in F\] est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et le produit externe. L’ensemble quotient est un espace vectoriel pour les lois induites; il est appelé espace vectoriel quotient et est noté \(E_{/F}\).
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espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\))
[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle d’espérance finie, sur un triplet de probabilité \((\Omega,{\cal A},P)\) et soit \(S\) une sous-\(\sigma\)-algèbre de \({\cal A}\) (resp. \(Y\) une variable aléatoire sur \((\Omega,{\cal A},P)\) qui engendre la \(\sigma\)-algèbre \(S\subset {\cal A}\)). On appelle espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\)) l’unique (presque partout5) variable aléatoire \(E(X|S)\) (resp. \(E(X|Y)=E(X|S)\)) mesurable pour \(S\) et telle que \[\forall s\in S,\ \int_s E(X|S) dP=\int_s X dP\] (on peut aussi écrire \(E(E(X|S)\chi_s)=E(X\chi_s)\)). Si \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}^x\) et \(\mathbb{R}^y\) respectivement et admettant des densités respectives \(f_x\) et \(f_y\), alors \((X,Y)\) a pour densité \(f_{xy}(a,b)=f_x(a)f_y(b)\) et la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Y\), notée \({\cal L}_{X|Y}\) ou \({\cal L}_{X|Y=y}\) est la loi de densité \(a\mapsto f_{xy}(a,Y)/f_y(Y)\).
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Espérance d’une variable aléatoire dans \(L^1\)
[ Definition ]

Étant donnée \(X\) une variable aléatoire de \(L^1(X,\mathbb{R})\), on définit son espérance par \[E(X)=\int_\Omega X.dP.\] Cette définition peut éventuellement être étendue aux fonctions intégrables positives, sans contrainte de mesurabilité.

On définit en outre \(E(X;F)\), avec \(X\) une variable aléatoire \({\cal L}^1\) ou bien une variable aléatoire intégrable positive, et \(F\) une partie mesurable, par \[E(X;F) = \int_F X.dP = E(X.\chi_F).\] avec \(\chi_F\) la fonction caractéristique de \(F\).
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Estimations de Cauchy
[ Théorème ]
\(f\) holomorphe sur un disque ouvert \(D\) de rayon \(R\), \(|f|\) bornée par \(M\) sur \(D\), alors \(|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!\ M}{R^n}\) pour tout \(n\geq 0\).
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Estimations de Cauchy
[ Théorème ]
\(f\) holomorphe sur un disque ouvert \(D\) de rayon \(R\), \(|f|\) bornée par \(M\) sur \(D\), alors \(|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!\ M}{R^n}\) pour tout \(n\geq 0\).
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Euclide
[ Corollaire ]
Soit \(p\) un nombre premier et \(a,b\in{ \mathbb Z}\). Si \(p\) divise \(ab\) alors \(p\) divise \(a\) ou \(p\) divise \(b\).
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euclidien
[ Definition ]
Un anneau \(A\) commutatif est dit euclidien pour une application \(f\) de \(A\setminus \{0\}\) dans \(\mathbb{N}\), si pour tout \(a\) dans \(A\) et tout \(b\) dans \(A\setminus \{0\}\) il existe \((q,r)\in A^2\) tels que \(a=b.q+r\) et \(r=0\) ou \(f(r)<f(b)\). Un anneau \(A\) commutatif est dit euclidien s’il existe une application pour laquelle il est euclidien.
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Exemple fondamental
[ Definition ]
Soit \(X\) muni d’une topologie \({\cal T}\); la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal T}\) s’appelle la \(\sigma\)-algèbre borélienne. Ses éléments sont appelés les boréliens.
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Existence de la dérivée seconde
[ Proposition ]
Soi \(f\) une application de \(U\) ouvert de \(E=E_1 \times E_2 ... \times E_n\) (des espaces de Banach ) dans \(F\) (un espace de Banach ). Alors si les \(\frac{\delta f}{\delta x_i}\) existent et sont continues sur un voisinage de \(x\), et si les \(\frac{\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j}\) existent sur un voisinage de \(x\) et sont continues en \(x\), alors \(f\) est deux fois différentiable en \(x\).
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Existence de topologies non métrisables
[ Proposition ]
Il existe des topologies, même séparées4, non métrisables.
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Exponentiation de cardinaux
[ Definition ]
Étant donnés des cardinaux \(A\) et \(B\) on note \(A^B\) le cardinal de l’ensemble des applications de \(B\) dans \(A\).
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exponentielle
[ Definition ]
On appelle exponentielle l’application qui à \(z\in\mathbb{C}\) associe \(\sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{z^n}{n!}\). On la note \(z\mapsto e^z\) ou \(z\mapsto \exp(z)\).
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Exponentielle de base \(a\)
[ Proposition ]
Soit \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\). La fonction \(\log_a\) définie une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). On appelle exponentielle de base \(a\) et on note \(\exp_a\), la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}_+^*\) comme application réciproque de \(\log_a\). \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^*, & & \exp_a\left(\ln_a x\right)=x \newline \forall y\in\mathbb{R}, & & \ln_a\left(\exp_a y\right)=y \end{aligned}\] De plus, \(\exp_a'\) est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et \[\forall x\in \mathbb{R},\quad \exp_a'\left(x\right)=\ln a \exp_a\left(x\right)\]
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Exponentielle imaginaire
[ Definition ]
Pour tout réel \(\theta\in \mathbb{R}\), nous appellerons exponentielle imaginaire de \(\theta\) et nous noterons \(e^{i\theta}\) le nombre complexe défini par \[\boxed{e^{i\theta}= \cos \theta + i\sin \theta}\]
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Exponentielle népérienne
[ Proposition ]
La fonction \(\ln\) définie une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur son image \(\mathbb{R}\). L’application réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne et est notée \(exp\).

\[\exp: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ y & \longmapsto & \exp y \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad \boxed{\exp\left(\ln x\right)=x}\\ \forall y\in\mathbb{R}, \quad \boxed{\ln\left(\exp y\right)=y}\end{aligned}\]

La fonction \(\exp\)

  • est strictement croissante et strictement positive.

  • est continue \(\mathbb{R}\).

  • est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x\in\mathbb{R}, \boxed{\exp'\left(x\right)=\exp\left(x\right)}\).

  • est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

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Expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormale
[ None ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale. Soient \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}}\] Si \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) est un repère orthonormal et que \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\) de coordonnées \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) dans ce repère alors \[\boxed{AB=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\]
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Expression de la norme d’un vecteur dans un repère orthonormal
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left(x,y,z\right)\) dans la base associée à ce repère. On a : \[\boxed{\left\|\overrightarrow{u}\right\| =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\]
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Expression des racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Un complexe non nul \(z = \rho e^{i\theta}\) admet \(n\) racines \(n\)-ièmes données par \[\boxed{Z_k=\rho^{1/n} e^{i\left({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle n}+{\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle n}\right)} = \rho^{1/n}e^{i\theta/n} \omega^k, \quad k \in [\kern-0.127em[ 0, n-1 ]\kern-0.127em]}.\]\(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\) ou toute autre racine \(n\)-ième primitive de l’unité.
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Expression du déterminant dans une base orthonormale directe
[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale directe et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'\] On notera \(\left|\begin{array}{cc}x & x' \\ y & y'\end{array}\right|\) le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\). On a donc \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left|\begin{array}{cc} x & x' \newline y & y' \end{array}\right|=xy'-x'y}\]
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Expression du déterminant dans une base orthonormale directe
[ Théorème ]
Soit \(\mathscr B\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) une base orthonormale directe de \(\mathscr V\). Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\) et soient \(\left(x,y,z\right)\), \(\left(x',y',z'\right)\) et \(\left(x'',y'',z''\right)\) leurs coordonnées respectives dans cette base. Alors  : \[\boxed{\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)= \left| \begin{array}{ccc} x&x'&x''\\ y&y'&y''\\ z&z'&z'' \end{array} \right|= x'' \left| \begin{array}{cc} y&y'\\ z &z' \end{array} \right| - y''\left| \begin{array}{cc} z&z'\\ x &x' \end{array} \right| + z''\left| \begin{array}{cc} x&x'\newline y &y' \end{array} \right|}\]
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Expression du module d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Pour tout complexe \(z=a+i \, b\), \[\boxed{|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}}\]
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Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \newline y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'}\]
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Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
[ Théorème ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(\left(x,y,z\right)\) et \(\left(x',y',z'\right)\) les coordonnées respectives des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) dans \(\mathscr R\). On a \[\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = xx'+yy'+zz'}\]
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Expression du produit vectoriel dans une base orthonormale
[ Théorème ]
Soit \(\mathscr B\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) une base orthonormale directe. Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) des vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées respectives \(\left(x,y,z\right)\) et \(\left(x',y',z'\right)\) dans \(\mathscr B\). Les coordonnées \(\left(X,Y,Z\right)\) de \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\) sont données par :

\[\boxed{ X=\left| \begin{array}{cc} y&y'\\ z &z' \end{array} \right|} \quad \boxed{ Y=\left| \begin{array}{cc} z&z'\\ x &x' \end{array} \right|} \quad \boxed{ X=\left| \begin{array}{cc} x&x'\\ y &y' \end{array} \right|}\]

Autrement dit : \[\boxed{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} yz'-y'z \newline zx'-z'x \end{matrix} \right.{xy'-x'y}}\]
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extensive
[ Definition ]
Une relation \({\cal R}\) est dite extensive si \(\forall (y,z) [\forall x (x{\cal R}y \iff x{\cal R}z) \rightarrow y=z]\). Un ensemble est dit extensif si \(\in\) est une relation extensive sur cet ensemble. C’est-à-dire que \(E\) est un ensemble extensif lorsque, dès que deux éléments \(x\) et \(y\) quelconques de \(E\) ont même intersection avec \(E\), alors \(x=y\).
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Extérieur
[ Definition ]
L’extérieur de \(A\), noté \(Ext(A)\), est l’intérieur du complémentaire de \(A\).
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